3. Peatükk. KLASSIKALISE ÜLDFÜÜSIKA MÕISTED LIIKUMINE: KINEMAATIKA Füüsika osa nimega mehaanika on teadus mis käsitleb kehade liikumist ja tasakaalu jõudude mõjul. Klassikaline mehaanika põhilähendused: Vaatleb valguse kiiusest väiksema kiiusega liikuvaid kehi Kehad on makoskoopilised, nende sisestuktuui ei käsitleta NB! Meie ettekujutus ümbitsevast maailmast toetub mudelitele. Klassikaline mehaanika käsitleb selliseid mudelobjekte nagu: mateiaalne (s.t. massiga) punkt, absoluutselt kõva keha/tahkis, absoluutselt elastne keha, mittekokkusuutavad vedelikud, ideaalgaas, lineaaahel jne., gavitatsioonipotentsiaali muutumatus maalähedases uumis, maa kui inetsiaalsüsteem jne. Ükski nendest mudelitest pole päis täpne ja ei vasta kõigis detailides tegelikkusele. Võdle metallkuuli ja kuuma õhuga täidetud õhupalli käitumist, või tennisepalli ja sulgpalli lendu. Ülelihtsustamise oht, bioloogias eduktsionism. Liikumist vaatleme kahes osas, kinemaatika ja dünaamika. Kinemaatika käsitleb liikumise ja selle muutumise kijeldamist, liikumise muutumise põhjusi avestamata. Dünaamika käsitleb liikumist põhjuslikus seoses liikumist esilekutsuvate jõududega. Alustame kinemaatikast ja defineeime liikumist kijeldavad suuused ehk paameetid, milleks on: asukoht (koodinaadid), kiius, kiiendus. 3.1. Asukoht, koodinaadid, aeg Füüsika on eelkõige katseline teadus. Küsime kus (asukoht), millal (aeg) ja mis/kuidas (funktsionaalne sõltuvus) midagi (autoõnnetus Jõhvis) toimus. Füüsikalise nähtuse kijeldamiseks peame teda saama jälgida uumis ja ajas. Nii saame füüsikaliste sündmuste jada. Klassikalises füüsikas saab seda teha põhimõtteliselt lõpmatu täpsusega, kvantfüüsikas aga mitte, saavutatavale täpsusele seavad piiid määamatuse elatsioonid. Keha asendi ja selle muutuste/nihke (liikumise) kvantitatiivseks kijeldamiseks kasutatakse uumikoodinaate. Koodinaadid on avud, mis määavad keha kauguse mingitest kindlaksmääatud kohtadest - koodinaattelgedest. Kolmemõõtmelises uumis (ainuke inimese poolt tunnetatav) on asendi määamiseks vajalik kolm avu (koodinaati), kahemõõtmelises (tasapinnal) kaks ja ühemõõtmelises (joonel) üksainus av. Need koodinaadid koos koodinaattelgede alguspunktiga moodustavad asukoha aadiusvektoi (sige, mis algab 0 ja lõpeb antud punktis).
Analoogiat edasi aendades saab ette kujutada ka enama kui kolmemõõtmelisi uume, näiteks võttes neljanda mõõtmena kasutusele aja, aga kui tavis, veel teisi muutuvaid paameeteid. Seejuues on tähtis, et juudetoodavad muutujad ei oleks seoste kaudu tuletatavad olemasolevatest, vaid oleksid täiesti sõltumatud, nn. otogonaalsed a b = abcosα (vastavate suunavektoite skalaakoutis =0). Piltlikult öeldes oleksid kõik teljed üksteisega isti, kuigi neid võib olla ohkem kui kolm (Joonis 3.1). Füüsikaline uum on kuni kolmemõõtmeline, matemaatiline uum pole piiatud. Keegi ei tea, miks see nii on. Kõige sagedamini kasutatav koodinaat-teljestik on sigete istiolevate telgedega nn. istkoodinaadid e. Catesiuse koodinaadid. Selles teljestikus määatakse keha asukoht kolme kauguse kaudu: alustades liikumist koodinaatide lõikepunktist, esiteks liikudes piki x-telge, siis istisuunas piki y-telge ja lõpuks istisuunas piki z-telge. Kaugused x, y ja z kokkuleppelisest nullpunktist (telgede lõikepunktist) ongi keha iskoodinaadid. Ristkoodinaadistikku kasutatakse näiteks USA-s linnade planeeimisel, kus Joonis 3.1. Catesiuse e. istkoodinaadistik. steetid ja avenue d on üksteisega isti ja nummedatud kasvavas jäjekoas alates linna keskpunktist. Positiivsete ja negatiivsete väätuste asemel kasutatakse Noth, South, East ja West lisandeid. Catesiuse koodinaadid ei ole ainuke viis keha asukoha määamiseks, vaid seda saab teha ka mõne teistsuguse kolme avu kombinatsiooni abil, peaasi, et kolm liikumist, mida need avud kijeldavad, oleksid ikka üksteisest sõltumatud. Näiteks tsentaalsümmeetiliste (keakujuliste ja keakuju moondumisena tulenenud liikumiste) kijeldamiseks on mugavamad nn. polaakoodinaadid. Polaakoodinaate on ka kolm, kuid ainult üks neist (aadius ) omab pikkuse (kauguse) dimensiooni, kaks ülejäänut on nugad, mis määavad selle liikumise suuna, mida mööda minnes määatud punkti jõutakse. Esimene on nuk ϑ (teeta), mis määab einevuse vetikaalsihist ja teine on nuk ϕ, mis Joonis 3.. Polaakoodinaadistik. aatomis. määab einevuse kokkuleppelisest hoisontaalsihist. Polaakoodinaate kasutatakse geogaafias, kus põhjalaius on sisuliselt 90 -ϑ ja idapikkus on ϕ. Kuna määatavad punktid asuvad kõik Maa pinnal, siis aadius oleks kõigi jaoks umbes 6400 km ja see jäetakse kijutamata. Maapinna kohal õhus või maa sees olevate punktide koodinaatidele tuleks aga aadiuse väätus juude lisada. Polaakoodinaate kasutame edaspidi näiteks elektoni obitaalide kvantmehaaniliseks kijeldamiseks vesiniku Üleminek istkoodinaadistikust sfääilisse koodinaadistikku (Kneubühl lk. 15):
x= sinϑ cosφ y = sinϑ sinφ z = cosϑ x y z = + + cos ϑ = z/ tgφ = y / z Teepikkus s (ehk nihkevekto) on kahe punkti asukohta tähistava vektoi vahe ( - 1 ). Kahemõõtmelisel (tasapinnalisel) juhul on koodinaattelgede alguspunktist lähtuva nihkevektoi kaks teljesuunalist komponenti avaldatavad jägmiselt nihkevekto kui s s + s x y =. Tee joonis. s s x y = scosα = ssinα Üldjuhul, kui nihkevekto algab suvalisest punktist tasapinnal, mida tähistab suunavektoi 1 lõpppunkt avaldub nihkevekto jägmiselt: s = -= x x + ( y y ) ( ) 1 1 1 Kolmemõõtmelises istkoodinaadistikus avaldub teepikkus alg ja lõpp-punkti koodinaatide kaudu jägmiselt s = -= x x + ( y y ) + ( z z ) ( ) 1 1 1 1 (3.1) ja Tuletame meelde: vektoite liitmine ja lahutamine. Skalaae liidetakse/lahutatakse algebaliselt, vektoeid geomeetiliselt. Vektoid on väga kasulikud liikumise kijeldamiseks mitmemõõtmelises uumis. Ühes mõõtmes neid vaja ei läheks. Pikkuse (teepikkuse) ühikuks on meete, m. Meete on ligilähedaselt 1/40000000 Maa ümbemõõtu, kuid täpne ühik on kokkuleppeline ja oli pikemat aega defineeitud kui kahe peene kiipsu vahe plaatina-iiidiumi sulamist siinil, mida hoiti Paiisi lähedal, nüüd aga on meete seotud teatud aine aatomite poolt kiiatava valguse lainepikkusega. Meete on üks kolmest mehaanika põhiühikust ja teda ei saa tuletada teiste ühikute kaudu. Ruumi ja aja asümmeetia. Ruumikoodinaatidel ei ole eelissuunda. Kaks ei uumi punktis asuvat vaatlejat (näiteks õppejõud ja tudengid) võivad samaaegse sündmuse kohta ahumeeli väita, et see toimus neist paemal/vasakul. Einevalt uumist on eaalse maailma aeg ühemõõtmeline ja ühesuunaline (minevikust tulevikku). Jälle me ei tea täpselt, miks see nii on. Kosmoloogias autatakse intensiivselt kas ajal on algus ja/või lõpp. Tavaliselt põhjendatakse aja suunda temodünaamika/statistilise füüsika teise (entoopia/koastamatuse) seadusega. Kuid mitte kõik füüsikud ei jaga neid seisukohti. Neid häiib, et mehaanika ja elektomagnetismi seadused on aja suuna suhtes täiesti sümmeetilised. Aja ühikuks on sekund, s. Aja mõõduks võib olla suvaline piisavalt püsiv peioodiline (koduv) potsess. Ajalooliselt 1/31.5 miljondik aastast. Paegu kindel av tseesiumi teatud kvantüleminekule vastava valguse võnkepeioode (suhteline täpsus 10-13 ). Lähtudes südame löögisagedusest on sekund inimese jaoks loomulik ajaühik. Sekund on üks kolmest mehaanika põhiühikust ja teda ei saa tuletada teiste ühikute kaudu.
Näiteks kiiuse ühik on m/s ehk m s -1 ja see on juba tuletatud põhiühikutest. Suuem osa tuletatud ühikuid on seotud põhiühikutega andes viimastele väätuse 1. Aja kulgemise suunaga on seotud põhjuslikkuse pintsiip: tagajäg jägneb põhjusele, mitte vastupidi. 3.. Liikumine, liikumise tajektoo ja kiius Lihtsaim füüsikaline nähtus on ühe keha liikumine. Ühe keha puhul ei saa ääkida vastastikmõjudest. Seega on see puhas, ilma mõjutusteta (füüsikud ütlevad isoleeitud keha) liikumine. Kuidas me saame au, et midagi liigub või ei liigu? Selleks me peame keha jälgima mõne aja jooksul. Liikumine on keha asukoha (koodinaatide) muutumine ajas. Einevatel ajahetkedel saadud asukoha üleskijutus on keha tajektoo. Tajektoo koosneb diskeetsetest punktidest. Tajektooi matemaatilisel üldistusel saame pideva liikumisvõandi näiteks kujul s=s(t). Pobleemid. (i) Absoluutselt isoleeitud kehasid ei ole olemas. Kui keha ei inteakteeu mitte millegagi, siis me ei tea isegi seda, kas ta olemas on. Swatz, Goldfab (lk 36) toovad näite oma Shveitsi kellast, kus võivad elada väikesed mehikesed, kes justkui kella attaid ingi ajavad. Niipea kui kella kaan aga lahti tehakse muutuvad nad vedudeks ja atasteks. Kas mehikesed on ka tegelikkuses olemas? Õhu segavat mõju saab vähendada kasutades vaakumi, soojuse eest kaitseb temoisolatsioon, elekti ja magnetväljade eest auast ekaanid, aga näiteks askusjõudu ei saa kuidagi ekaneeida. Seepäast uuitakse ühe keha liikumisi hoisontaalsel peegelpinnal (takistuse vähendamiseks) või vaba langemise tingimustes (Galilei, 1564-164). Laboatooiumis saab uuida vabalt langeva keha hoisontaalset liikumist (näiteks laualt kukkuv kuulike). Need uuimused näitavad, üheselt et liikumised ei koodinaatide suundades on sõltumatud hoisontaalisuunaline kiiuse komponent ei muutu ajas (hoisontaalkiius laualt lahkumise hetkel ja kuuli põkel maaga on võdsed). Viimase asjaolu üldistuseks on, et kui objektile ei mõju jõud, siis tema liikumisolek ei muutu (Galilei, tuntud kui inetsiseadus, ka kui Newtoni I seadus). Lahendas vanade Keeklaste pobleemi: miks nool lendab ka peale vibunööilt lahkumist. (ii) Paigalseis ja liikumise kiius on suhtelised mõisted ja sõltuvad vaatleja liikumisest. Kui liikumine on kiienev, siis näib meile, et enne paigalseisvale kehale mõjub jõud, sest tema kiius ajas muutub. Kui keha kiius vaatleja suhtes ei muutu, siis selle vaatleja seisukohalt (isegi kui ta ise liigub kiiendusega, näiteks vabalt langevas liftis) ei mõju kehale mingit täiendavat jõudu.
Matemaatiliselt õnnestub liikumist kijeldada tänu selliste mõistete nagu kiius ja kiiendus sissetoomisele. Viimane mõiste ühe keha puhul aga tähendust ei oma. Lihtsaim liikumisvom on ühtlane sigjooneline liikumine: konstantsed on nii kiiuse absoluutväätus kui ka suund. Liikumise eijuht on paigalseis: liikumine 0-se kiiusega. Need ongi ainukesed liikumised, milles üks/isoleeitud keha saab osaleda. Kõvejoonelisel liikumisel muutumatu puutujasuunalise kiiusega (näit piki ingjoont) muutub kiiuse suund ja see on juba kiiendusega liikumine. Et kiiust muuta tuleb akendada välist jõudu, mida ühe keha puhul pole kusagilt võtta. Kiius (v) on füüsikaline suuus, mida mõõdetakse ajaühikus läbitud teepikkusega. Kiiuse hetkväätust avutatakse kui s ds v = lim t = 0 t dt ds, kust ds = vdt ja dt = (3.) v Viimased valemid seovad omavahel kiiuse, teepikkuse ja aja. Liikumise hetkekiius iseloomustab tajektooi (läbitud teepikkuse) muutumise kiiust (tõusu või tõusunuga tangensit). Võib olla nii positiivne (vahemaa algpunktiga võeldes kasvab) kui ka negatiivne (kahaneb). Konstantse kiiuse puhul läbitakse ajaühikus võdseid vahemaid. Mittekonstantse kiiusega liikumine (ajaühikus läbitakse einevaid vahemikke) on kiiendusega liikumine. Kiius nagu ka teepikkus on vekto, millel on x, y, ja z- suunalised komponendid. Telgedesuunalised kiiuse komponendid (v x =ds x /dt jne.) on üksteisest sõltumatud. Looduses eksisteeib maksimaalselt võimalik kiius, valguse kiius (vaakumis) c, millega üks objekt võib teiste suhtes liikuda. See on ekspeimentaalne fakt, millele pole siiani head seletust. Sellel pole midagi pistmist nn. jänkuga, mis on puhtalt geomeetiline efekt ja pole kasutatav enegia või massi edasikandmiseks c-st suuema kiiusega. Kaugmõjul on lõplik kiius. Valguse kiiuse määas esmakodselt Taani astonoom Ole Rome (1676) ja juba täpsemalt pantslane Amand Fizeau (1848). 3.3. Liikumise kiiendus Liikumise kiiendus (a) on füüsikaline suuus, mida mõõdetakse kiiuse muutusega ajaühikus. Sigjoonelise liikumise kiiendus on kiiuse absoluutväätuse muutumise kiius, seega teine tuletis teepikkuse muutumisest: v dv d ds d s lim t 0 a = = = = t dt dt dt dt (3.6) Ka kiiendus on vekto, s.t., valem 3.6 kehtib s x, s y ja s z suhtes ealdi. Kiienduse ühik on m s -1 s -1 = m s - (loe: meete sekundis sekundis). Kiiendusega liikumise kiius on ajas pidevalt muutuv: vt () = v + at 0 (3.7) kus alghetkel kiius ei olnud mitte null vaid v 0. NB! Valem (3.7) kehtib vaid mitteelativistlikel kiiustel. Eelmisel loengul nägime, et liikumisel läbitud teepikkuse leidmiseks tuleb lahendada esimest jäku difeentsiaalvõand ds = v() t dt, kus vt () on hetkkiius.
Difeentsiaalvõandi lahendamine on selle võandi integeeimine. Otsitakse funktsiooni, mille tuletis on v() t. Kiiendusega liikumisel läbitud teepikkus, kui aega hakkame lugema nullist (integaali alumine ada on null ja avutada tuleb ainult funktsiooni väätus ülemise aja koal): lahendades: Tuletame meelde ax bx c x 1, + + b± = at s = ( v0 + at) dt = v0t + atdt = v0t + a tdt = v0t + (3.8) Teepikkuse s läbimiseks kuluva aja leiame uutvõandit = 0 b 4ac a at v t s 0 + =0 v0 v s t = + (3.9) a 0 + a a Lihtsamad mõelda on juhud, kus algkiius on null, siis kust leiame aja, mis kulub teepikkuse s läbimiseks: ja kiiuse v, mis saavutatakse teepikkuse s läbimisel at s =, (3.10) t s = (3.11) a s v= a t = a = as (3.1) a Maa askuskiiendus on g=9.81 m s - ja see määab vabalt langevate kehade liikumise kiienduse. Kuna elame Maal, siis enamik igapäevaelu pobleeme on seotud askuskiiendusega. Näiteks on kooliajast meeles jägmine ülesanne: kuidas määata toni kõgust ampemeeti ja stoppei abil? Vastus: tuleb ampemeete alla visata ja mõõta stoppei abil kui kaua see kukub. Vastuse annab valem 3.10 kus a = g. Veelgi lihtsam on käivitatud stoppe alla visata, mis seiskub maapinnale jõudes. Kui suue algkiiusega peab pumpama vett, et puskkaevu juga kekiks 30 m kõgusele? Niisuguste ülesannete puhul, kus kiius väheneb lõpuks nullini soovitan ette kujutada pöödpotsessi: kui suu oleks lõppkiius kui vesi langeb 30 m kõguselt? Vastuse annab valem 3.1: v = 9.8 30 = 4. m s -1. Veelgi elegantsem on siin enegia jäävuse seaduse kasutamine: mv = mgh, millest me aga põhjalikumalt äägime hiljem. Kui kõgele ja kui kaugele ulatub sama juga kui see suunata 45 all kaldu? See on juba keeukam ülesanne, kus kiius tuleb jagada vetikaal- ja hoisontaalkomponendiks.
Valemitest 3.3 ja 3.4 leiame komponendid, teades, et sin 45 = cos 45 = 0.7. Seda kasutades leiame vetikaalkomponendi v y = 0.7*4.=16.9 m s -1. Nüüd tuleb küsida, kui kaua aega võtab sellise kiiuse saavutamine (t= v y /g) ja kasutada valemit (3.10) tõusu kõguse ehkendamiseks s v gt vv = =. Hoisontaalkauguse ehkendamiseks peame g meeles pidama, et vesi püsib õhus koda kauem, kui kulub joa maksimumkõguse saavutamiseks (sama aeg kulub ju veel alla kukkumiseks). Seega s s = h Seega 4, sest kiiused on võdsed. v v s = v t = h. h h g Kuidas peab piloot juhtima lennukit, et kabiinis tekiks kaaluta olek? Piidume siin kvalitatiivse vastusega. Kabiinis on kaaluta olek siis, kui lennuk liigub vaba langemise tajektooi mööda, seega samasugust tajektooi mööda nagu liigub eelmises ülesandes kaldu asetatud toust väljapuskuv vesi. See on paaboolikujuline tajektoo, mis algab suue kiiusega üles-suunatud haul, läbib maksimumkõguse ja edasi liigub sümmeetiliselt alla. Samuti liigub püssist lastud kuul ja üldse igasugune vabalt askusväljas liikuv keha. 3.4. Ringjooneline liikumine Ringjooneline liikumine on eijuhus üldisest kõvejoonelisest liikumisest. Igasugune kõvejooneline liikumine on kiiendusega liikumine, seega ka liikumine ingjoonel, isegi kui see toimub ühtlase (ajas muutumatu) kiiusega. Planeedid liiguvad ingile lähedastel (elliptilistel) obiitidel. Ringjoonelisel liikumisel on palju akendusi: tsentifuug, tsikulatsioonpump, kooelahutaja, gaasitubiinid, ventilaatoid, spot (ketas, vasa). Seetõttu vaatlemegi seda liikumisvomi ealdi. Joonis. 3.3. Ühtlasel ingjoonelisel liikumisel fikseeitud aadiusega on kiiusvekto suunatud puutuja suunas. Kesktõmbejõud mõjub kiiusega isti; see ei muuda kiiuse absoluutväätust, kuid muudab kiiuse suunda. Ühtlase ingjoonelise liikumise tangentsiaal- (puutujasuunaline) kiius π v= = πν = ω T ω = πν (3.13)
kus on aadius, T on tiilemispeiood ja ν on tiilemissagedus dimensiooniga 1/s. ω tähistab nukkiiust. Nukkiius on adiaanides mõõdetava pöödenuga suuenemise kiius Ühik: adiaani sekundis. dβ ω =. dt Radiaan on nuk, millele vastav ingi kaae pikkus on võdne aadiusega. Seega, täising 360 kaadi vastab π adiaanile (1 ad=57.3 kaadi) ja üks tii sekundis tähendab nukkiiust π adiaani sekundis. Peame meeles, et adiaan on dimensioonitu suuus, m/m (nuk, millele vastab aadiuse pikkusega võdne kaa). Räägime nüüd ühtlase ingliikumise kiiendusest ehk istikiiendusest. Sellise kiiuste muutustest moodustatud ingi ingjoone pikkus on π v. Ühe täisingi jooksul toimunud kiiuse muutus ehk kiiendus avaldub siis kui a n π v T =. Teisalt saame täisingi tegemiseks kulunud aja avaldada jägmiselt: T Asendades saame π v =. v 4π a = = ω = = 4π n n T kus ω on jälle nukkiius ja n on pööetete av sekundis. Tõepoolest, geomeetiast on v v t näha, et lühikese aja koal = ja v/ t = v /. v Kiiendusvekto on pidevalt suunatud pöölemistsentisse isti puutujasuunalise kiiusega ja seepäast viimase absoluutväätust ka ei mõjuta. Poovige keeutada nööi otsa seotud kivi. Tunnete, et on vaja pingutada lihaseid. Milleks jõud kui kivi kiius ei muutu? Selleks, et kallutada kivi kõvale inetsiaalsest sigest teest. Kiiendus on seda suuem, mida suuem on konstantse aadiuse koal joonkiius, konstantse pöölemissageduse koa aga mida suuem on ingi aadius. Neid valemeid kasutame hiljem elektoni kiiuse ja asukoha avutamisel aatomis. Kuidas käitub keha, kui tsentisuunaline jõud kaob? Millal peab kettaheitja ketta käest lahti laskma, et sektoisse tabada? Valem (3.14) võimaldab välja avutada näiteks vabalt langeva sputniku/kosmoselaeva obitaallennu puutujasuunalise kiiuse, kui kiiendus asendada vaba langemise kiiendusega g (v = g = ~8 km/s=8x3600=8800 km/h). Mitu meetit kukub iga 8 km pikkuse obitaallennu ajal sputnik? langemise kiiendus on ~10 m/s (tegelikult mõnevõa väiksem). gt s = Vaba Hea auto kiiendab kohapealt kiiuseni 100 km/h 10 sekundiga. Milline on tema kiiendus? a=v/t=100:10:3.6~.8 m/s. Kui pika vahemaa ta seejuues läbib? s=at /~139 m..
Üldjuhul võib muutuda ka tangentsiaalne (puutujasuunaline) kiius. Siis pole kiiendus enam ingi tsentisse suunatud, vaid pigem suunas a = a + a. n t 3.5. Võnkeliikumine ja kehade tasakaal Üks tähtis ja väga levinud liikumise liik, mille kiius ja kiiendus pidevalt ajas muutuvad on võnkumised. Võnkumiseks nimetatakse keha liikumist tasakaaluasendi ümbe. Võnkumised on seega tihedalt seotud kehade tasakaalu mõistega. Mis määab keha tasakaaluasendi? Inetsiseaduse jägi püüab keha säilitada oma liikumisolekut. Väliste jõudude puudumisel (või kui nende vektosumma on 0) keha kas seisab paigal või liigub ühtlaselt ja sigjooneliselt. Vaatleme lihtsuse mõttes seisvat keha. Eistatakse kolme liiki tasakaalu (Tee joonis): püsivat labiilset ükskõikset Võnkumised tekivad vaid siis, kui keha nihutatakse välja stabiilsest tasakaaluasendist. Näiteks pall muu sees olevas lohus, pendel või vedu otsas ippuv askus, aatomite või molekulide võnkumine tasakaaluasendi ümbe. Väikeste kõvalekallete puhul on seejuues kehale mõjuv jõud popotsionaalne nihke suuusega ning mõjub tasakaaluasendi suunas, s.t. töötab nihkele vastupidises suunas. Miks see jõud üleüldse tekib? Meie esimeses loengus tegime juba põgusalt juttu jõudude olemusest, nende üldistest tekkepõhjustest. Jõud tekivad kui kehasid ümbitsev väli (gavitatsiooni- ja/või elektiväli) uumis muutub. Jõud on võdeline välja iseloomustava potentsiaalse (ehk asukohast sõltuva) enegia muutumise kiiusega uumis (vastava uumilise tuletisega või gadiendiga). Stabiilses tasakaaluasendis lohu põhjas olevale pallile ei mõju tõepoolest jõud, sest potentsiaalse enegia miinimumis võetud tuletis =0. Tuletis, s.t. jõud on 0 ka potentsiaalse enegia kõvea maksimumis, kuid väikseimgi tõuge sunnib palli mäe otsast alla veeema. Seega keha on stabiilses tasakaalus kui tema potentsiaalne enegia on minimaalne. Tehakse veel vahet nn. absoluutse ja lokaalne potentsiaalse enegia miinimumi ja vastavate tasakaaluasendite vahel, kuid see on antud hetkel ebaoluline nüanss. Niipea kui keha liigub stabiilsest tasakaaluasendist välja, hakkab tema potentsiaalne enegia kasvama. Selle kasvu kiius määab jõu, mis püüab keha tasakaaluasendisse tagasi viia. See jõud viibki keha tajektooi võnkuvale liikumisele tasakaaluasendi ümbe. Võime öelda, et keha tasakaalu määab neid ümbitsevate väljade potentsiaalse enegia eiline kuju. Muus olev lohk, mille põhjas pall ahulikult lebab ei ole midagi muud kui gavitatsioonilise potentsiaalse enegia lehte. Seega keha püsivaks tasakaaluks on vajalik ei ohkem ega vähem kui potentsiaalse enegia lohu olemasolu. Klassikalise mehaanika aames on see ka piisav tasakaalu tingimus.
Peame meeles, et liikumisel püsiva tasakaaluasendi läheduses on alati võnkuv iseloom. Hamooniliste (sinusoidaalsete) võnkumise koal muutuvad keha liikumise kiius ja kiiendus peioodiliselt. Peioodiliselt muutub mitte ainult kiiuse ja kiienduse avuline väätus vaid ka nende mäk. Hamoonilisi võnkumisi saab ette kujutada, kui osakese ingjoonelise liikumise pojektsiooni. (Teisalt saab ingliikumist analüüsida kui kahe istisuunalise võnkumise summat.) Võnkumisi iseloomustavad: kõvalekalle tasakaaluasendist max amplituud peiood sagedus (alg)faas aeg Faas iseloomustab võnkesüsteemi hetkeseisu. Teadaoleva amplituudi koal määab faas võnkesüsteemi oleku mis tahes ajamomendil. x= Asin( ωt+ φ) Eistatakse sumbuvaid ja mittesumbuvad ning vaba- ja sundvõnkumisi. Sumbumine põhjustab sageduse alanemist/võnkepeioodi pikenemist. Kui sumbumine on väike, siis võnkumised võivad kesta väga kaua (piiil lõpmata kaua). Mis vahe on võnkumistel ja lainetel? Võnkuda võib ka üks osake. Lained on aga uumis edasilevivad võnkumised, mis eeldab paljude vastastikmõjus olevate osakeste olemasolu. Lained esinevad seega ulatusega süsteemides. Näiteks meelained või õhus levivad helilained. Edasilevimine tuleneb sellest, et mingis uumipunktis toimuv muutus kutsub esile sanase muutuse naabepunktis, aga veidi hiljem, vastavalt võnkeäituse edasilevimise kiiusele. Punktmass koodinaatide alguspunktis 0 võngub vastavalt =. Eemalasuva punkti x võnkumist kijeldab siis võand võandile y Asinωt x y = Asin ω( t ) = Asin( ωt kx) c c = νλ k π = λ. See on ühemõõtmelise laine võand, mis kijeldab kõikide punktide liikumist ajas piki x-koodinaati. Võnkumine on ajas peioodiline potsess, laine on aga peioodiline potsess nii ajas (iseloomustab sõltuvus t-st) kui ka uumis (iseloomustab sõltuvus x-st). Lained levivad faasikiiusega c. Sagedus ν mõõdab võngete avu sekundis; π πν laineav = aga lainete avu pikkusühikus (näiteks 1 cm kohta). λ c Eistatakse piki- ja istilaineid. Nimest saab au, mis suunas osakesed laines võnguvad. Elektomagnetväli, mis on elementaaosakeste laineomaduste aluseks, on istilaine ja levib uumis valguse kiiusega. Helilained on pikilained.
4. Peatükk. KLASSIKALISE ÜLDFÜÜSIKA MÕISTED LIIKUMINE: DÜNAAMIKA 4.1. Jõud Dünaamika käsitleb liikumist põhjuslikus seoses liikumist esilekutsuvate jõududega. Dünaamika ja üldisemalt mehaanika põhimõisted on jõud, mass, liikumishulk ehk impulss, enegia ja võimsus. Dünaamilist liikumist käsitlevad kolm Newtoni seadust. Newtoni esimese seadusega (ka Galilei seadus või inetsiseadus) me juba tutvusime: Iga keha liigub ühtlaselt ja sigjooneliselt seni kuni teiste kehade mõju (jõud) ei põhjusta selle seisundi muutumist. Kõige sagedamini jääb kehade liikumine muutumatuks mitte sellepäast, et neile ei mõju jõudu, vaid sellepäast, et mõjuvad jõud on võdsed ja vastassuunalised. Ühtlane ja sigjooneline liikumine ilma mõjuva esultantjõuta on võib-olla võimalik ainult avakosmoses väga kaugel taevakehadest. Maa pinnal on kõik kehad gavitatsioonivälja mõjusfääis ja neile mõjub Maa külgetõmbejõud. Demonstatsioonkatseks on mõjudeta liikumisele ligilähedane teaskuuli veeemine hoisontaalsel peegelpinnal, kus askusjõud on liikumisega isti ja hõõdumisjõud on minimaalne. Ka piljadikuulid liiguvad külaltki ühtlaselt ja sigjooneliselt kuni põkumiseni. Esimene seadus annab seega tunnistust, kas mõjud/jõud eksisteeivad või mitte. Jõudu (k. k. tugevus) vaadeldakse mehaanikas seega kui kehade liikumise põhjust. Nii seda mõistet ka defineeitakse: kaudselt tema mõju kaudu kehade liikumisele (mille väljenduseks on keha kiiuse ja/või kiiuse suuna muutus) või defomatsioonile. Newtoni teine seadus, mis on paljude katsete üldistus, mitte teoeetiliste mõtiskluste vili väidab, et liikumise muutumise kiius (kiiendus) on võdeline akendatud jõuga ja toimub jõu suunas. a = 1 f m dv f = ma= m dt ehk (4.1) kus f on jõud, m on keha mass ja a on kiiendus. Võdetegu, mis seob kiienduse jõuga iseloomustab keha inetset massi m, olles sellega pöödvõdeline. Jõud f ja kiiendus a on samasuunalised vektoid (suunaga suuused), mass on aga skalaa (suunata suuus). NB! Kehale mõjuv jõud sihib mitte kiiuse vaid kiiuse muuduga ehk kiiendusega samas suunas. Massi ühik on kilogamm (kg). Üks kilogamm on ligilähedaselt ühe dm 3 puhta vee mass, kuid täpne massi etalon on plaatina-iiidiumi sulamist metallkeha, mis on hoiul Paiisi lähedal. Kilogamm on viimane kolmest mehaanika põhiühikust (kg, m, s), mille suuus on kokkuleppeline ja mida ei saa tuletada teiste ühikute kaudu. Jõu ühik njuuton (N) on tuletatud ühik: Üks njuuton (N) on jõud, mis annab massile üks kg kiienduse üks m s -. Newtoni I seadus tuleneb otseselt II seadusest: keha liikumisolek ei muutu, kui puudub jõud. Nagu me oma esimeses loengus ääkisime, füüsikas eistatakse nelja fundamentaalset jõudu: tugevat, elektomagnetilist, nõka ja gavitatsioonilist. Mehaanikas käsitletakse põhiliselt kahte tüüpi jõude: gavitatsioonist tingitud askusjõudu ja elastsusjõudu. Elastsusjõud tekivad keha defomatsiooni tagajäjel. Lisaks äägitakse mõnikod veel hõõdumisjõust. Elastsus- ja hõõdumisjõud on oma olemuselt sanased, sest nad mõlemad on elektilist päitolu.
4.. Mass: gavitatsiooniline ja inetne. Raskus(jõud) ja kaal Vastavalt Newtoni teisele seadusele üks ja seesama jõud põhjustab seda suuema m a kiienduse mida väiksem on keha mass: = 1. See massi inetsist lähtuv asjaolu m1 a võimaldab tundmatu massi määamist tuntud massi (etaloni) kaudu. Mass avaldub aga mitte ainult inetsis vaid ka gavitatsioonis, mille samuti avastas Newton. Ülemaailmne gavitatsiooniseadus väidab, et iga keha massiga M tekitab kaugusel oma masskeskmest gavitatsioonikiienduse a g = M kg Maa lähedases uumis gavitatsioonikiiendus F = ma = k g g mm a g m s (teise nimega askusjõud), mis mõjub massile m selles väljas on = = 9.81 /. Gavitatsioonijõud g (Maalähedases uumis F=mg). Kui masse mõõdetakse kilogammides, siis gavitatsioonijõu saamiseks N omab gavitatsioonikonstant k g väätust 6.67. 10-11 m 3 /kg s. Mass on seega mateeia (nii aine kui ka välja) omadus, mis väljendub keha inetsis (ehk vastupanus liikumisoleku muutusele) ja askuses (ehk omaduses osaleda gavitatsioonilistes vastastikmõjudes). Huvitaval kombel on inetne mass ja gavitatsiooniline mass alati suue täpsusega (10-13 ) võdsed ja massi suuust saab määata nii ühe kui teise mõõtmise kaudu. Gavitatsioonilise ja inetse massi ekvivalentsust nimetatakse ekvivalentsuse pintsiibiks ja see on võetud üldelatiivsusteooia üheks postulaadiks. Tuleb teha vahet keha askuse ja keha kaalu vahel. (NB! kaaluta olek) Mõlemad on jõud, kuid nad einevad üksteisest akenduspunkti poolest. Raskusjõud akendub kehale massiga m askusväljas, mille tugevus on a g M kg F = ma = ja ei sõltu sellest, kas keha liigub kiiendusega või mitte. Kaal akendub toetuspunktile ja sõltub viimase kiiendusest: ma ± a). Kaal võib olla nii suuem kui ka väiksem askusest. Raskusjõu ( g kiiendust g=k g M/ nimetatakse ka vaba langemise kiienduseks. Kaaluta olek tekib kui keha langeb vaba langemise kiiendusega. Etteuttavalt võib öelda, et kehtib sügav analoogia jõu vahel, mis mõjub massile m (gavitatsioonilisele laengule) gavitatsiooniväljas ja selle jõu vahel, mis mõjub elektilisele laengule q elektiväljas: sõltuvus E Q ke F = ma g F = qe. Põhjus on selles, et elektivälja tugevuse kaugusest = on samasugune kui gavitatsiooniväljal. g Raskusjõudu ja kaalu mõõdetakse dünamomeetiga, massi mõõtmiseks tuleb keha võeldakse massi etaloniga.
Kaalumine on massi mõõtmise viis gavitatsioonijõu kaudu. Mitu N kaalub keha massiga 1 kg? Kaal on askusjõud, millega Maa tõmbab keha. Raskusjõud annab massile 1 kg kiienduse 9.8 m s -, sel ajal kui 1 N annab kiienduse vaid 1 m s -. Seega, mass 1 kg kaalub 9.8 N. Sama mass 1 kg kaaluks Kuu peal umbes kuus koda vähem, seega umbes 1.6 N. Keha kaal sõltub ka asukohast Maal, sest ekvaatoil on Maa pöölemisest tulenev tsentifugaaljõud suuem ja see vähendab kaalu. Kaalu vähendab ka õhu üleslüke, millega tutvume lähemalt paktikumis. Seega, üks kilogamm udusulgi kaalub vähem kui 1 kg auda, kui ei avestata õhu üleslükke paandust. See paandus on seda suuem, mida lähedasemad on kaalutava keha ja õhu tihedused, kuni selleni, et vesinikuga täidetud õhupall omab hoopiski negatiivset kaalu. Õige kaalu määamine oleks alati õhu üleslüket avestades, kuid paktikas, kui on tegu tahkete ainete või vedelikega, on selle tähtsus suhteliselt väike. Kui küsite poest ühe kg leiba, siis soovite te tõepoolest leiva massi, mitte selle kaalu. Seega küsimine kilogammides ja mitte njuutonites on füüsikaliselt õige. Kui müüja kaalub leiva vedukaaluga, siis saab ta tulemuse njuutonites ja see sõltub laiuskaadist. Kui aga kasutatakse kangkaalu, siis võeldakse omavahel kaalutavat keha kaalupommide massiga ja tulemus ei sõltu laiuskaadist. 4.3. Liikumise hulk ehk impulss. Impulsi jäävuse seadus Kui püüate väga massiivset keha, näiteks autot, liikuma lükata, siis tuleb jõudu akendada küllalt kaua, enne kui saavutate vajaliku kiiuse, näiteks mootoi käivitamiseks ilma statei abita. Vedu annab kaubaongile vajaliku kiiuse alles veeand tunni jooksul. See tähendab, et keha poolt saavutatud kiius sõltub jõu mõjumise ajast. Kasutame kiiuse avutamiseks kahte seost: = dmv ( ) dp dt = dt a = v t = (4.5) f m, kust m v= f t Suuust mv nimetatakse liikumise hulgaks ehk impulsiks. Impulsi muutus on võdeline jõuga ja selle mõjumise ajaga ning toimub jõu suunas. Impulsi seaduse abil selgub, miks löökidel ja põgetel avalduvad ülisuued jõud. Näiteks haame massiga 1 kg, mis liigub kiiusega 1 m s -1, peatub naelapeal umbes 0.001 sekundi jooksul. Rakendades valemit 4.5 leiame, et mõjuv jõud on 1000 N. Impulsi jäävus liikuvate (välisilmast isoleeitud) kehade vastastikmõjudes on enegia jäävuse kõval üks looduse põhiseadusi. Kõikidel juhtudel, näiteks kahe piljadikuuli põkel või kahe gaasimolekuli põkel (kahe keha põge on lihtsaim vastastikmõju juht) mv + mv = mv + mv ' ' 1 1 1 1 Muuhulgas võib näidata, et kahe keha impulss massikeskme suhtes on igal ajahetkel 0 ( mv 1 1+ mv = 0 ). Oletame nüüd, et kontakt kestis t sekundit. Selle aja jooksul muutusid ' kuulide kiiused vastavalt v 1 = v 1 v1 ja v ' = v v võa, ehk m1 v1 = m v. Impulsi muutus kehade vastastikmõjul on võdne ja vastassuunaline, süsteemi summaane impulss on konstantne. Jagades läbi saame siit edasi t f v m = m t F = F 1 1 1 v t (4.6) Newtoni kolmanda seaduse: Mõju (jõud) on võdne vastumõjuga (vastujõuga) f 1 =. Kui esimene keha mõjutab teist jõuga f siis teine keha mõjutab esimest jõuga f.
Jõudude mõõtmine on vastastikmõjude mõõtmine. Ühepoolseid vastastikmõjusid pole olemas. Selles veendumaks piisab, kui käega vastu seina või muud massiivset eset lükata. Seda asjaolu väljendabki Newtoni III seadus. Klassikaline näide: paadist kaldale hüpates tõukate paati kaldast eemale. Kumb aga liigub hüppe (tõuke) lõpuks kiiemini, teie kalda poole või paat kaldast eemale? Newtoni III seadus on eijuht palju üldisemast impulsi jäävuse seadusest, kui on olemas vahetu (lokaalne) kontakt kehade vahel. Impulsi jäävuse seadus kehtib ka siis, kui vahetu kontakt puudub, näiteks gavitatsioonijõudude puhul. Kui mõjuv jõud ja eaktsioon sellele on võdsed, kuidas siis saab kivi maast lahti kangutada? See puudutab seda seaduse olulist aspekti, et jõud on küll võdsed, kuid nad mõjuvad einevatele kehadele. Konkeetselt kivi puhul mõjutame me kivi jõuga F 1, kivi meid jõuga F 1. Edasi toetume me maa pinnale mõjudes viimasele näiteks jõuga F, maa meid omakoda jõuga F. Kui nüüd F >F 1, siis liigubki kivi ülespoole. Kahe keha vastastikmõjul saavad mõlemad võdse jõu mõjul kiienduse pöödvõdeliselt nende kehade massiga: m m 1 a a = ehk 1 1 1 ma = ma (4.) Aga s=at /. Seega võeldes kummagi keha poolt läbitud teed teatud aja päast (eeldusel, et näiteks hõõdumine on mõlema keha jaoks ühesugune) saame teadaoleva massi jägi mõõta tundmatut (inetset) massi. Põked on suvalised kahe või ohkema keha lühiajalised kohtumised. Põgetel esinevad jõud on nii suued, et enamik püsivalt mõjuvaid jõude võib lugeda olematuteks. Seega võib põkuvaid kehi käsitleda, kui suletud süsteemi ja akendada neile impulsi jäävuse seadust. Põgetel kehad üldjuhul vahetavad enegiat ja impulssi. Sõltuvalt põkuvate kehade elastsetest omadustest jagatakse põked (piijuhul) kas elastseteks või mitteelastseteks. Elastne on põge, mille jäel kehad täielikult taastavad oma kuju. Kehade siseenegia ei muutu. Kehade impulss ja kineetiline enegia ei muutu põkel. Absoluutselt mitteelastseks nimetatakse põget, mille tulemusena moodustub üks keha (pehmete kuulikeste põge, molekulide moodustumine, hüpe liikuvasse vagunisse jne.). Mitteelastse põkega kaasnevad kehade siseenegia muutused. Rakendusi. Impulsi jäävuse seadusel (Newtoni kolmandal seadusel) põhineb näiteks eaktiivmootoi töö. Igal ajamomendil paiskab eaktiivmooto suhteliselt väikest kütuse massi suue kiiendusega tahapoole, selle tulemusena liigub akett kui suuem mass väiksema kiiendusega vastassuunas. Potsess on pidev seni kuni mooto töötab ja kuna kiiendus mõjub mõlemale, nii aketile kui kütusele võdse aja jooksul, siis lõppkokkuvõttes suhtuvad ka aketi ja uumi väljapaisatud kütusemassi kiiused nii nagu valem (4.) näitab kiienduste kohta. Kui näiteks aketi ja kütuse massid on võdsed, siis on lõpuks võdsed ja vastassuunalised ka nende kiiused. Einevus aketi ja uumipaisatud kütuse vahel on aga selles, et akett kui tahke keha omab ühte kindlat kiiust, kütuse põlemispodukt aga on gaasiline ja valem (4.) kehtib selle uumilise massikeskme kohta. Kuidas on võimalik, et akett liigub kiiemini, kui temast väljuvad gaasid (~1000 m/s)? See on kiius aketi suhtes. Iga sellise kiiusega pots lisab aketi kiiusele dv, mis võdub dmv/m. Võdle kuulipildujaga aketi sabas. Tekkinud kineetiline enegia saadakse aketi kütuse siseenegia avelt. Reaktiivmüsud. Ka lindude lendamine (ja isegi loomade või inimese ujumine) on sisuliselt eaktiivliikumine, sest teist võimalust kui Newtoni kolmanda seaduse abil õhust askemal kehal õhus (veest askemal kehal vee peal) püsimiseks ei ole. Lind lükkab tiibadega õhku allapoole, mõjutades õhumassi jõuga ja andes õhule allapoole liikumise kiienduse, samal ajal vastujõud tõukab lindu ülespoole. Linnu lennates on ülespoole liikumise kiiendus niisama suu kui askuskiiendus, kuid sellega vastassuunaline, nii et mõlemad kompenseeuvad ja lind lendab konstantsel kõgusel. Matemaatiliselt, mg= ma 1, kus
m 1 on linnu ja m tiibade all liikuma pandud õhu mass ning a on viimasele antud kiiendus. Siit on ka näha, et suuemaid tiibu tuleb lennates aeglasemalt lehvitada. Ülesanne: Selgitada, mis ühist on lennuki eaktiivmootoil, popellemootoil, lendamisel tiivalehvitamisega ja planeeimisel. Näita, et võdsete massidega kuulid elastselt põkudes lahknevad 90 kaadise nuga all. 4.4. Tagasi ingliikumise juude. Kesktõukejõud ja kesktõmbejõud Üks tähtsamaid kiiendusest tulenevaid jõude on kesktõmbejõud ja kesktõukejõud ingliikumisel, mis on võdsed ja vastassuunalised. Keha liigub ingikujulist tajektooi mööda tänu jõule, mis tõmbab teda keskpunkti suunas. Kesktõmbejõud võib olla gavitatsioon (Maa tiilemine ümbe Päikese), elektomagnetiline (elektoni tiilemine ümbe tuuma) või mehaaniline (nöö mis ühendab lingukivi käega, tsentifugaalpumba kopus, mis suunab vedeliku ingtajektooile, aga ega nendes kehadeski toimi lõppkokkuvõttes muud kui elektomagnetilised jõud). Kesktõukejõud tekib keha inetsi tõttu, tema püüdest säilitada oma sigjoonelist liikumisolekut, mis ingjoonelisel liikumisel on igal ajahetkel suunatud ingjoone puutujat mööda. Hea näide Newtoni I seaduse kehtivusest. Kesktõukejõud ingliikumisel avaldub sama valemiga, kui kesktõmbejõud, kuid on suunatud piki aadiust väljapoole f = mω. (4.3) on nukkiius. Nukkiius seostub lineaakiiusega jägmiselt: v = ω ehk ω = v /, seega mv f =. (4.4) Maa pöölemisest tingitud inetsinähtusi on suhteliselt palju. Näiteks võib avutada, kui suu on 100 kg-se mehe kaaluvahe poolusel ja ekvaatoil? Maakea aadius on 6000 km. Nukkiius on /(4x3600) = 7.7x10-5 adiaani sekundis. Asendades need väätused valemisse 4.3 saame f = 100. (7.7. 10-5 ). 6. 10 6 = 100. 5.8. 10-10. 6. 10 6 = 3.168 N. Poolusel kaalub 100 kg 981 N. Suhteline kaalu kahanemine on 3.17/981=0.003 ehk 0.3%. Meie laiuskaadil ja ekvaatoil on see suhe veel umbes poole väiksem. Objektid, mis langevad teatud kõguselt maale (v.a. poolustel) nihkuvad veidi idasse (~3 cm 100 m kõgusest tonist visatuna). Focoultí pendli võnketasand muutub maa pinna suhtes. Coiolise efekt: Vabalt liikuv objekt, millel on maa pöölemisteljega istiolev kiiuse komponent kaldub oma teest kõvale suunas v ω. Joonis. Selle tulemusena on põhjapoolkeal piki meidiaani voolavatel jõgedel jäsk paemkallas ja lõunapoolkeal vastupidi, jäsk vasakkallas. Efekt mõjutab tugevasti ka globaalsete vee- ja õhumasside (tsüklonite) liikumist ja on tähtis meteooloogia seisukohalt. Peab avestama ka atilleeias kosmose- ja aketitehnikas. suunaline liikumiskiius. a π T 4 = v ~ 1.5 10 v, kus v on pöölemisaadiuse C Tsentifugaaljõu paktilisi akendusi on tsentifugaalpumbad ja ventilaatoid. Kuidas muutub ventilaatoi ja tsentifugaalpumba aendatav õhk mootoi pööetest? Nende küsimustega tutvume ülesandeid lahendades.
4.6. Enegia Enegia (k. k. enegos: aktiivne; teadusesse tõi inglise füüsik Thomas Young, 1807) on füüsika keskne mõiste, mis ühendab kõiki füüsika valdkondi. keha võime teha tööd. Enegia ja töö on skalaaid. Töö on lihtsalt sõna teise agendi või jõu poolt kehale antud enegia tähistamiseks. Võib ka öelda, et töö on ühelt kehalt teisele enegia ülekande viis. Iga töö, mida tehakse kehade/väljade kallal suuendab nende enegiat ja vastupidi, suuendab nende töövõimet. Enegia= kehade/väljade töövau. Mikomaailmas äägitakse põhiliselt enegiatest, mitte jõududest. Langeb üsna hästi kokku igapäeva mõistega: enegiline inimene on see, kes on aktiivne ja suudab palju tööd teha. Kui keha liigub jõu toimel teise kohta, siis öeldakse, et see kehale akendatud jõud on teinud tööd. Tehtud töö hulka avutatakse jõu ja selle jõu suunas läbitud teepikkuse koutisena. Töö on füüsikaline suuus, mida mõõdetakse jõu ja jõu suunas läbitud teepikkuse koutisega A = fscosα (4.7) kus on mõjuva jõu ja keha tegeliku liikumissuuna vaheline nuk. Kui jõuväli uumis muutub, siis tuleb integeeida: W = F cosαds. s s 1 Intuitsioonile vastupidiselt nihke suunas istiolev jõukomponent tööd ei tee. Nii on see näiteks ühtlasel ingliikumisel, kus tsentisuunaline jõud tööd ei tee (ehkki ta muudab liikumise/impulsi suunda). Töö ühik on Dzhaul (Joule), [J] = [N]. [m]. Dzhaul on töö, mida teeb jõud üks njuuton ühe meeti pikkusel teel. Tööd tehakse siis, kui liigutatakse mingit keha avaldades sellele jõudu. Näiteks, tõstes 50 kg viljakotti maast 1m kõgusele vankile tehakse töö mis võdub koti kaal (njuutonites!) koda vanki kõgus, 50. 9.8. 1=490 J. Kui vesi langeb 0 m kõguses joas käivitades tubiini, siis iga kg vett teeb tööd 0. 9.8=95 J. Seisvat keha võib pigistada kuitahes kaua, tööd seejuues ei tehta. Mehaanika kuldeegel: Lihtsate mehhanismidega töötades võidame jõus samapalju, kui kaotame teepikkuses. Kangi leiutas k. matemaatik Achimedes. Enegiat on kahte liiki, liikuva keha kineetiline enegia ja jõuväljas asuva keha potentsiaalne enegia. Enegia jäävuse seadus (Julius Robet von Maye, 184; Joul, 1843, Ludwig Fedinand von Helmholtz, 1847) on looduse põhiseadusi (sanaselt impulsi jäävuse seadusega): Enegia ei teki ega kao, vaid muundub ühest vomist teise. Seega, looduses toimub pidevalt kineetilise enegia muundumine potentsiaalseks ja potentsiaalse enegia muundumine kineetiliseks. See vääamatu looduse põhiseadus ei ilmne igapäevaelus sugugi väga selgelt. Veeev pall kaotab oma kiiust ja peatub, keha kukub maha ja jääb sinnasamasse lamama jne. Liikumise kineetiline enegia kaob näiliselt jäljetult. Nii see siiski ei ole. Lähem vaatlus näitab, et enegia vom lihtsalt muutus. Antud juhul kehade siseenegiaks. Aine molekulaa-kineetilise teooia jägi koosneb siseenegia aga samuti keha osakeste pot ja kin en summast. Seega mingi uue enegia vomiga siin tegemist ei ole. Me tuleme selle küsimuse juude hiljem koduvalt tagasi. Kineetilise (liikumisenegia) ja potentsiaalse (asukoha ja defomatsioonienegia) enegia summat nimetatakse keha mehaaniliseks enegiaks. Näiteks lendav lennuk omab nii kineetilist kui ka potentsiaalset enegiat. Liikuva keha kineetiline enegia. Avutame, kui palju tööd tuleb teha, et keha, massiga m, kiiust suuendada paigalseisust kuni väätuseni v. See töö salvestubki liikuvas kehas kineetilise enegiana.
Töö=enegia: A = E = fs= mas (4.14) k Kui suu aga on teepikkus s mille lõpuks saavutatakse kiius v? Kasutame seost (3.1) v = as, kust v s = a Teades (valem 4.1), et Nüüd on selge, et a = f m, asendame selle ja saame v m s = (4.15) f fmv mv E k = = (4.16) f Kineetiline enegia on võime teha tööd. Täpselt samapalju tööd, kui kulus keha kiiendamiseks kiiuseni v saame tagasi, kui keha peatada. Mõtiskleme nüüd mis juhtub, kui pall otse ülesse visata. Käest lahtilaskmise hetkel on tal üsna suu kiius e. potentsiaalne enegia. Ülespoole liikudes kiius pidevalt väheneb kuni pall peatub ja hakkab seejäel kiiust kogudes tagasi langema. Mis juhtus algse kineetilise enegiaga ja kust see enegia välja ilmus, kui me palli uuesti kinni püüame? Kineetiline enegia muundub potentsiaalseks enegiaks kui liikuvat keha peatab jõuväli. Gavitatsioonivälja jõud peatab lõpuks kivi liikumise, kuid kivi kineetiline enegia on muundunud tema potentsiaalseks enegiaks. Sama juhtub elektonidega, kui nad saavad lisaks kineetilist enegiat (näiteks aatomite põgetel või valguse neeldumisel): nad liiguvad tuumast kaugemale. Gavitatsiooniväljas asetseva keha potentsiaalne enegia Vaatleme esialgu gavitatsioonivälja maapinna lähedal. Avutame, kui palju tööd tuleb teha keha, mille mass on m tõstmiseks kõgusele h ületades vaba langemise kiiendust E = A= fs= mgh (4.17) p Gavitatsiooniväli (nagu ka elektiväli) on nn. potentsiaalne väli, kus keha potentsiaalse enegia muutus sõltub ainult alg-ja lõppasendist, mitte aga vahepealse liikumise tajektooist. Tehtud töö on sama, ükskõik millist ada mööda liigutakse samade alg- ja lõpp-punktide vahel. Mäe otsa tassitud kivi enegia ei sõltu sellest, millist ada kasutati. Sellest jägneb ka potentsiaalse enegia 0-punkti vaba valik. Gavitatsiooni- ja elektivälja analoogia. Maalähedase gavitatsiooni analoogia on laeng kondensaatoi plaatide vahel: E=Fxh=mgh; U=Fxl=eEl. Vabal inetsel liikumisel jõuväljas (ilma välismõjudeta) potentsiaalne ja kineetiline enegia pidevalt muunduvad teineteiseks, nii et summaane enegia on kogu aeg sama: mv E = Ep + Ek = mgh+ Näiteks kõguselt h kukkuva keha kiiuse leiame teades et kukkumise lõpuks mv E k = = mgh (4.18), kust v = gh (4.19)
Ülesvisatava kivi maksimaalkõguse võime samuti leida tema algenegia (algkiiuse) kaudu. Samuti jääb konstantseks näiteks pendli (üldistatult hamoonilise ostsillaatoi) koguenegia võnkudes maksimaalse potentsiaalse ja kineetilise enegiaga seisundite vahel. Keskmiselt on ½ enegiast kineetiline enegia ja teine ½, potentsiaalne enegia. Keha elastse defomatsiooniga seotud potentsiaalne enegia. Vedu. Keha (sealhulgas aatomite ja molekulide) ümbepaiknemisega uumis teise keha/jõu mõjul tehtud mehaaniline töö salvestatakse potentsiaalse enegia kujul. Üldiselt, omab asukohast sõltuvat potentsiaalset enegiat iga vastastikmõjus olev kehade süsteem, sõltumata sellest kas ta liigub (s.t. omab kineetilist enegiat) või mitte. Vedu kokkusuumisel tehtud töö dw = F() s ds = ksds W = 1 ks Teised potentsiaalse enegia allikad/liigid. Keemiline enegia, elektokeemiline enegia, toit, tuumaenegia. Kõikjal võib täheldada teatud stuktuuseid ümbekoaldusi või defomatsioone, mis salvestavad potentsiaalset enegiat. Kineetilise ja potentsiaalse enegia muundumine toimub ka näiteks lihaste töös. Ülesandeid lahendades avutame, kui kõgele saab hüpata kip, kelle kehas keskmine ATP kontsentatsioon on 0.1 mm, eeldades, et ATP keemiline enegia kõik muutub hüppel kineetiliseks enegiaks. Seos E = mc tähistab üldist mass/enegia jäävuse seadust (1 kg=9 10 16 J). c tähendab siin ühikuid siduvat koefitsienti, sest massi ja enegiat mõõdetakse einevates ühikutes. Enegial on mass ja massiga on seotud enegia. Ei ole ealdi füüsikas õpetatavat enegia jäävuse seadust ja keemias õpetatavat massi jäävuse seadust. Need kaks seadust on ealdi ligilähedaselt kehtivad vaid vastavalt madalate enegiate (millele vastavat väikest massi on aske mõõta) ja suute masside (millele vastav enegia on hoomamiseks liiga suu) koal. Mitte vähem tähtis ei ole sellest seosest tulev jäeldus valguse (elektomagnetilise välja) ja massi vahel. Juba vaem oli teada, et valgus on enegia olemise vom. Valguse neeldumist saab mõõta iistadega, mida kasutatakse enegia mõõtmiseks (bolomeetid, kaloimeetid, temomeete, temopaa jne.). Nüüd selgub, et valgus(väli) omab ka massi. Kaasaegses füüsikas domineeiva väljateooia seisukohalt omavad väljad enegiat, impulssi ja pöödimpulss, mis on jäävad igasugustes potsessides. Inteaktsioon kehade vahel tähendab siis lokaalset (antud keha asukohas toimuvat) enegia, impulsi ja/või pöödimpulsi ülekannet väljalt (mis on tekitatud teise keha poolt) antud ainele. Seega tuleb igasugust objekti enegia muutust vaadelda kui enegia ülekannet väljalt objektile, kusjuues kehtib seos E( aine) + E( vali) = const Liitosakese mass/enegia koosneb koostisosade massidest, nende liikumise kineetilisest enegiast ja liitosakesi siduva välja enegiast (seoseenegiast). Päikesesüsteemi mass on väiksem Päikese ja tema ümbe tiilevate planeetide ja teiste taevakehade masside summast. Vesiniku aatom kaalub ~10-6 võa vähem kui pooton ja elekton ealdi võetuna. Deuteon (pootoni ja neutoni tuumajõuga kooshoitav süsteem) on ~10-3 võa kegem kui vabad pooton ja neuton. Aga! Nukleonis oleva kolme kvagi masside summa annab vaid ~1/30 nukleoni massist. Ülejäänud osa peavad andma kvakide kineetiline enegia ja vävivälja enegia. Temotuumaeaktsioon: 4H aatomit=1he aatom+enegia, mis vastab massile 0.09 g (0.7% 4H kogumassist). Jõud kui enegiavälja uumilise muutumise kiius Potentsiaalse enegiaga seotud jõud. Potentsiaalse enegia gaafiku kalle määab keha tendentsi muuta oma asendit. Pilt. Sama tendentsi me tavaliselt seostame jõuga. Defineeime nüüd üsna meelevaldselt, et F E x. p =.
Ühik J/m=N. Jõud on siin avaldatud potentsiaalse enegia kaudu, mitte nii nagu seda taditsiooniliselt füüsikakusustes tehakse. See ebataditsiooniline lähenemine vastab paemini kaasaegse füüsika tendentsidele, kus enegiaväljad ja enegianivood omavad palju fundamentaalsemat tähendust, kui jõud ja jõuväljad, mis on päit hiljemalt üleelisest sajandist. See lähenemine osutub ka mäksa ülevaatlikumaks nende küsimuste käsitlemisel, mille juude me selles kususes veel tuleme. Mida see valem näitab? Keha hakkab liikuma potentsiaali vähenemise suunas valides kõikidest võimalikest suundadest selle, mis suunas mõjub suuim jõud. Raskusjõud F=mg; defomatsioonijõud F=-kx (Hookeí seadus). Kineetilise enegiaga seotud jõudu võib avutada, kui Mv Ek F = = x x. Mv f Mv M( v + v) Mv 0 0 0 E k = = x x x, mis kehtiv väikeste v Mv v + 1/M v Mv v 0 0 = x x Ek Mv v x v v 0 x v = = = M = M x x t x t t saame. Ek p F = = x t Edasi autledes muutuste jaoks. Asendades 0 Seega kineetilise enegia muutus, mis toimub väikesel teepikkusel delta x on võdne impulsi muutusega ajavahemiku jooksul, mis kulus selle vahemaa läbimiseks. See valem annab jõu definitsiooni kineetilise enegia muutuse kaudu. Kui auto sõidab vastu puud, siis auto kineetiline enegia liigutab plekke paigast ja muab sõitjate luid. Kui suu on jõud, kui 1 tonnine auto sõidab kiiusega 100 km/h vastu seina ja peatub lömastab oma nina 1 m ulatuses? NB! Auto kiiuse suuenemisel kaks koda suueneb kineetiline enegia neli koda! Niisugustel defomeeivatel põgetel muundub kineetiline enegia peamiselt molekulide soojusenegiaks (siseenegia kineetiline komponent). 4.7. Töö ja võimsus muutuvas jõuväljas Kui jõud on teepikkuse (koodinaadi) funktsioon (on muutuv sõltuvalt asukohast), siis tuleb akendada integeeimist. Integeeida tuleb liikumise ja jõu kui vektoite komponente kolme koodinaadi suunas ealdi B A= [ f ( x ) x dx + f ( y y ) dy+ f ( z z ) dz] A (4.8) aga meie vaatleme lihtsaid ühemõõtmelisi juhtusid, kus liikumine ja jõud on samasuunalised. Tüüpiline muutuva jõu poolt tehtud töö avutus on seotud keha asukoha muutusega teise keha gavitatsiooni- või elektiväljas. Eelnenud gavitatsiooniga seotud käsitlused olid lihtsad, sest ülesvisatud keha kõgus muutub võeldes Maa aadiusega sedavõd vähe, et askusjõudu saab lugeda konstantseks. Kui aga kaugus muutub suhteliselt palju, näiteks nagu kosmoselendudel, või
nagu elektoni kaugus muutub tuuma suhtes, siis ei saa ei gavitatsiooni- ega elektivälja jõudu enam konstantseks lugeda vaid töö (enegia) avutamisel tuleb avestada, et jõud muutub (väheneb) koos kauguse muutumisega. Kui see nii ei oleks, siis Maa külgetõmbe ületamiseks tuleks akendada lõpmata suut enegiat ja kosmoselennud oleksid võimatud. Õnneks seda tõepoolest ei ole. Newtoni gavitatsiooniseadus väidab, et kahe keha vahel mõjub gavitatsiooniline tõmbejõud, mis on võdeline nende kehade massidega (koutisega) ja pöödvõdeline nendevahelise kauguse uuduga: m1m f = k (4.9) Elementaatöö, mida tuleb kulutada selleks, et suuendada kehade vahelist kaugust d võa oleks ja liikumisel üle mingi pikema vahemiku tehtud töö oleks m1m da = k d (4.10) m m d km1m = k 1 d = km1m = (4.11) A Kui tee on määatud, tuleb integaal võtta adades liikumise algpunktist lõpp-punkti. d A = km1m 1 1 = km 1m 1 1 1 = km 1m 1 1 (4.1) Kuhu see tehtud töö kadus? Selle võa me suuendasime süsteemi potentsiaalset enegiat. Tehtud töö olemus on selle süsteemi potentsiaalse enegia suuendamine, millele akendati jõudu. Valem 4.1 näitab, et kui kahe keha vaheline jõud kahaneb kauguse suuenedes pöödvõdeliselt kauguse uuduga, siis tehtud töö kasvab kauguse kasvades pöödvõdeliselt kaugusega. Tõmbuvate kehade vahelise kauguse suuendamiseks tuleb teha välist tööd, kui kehad lähenevad, siis nad annavad enegiat äa e. teevad ise tööd. Tõukuvate kehade, näiteks samanimeliste laengute vahel, on olukod vastupidine: tõukuvate kehade lähendamiseks tuleb teha välist tööd, kui need kehad eemalduvad teineteisest, siis nad teevad ise tööd. Viimase juhu näiteks oleks aatomite lähenemine, kus välise kihi elektonid tõukuvad üksteise elektiväljas. Tahkete kehade kokkupuude ja hõõdumine ongi väliste elektonkihtide tõukumine, tegelikku füüsilist kokkupuudet ei esine kunagi. Tuleme nüüd tagasi potentsiaalse enegia 0-punkti määangu juude. See on muidugi vabalt valitav, kuid mitmes mõttes on mugav ja ka loomulik, kui potentsiaalne enegia on 0 masside/laengute lahkuviimisel lõpmatusse. Tõepoolest, jõud kaovad patneite kaugenedes. -1/ gaafiku lähendamine sigega väikeste agumendi muutuste puhul. 1 1 h K E = E E = K( ) = K h R+ h R R+ h R R + Rh R Üldistus Tayloi ea abil: Suvalist funktsiooni saab väikestel agumendi väätustel aendada itta agumendi astmete jägi 3 U ( x) = ax + 1/ kx + bx + cx 4 +