ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της ( ) =, τον άξονα και τις ευθείες = και = α με α>. Η συνάρτηση () =, ορίζεται και είναι συνεχής στο. Επιπλέον () > 0 για > 0, οπότε το εμβαδόν του χωρίου Ω (βλέπε Σχήμα) που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της () =, τον άξονα και τις ευθείες = και = α με α>, ισούται με: α α E( Ω ) = d = [ ln ] = ln α ln = ln α τ.μον.
Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της () = +, τον άξονα και τις ευθείες = και =. Η συνάρτηση ορίζεται και είναι συνεχής στο ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Το τριώνυμο + έχει διακρίνουσα = 9 8= > 0 και ρίζες = και =, οπότε το πρόσημό του είναι: Άρα το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα και τις ευθείες = και =, ισούται με: ( ) ( ) E = + d = + d + + d = + + + = τ.μον.
Άσκηση. Δίνεται η συνάρτηση ( ) < = e, 0, 0. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη = και =., τον άξονα και τις ευθείες Η είναι ορισμένη στο Α = (,0) [ 0, + ) =. (α) Για κάθε (,0) η με τύπο συναρτήσεων. (β) Για κάθε ( 0, + ) η με τύπο (γ) Στη θέση = 0, έχουμε: () = e, είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών () =, είναι συνεχής ως πολυωνυμική. ( ) lim () = lim e = 0 0 0 (0) = 0 lim () = lim ( ) = 0 + + 0 0 συνεπώς η είναι συνεχής στη θέση = 0. Συνεπώς από (α),(β) και (γ) η είναι συνεχής στο, άρα και στο [ ],. Για e γν. αυξ. 0 e e 0 < 0. < < < άρα ( ) Για το έχουμε: άρα ( ) < 0 για ( 0,) και ( ) 0,. Οπότε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη = και = ισούται με: > για ( ] 0 ( ) ( ) ( ) ( ) E = d = e d d + d = 0, τον άξονα και τις ευθείες 0 e + = + e 0 τ.μον.
Άσκηση. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις, g για τις οποίες ισχύει: ( ) g( ) = ( ) ( ) ( ) για κάθε. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις και g. Βρίσκουμε το πρόσημο της διαφοράς ( ) g( ). Από τον πίνακα έπεται ότι το εμβαδόν E του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα στις γραφικές παραστάσεις των, g ισούται με ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). E = g d = g d g d Όμως ( ) g ( ) = ( ) ( ) ( ) = 6 + 6, άρα ( ) ( ) E = 6 + 6 d 6 + 6 d = + 6 6 + = τ.μον.
Άσκηση 5. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) = + 5 και g( ) = + 5. Οι συναρτήσεις, g είναι συνεχείς στο, ως πολυωνυμικές, οπότε και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. g = + = και σχηματίζουμε τον πίνακα Παίρνουμε τη διαφορά ( ) ( ) ( ) του προσήμου της: Οπότε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g ισούται με: E = ( + ) d = + = τ.μον. 0 0 5
Άσκηση 6. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της = και την ευθεία y= +. ( ) Οι συναρτήσεις και g( ) = y= + είναι συνεχείς στο, ως πολυωνυμικές, οπότε και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Έχουμε ( ) g( ) = ( + ) = +. Το τριώνυμο έχει ρίζες = και =. Στον παρακάτω πίνακα βρίσκουμε το πρόσημο του τριωνύμου: Το εμβαδόν λοιπόν του χωρίου Ω (βλέπε Σχήμα) που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και την ευθεία y= + θα ισούται με: 9 E = g d = + d = + = ( ) ( ) ( ) τ.μον. 6
Άσκηση 7. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της () = και την ευθεία y=. Η συνάρτηση ορίζεται και είναι συνεχής στο [ 0,+ ). Λύνουμε το σύστημα ( 0,0 ) και (, ). Άρα η και η ευθεία y ( ) Επίσης 0 y= = ( ) = 0, οπότε βρίσκουμε τις λύσεις y = y y = = = τέμνονται στα σημεία O( 0,0 ) και ( ) = για κάθε [ 0,] που περικλείεται από τη και την ευθεία y= ισούται με: A,. (βλέπε Σχήμα), άρα το εμβαδόν E του χωρίου Ω 0 0 0 E( Ω ) = d = = τ.μον. 7
Άσκηση 8. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) = ln, g( ) = και της κατακόρυφης ευθείας =. Η () g() = ln έχει πεδίο ορισμού το ( 0,+ ), είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα. Η = έχει πεδίο ορισμού το = (,0) ( 0, + ), είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (,0) και (0, + ), αφού g () = = < 0 Η εξίσωση () = g() έχει προφανή λύση τη =, η οποία είναι και μοναδική. Πράγματι αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση h() = ( ) g( ) = ln με > 0, τότε h ( ) = + > 0 στο ( 0,+ ), άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο ( 0,+ ), το οποίο συνεπάγεται ότι η προηγούμενη ρίζα είναι μοναδική. Επίσης, για > () > () = 0 και για > g() < g() = 0, Άρα το εμβαδόν E του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων () = ln, g() = και της κατακόρυφης ευθείας =, (βλέπε Σχήμα) ισούται με E = () g() d = [ () g() ] d ln d () ln d [ ln ] [ ] = + = + = = [ ln ] ( ln ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] d ln + = ln ln + = ln τ.μον.. 8
Παρατήρηση: Επειδή δεν είναι απαραίτητη η επιμέρους μονοτονία των και g, το πρόσημο της h() στο [, ] μπορούσε να προσδιοριστεί και ως εξής: Επειδή η h είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ) τότε για κάθε [, ] ισχύει h() h() h() 0. 9
ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Δίνονται οι συναρτήσεις, g οι οποίες είναι δυο φορές παραγωγίσιμες στο με ( ) = g ( ) + ηµ για κάθε. Αν στα σημεία 0, ( 0 ) και 0,g( 0 ) οι εφαπτόμενες των και ( ) ( ) g αντίστοιχα, είναι παράλληλες και επιπλέον ( 0) = g( 0) = 0, τότε να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις, g και τις ευθείες π = και = π. Η σχέση ( ) ( ) ( ( )) ( ) = g + ηµ γίνεται: ( ) = g συν, για κάθε, οπότε σύμφωνα με γνωστό πόρισμα θα υπάρχει μια πραγματική σταθερά c τέτοια, ώστε: = g συν + c, για κάθε (). ( ) ( ) Επειδή ( 0) g ( 0) ( ) ( ) =, από τη σχέση () έχουμε: 0 = g 0 συν 0+ c c =. Αντικαθιστούμε και έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = g συν + = g ηµ +, για κάθε, οπότε πάλι θα υπάρχει μια πραγματική σταθερά c τέτοια, ώστε: ( ) = g( ) ηµ + + c,για κάθε (). Για = 0, από τη σχέση () παίρνουμε c = 0, άρα ( ) = g( ) ηµ + ( ) g( ) = ηµ +, για κάθε (). Από τη γνωστή μας ανισότητα ηµ, για κάθε, έπεται ότι ηµ <, για κάθε > 0, και από τη σχέση () συμπεραίνουμε ότι () g() > 0, για κάθε > 0, οπότε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις με:, g και τις ευθείες π = και = π ισούται π π π E = ( ) g ( ) d = ( ηµ + ) d = συν + π π = π π 8 τ.μον. 0
Άσκηση. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) = e και ( ) g = e +. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g και την ευθεία y e =. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο ως εκθετική και η g είναι συνεχής στο ως σύνθεση πολυωνυμικής με εκθετική, οπότε και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Βρίσκουμε που τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις των,g: e ( ) + () g() e e = = = + =, άρα τέμνονται στο σημείο (,e) Επίσης η ευθεία y= e τέμνει τις και (Αφού e = e = και e = e = ) ( ) Επειδή e = e, η g οριζόντια μετατόπιση κατά +. g στα σημεία B,e και A,e h Γ. προκύπτει από τη γραφική παράσταση της ( ) αντίστοιχα. = e μετά από Το εμβαδόν του χωρίου (βλέπε Σχήμα) που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g και την ευθεία y= e, ισούται με: ( ) ( ) + + E = E Ω + E Ω = e e d + e e d = e + e + e e = e e τ.μον.
Άσκηση. Δίνεται η συνάρτηση ( ) = ln, > 0. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τα σημεία ( ) ( ) y 0. M,y με e και Για ln ( γν.αύξ) ln ln 0 < < =, άρα ( ) 0, όταν e. Το χωρίο όπως περιγράφεται από τις δυο ανισότητες e και ( ) χωρίο το οποίο περικλείεται από τη γραφική παράσταση της [ y ( ) (δηλ. την ευθεία y= 0) και τις ευθείες Το εμβαδόν του χωρίου αυτού θα είναι: = και =. e y 0, είναι το = ], τον άξονα E ( Ω ) = ln d ln d ln ( ln ) = = + d = e e e e ln + = e e e τ.μον.
Άσκηση. Δίνεται η συνάρτηση ( ) =. i. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της, στα σημεία που τέμνει τον άξονα. ii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις δυο εφαπτόμενες και τη. Η συνάρτηση ορίζεται και είναι συνεχής στο ως πολυωνυμική. i. Βρίσκουμε πρώτα που τέμνει η συνάρτηση τον άξονα : ( ) ( ) ( ή ) στα σημεία O( 0,0 ) και A(,0 ). = 0 = 0 = 0 = 0 =, άρα τέμνει τον άξονα A,0 είναι =, άρα έχουμε τις παρακάτω εξισώσεις για τις = =, οπότε ( 0) = και ( ) =. Έτσι οι εξισώσεις των εφαπτόμενων στα σημεία O( 0,0 ) και ( ) y 0= ( 0) και y 0 ( ) Είναι ( ) ( ) εφαπτόμενες ε και ε : ε : y = ε : y = 6 ii. Η συνάρτηση είναι κυρτή, αφού ( ) = > 0, άρα η είναι «πάνω» από τις εφαπτόμενες. Λύνουμε το σύστημα τέμνονται στο σημείο (, 8). y = y = 6 και βρίσκουμε ότι οι εφαπτόμενες ε και ε Οπότε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις δυο εφαπτόμενες και τη με: (βλέπε Σχήμα) ( ) ( ) ( ) ( ) E = E Ω + E Ω = d + 6 d = 0, ισούται 6 6 + + = τ.μον. 0
Άσκηση 5. ln Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + με ( 0,) (, ) +. i. Να δείξετε ότι η έχει πλάγια ασύμπτωτη στο + την ευθεία y = +. ii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη κατακόρυφες ευθείες = e και = e., την ασύμπτωτη και τις i. Έχουμε lim ( ) ( ) lim 0 + + = =, αφού + ln lim ln = +. + Άρα η ( ) έχει πλάγια ασύμπτωτη στο + την ευθεία y = +. ii. Επειδή ( ) ( + ) = < 0 ln περικλείεται από τη με: για κάθε (, ), την ασύμπτωτη και τις κατακόρυφες ευθείες e e E = + d = d = du = ln u = ln ln u ( ) ( ) [ ] τ.μον., e e +, το εμβαδόν του χωρίου που = e και = e ισούται όπου θέσαμε u = ln, οπότε du = d, u = ln e = και u ln e = =. 5
Άσκηση 6.. Στο σημείο ( ) Έστω η συνάρτηση () = + με A 0, της φέρνουμε την εφαπτομένη της ε. Να δείξετε ότι το τρίγωνο το οποίο σχηματίζει η εφαπτομένη με τους άξονες, χωρίζεται από τη σε δυο χωρία των οποίων τα εμβαδά έχουν λόγο :. Έχουμε () = ( + ) =, με, + =. > οπότε ( ) 0 Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο A( 0, ) της y = ( 0) y= +. θα είναι: Για = 0 είναι y=, άρα η εφαπτομένη τέμνει τον yy στο A( 0, ). Για y= 0 είναι =, άρα η εφαπτομένη τέμνει τον Το τρίγωνο OAB έχει εμβαδό ( )( ) E = OA OB = = τ.μον. στο B(,0) 0. 0 ( + ) Το χωρίο Ω (βλέπε Σχήμα) έχει εμβαδόν E = + d = = τ.μον., οπότε το χωρίο Ω έχει εμβαδόν E = = τ.μον. Άρα τα εμβαδά των δυο χωρίων έχουν λόγο :. 6
Άσκηση 7. Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + e. i. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο +. ii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν E ( λ ) του χωρίου που περικλείεται από τη ασύμπτωτη και τις ευθείες = και = λ με λ>. iii. Να υπολογίσετε το lim E ( ) λ + λ., την Το πεδίο ορισμού της είναι το και είναι συνεχής σ αυτό ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. lim = lim e = 0, i. Επειδή ( ) ( ) + + έπεται ότι η πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο + είναι η ευθεία y=. λ λ λ τ.μον. λ e e E λ = d = e d = e = ii. ( ) ( ) ( ) lim E λ = lim = λ + e e λ, αφού e iii. ( ) λ + lim e λ λ + = +, άρα lim = 0. λ + e λ 7
Άσκηση 8. Έστω η συνάρτηση ( ) = + 7. i. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η είναι κυρτή ή κοίλη. ii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη A, και τις κατακόρυφες ευθείες = και =. στο ( ( )), την εφαπτομένη της Η ορίζεται και είναι συνεχής στο ως πολυωνυμική συνάρτηση. i. Είναι ( ) = 6 και ( ) = 6 6. Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα: Άρα η είναι κοίλη στο (,] και κυρτή στο [,+ ). ii. Είναι ( ) = και ( ) είναι: y=. Επειδή η είναι κυρτή στο [,+ ), η = 0 οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης της εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη κατακόρυφες ευθείες = και = θα είναι: E = ( + 7 ) d = + = τ.μον. ( ) στο A, ( ) θα βρίσκεται «πάνω» από την εφαπτομένη, άρα το, την εφαπτομένη της στο ( ) ( ) A, και τις 8
ΘΕΜΑ Δ Άσκηση. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) = + +. i. Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται. ii. Αν η αντίστροφη της, να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα και τις ευθείες = και =. Το πεδίο ορισμού της είναι το και είναι συνεχής σ αυτό ως πολυωνυμική συνάρτηση. i. Έχουμε ( ) = + > 0 για κάθε, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο, επομένως και, άρα αντιστρέφεται στο. ii. Έστω η αντίστροφη της, η οποία είναι επίσης γνησίως αύξουσα και έχουμε ότι: ( ) ( ) ( ) () = = = = Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τις ευθείες = και = ισούται με:, τον άξονα E () d =, (). Θέτοντας d = (u)du = (u), έχουμε: = ( u) ( ) = ( u) και επειδή η είναι έπεται ότι u =, = ( u) ( ) = ( u) και επειδή η είναι έπεται ότι u =. Συνεπώς από τη σχέση (), έπεται ότι: (u) = u E = ( (u)) (u)du = u (u)du = u 57 ( u + u) du = + u = τ.μον. ( ) 9
Άσκηση. Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + με. i. Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται στο [, + ). ii. Αν στις η αντίστροφη της, να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα και. i. Έχουμε () = = ( ) > 0 για κάθε > και η είναι συνεχής στο [ ) η είναι γνησίως αύξουσα στο[,+ ), επομένως και,+, άρα,+., άρα αντιστρέφεται στο [ ) ii. Έστω Η η αντίστροφη της. Τότε, έχει την ίδια μονοτονία με την, άρα είναι και αυτή γνησίως αύξουσα. Πράγματι, για κάθε, D με και y = ( ), y = ( ), εφ όσον η είναι γνησίως αύξουσα έχουμε ότι ( ) για κάθε y,y D με y y και = (y ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) > 0, δηλαδή > 0. Συνεπώς, = (y ), έχουμε: (y ) (y ) = > 0. y y ( ) ( ) (y y ) (y ) (y ) > 0, συνεπώς η Δηλαδή ( ) είναι γνησίως αύξουσα. Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, τα κοινά σημεία που έχει με την πάνω στην ευθεία y=. βρίσκονται Πράγματι, έστω ( 0) = ( 0) τότε θα δείξουμε ότι ( 0) = 0. Αν ( 0) > 0 τότε επειδή είναι γνησίως αύξουσα έχουμε ( ( 0) ) > ( 0) = ( 0), άρα ( 0) < 0 το οποίο είναι άτοπο. Ομοίως, αν ( 0) < 0 τότε επειδή είναι γνησίως αύξουσα έχουμε ( ( 0) ) < ( 0) = ( 0), άρα ( 0) > 0 το οποίο είναι άτοπο. Άρα ( 0) = 0. Λύνουμε την εξίσωση ( ) = + = + = 0 ( = ή = ). Γ,. (βλέπε Σχήμα) Τα κοινά σημεία είναι λοιπόν τα B(, ) και ( ) 0
Λόγω συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων των και ως προς την πρώτη διχοτόμο των αξόνων y=, το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα στις και, ισούται με το διπλάσιο του εμβαδού του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα στις και την y=. Επίσης από το πρόσημο του τριωνύμου 0 + + + για κάθε [ ] Έτσι: ( ) συμπεραίνουμε ότι:,. E = + d = = τ.μον. Παρατήρηση: Μπορούμε να προσδιορίσουμε τα σημεία τομής των και, χωρίς να χρησιμοποιηθεί η μονοτονία των συναρτήσεων και, ως εξής: Τα κοινά σημεία των, είναι (, y) όπου y = () y = () y = + y = y + y y = () = (y) = y y + y = + Άρα ( y) ( + y ) = 0 = y αφού y 0 Άρα + > για κάθε, y [, ) () = + = + = 0 ( = ή = ). Τα κοινά σημεία είναι λοιπόν τα B(,) και Γ (, ). (βλέπε Σχήμα) +.
Άσκηση. Δίνεται η συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο και για την οποία ισχύει ( 0) = 0 και ( ) > για κάθε. Αν E το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη και =, τότε να δείξετε ότι E >. 6, τον άξονα και τις ευθείες = 0 Η συνάρτηση είναι συνεχής στο, αφού είναι παραγωγίσιμη. Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) = ( ) η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (άρα και συνεχής) ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων και g ( ) = ( ) > 0, άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο. Τότε θα ισχύει: για > 0 έπεται ότι g( ) > g( 0) = ( 0) 0= 0 ( ) > 0. Άρα ( ) 0 στο [ 0, ] και ολοκληρώνοντας την ανισότητα αυτή, παίρνουμε: ( ) d 0 ( ) d d > > = = 6 6 επομένως ( ) 0 0 0 0 Η ανισότητα ( ) d > 0 είναι γνήσια, γιατί η g ( ) ( ) 0 συνάρτηση και δεν είναι παντού μηδέν στο [ 0, ]. Επίσης επειδή ( ) 0 στο [ ], τον άξονα και τις ευθείες = 0 και d >. 6 0 = είναι συνεχής 0,, το εμβαδόν E του χωρίου που περικλείεται από τη =, είναι E ( ) = d >. 6 0
Άσκηση. i. Να αποδείξετε την ανισότητα: ln ( + ) για κάθε 0. Πότε ισχύουν οι ισότητες; ii. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln ( ) = +. Αν E το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη = 0 και =, τότε να δείξετε ότι 7 < E <. 0, τον άξονα και τις ευθείες i. Θεωρούμε τη συνάρτηση h ( ) = ln ( + ) με >. h = ln + = =, οπότε σχηματίζουμε τον εξής πίνακα + + προσήμου: Έχουμε ( ) ( ) Άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,+ ), οπότε: για 0 h = ln + < h 0 = 0 ln + <. > έπεται ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα ln ( + ) για κάθε 0 και η ισότητα ισχύει για = 0. Ομοίως θεωρούμε τη συνάρτηση g ( ) = ln ( + ) +, >. Η παράγωγός της είναι g ( ) = + = + +, >, οπότε Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο 0,+ ), οπότε για 0 g = ln + + > g 0 = 0. > έπεται ( ) ( ) ( )
ln + για κάθε 0 και η ισότητα ισχύει για = 0. Άρα ( ) ii. Με βάση το προηγούμενο ερώτημα ισχύει: ln ( + ), για κάθε, (αφού, για κάθε. άρα ( ) Επίσης + άρα ( ) ( ) περικλείεται από τη 0 ( ) E = d. Ολοκληρώνουμε τη σχέση ( ) 0 0 0 0) = ln + ln = 0, οπότε το εμβαδόν του χωρίου E που, τον άξονα και τις ευθείες = 0 και =, ισούται με 0 παίρνουμε: ( ) d > 0 ( ) d < d = E <. Η ανισότητα είναι γνήσια, γιατί η συνεχής συνάρτηση ( ) Ομοίως ολοκληρώνοντας την ανισότητα ( ) 0 0 0 + 0 παίρνουμε: 7 ( ) + d 0 E ( ) d d > = > = 0. Η ανισότητα και πάλι είναι γνήσια, γιατί η συνεχής συνάρτηση ( ) παντού μηδέν. Άρα 7 < E <. 0 δεν είναι παντού μηδέν. + δεν είναι Ημερομηνία τροποποίησης: 6/0/0