y = [ ] Έστ συνεχές σύστημα ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΗΣ ΠΡΟΟΔΟΥ ΣΑΕ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 6 ΘΕΜΑ ο u = + = + x x Ax Bu 3 3 u 3 x [ β] Ποιες είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α; Ο πίνακας Α διαχρίζεται σε block, κάθε ένα από τα οποία αντιστοιχεί σε controllr canoncal form, δηλαδή 3 3 Οι ιδιοτιμές του άν αριστερά τμήματος είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυνύμου του οποίου οι συντελεστές είναι 3 στην τελευταία γραμμή ή + + + = ή ( )( ) 3 Συνολικά λοιπόν οι ιδιοτιμές είναι οι, -, - και -3 [ β] Βρείτε τις συναρτήσεις μεταφοράς G ( ), =, Αναφορικά με την πρώτη είσοδο, δηλαδή το σύστημα υπολογίζεται απευθείας ς + + = Η ιδιοτιμή του κάτ δεξιά πίνακα είναι η -3 Y() = G() U() + G() U () έτσι ώστε x = x + u 3 3 3 y = x [ ] Y 3 3 = + = 3 U ( ) + 3 + + 3 + 3+, η συνάρτηση μεταφοράς Αναφορικά με την δεύτερη είσοδο, δηλαδή το σύστημα Y U + + + + = + = 3 () 3 3 3 x = x + u 3 3 y = x [ ], η συνάρτηση μεταφοράς είναι G () = Οπότε 3 + 3+ και G () = + 3 3 [ β] Υπολογίστε νόμο ελέγχου να είναι στις θέσεις -, -, -3, και -4 u k k k 3 u = x r u = + k 4 έτσι ώστε οι ελέγξιμοι πόλοι του συστήματος
Το κλειστό σύστημα είναι k k k = + + 3 3 x x x r 3 3 k 4 3 x = x + r 3k + 3k 3+ 3k3 3 3+ k4 Y 3 () = + R + (3 3 k ) + ( 3 k ) 3k + 3 k 3 3 4 Η συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος είναι Υπάρχουν πολλοί τρόποι επιλογής τν κερδών k ανάλογα με το ποιους πόλους για ποιο τμήμα της συνάρτησης θα επιλεγεί Επί παραδείγματι k 4 = τότε η συνάρτηση μεταφοράς είναι Y 3 () = + R + (3 3 k ) + ( 3 k ) 3k + 4 3 3 εναπομείναντες πόλοι να είναι στις θέσεις -,- και -3, ή και θα πρέπει να επιλεγούν τα κέρδη k, k και k 3 έτσι ώστε οι τρεις Y 3 3 () = + = + 3 R ( + )( + )( + 3) + 4 + 6 + + 6 + 4, οπότε [ k, k, k 3] = [, 3, ], ή 4 [ β] Υπολογίστε την συνάρτηση μεταφοράς Y() () R () = G Η συνάρτηση μεταφοράς για τα κέρδη που επελέγησαν είναι 3 Y 3 4 + 8 + + 6 () = + = 3 4 3 R + + + + + + + + 6 6 4 35 5 4 5 [ β] Έστ rt () = Hrt () όπου rt () lm yt ( ) μία βηματική είσοδος Να υπολογιστεί το κέρδος Η έτσι ώστε t = 6 lm y( t) = = lm Y ( ) = lm R( ) HG( ) = lm H, H = 4 t 4 Για το προεπιλεγέντα κέρδη, και επειδή ( ) u 6 [ β] Έστ ότι εφαρμόζεται ο νόμος ελέγχου από το ερώτημα 3, αλλά =, δηλαδή u u k k k = u = = + 3 u x r και υποθέστε την αλλαγή του στοιχείου (3,) του διανύσματος Β από 3 σε 3(+γ) Δείξτε τους πόλους του κλειστού συστήματος καθώς το γ μεταβάλλεται x = x + r Οι πόλοι του κλειστού συστήματος 6 6γ 9γ 6 3γ 3+ 3γ 3 3 + (6 + 3 γ) + ( + 9 γ) + (6 + 6 γ) = Καθώς το γ μεταβάλλεται οι πόλοι υπακούουν την 3 ( + 6 + + 6) + 3 γ ( + 3+ ) =, ή Το κλειστό σύστημα είναι είναι οι ρίζες της εξίσσης εξίσση ( + 68)( + 38) + 3γ = ( + )( + )( + 3) Οι πόλοι του κλειστού σαν συνάρτηση του γ προκύπτουν από τον ακόλουθο ΓΤΡ
ΘΕΜΑ ο [ β] Έστ συνεχές σύστημα x = x = Ax και x() At = Υπολογίστε την έξοδο xt ( ) x() 3 λ λ Ο πίνακας A μπορεί να μετασχηματιστεί σε M λ M = λ λ λ 3 λ M, όπου λ3 λ λ λ3 λ3 [ λ, λ, λ 3] = [,, ] οι ιδιοτιμές του πίνακα A Η έξοδος xt t 5 5 = t 4 5 5 + I υπολογίστε την έξοδο xt () t () A ( ) ( A+ I ) t () I t () [ β] Αν ο πίνακας A αλλάξει σε 33 xt = x = x, οπότε η απάντηση είναι 3 3 3 3 Η έξοδος είναι t t 5 5 t t xt () = t t 4 5 5 =
3 ο ΘΕΜΑ [3 βαθμοί] Θερείστε το διπλανό σύστημα ανοικτού βρόχου Έστ ότι αυτό το σύστημα διεγείρεται με τις ακόλουθες ημιτονοειδείς εισόδους u ( t) = n( t), =,, 6 Οι αντίστοιχες αποκρίσεις y ( t), =,, 6 του συστήματος απεικονίζονται στo ακόλουθο (διαδοχική αρίθμηση κατά γραμμές πχ, 3 4 5 6 ) 3 [ β] Υπολογίστε την μαθηματική έκφραση τν σημάτν εισόδου και εξόδου y ( t) = Y n( t+ y ), =,,6 Ο ακόλουθος πίνακας καταγράφει τις τιμές Y, ψ, 3 4 5 6 4 4 4975 495 (rad/c) Y ψ 45 445 343 73 695 5749 3 [ β] Με βάση αυτές τις μετρήσεις αναγνρίστε την συνάρτηση μεταφοράς G() και υπολογίστε προσεγγιστικά τα περιθώρια κέρδους και φάσης Από τις μετρήσεις μπορεί να παραχθεί προσεγγιστικά το Bod-διάγραμμα, όπς στο κάτθι Σχήμα
Η συνάρτηση μεταφοράς που προκύπτει είναι G () = 4 ( + ) ( + ) ( + ) + r y - 33 [ β] Να σχεδιαστεί ελεγκτής C() έτσι ώστε ταυτόχρονα: ) το σφάλμα μόνιμης κατάστασης για μία βηματική είσοδο να είναι όσο πιο μικρό γίνεται, και ) να γίνει το περιθώριο φάσης τουλάχιστο Από το προηγούμενο Bod-διάγραμμα, προκύπτει GM=-db, 8 = 8 rad/c, PM= 34, db =rad/c Υπό την προϋπόθεση ότι κρατάμε το ανεπηρέαστο (αν και ασταθές το σύστημα με μοναδιαία αρνητική ανατροφοδότηση) db ένας ελεγκτής lad ο οποίος θα προσθέσει 44 προσθέτουμε 7 Δηλαδή K lad = Τονίζεται ότι χρησιμοποιείται η τιμή C Η χρήση αυτού του lad-ελεγκτή οδηγεί σε ένα Bodδιάγραμμα για την συνάρτηση lad max φ = + 34 φάση επαρκεί για το κριτήριο Για λόγους ασφάλειας αντί για + max -8 + n( φ ) Clad() = Klad, όπου plad = 363-8 max και -8 + - n( φ ) p () G () 8 lad αντί της db
Αγνοώντας το γεγονός ότι έχει ήδη αλλάξει το db μετά την χρήση του lad-ελεγκτή, ένας ελεγκτής καθυστέρησης φάσης ο οποίος να προσθέτει όσο γίνεται πιο πολύ κέρδος έτσι ώστε το σφάλμα σε μία βηματική είσοδο να είναι όσο το δυνατό μικρότερο ικανοποιεί το κριτήριο- Δηλαδή z p C () = K + z + p, όπου p < z << db και K p = Επί παραδείγματι αν z db = = το Bod-διάγραμμα του lad- αντισταθμισμένου συστήματος είναι όπς στο κάτθι Σχήμα όπου είναι προφανές ότι έχει αυξηθεί η τιμή του μέτρου στις χαμηλές συχνότητες ενώ παράλληλα έχουμε PM = 3 > z Όσο μεγαλύτερος ο λόγος p τόσο αυξάνεται το κέρδος στις χαμηλές συχνότητες αλλά τόσο δυσκολότερη γίνεται και η υλοποίηση αυτού του ελεγκτή Για παράδειγμα όταν αυτός ο λόγος γίνει, τότε το Bod-διάγραμμα λαμβάνει την ακόλουθη μορφή Θερητικά όταν p, τότε C () K + z βηματική είσοδο να γίνει Το Bod-διάγραμμα σε αυτή την περίπτση είναι =, και το σύστημα γίνεται τύπου με αποτέλεσμα το σφάλμα για