ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Αντικίµνο Eίναι η µλέτη ροών και φαινοµένων µταφοράς στο υδάτινο πριβάλλον. Υποσύνολο της Πριβαλλοντικής Ρυστοµηχανικής (Environmental Fluid Mechanics) µ στίαση στο υγρό πριβάλλον (ποτάµια, λίµνς, θάλασσς) Σηµασία Πριβάλλον ρυστό ωκανοί 75% πιφάνιας γης ατµόσφαιρα Μταφορά ουσιών απαραίτητων για τη ζωή Μταφορά ρύπων σ µικρή και µγάλη κλίµακα από ανθρώπινς δραστηριότητς (π.χ. καπνοδόχοι, αγωγοί αποβλήτων, κλπ) ιαφοροποίηση από κλασσική υδραυλική: - ροές κυρίως σ φυσικά υδάτινα σώµατα αντί σ τχνητούς αγωγούς (σωλήνς, διώρυγς, τάφροι) - πέκταση σ και 3 διαστάσις / γωµτρική πολυπλοκότητα - πέκταση σ µγάλς κλίµακς - σηµασία διακυµάνσων (χωρικών, χρονικών) πδίου ταχυτήτων, όχι µόνο µέσς τιµές - ανοµοιογένια ρυστού / στρωµάτωση - έµφαση σ µταφρόµνς ουσίς, διαδικασίς ανάµιξης - διπιφάνις µ ατµόσφαιρα, στρά όρια / αλληλπίδραση - σύνδση µ χηµικές και βιολογικές διργασίς υδάτινη ποιότητα Γνσιουργά αίτια ροών στο υδάτινο πριβάλλον: - Άνµος - Παλίρροια - Εισροές / κροές από όρια (άλλα υδάτινα σώµατα, ατµόσφαιρα, στρά όρια) - ιαφορές πυκνότητας - Πριστροφή γής (Coriolis) - ιαφορές ατµοσφαιρικής πίσης µγάλς κλίµακς Στρωµάτωση: Γνικά ρ = ρ (S, T) διαφορές θρµοκρασίας ή / και αλατότητας οδηγούν σ διαφορές πυκνότητας Μικρές διαφορές πυκνότητας ίναι σηµαντικές Εποχιακές µταβολές θρµοκρασίας ή / και παφή υδάτων µ διαφορτική αλατότητα Χαρακτηριστικές ξισώσις: ρ = 000 + σ t (σ kg/m 3 ), όπου σ t από διαγράµµατα ή πίνακς ρ = ρ 0 [- α (Τ α -Τ 0 ) β (S S 0 )] όπου ρ 0 = 08 kg/m 3, Τ = 0 ο C = 83 o K, S ο = 0,035 4 o 4 α =,7 0 / K β = 7,6 0
ιάγραµµα µταβολής του σ t για το θαλάσσιο νρό, συναρτήσι της θρµοκρασίας και αλατότητας
. ιαστατική Ανάλυση Αρχή διαστατικής οµογένιας: Στη µαθηµατική διατύπωση νός φυσικού νόµου, όλοι οι όροι της ξίσωσης έχουν τις ίδις διαστάσις. Συνέπια Η ξίσωση αυτή µπορί να κφραστί ως σχέση αδιάστατων όρων (µονωνύµων) Θώρηµα Π (Buckingham) Κάθ διαστατικά οµογνής συνάρτηση n µταβλητών που κφράζονται µ [πριέχουν] m θµλιώδη µγέθη (m < n) µπορί να γραφί ως συνάρτηση n- m µονωνύµων Π [αυστηρότρα, n r µονωνύµων, όπου r ο βαθµός του πίνακα των διαστάσων των µταβλητών]. - Θµλιώδη µγέθη στη µηχανική Μήκος (L), Χρόνος (T), Μάζα (Μ) ιαδικασία : - Καταγραφή των µταβλητών του προβλήµατος (και των διαστάσων τους ) γνωστός ο αριθµός των Π. - Οµαδοποίηση των µταβλητών ανά m +, χρησιµοποιώντας m παναλαµβανόµνς µταβλητές (που πριέχουν τα m θµλιώδη µγέθη) - Επίλυση συστήµατος ξισώσων διαστάσων για κάθ όρο Π βάζοντας αυθαίρτο κθέτη (ή ) στην κάστοτ διαφορτική µταβλητή. Παράδιγµα: Αντίσταση στη ροή σ σωλήνα. - Η διατµητική τάση (τριβή) στα όρια σωλήνα, τ ο, κτιµούµ ότι ξαρτάται από τη διάµτρο D, την ταχύτητα V, την τραχύτητα του σωλήνα k s και την πυκνότητα ρ και συνκτικότητα µ του υγρού, δηλ. τ ο = φ (D, V, k s, ρ, µ) ή φ (τ ο, D, V, k s, ρ, µ) = 0 Eχουµ 6 µταβλητές (n = 6) που πριέχουν τα 3 θµλιώδη µγέθη, δηλ. µάζα, µήκος και χρόνο (m = 3). Άρα n m = 3 όροι Π. Θέτουµ : x y z D x Π = ρ V τo, Π = ρ y z D µ x3 y3 z3 V, Π 3 = ρ V D k s Εξίσωση διαστάσων για το Π : o o o 3 x y z [M L T ] = [ML ] [LT ] [L} [ML T ] x + = 0 3x + y + z = 0 x =, y =, z = 0 y = 0 τ 0 µ k άρα Π =, οµοίως Π =, s Π3 = ρv ρvd D τ o µ ks τ k s δηλ. Φ(,, ) = 0 ή f = o (Re, ) = f.. διάγραµµα Moody! ρv ρvd D ρ V D 3
3. Φαινόµνα Μταφοράς 3. Βασικές έννοις Συγκέντρωση c = λόγος µάζας συστατικού προς ολική µάζα µίγµατος δma c = (καθαρός αριθµός) δm ή λόγος µάζας συστατικού προς όγκο µίγµατος δma c = (π.χ. mg/l) δu Για δu 0 c = c (x, y, z, t) ιάλυση Ως διάλυση κατ αρχήν ορίζται το αντίστροφο της συγκέντρωσης (µάζας) και ίναι καθαρός αριθµός που δίχνι πόσς φορές µγαλύτρη ίναι η µάζα του µίγµατος από τη µάζα της θωρούµνης ουσίας. Αυστηρά ισχύι για συστατικά τα οποία διαλύονται στο νρό, όµως χρησιµοποιίται υρύτρα και για µη διαλυτά (π.χ. αιωρούµνα στρά). Συνήθως ο όρος διάλυση χρησιµοποιίται για να κφράσι την αραίωση, δηλαδή πόσς φορές πιπλέον µιώνται η µάζα (συγκέντρωση) της ουσίας µέσα σ στοιχιώδη µάζα ή όγκο του αποδέκτη µτά την ισαγωγή της σ αυτόν. Αν c e η συγκέντρωση µιας ουσίας σ δδοµένη πηγή, η διάλυση S και η συγκέντρωση c σ τυχόν σηµίο του αποδέκτη συνδέονται µ τη σχέση: ce S = c Αν προϋπάρχι συγκέντρωση c o της ουσίας µέσα στον αποδέκτη, τότ αυτή γνικύται S = c e c c c o o Συχνά η διάλυση (αραίωση) κφράζται και µ τη µορφή :S. 4
3. Μτάθση ή Μταγωγή (Advection) Κίνηση / µταφορά από ξωγνές πδίο ταχυτήτων Χριάζται γνώση του πδίου ταχυτήτων - από µτρήσις - από πίλυση ξισώσων πριγραφής της ροής µ γνωστά γνσιουργά αίτια Η πρόβλψη δύσκολη αν υπάρχι (όπως συνήθως) χρονική και τοπική µταβλητότητα Πδίο ταχυτήτων σ πριορισµένη κλίµακα µπορί να ξαρτάται από φαινόµνα υρύτρης κλίµακας Ενργητικές και παθητικές ουσίς: παθητικές χαρακτηρίζονται κίνς που δν πηράζουν το πδίο ταχυτήτων (π.χ. χρωστικές ίδιου ιδ. βάρους) νργητικές ίναι κίνς που πηράζουν το πδίο ταχυτήτων, ισάγοντας συνήθως διαφορές πυκνότητας, π.χ. η θρµότητα, συγκέντρωση άλατος, τα αιωρούµνα στρά αλληλπίδραση µταφρόµνης ουσίας και πδίου ροής απαίτηση συνδυασµένης πίλυσης των ξισώσων ροής και µταφοράς µάζας. Ανάγκη απλοποιητικών παραδοχών 5
3.3. ιάχυση (Μοριακή) ιάχυση ίναι το φαινόµνο µταφοράς ουσίας που πριέχται σ υγρό οφιλόµνη σ διαφορά συγκέντρωσης. Η µοριακή διάχυση διέπται από τον Νόµο του Fick, σύµφωνα µ τον οποίο η µταφορά q (ανά µονάδα πιφάνιας) ίναι ανάλογη της κλίσης της συγκέντρωσης στην αντίστοιχη διύθυνση, κατυθυνόµνη από υψηλές προς χαµηλές συγκντρώσις. q ( x) = D dc dx όπου D = συντλστής µοριακής διάχυσης αποτλί ιδιότητα του ζύγους {µταφρόµνη ουσία, υγρό}. Γνίκυση, σ πρισσότρς διαστάσις: q = D C δηλ. q x = D, q y = D, q z = D. y z Εξίσωση ισοζυγίου µάζας σ µια διάσταση: Αν σ έναν όγκο αναφοράς x y z υπάρχι συγκέντρωση c (x,t) και ισροές/κροές q, q q + x ανά µονάδα πιφάνιας, τότ q x y z [q (q + x)] y z = 0 q + = 0 c και αφού q = D = D Βασική ξίσωση ιάχυσης ή Θρµότητας 6
Γνίκυση ξίσωσης διάχυσης σ ή 3 διαστάσις: c = D C c c c δηλ. = D( + + ) y z Βασικό χαρακτηριστικό άµβλυνση διαφορών, τάση προς οµογνοποίηση µ την πάροδο του χρόνου. Θµλιώδης λύση: Για µοναδιαία ποσότητα (Μ) που ισάγται στιγµιαία σ χρόνο t = 0 στη θέση x = 0, η λύση της µονοδιάστατης ξίσωσης ίναι: C = M x exp( ) 4πDt 4Dt Μορφή καµπύλης Gauss µ µέση τιµή = 0 και τυπική απόκλιση αυξανόµνη µ την πάροδο του χρόνου dσ = D ή σ = Dt dt νώ η µέγιστη τιµή της συγκέντρωσης στη θέση x = 0 µιώνται µ την πάροδο του χρόνου M C max = 4πDt Επέκταση σ ή 3 διαστάσις, για συνχή πηγή κλπ (βλ. βιβλιογραφία) 7
3.4 Μτάθση ιάχυση Στην πρίπτωση που συνυπάρχι µτάθση και διάχυση κατά τη διύθυνση x, η ξίσωση διατήρησης της µάζας γράφται: (uc) q + + = 0 και µ q = D ( uc) c + = D c Για u = σταθ, αυτή γράφται + u = D µτάθσης διάχυσης. και αποτλί τη µονοδιάστατη ξίσωση Η πέκταση της σ ή 3 διαστάσις ίναι προφανής. 3.5 Απώλις Η απώλια της µταφρόµνης ουσίας λόγω χηµικών, βιολογικών ή άλλων διργασιών κφράζται στην απλούστρη πρίπτωση (µ απουσία µτάθσης και διάχυσης) από ξίσωση της µορφής. dc dt = αc ή c αt = c o e όπου α σταθρός συντλστής Η ξίσωση αυτή χαρακτηρίζται ως κινητική πρώτης τάξως. Σ πρίπτωση που λαµβάνι χώρα και απώλια, η ξίσωση µτάθσης διάχυσης γίνται: + u c = D αc 8
3.6 Τυρβώδης ιάχυση Έννοια της τύρβης Σύνολο στροβίλων, διαφόρων κλιµάκων µήκους, χρόνου και προσανατολισµών Βασικό χαρακτηριστικό της τύρβης ίναι η ακανόνιστη κίνηση των ρυστών σωµατιδίων και η έντονη ανάµιξη των γιτονικών στρώσων του ρυστού και άρα των πριχοµένων ουσιών. Ταχύτητα στην τυρβώδη ροή u = u + u' όπου u = T t+ T u' = u u t udt ( uc) Στην ξίσωση + = ( D ) θέτοντας όρους: u = u + u', c = c + c' προκύπτι µτά από πράξις και παίρνοντας χρονικά µέσους (uc) + = (D ) (u'c') όπου u 'c' = T t+ T t u'c'dt Βασική παραδοχή: u'c' =, δηλ. η µταφορά λόγω τυρβωδών διακυµάνσων ίναι x ανάλογη προς την κλίση της µέσης συγκέντρωσης. Τότ η ξίσωση γράφται: (uc) + = (D + x ) 9
Ο συντλστής x ονοµάζται συντλστής τυρβώδους διάχυσης. ν αποτλί ιδιότητα του ζύγους ουσία ρυστό, όπως ο D, αλλά της ροής, ίναι ν γένι µταβλητός στο χώρο, και µγαλύτρος του D κατά τάξις µγέθους, x >> D. Εποµένως η µοριακή διάχυση στην παραπάνω ξίσωση µπορί να αµληθί. Παραλίποντας και τις πιγραµµίσις, (uc) + = ( ) x x Γνικότρα, στον διδιάστατο ή τριδιάστατο χώρο, ο συντλστής τυρβώδους διάχυσης ίναι τανυστής β τάξης, της µορφής = xx yx xy yy ή = xx yx zx xy yy zy xz yz zz 0
3.7 ιασπορά (λόγω διάτµησης) Το φαινόµνο της διασποράς συνίσταται στη σχτική αποµάκρυνση των µταφρόµνων σωµατιδίων λόγω των διαφορτικών ταχυτήτων ροής στο χώρο, και ιδικότρα των αποκλίσων του πδίου ταχυτήτων από κάποια «µέση» (χωρικά) τιµή. Στην πραγµατικότητα αποτλί συνέπια της απλοποιηµένης πριγραφής του πδίου ταχυτήτων, για λόγους µαθηµατικής απλοποίησης του προβλήµατος. Στο ικονιζόµνο παράδιγµα, αν η πριγραφή του πδίου ταχυτήτων γίνι στον διδιάστατο χώρο (x,z), η µταφορά της ουσίας πριγράφται παρκώς από τη µτάθση και την (τυρβώδη) διάχυση. Αν όµως η πριγραφή γίνι στο µονοδιάστατο χώρο µ τη µέση τιµή της ταχύτητας, µφανίζται µια σηµαντική «φαινοµνική» ξάπλωση της ουσίας, που θα πρέπι να ληφθί υπόψη, και κφράζται µ έναν συντλστή «διασποράς». Αν û ίναι η µέση (χωρικά) ταχύτητα πί της διατοµής, η τοπική ταχύτητα u κφράζται ως u = û +u, όπου u η (τοπική) απόκλιση από τη µέση τιµή, και ανάλογα c = ĉ + c. Εισάγοντας τις κφράσις αυτές στην ξίσωση µτάθσης διάχυσης (µ x έστω σταθρό), κάνοντας πράξις και παίρνοντας τις µέσς τιµές των όρων πί της διατοµής, προκύπτι ) ) )) d c ) + ( uc) = x ( u' ' c'') όπου u ' ) ' c'' = u'' c' ' da A A ) ) Βασική παραδοχή ( κατά G.I. Taylor) u' ' c'' = E δηλ. η µταφορά λόγω των x τοπικών αποκλίσων ίναι ανάλογη της κλίσης της µέσης συγκέντρωσης. Ο συντλστής Ε x λέγται συντλστής διασποράς και ξαρτάται από τις λπτοµέρις της κατανοµής των ταχυτήτων. Στον διδιάστατο χώρο αποδικνύται ότι αυτός αποτλί τανυστή β τάξης ExxExy E = E yxe yy
Τλικά, προκύπτι η λγόµνη ξίσωση διασποράς µ την ξής µορφή (παραλίποντας το σύµβολο ˆ για τις µέσς τιµές πί της διατοµής) + u = (E ) c x, όπου στον συντλστή διασποράς Ε x νσωµατώνονται οι x και D, δδοµένου ότι συνήθως ίναι Ε x > x >> D. E Ευρύτρα, µ τον όρο διασπορά χαρακτηρίζται το σύνολο των µηχανισµών που διέπουν την ξάπλωση µιας ουσίας µέσα σ έναν (υδάτινο) αποδέκτη, δηλ. µταγωγή τυρβώδης διάχυση διασπορά λόγω διάτµησης. Αποδικνύται ότι ο συντλστής διασποράς µπορί να υπολογιστί από τη σχέση (σ χώρο x,z): = h h o { z z x o u''dz} dz όπου h το ύψος της διατοµής και z ο συντλστής κατακόρυφης τυρβώδους διάχυσης BΑΣΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. H. B. Fischer, E.J. List, R.C.Y. Koh, J. Imberger, N. Brooks, Mixing in Inland and Coastal Waters, Academic Press, 979.. Ι. ηµητρίου, «Πριβαλλοντική Υδραυλική», ΕΜΠ, 994. 3. V. P. Singh and W.H. Hager, Environmental Hydraulics, Springer, 996.