- PDF ΔΩΡΕΑΝ Λήψη

Μαθηματική και υπολογιστική μοντελοποίηση βιολογικών συστημάτων και εφαρμογές Μέρος Ι: Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση Βακερουδης Σταυρος E-mail: stavros.vakeroudis@gmail.com Ιστοσελίδα: https://svakeroudis.wordpress.com/ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 19 Δεκεμβρίου, 2016

Κίνητρα Υπολογιστική Βιολογία: Περιστροφή ενός επίπεδου πολυμερούς (α) (β) Σχήμα: (α) Ελεύθερο πολυμερές στο κυτταρόπλασμα, και (β) μία περιστροφή πολυμερούς σε 3 διαστάσεις. Για άλλες πληροφορίες/εφαρμογές: http://www.biologie.ens.fr/bcsmcbs/ Σ. Β.,M. Yor and D. Holcman (2011). The Mean First Rotation Time of a planar polymer. J. Stat. Phys., Vol. 143, n. 6, p. 1074-1095. 2 / 20

Πλάνο 1 Κίνηση Brown Τυχαίος περίπατος και Κίνηση Brown Ορισμός και Ιδιότητες της Κίνησης Brown 2 Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση Στοχαστικό Ολοκλήρωμα It^o Φόρμουλα του It^o 3 Επίπεδη Κίνηση Brown και Περιελίξεις (windings) Εισαγωγή Αναπαράσταση skew product Χρόνοι εξόδου από έναν κώνο Ταυτότητα του Bougerol 3 / 20

Κίνηση Brown Εισαγωγή - τυχαίος περίπατος Εστω τυχαίος περίπατος (αρχόμενος από το 0): n X n = Y i, όπου Y i, i = 1,..., n i.i.d. με P(Y i = 1) = P(Y i = 1) = 1 2. i=1 Σχήμα: 8 πραγματοποιήσεις του παραπάνω τυχαίου περίπατου. 4 / 20

Κίνηση Brown Διαισθητική προσέγγιση Εν συνεχεία, σε κάθε t κάνουμε βήμα x. Με n t = t/ t, έχουμε: n t X t = ( x) Y i. i=1 Παίρνουμε: x, t 0 (πρέπει x = σ t) και προκύπτει Στοχαστική Ανέλιξη συνεχούς χρόνου. Σχήμα: 1 πραγματοποίηση της μονοδιάστατης Κίνησης Brown. 5 / 20

Κίνηση Brown Βασικές Ιδιότητες Εστω χώρος Πιθανότητας (Ω, F, (F t ), P), όπου: Ω: ο δειγματικός χώρος (το σύμπαν όλων των δυνατών αποτελεσμάτων), F: το σύνολο των πιθανών ενδεχομένων, όπου ένα ενδεχόμενο είναι ένα υποσύνολο του Ω (σ -άλγεβρα), P: μέτρο πιθανότητας, (F t ) t 0 : διύλιση ή διήθηση (ltration) που μοντελοποιεί την εξέλιξη των πληροφοριών που έχουμε ως προς το χρόνο. ΟΡΙΣΜΟΣ Λέμε ότι μία Ανέλιξη είναι F t -προσαρμοσμένη (F t -adapted) αν είναι F t -μετρήσιμη δηλαδή αν γνωρίζουμε πληροφορίες μέχρι τη χρονική στιγμή t, τότε και η τιμή της Ανέλιξης τη χρονική στιγμή t είναι γνωστή. ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε χρόνο διακοπής (stopping time) μίας διύλισης F t έναν τυχαίο χρόνο T τέτοιον ώστε το ενδεχόμενο {T t} F t, t > 0. 6 / 20

Κίνηση Brown Ορισμός ΟΡΙΣΜΟΣ Η Στοχαστική Ανέλιξη (συνεχούς χρόνου) (B t, t 0) ονομάζεται Κίνηση Brown αν ισχύουν τα παρακάτω: (i) B 0 = 0, (ii) t > 0, B t N (0, t), (iii) (ανεξάρτητες προσαυξήσεις) 0 t 1 < t 2 <... < t k, B t2 B t1, B t3 B t2,..., B tk B tk 1 είναι ανεξάρτητές, (iv) (στάσιμες προσαυξήσεις) s, t > 0, B t+s B t (law) = B s B 0, (v) οι τροχιές (B t, t 0) είναι σχεδόν βεβαίως συνεχείς. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Οι τροχιές (B t, t 0) είναι σ.β. ΠΟΥΘΕΝΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ. 7 / 20

Κίνηση Brown Βασικές Ιδιότητες (i) Η (B t, t 0) είναι Μαρκοβιανή Ανέλιξη, δηλαδή: P[B t+s D B u, 0 u t] = P[B t+s D B t ]. (ii) Η (B t, t 0) είναι martingale ως προς A t = σ(b t, 0 u t): (B t) t 0 προσαρμοσμένη στην A t, E[ B t ] <, t, E[B t A s] = B s, s < t. Άλλα martingales ως προς A t (άσκηση): B 2 t t, exp{λb t λ2 t 2 }. ΠΡΟΤΑΣΗ (i) Ομογένεια ως προς το χρόνο: s > 0, (B t+s B s ) t 0 : Κίνηση Brown ανεξάρτητη από σ(b u, u s). (ii) Συμμετρία: ( B t, t 0): Κίνηση Brown. (iii) Scaling: c > 0, (cb t/c 2, t 0): Κίνηση Brown. (iv) Αντιστροφή χρόνου: X 0 = 0, (X t = tb 1/t, t > 0):Κίνηση Brown. (v) Με t [0, 1], B 1 t B 1 : Κίνηση Brown στο [0, 1]. (vi) Αναστροφή χρόνου: δοθέντος σταθερού u, B s (law) = B u B s. 8 / 20

Στοχαστικό Ολοκλήρωμα Εισαγωγή (C x ) x 0 : Στοχαστική Ανέλιξη. Πώς ορίζεται το t 0 C xdb x ; Γνωρίζουμε ότι: t 0 f (x)dg(x) = lim max(t i t i 1 ) 0 n f (y i )[g(t i ) g(t i 1 )], i=1 όπου 0 = t 0 < t 1 <... < t n = t, y i [t i 1, t i ]. Μία πρώτη σκέψη είναι να κάνουμε κάτι παρόμοιο: ( t 0 C x db x ) (ω) = lim max(t i t i 1 ) 0 n C yi (ω)[b ti (ω) B ti 1 (ω)]. ΠΡΟΒΛΗΜΑ: t B t (σ.β.) πουθενά παραγωγίσιμη, συνεπώς το όριο δεν υπάρχει για όλα τα (C x ). i=1 9 / 20

Στοχαστική Ανάλυση Στοχαστικό Ολοκλήρωμα Itô ΟΡΙΣΜΟΣ (Στοχαστικό Ολοκλήρωμα Itô) t n C x db x = L 2 lim C ti 1 [B ti B ti 1 ]. 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ max(t i t i 1 ) 0 i=1 Εδώ το αποτέλεσμα εξαρτάται από το y i [t i 1, t i ]. Γι αυτό επιλέγουμε y i = t i 1. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Τετραγωνική Διακύμανση της Κίνησης Brown (0 = t 0 < t 1 <... < t n = t, i B = B ti B ti 1, i t = t i t i 1 ): n ( i=1 ib) 2 L 2 t. t i 0 Αλλιώς: (db t ) 2 = dt. 10 / 20

Στοχαστική Ανάλυση Φόρμουλα του Itô Κανόνας της αλυσίδας (chain rule): df (g(x)) = f (g(x + dx)) f (g(x)) = [f (g(x))] dx + f (g(t)) f (g(0)) = t 0 df (g(x)) = t 0 [f (g(x))] dx = Φόρμουλα του Itô: (επέκταση κανόνα αλυσίδας) df (B x ) = f (B x+dx ) f (B x ) = f (B x )db x + f (B x ) 2 Συνεπώς [f (g(x))] 2 t 0 (dx) 2 +... f (g(x))dg(x). (db x ) 2 +.... }{{} dx f (B t ) f (B 0 ) = t Παράδειγμα: t 0 B xdb x =; 0 df (B t ) = t 0 f (B x )db x + 1 2 t 0 f (B x )dx. 11 / 20

Στοχαστική Ανάλυση Επέκταση της Itô Φόρμουλα Εστω τώρα f : R 2 R, f C 2 με μερικές παραγώγους f 1, f 2, f 11, f 12, f 22. Τότε, df (x, B x ) = f 1 (x, B x )dx + f 2 (x, B x )db x + f 11(x, B x ) (dx) 2 + f 22(x, B x ) 2 2 Συνεπώς, = f (t, B t ) f (0, B 0 ) = (db x ) 2 +f 12 (x, B x )dx db x +... }{{} dx [ f 1 (x, B x ) + f ] 22(x, B x ) dx + f 2 (x, B x )db x +.... 2 t Παράδειγμα: Γεωμετρική Κίνηση Brown X t = X 0 exp{(c σ2 2 )t + σb t} = f (t, B t ). 0 t [ f 2 (x, B x )db x + f 1 (x, B x ) + f ] 22(x, B x ) dx. 0 2 12 / 20

Επίπεδη Κίνηση Brown Εισαγωγή (1) Σχήμα: 1 πραγματοποίηση της Επίπεδης Κίνησης Brown. Η διδιάστατη Κίνηση Brown: είναι επανερχόμενη σε οποιαδήποτε περιοχή στο επίπεδο, δεν επισκέπτεται σ.β. ΚΑΝΕΝΑ σημείο στο επίπεδο. 13 / 20

Επίπεδη Κίνηση Brown Εισαγωγή (2) Η ιδιότητα σύμμορφα αναλλοίωτου (conformal invariance) της Επίπεδης Κίνησης Brown έχει σημαντικές συνέπειες στη δομή των τροχιών της. Σχήμα: Παραδείγματα σύμμορφων (conformal) απεικονίσεων. Αποτέλεσε/αποτελεί αντικείμενο μελέτης πολλών σημαντικών ερευνητών (Itô, McKean, Lyons, Kallianpur, Robbins, Spitzer, Williams, Durrett, Yor, Messulam, Pitman, Belisle, Le Gall, Bertoin, Werner, Pap, Bentkus, Shi,...). Σημαντικό θέμα μελέτης σήμερα: Schramm-Loewner Evolution (SLE) (Schramm (2000), Lawler, Werner, Smirnov, Beara, Duminil-Copin,...). 14 / 20

Επίπεδη Κίνηση Brown Η ανέλιξη των περιελίξεων (windings) Εστω (Z t = X t + iy t, t 0) μία τυπική Επίπεδη Κίνηση Brown, αρχόμενη από το x 0 + i0, x 0 > 0 (θεωρούμε x 0 = 1). (Z t, t 0) δε συναντάει σ.β. ποτέ το σημείο 0 αλλά περιστρέφεται γύρω του απειροστικώς συχνά (McKean). Η συνεχής ανέλιξη των περιελίξεων (windings) είναι καλώς ορισμένη. t dz s θ t = Im( ), t 0 0 Z s Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε: Z t = Z t e iθt. 15 / 20

Επίπεδη Κίνηση Brown Αναπαράσταση skew-product Ετσι, έχουμε: log Z t = log Z t + iθ t. Αναπαράσταση skew-product (Z t = X t + iy t Z t 2 = Xt 2 + Yt 2 ): t dz t s dx s + idy s X s iy s log Z t + iθ t = = 0 Z s 0 X s + iy s X s iy s t X s dx s + Y s dy t s Y s dx s + X s dy s = + i 0 Xs 2 + Ys 2 0 Xs 2 + Ys 2 = (β u + iγ u ) u=ht= t 0, ds Zs 2 όπου (β u + iγ u, u 0) είναι μία άλλη μιγαδική Κίνηση Brown, αρχόμενη από log 1 + i0. Άρα: log Z t = β Ht, θ t = γ Ht. Επιπλέον: H 1 u = inf{t : H t > u} = u 0 ds exp(2β s) := A u (β). 16 / 20

Επίπεδη Κίνηση Brown Χρόνοι εξόδου από έναν κώνο Ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε την κατανομή του inf{t : θ t = c} και του T c θ inf{t : θ t = c}. T θ c Σχήμα: Χρόνοι εξόδου από έναν κώνο για την Επίπεδη Κίνηση Brown. (a) Tc θ (t 1 δε μετράει καθώς η γωνία είναι αρνητική) και (b) T d,c θ inf{t : θ t / ( d, c)}, (c, d > 0) για μία Επίπεδη Κίνηση Brown, αρχόμενη από x 0 + i0. 17 / 20

Επίπεδη Κίνηση Brown Χρόνοι εξόδου από έναν κώνο και Εκθετικό Συναρτησιακό Ορίζουμε επίσης: Tc γ inf{t : γ t = c}, T c γ inf{t : γ t = c}. ΠΡΟΤΑΣΗ Οι παρακάτω σχέσεις ισχύουν: T θ c = T γ c 0 ds exp(2β s ) = A T γ c, T γ και T c θ c = 0 ds exp(2β s ) = A γ T. c Απόδειξη: Από την αναπαράσταση skew-product (θ t = γ Ht ), έχουμε: T θ c = inf{t : θ t = c} = inf{t : γ Ht = c} Παρομοίως για τη 2η σχέση. s=h = t inf{as : γ s = c} γιατί t = Hs 1 = A s = A (inf{s : γ s = c}) = A T γ c. 18 / 20

Ταυτότητα του Bougerol ΠΡΟΤΑΣΗ (Bougerol 1983) Για σταθερό u > 0, sinh(β u ) (law) = ˆβ Au(β)= u 0 ds exp(2βs ), όπου ( ˆβ t, t 0) είναι μία Κίνηση Brown, ανεξάρτητη από A u (β). Σκιαγράφηση της Απόδειξης: (Alili, Dufresne και Yor 1997) Εφαρμόζουμε τη Φόρμουλα του Itô και στα 2 μέρη και βλέπουμε ότι ικανοποιούν την ίδια Στοχαστική Διαφορική Εξίσωση. Σ. Β. (2012), Bougerol's identity in law and extensions. Probability Surveys, 9, pp. 411437. 19 / 20

Ενδεικτική Βιβλιογραφία Z. Brzezniak, T. Zastawniak. Basic Stochastic Processes: A Course Through Exercises. Springer, 2002. I. Karatzas, S. Shreve. Brownian motion and stochastic calculus. Vol. 113. Springer Science and Business Media, 2012. B. Oksendal. Stochastic Dierential Equations. An introduction with applications. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 6th edition, 2003. D. Revuz, M. Yor. Continuous Martingales and Brownian Motion. 3rd edition, Springer, Berlin, 1999. Α. Γιαννακόπουλος. Στοχαστική Ανάλυση και εφαρμογές στη Χρηματοοικονομική. Σημειώσεις, 2003. Ι. Σπηλιώτης. Στοχαστικές Διαφορικές Εξισώσεις (με εφαρμογές στα Χρηματοοικονομικά). Εκδόσεις Συμεών, Αθήνα, 2004. Δ. Χελιώτης. Εισαγωγή στο Στοχαστικό Λογισμό. Ελληνικά Ακαδημαϊκά Ηλεκτρονικά Συγγράμματα και Βοηθήματα, 2016. 20 / 20

Ταυτότητα του Bougerol ΠΡΟΤΑΣΗ (Bougerol 1983) Για σταθερό u > 0, sinh(β u ) (law) = ˆβ Au(β)= u 0 ds exp(2βs ), όπου ( ˆβ t, t 0) είναι μία Κίνηση Brown, ανεξάρτητη από A u (β). Απόδειξη: (Alili, Dufresne και Yor 1997) i) Για S u = sinh(β u ) έχουμε (Itô Φόρμουλα) : ds u = d sinh(β u ) = S 2 u + 1 dβ u + 1 2 S udu. ii) (γ s, s 0): μονοδιάστατη Κίνηση Brown, ανεξάρτητη από (law) (β s, s 0). Αναστροφή του χρόνου: u: σταθερό, β s = β u β s : ˆβ Au(β) = u (law) u 0 eβs dγ s = e βu 0 e βs dγ s = Q u. Itô Φόρμουλα στην Q u (με δ μονοδιάστατη Κίνηση Brown): dq u = 1 2 Q udu + (Q u dβ u + dγ u ) = 1 2 Q udu + Q 2 u + 1 dδ u. 20 / 20

Επίπεδη Κίνηση Brown Θετικές και Αρνητικές Ροπές και ένα Τοπικό Οριακό Θεώρημα ΘΕΩΡΗΜΑ Για 0 < c < d, Tc θ ] (i) E [(T d,c θ )p < p < π (ii) E [ (Tc θ ) p] ] E [(T d,c θ ) p E (iii) 2θ t log t (law) t C 1 T θ d,c T θ c. Συνεπώς, για p > 0, (law) = γ T β 1, (Spitzer 1958) [ ] (T c θ ) p <. (Β., Yor 2012) 2(c+d), (Spitzer 1958) όπου C 1 είναι μία τυπική Cauchy τ.μ., δηλαδή με σ.π.π. (π(1 + x 2 )) 1, και T β 1 inf{t : β t = 1}. (iv) (log t) P(Tc θ t > t) (4c)/π. (Β. 2011) Άρα, για q > 0, E[(log Tc θ ) q +] < q < 1, όπου ( ) + δηλώνει το θετικό μέρος. (v) Για d > c, (log t) P(c < θ t < d) t 2 π (d c). 20 / 20

Θεώρημα Girsanov Εστω t L t = exp{ η s db s 1 t ηs 2 ds}, t [0, T ] 0 2 0 όπου η s : F t -προσαρμοσμένη ανέλιξη και B: Κίνηση Brown. Σημειώνουμε ότι η (L t, 0 t T ) είναι P-martingale. ΘΕΩΡΗΜΑ (Girsanov (Cameron-Martin)) Θεωρούμε το (ισοδύναμο) μέτρο Q η που ορίζεται από: Τότε, η είναι μία Q η -Κίνηση Brown. dq η dp = L t, t [0, T ]. t ˆB t = B t + η s ds, t [0, T ] 0 20 / 20