9 Planimetria Ciele Preštudovanie tejto kapitoly vám lepšie umožní: identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, používať jednotky dĺžky a obsahu. Planimetria je oblasť geometrie, ktorá sa zaoberá rovinnými útvarmi a ich vlastnosťami. 9.1 Trojuholník Nech A, B, C sú tri rôzne body neležiace na jednej priamke (nekolineárne). Spoločnú časť (prienik) troch polrovín ABC, BCA, CAB nazývame trojuholník ABC a označujeme Δ ABC. Body A, B, C sa nazývajú vrcholy trojuholníka, úsečky AB, BC, AC sú strany trojuholníka. Pre strany trojuholníka musí platiť, že súčet dĺžok dvoch ľubovoľných strán je väčší ako dĺžka tretej strany ( a + b > c, b + c > a, a + c > b ). Táto vlastnosť sa nazýva trojuholníková nerovnosť. Uhly CAB = α, ABC = β, ACB = γ sú vnútorné uhly trojuholníka. V každom trojuholníku je súčet veľkostí vnútorných uhlov 180. Platí, že: α + β + γ = 180. Marek Mokriš, 007
Výška trojuholníka je úsečka, ktorej jedným krajným bodom je vrchol trojuholníka a ktorá je kolmá na protiľahlú stranu. V ľubovoľnom trojuholníku prechádzajú všetky tri výšky jedným bodom, ktorý nazývame ortocentrum. Ortocentrum môže mať ľubovoľnú polohu: vo vnútri trojuholníka (ak je trojuholník ostrouhlý), na obvode (ak je pravouhlý) a mimo trojuholníka (ak je tupouhlý). Ťažnica trojuholníka je úsečka, ktorá spája vrchol so stredom protiľahlej strany. Ťažnice prechádzajú jedným spoločným bodom, ktorý voláme ťažisko. Ťažisko delí každú z ťažníc v pomere : 1, pričom dlhšia časť je medzi vrcholom a ťažiskom, a kratšia časť medzi ťažiskom a stredom strany. Stredná priečka trojuholníka je spojnica stredov dvoch strán a je rovnobežná s treťou stranou trojuholníka. Veľkosť strednej priečky sa rovná polovičnej veľkosti strany trojuholníka, s ktorou je rovnobežná. Stredná priečka trojuholníka delí trojuholník na dve časti, ktorých obsahy sú v pomere 1 : 3. Priamku, ktorá prechádza stredom strany trojuholníka a je kolmá na danú stranu, nazývame os strany. Osi strán sa pretínajú sa v jednom bode, ktorý je stredom opísanej kružnice trojuholníku (tento bod je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov trojuholníka). Osi vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý nazývame stred vpísanej kružnice trojuholníka (tento bod je rovnako vzdialený od všetkých strán trojuholníka). 9. Štvoruholník Nech A, B, C, D sú štyri rôzne body, z ktorých žiadne tri neležia na jednej priamke (sú nekolineárne). Spoločnú časť (prienik) polrovín ABC, BCD, CDA, DAB nazývame štvoruholník ABCD. Body A, B, C, D sa nazývajú vrcholy štvoruholníka, úsečky AB, BC, CD, DA sú strany štvoruholníka, úsečky AC, BD sú uhlopriečky štvoruholníka ABCD. Marek Mokriš, 007
9.3 Pravidelné n-uholníky N-uholník ( n 3 ) je časť roviny, ktorá je ohraničená uzavretou lomenou čiarou A A K. N- uholníku patrí aj hranica (uzavretá lomená čiara A A K ). 1 Pravidelným n-uholníkom ( n 3 ) nazývame n-uholník, ktorý má všetky vnútorné uhly rovnako veľké (zhodné). A n 1 A n 9.3.1 Konštrukcie niektorých pravidelných n-uholníkov Štvorec (pravidelný 4-uholník) a pravidelný 8-uholník Zostrojíme dva vzájomne kolmé priemery kružnice s daným polomerom r. Krajné body týchto priemerov sú vrcholy štvorca. Zostrojíme osi strán štvorca, potom ich priesečníky s kružnicou opísanou štvorcu sú, zároveň spolu s vrcholmi daného štvorca, vrcholy pravidelného 8-uholníka. Pravidelný 6-uholník a rovnostranný trojuholník (pravidelný 3-uholník) Úsečku dĺžky r nanesieme šesťkrát za sebou ako tetivu 1 kružnice s daným polomerom r a dostaneme pravidelný 6-uholník. Rovnostranný trojuholník vznikne tak, že spojíme tri nesusedné vrcholy pravidelného 6-uholníka. Pravidelný 1-uholník Zostrojíme osi strán pravidelného 6-uholníka, potom ich priesečníky s kružnicou opísanou tomuto 6- uholníku sú, spolu s vrcholmi daného 6-uholníka vrcholy pravidelného 1-uholníka. Pravidelný 10-uholník a pravidelný 5-uholník Narysujeme kružnicu k(s, r) a pravouhlý trojuholník SAB, pričom zostrojíme bod C, pričom sebou ako tetivu a dostaneme pravidelný 10-uholník. SA = r, r AB =. Na strane SB r BC =. Úsečku SC nanesieme na kružnicu s polomerom r desaťkrát za Pravidelný 5-uholník vznikne tak, že spojíme päť nesusedných vrcholov pravidelného 10-uholníka. Marek Mokriš, 007
9.4 Kružnica, kruh Kružnicou so stredom S a polomerom r > 0 nazývame množinu všetkých bodov X v rovine, ktoré sú od bodu S rovnako vzdialené (t.j. označujeme ( S r) k,. SX = r ). Kružnicu k so stredom S a polomerom r Tetiva je úsečka, ktorej krajné body ležia na kružnici. Priemer je špeciálny prípad tetivy kružnice, ktoré prechádza stredom kružnice. Polomer je úsečka, ktorej jeden hraničný bod je S (stred kružnice) a druhý leží na kružnici. Kružnicovým oblúkom AB kružnice k(s, r) nazývame spoločnú časť (prienik) kružnice a polroviny, ktorej hraničnou priamkou je priamka AB, pričom body A, B patria kružnici. Kruhom K so stredom S a polomerom r > 0 nazývame množinu všetkých bodov X v rovine, ktoré sú od bodu S vzdialené menej alebo rovnako ako r (t. j. SX r ). Hranicu kruhu tvorí hraničná kružnica. Kruh K so stredom S a polomerom r označujeme K(S, r). Kruhový výsek je spoločná časť (prienik) uhla ASB (body A, B ležia na hraničnej kružnici) a kruhu K(S, r). Kruhový odsek je spoločná časť (prienik) kruhového výseku a opačnej polroviny k polrovine ABS. Marek Mokriš, 007
9.5 Obvod a obsah rovinných útvarov Obvod rovinného útvaru je priradenie (funkcia), ktoré rovinnému geometrickému útvaru priradí nezáporné reálne číslo. Pri meraní veľkosti obvodu útvaru porovnávame dĺžku hranice útvaru s jednotkovou úsečkou. Jednotková úsečka je úsečka, ktorej veľkosť je 1 (napr. 1 centimeter). Veľkosť obvodu útvaru je potom číslo, ktoré udáva, koľkokrát sa jednotková úsečka nachádza na hranici útvaru. Základnou jednotkou v sústave SI slúžiacou na meranie dĺžok (obvodu) je jeden meter. Okrem základnej jednotky jeden meter používame aj odvodené jednotky dĺžky, ktorými sú: kilometer (1 km = 1 000 m), decimeter (1 dm = 0,1 m), centimeter (1 cm = 0,01 m), milimeter (1 mm = 0,001 m). V anglicky hovoriacich krajinách sa prevažne používajú tieto jednotky dĺžky: 1 palec (inch) je šírka ľudského palca = 5,4 mm. 1 yard je vzdialenosť od špičky nosa po koniec vystretej ruky = 0,9144 m. 1 stopa (foot) je dĺžka ľudského chodidla = 0,3048 m. 1 anglická míľa = 1609 m Pre určenie obvodu rovinných útvarov používame vzťahy, ktoré nám umožňujú efektívne určiť ich obvod. Uvedieme vzorce pre výpočet obvodu základných rovinných útvarov. ŠTVOREC o = 4 a a veľkosť strany štvorca OBDĹŽNIK o = ( a + b) a veľkosť strany obdĺžnika b veľkosť strany obdĺžnika KOSOŠTVOREC o = 4 a a veľkosť strany kosoštvorca KOSODĹŽNIK o = ( a + b) LICHOBEŽNÍK TROJUHOLNÍK KRUŽNICA o = a + b + c + d o = a + b + c a veľkosť strany kosodĺžnika b veľkosť strany kosodĺžnika a veľkosť strany lichobežníka b veľkosť strany lichobežníka c veľkosť strany lichobežníka d veľkosť strany lichobežníka a veľkosť strany trojuholníka b veľkosť strany trojuholníka c veľkosť strany trojuholníka o = π r r veľkosť polomeru kružnice Marek Mokriš, 007
Obsah rovinného útvaru je priradenie (funkcia), ktoré rovinnému geometrickému útvaru priradí nezáporné reálne číslo. Pri meraní veľkosti obsahu útvaru porovnávame plochu útvaru s jednotkovým štvorcom. Jednotkový štvorec je štvorec, ktorého strana má veľkosť 1 (napr. 1 centimeter). Veľkosť obsahu útvaru je potom číslo, ktoré udáva, koľkokrát sa jednotkový štvorec nachádza v útvare. Základnou jednotkou slúžiacou na meranie veľkosti plochy (obsahu) je jeden meter štvorcový, čo je obsah štvorca so stranou veľkosti jeden meter. Okrem základnej jednotky jeden meter štvorcový, používame pri meraní aj odvodené jednotky obsahu, ktorými sú: kilometer štvorcový 1 km = 1 000 000 m decimeter štvorcový 1 m = 100 dm centimeter štvorcový 1 m = 10 000 cm milimeter štvorcový 1 m = 1 000 000 mm Ďalšími plošnými metrickými jednotkami, ktoré sú všeobecne uznávané, avšak nie sú súčasťou Medzinárodnej sústavy jednotiek SI, sú ár a hektár. Ár (skratka a) je jednotka obsahu, ktorá sa používa v poľnohospodárstve. 1 ár predstavuje veľkosť obsahu štvorca so stranou dĺžky 10 metrov, ide teda o plochu 100 m. Hektár (symbol ha) predstavuje veľkosť obsahu štvorca so stranou veľkosti 100 metrov, čo predstavuje plochu 10 000 m. Pre určenie obsahu rovinných útvarov používame vzťahy, ktoré nám umožňujú efektívne určiť ich obsah. Uvedieme vzorce pre výpočet obsahu základných rovinných útvarov. ŠTVOREC S = a a veľkosť strany štvorca OBDĹŽNIK TROJUHOLNÍK S = a b c S = LICHOBEŽNÍK ( a + c) S = v c v a veľkosť strany obdĺžnika b veľkosť strany obdĺžnika c veľkosť strany trojuholníka v c veľkosť výšky na stranu c a veľkosť strany lichobežníka c veľkosť strany lichobežníka v veľkosť výšky lichobežníka KRUH S = π r r je veľkosť polomeru kruhu Marek Mokriš, 007