Βιομαθηματικά BIO-156 Εισαγωγικές έννοιες Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 2016 lika@biology.uoc.gr
Μαθηματικά Μοντέλα στη Βιολογία Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι ένα σύνολο υποθέσεων για κάποιο βιολογικό σύστημα εκφρασμένες με μαθηματικές εξισώσεις Γιατί; Για να αυξήσει την κατανόηση του συστήματος - κατανόηση μηχανισμών - σημαντικοί παράγοντες που επηρεάζουν το σύστημα - σχέσεις μεταξύ των παραγόντων Για να προβλέψει ή να μιμηθεί 2
Χαρακτηριστικά των μοντέλων Δυναμικά - Στατικά Μηχανιστικά - Περιγραφικά (ή Εμπειρικά) Στοχαστικά - Προσδιοριστικά Διακριτά - Συνεχή Γραμμικά - Μη Γραμμικά Χρονοεξαρτόμενα - Χρονοανεξάρτητα 3
Μηχανιστικά vs Περιγραφικά (1) Περιγραφικά Μοντέλα Decline in Coho salmon stocks on the Thomson River, BC (from Bradford and Irvine, 2000) Rate of decline on individual streams related to habitat variables (from Bradford and Irvine, 2000) 4
Μηχανιστικά vs Περιγραφικά (2) Τα περιγραφικά μοντέλα δεν εξηγούν το γιατί, π.χ., οι μεταβλητές σχετίζονται με το συγκεκριμένο τρόπο τα συμπεράσματα εφαρμόζονται μόνο για το συγκεκριμένο σετ δεδομένων Τα μηχανιστικά μοντέλα βασίζονται στις διαδικασίες που παράγουν τα δεδομένα βασίζονται στους υποκείμενους μηχανισμούς & στις διαδικασίες που διέπουν το σύστημα επεκτείνονται πέρα από ένα συγκεκριμένο σετ δεδομένων περιγράφουν διαφορετικά σενάρια 5
Δυναμικά μηχανιστικά μοντέλα Τα δυναμικά, μηχανιστικά μοντέλα έχουν δύο βασικά συστατικά: Λίστα μεταβλητών κατάστασης (state variables) οι οποίες καθορίζουν την κατάσταση του υπό μελέτη συστήματος Δυναμικές εξισώσεις (dynamic equations): ένα σύνολο εξισώσεων ή κανόνων που καθορίζουν πως αλλάζουν οι μεταβλητές κατάστασης με το χρόνο 6
Εννοιολογικό-Διαγραμματικό μοντέλο για τη δυναμική της ελονοσίας Άνθρωποι Κουνούπια S h S m I h I m S (Susceptibles) άτομα που δεν έχουν μολυνθεί αλλά είναι επιρρεπή στην ασθένεια I (Infectives) άτομα που έχουν μολυνθεί και μπορούν να μεταδώσουν την ασθένεια 7
Διακριτά vs συνεχή Διακριτά στο χρόνο μοντέλα Περιγράφουν φαινόμενα που είναι λογικό να υποθέσουμε ότι οι υποκείμενες βιολογικές μεταβλητές μεταβάλλονται σε διακριτά χρονικά διαστήματα (ασυνεχώς) Αν η κατάσταση του συστήματος τη χρονική στιγμή t περιγράφεται από μία μεταβλητή X t, τότε η κατάσταση του συστήματος τη χρονική στιγμή t+δt, δίνεται από την εξίσωση διαφορών Συνεχή στο χρόνο μοντέλα Περιγράφουν φαινόμενα που οι υποκείμενες βιολογικές μεταβλητές μεταβάλλονται συνεχώς Αν η κατάσταση του συστήματος τη χρονική στιγμή t περιγράφεται από μία μεταβλητή Χ(t) και ο ρυθμός μεταβολής του είναι μια συνάρτηση, f(χ,t), τότε έχουμε τη διαφορική εξίσωση X tδt dx dt f ( X t ) f ( X, t) 8
Προσδιοριστικά vs Στοχαστικά Τα προσδιοριστικά μοντέλα (deterministic models), κάνουν την υπόθεση ότι αν γνωρίζουμε την παρούσα κατάσταση του συστήματος μπορούμε να προβλέψουμε με ακρίβεια την κατάστασή του στο μέλλον. Τα στοχαστικά μοντέλα (stochastic models) δίνουν μια κατανομή πιθανοτήτων για τις δυνατές τιμές των μεταβλητών κατάστασης. 9
Διαδικασία κατασκευής ενός δυναμικού μοντέλου Εννοιολογικό μοντέλο Διαγραμματικό μοντέλο Μαθηματικό μοντέλο Αναλυτική ή/και αριθμητική λύση 10
Περιεχόμενα Μαθήματος (1) Διαφορικός λογισμός Βασικές συναρτήσεις Εφαρμογές (πολυωνυμικές, ρητές, εκθετικές, αλλομετρικές, λογαριθμικές, τριγωνομετρικές) Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Ρυθμός μεταβολής μιας συνάρτησης - Η παράγωγος Βασικές ιδιότητες και εφαρμογές των παραγώγων Διακριτά στο χρόνο δυναμικά συστήματα Εξισώσεις διαφορών (ε.δ.) πρώτης τάξης Επίλυση γραμμικών ε.δ. -Γραφική μελέτη ε.δ. 1 ης τάξης Σημεία ισορροπίας - Τοπική ανάλυση ισορροπίας Ολοκληρωτικός λογισμός Ολοκληρώματα (αόριστα, ορισμένα, καταχρηστικά) Μέθοδοι ολοκλήρωσης (με αντικατάσταση, κατά παράγοντες, με μερικά κλάσματα) Εφαρμογές 11
Περιεχόμενα Μαθήματος (2) Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Μεθοδολογία επίλυσης δ.ε. 1ης τάξης (γραμμικές, χωριζόμενων μεταβλητών) Γραφική μελέτη μη γραμμικών δ. ε. 1ης τάξης Σημεία ισορροπίας - Τοπική ανάλυση ισορροπίας Θεωρία Πιθανοτήτων Δειγματικός χώρος, γεγονότα, πράξεις με γεγονότα έννοια της πιθανότητας Αρχές συνδυαστικής -Τεχνικές απαρίθμησης Δεσμευμένη Πιθανότητα - Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας - Θεώρημα Bayes Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές Συνεχείς κατανομές: Κανονική (Gauss), Τυπική κανονική Διακριτές κατανομές: Διωνυμική, Poisson, Πολυωνυμική 12
Προτεινόμενη Βιβλιογραφία Μαθηματική ανάλυση, Β. Ν. Ζαφειρόπουλου Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών, 2012 Μαθηματικά μοντέλα στη βιολογία, Σ. Π. Σγαρδέλης. Θεσσαλονίκη, University studio press, 2006 Γενικά βοηθήματα : C. Neuhauser Calculus for biology and medicine Pearson/Prentice Hall, 2004 F. R. Adler. Modeling the dynamics of life: calculus and probability for life scientists. Brooks/Cole, 1998. M. R. Cullen Mathematics for the biosciences. Techbooks, 1983 13