ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει τον ριθμό. Άρ: Αν είνι 0 τότε κι 0 ή ν 0 τότε ( ) ΑΜΕΣΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Ότν ο ριθμός είνι θετικός μπορούμε ν γράψουμε. Επειδή είνι 0 0 ορίζουμε ότι 0 0. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Γι τους y ισχύει: y.στις πρκάτω ερωτήσεις ν επιλέξετε τη σωστή πάντηση: Α Β Γ ) Ο είνι: Θετικός ή μηδέν ρνητικός ή μηδέν Οποιοσδήποτε ριθμός ) Ο y είνι: Θετικός ή μηδέν ρνητικός ή μηδέν Οποιοσδήποτε ριθμός Ισχύει η σχέση: y y y ΑΠΑΝΤΗΣΗ ) Είνι το Α λόγω του ορισμού της τετργωνικής ρίζς. ) Είνι το Α λόγω του ορισμού της τετργωνικής ρίζς. Είνι το Β λόγω του ορισμού της τετργωνικής ρίζς.
8 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Η εξίσωση 6 έχει ρίζες: Α: μόνο το Β: μόνο το - Γ: το κι το -. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έχει το κι το - γιτί 6 κι (-) 6. Οπότε σωστό είνι το Γ.. Ν ντιστοιχίσετε σε κάθε ριθμό της στήλης Α την τετργωνική του ρίζ που ρίσκετι στη στήλη Β. ΣΤΗΛΗ Α ) ) 6 ΣΤΗΛΗ Β ί) 6 ii) iii) iv) 8 v) vi) 8 vii) 6 viii) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Είνι: ii γιτί viii γιτί 6 γ iii γιτί δ v γιτί. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με το γράμμ Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). ) 6 8 ) 6 0 0 ε) στ) η 0 δεν υπάρχει ζ) η) 6 + θ) - - ι) 00 0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ ) 6 8 είνι λάθος γιτί 6 (Λ) ) 6 είνι λάθος γιτί (Λ)
ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ είνι σωστό γιτί (Σ) 0 0 είνι λάθος γιτί 0 00 (Λ) ε) είνι λάθος γιτί έχουμε ρίζ ρνητικού ριθμού που δεν έχει νόημ (Λ) στ) η 0 δεν υπάρχει είνι λάθος γιτί υπάρχει κι είνι 0 0 ζ) είνι λάθος γιτί (Λ) η) 6 + είνι σωστό γιτί 6 + (Σ) θ) είνι λάθος γιτί 6 (Λ) ι) 00 0 είνι λάθος γιτί 00 0 γιτί 0 00 (Λ). Αν είνι ένς θετικός ριθμός στις πρκάτω προτάσεις ν επιλέξετε τη σωστή πάντηση. Α Β Γ Δ Ε Αν τότε 0 Αν τότε 8 ±8 Αν τότε 6 8 Η σχέση είνι δύντη Η σχέση είνι δύντη Η σχέση είνι δύντη Αν 00 0 0 00 ±0 Η σχέση είνι δύντη ΑΠΑΝΤΗΣΗ. είνι το Β γιτί. είνι το Β γιτί 8. είνι το Ε γιτί η ρίζ είνι πάντ θετικός ριθμός κι εδώ -6<0. είνι το Α γιτί 00 00 κι 0 00.Είνι κι ( 0) 00 λλά δεν μπορεί ν είνι 00-0
60 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ Ν υπολογίσετε τις επόμενες τετργωνικές ρίζες. ) 8 08 800 ) 00 00 0000 00 00 00 6 ) ) 8 08 0 800 0 00 0 00 0 0000 00 00 0 00 0 00 0 7 6 6 ) ) 8 γιτί 08 0 γιτί 0 800 0 γιτί 0 γιτί 00 0 γιτί 0 8 00 0 γιτί 0 0000 00 γιτί 00 γιτί γιτί 00 0 γιτί 0 08 800 00 00 00 0 γιτί 0 00 0 7 6 6 γιτί γιτί γιτί γιτί 0 7 6 0000 00 6 00 00
ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 6 ΑΣΚΗΣΗ Ν υπολογίσετε τους ριθμούς: ) 6 ) 8 +8 8.8 ( 8) ) ) 6 6 8 +8 6 6 8.8 8 ( 8) 8 8 ) ) 6 6 γιτί 6 6 8 +8 6 6 8.8 8 8 γιτί ν 0 τότε ( 8) 8 γιτί ν 0 τότε ( ) ΑΣΚΗΣΗ Ν τοποθετήσετε σε κάθε τετράγωνο(πύλ) ένν κτάλληλο ριθμό ώστε ν ισχύει η ντίστοιχη ισότητ. ) ) ( ) + 6 ) ) ε) στ) + ε) ( ) - + 6 8 + 0 ( ) + 6 - ) ) ε) 0 στ) ( ) + 6 ( ) γιτί γι > 0 τότε ( ) + 6 γιτί + 6 κι 6 8 + γιτί - γιτί 0 γιτί πρέπει - κι κι 6 στ) ( ) + 6 γιτί γι > 0 τότε ( ) Είνι κι ( ) + + 6 επίσης ( ) + 6 + 6 επίσης ( ) + κόμ είνι ( ) + + 6 κι τέλος ( 6) + 0 6 + 0 6 είνι 8 + 6 είνι
6 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ν ποδείξετε ότι: ) + ) + + 7 + + + ) ) + + 7 + 7 + + + + + 7 + ΑΣΚΗΣΗ + + + 7 + 7 + + + 7 + + + + + ) ντικθιστούμε τις ρίζες κι μέσ στην υ- πόρριζη ποσότητ κι κάνουμε τις πράξεις οπότε προκύπτει το ζητούμενο ποτέλεσμ. ) Εδώ ξεκινάμε ν κάνουμε τις - ντικτστάσεις πό τ μέσ προς τ έξω στις υπόρριζες ποσότητες. Όλες οι προκύπτουσες ρίζες είνι γνωστές κι μετά πό πράξεις προκύπτει το ζητούμενο ποτέλεσμ. Ακολουθούμε την ίδι πορεί όπως κι στο προηγούμενο ερώτημ. Ν υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά των πρκάτω ορθογωνίων τριγώνων. 6 y 8 7 γ 6 8 0 ω
ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 6 6 6 + 6 00 + 8 Επομένως 00 0 γιτί 0 00 Από το πυθγόρειο θεώρημ στο πρώτο τρίγωνο Αντικθιστούμε τις δυνάμεις με το ίσο τους. Κάνουμε τις πράξεις Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετργωνικής ρίζς. y y y y 6 Επομένως γιτί 6 Επομένως 6 γιτί 6 Ομοίως στο δεύτερο ορθογώνιο τρίγωνο Εδώ θ μπορούσμε ν πούμε ότι είνι κι y- γιτί y ( ) λλά επειδή το y εκφράζει μήκος πορρίπτετι.. Ομοίως στο τρίτο ορθογώνιο τρίγωνο Κι εδώ θ μπορούσμε ν πούμε ότι είνι κι y- γιτί y ( ) 6 λλά επειδή το y εκφράζει μήκος πορρίπτετι.. γ γ γ γ + 0 + 00 8 Επομένως 8 γιτί 7 6 Επομένως γιτί 8 Ομοίως στο τέτρτο ορθογώνιο τρίγωνο Ομοίως κι εδώ πορρίπτετι η λύση y-. Ομοίως στο πέμπτο ορθογώνιο τρίγωνο Ομοίως κι εδώ πορρίπτετι η λύση y-. ω ω ω ω 8 6 7 6 Επομένως 77 γιτί 77 ΑΣΚΗΣΗ 6 Ομοίως στο έκτο ορθογώνιο τρίγωνο Ομοίως κι εδώ πορρίπτετι η λύση y-77.
6 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ν ρείτε τους θετικούς ριθμούς που ικνοποιούν τις εξισώσεις: ) ) ) ) Είνι (- ) Είνι 6 Είνι 00 Είνι 8 (- ) (- 8) 0 - κι 6 κι 6 κι 8 00 8 κι 0 00 8 άρ άρ 6 άρ 8 00 0 άρ 8 Σε όλες τις περιπτώσεις επειδή το είνι θετικός ριθμός πό τους δύο ριθμούς που δίνουν το ίδιο ποτέλεσμ πίρνουμε τον θετικό ριθμό ΑΣΚΗΣΗ 7 Ν υπολογίσετε το ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ του διπλνού σχήμτος. Α 7 7 Δ Β Γ ΑΔ ΑΔ ΑΔ ΑΔ ΑΔ γιτί ΑΒ 7 6 ΒΔ Εφρμόζουμε το πυθγόρειο θεώρημ στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ Αντικθιστούμε τις τιμές των πλευρών που μς δώσνε (στην θέση της ΒΔ άζουμε το μισό της πλευράς ΒΓ λόγω του ότι η ΑΔ είνι ύψος ισοσκελούς τριγώνου κι τέμνει την άση ΒΓ στο μέσο. Αντικθιστούμε τις δυνάμεις με το ίσο τους Κάνουμε τις πράξεις Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετργωνικής ρίζς. ΑΣΚΗΣΗ 8 δ 6 m 7 m
ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 6 Ν υπολογίσετε τη διγώνιο ενός ορθογωνίου γηπέδου που έχει διστάσεις 6 m κι 7 m. δ δ δ δ 7 8 + 0 + 6 Εφρμόζουμε το πυθγόρειο θεώρημ σε έν πό τ δύο ορθογώνι 0 7m τρίγων που χωρίζει η διγώνιος δ το ορθογώνιο(είνι ίσ ). Αντικθιστούμε τις τιμές των διστάσεων που μς δώσνε Κάνουμε τις πράξεις Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετργωνικής ρίζς. ΑΣΚΗΣΗ Το τετράγωνο ενός θετικού ριθμού ν υξηθεί κτά 8 γίνετι ίσο με το τριπλάσιο του τετργώνου του ριθμού υτού. Ποιος είνι ο ριθμός υτός; 8 8 + 8 8 Έστω ο ζητούμενος ριθμός τότε δημιουργούμε την εξίσωση (δευτέρου θμού) κολουθώντς την εκφώνηση του προλήμτος (προσοχή το πρόλημ λέει το τριπλάσιο του τετργώνου κι όχι το τετράγωνο του τριπλσίου).κτόπιν χωρίζουμε γνωστούς πό γνώστους. Διιρούμε με τον συντελεστή του γνώστου. Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετργωνικής ρίζς. Εδώ θ μπορούσε ν ήτν λύση του προλήμτος κι ο ριθμός - λλά το πρόλημ μιλά γι θετικό ριθμό. Επομένως ο ζητούμενος ριθμός είνι το Επλήθευση: +8+8.. ΑΣΚΗΣΗ 0 Στο πρκάτω σχήμ ν ρείτε το μήκος
66 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 6 + + 6 γ γ γ γ 8+ + 7 8 6 6 8 Εφρμόζουμε διδοχικά το πυθγόρειο θεώρημ ρχίζοντς πό το ορθογώνιο τρίγωνο (με πλευρές ) πό το οποίο ρίσκουμε το. Κτόπιν χρησιμοποιώντς την τιμή του που υπολογίσμε ρίσκουμε κι την τιμή του κτόπιν ομοίως του γ κι τέλος την τιμή του ζητούμενου. ΑΣΚΗΣΗ Ν συγκρίνετε τους ριθμούς στις πρκάτω δύο περιπτώσεις: ) Αν > π.χ. 6... ) Αν 0<< π.χ.... 6 Τι πρτηρείτε; ) ) 6 ΑΣΚΗΣΗ 6 6 6 6 οπότε 8 6 οπότε 8οπότε 6 οπότε οπότε 6 οπότε < < < < > > > > > > < < Ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ:. 6 Τι συμπερίνετε; Σε κάθε περίπτωση είτε > είτε 0<< χρησιμοποιώντς τον ορισμό της τετργωνικής ρίζς κι της δύνμης σε κάθε πράδειγμ υπολογίζουμε το ντίστοιχο ριθμητικό ποτέλεσμ κι διτάσσουμε τους ριθμούς κι. Πρτηρούμε ότι εάν > τότε > < \ > ενώ ν 0<< τότε < <
ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 67... 6. 6 6 6 6 6 7 6. 6.7 6. 76. ΑΣΚΗΣΗ Πρτηρούμε ότι σε κάθε περίπτωση ότι ισχύει η διπλνή σχέση δηλδή ότι το γινόμενο των τετργωνικών ριζών δύο θετικών ριθμών είνι ίσο με τη τετργωνική ρίζ του γινομένου τους Ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ: 6 6 Τι συμπερίνετε; 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Πρτηρούμε ότι σε κάθε περίπτωση ότι ισχύει η διπλνή σχέση δηλδή ότι το πηλίκο των τετργωνικών ριζών δύο θετικών ριθμών είνι ίσο με τη τετργωνική ρίζ του πηλίκου τους. ΑΣΚΗΣΗ Ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ: + 6 6 6 + Τι συμπερίνετε;
68 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ + + 6 6 + 6 + 7 +6 6 6 6 8 6 6 6 + 6 8 + 6 6 + 6 00 0 + + Πρτηρούμε ότι σε κάθε περίπτωση ότι ισχύει η διπλνή σχέση δηλδή ότι το άθροισμ των τετργωνικών ριζών δύο θετικών ριθμών δεν είνι ίσο με τη τετργωνική ρίζ του θροίσμτος τους. ΓΙΑ ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΗ. Ρώτησν έν μθημτικό του 0 ου ιών πόσων ετών είνι. Αυτός πάντησε ως εξής: Η τετργωνική ρίζ του έτους που γεννήθηκ είνι κριώς ίση με τη σημερινή ηλικί. Πόσων ετών ήτν πότε γεννήθηκε κι ποι χρονολογί έγινε η ερώτηση; Απάντηση Ανζητούμε τους ριθμούς οι οποίοι είνι τετράγων φυσικών ριθμών κι ρίσκοντι μετξύ του 0 κι του 000 φού υτά είνι τ έτη του 0 ου ιών. Μετά πό διδοχικές δοκιμές πρτηρούμε ότι: 8<0 6 γι το οποίο είνι 0<6<000 κι 0>000. Άρ γεννήθηκε το 6 διότι μόνο υτός ο ριθμός είνι το τετράγωνο φυσικού ριθμού ότν του έγινε η ερώτηση ήτν ετών διότι υτός είνι ο φυσικός ριθμός που τετργωνιζόμενος μς δίνει το έτος γέννησης. Η ερώτηση έγινε το έτος 6+80.. Μπορείτε ν λλάξετε την θέση ενός μόνο σπίρτου ώστε ν προκύψει μι πλήρης ισότητ; Απάντηση