Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων. Η µέθοδος εφαρµόζεται εύκολα χωρίζοντας αρχικά το πεδίο ορισµού σε πεπερασµένους όγκους αναφοράς, έτσι ώστε κάθε κόµβος του πλέγµατος να περιβάλλεται από έναν όγκο αναφοράς. Στη συνέχεια η µερική διαφορική εξίσωση ολοκληρώνεται στον όγκο αναφοράς. Τα ολοκληρώµατα υπολογίζονται αναλυτικά υποθέτοντας ότι οι τιµές της άγνωστης εξαρτηµένης µεταβλητής είναι σταθερές ή ότι µεταβάλλονται γραµµικά σε κάθε όγκο αναφοράς. Οι αλγεβρικές εξισώσεις που προκύπτουν ονοµάζονται εξισώσεις πεπερασµένων όγκων το σύστηµα επιλύεται χρησιµοποιώντας τις άµεσες ή τις συστηµάτων. επαναληπτικές τεχνικές επίλυσης Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων γίνεται εύκολα κατανοητή αφού η µεθοδολογία γενικότερα ο τρόπος διατύπωσης της µεθόδου συνδέεται άµεσα µε τη φυσική του προβλήµατος. Είναι λογικό να θεωρούµε ότι οι εξισώσεις πεπερασµένων όγκων ικανοποιούν τις ίδιες φυσικές αρχές νόµους, (διατήρηση µάζας, ορµής, ενέργειας), µε αυτές που ικανοποιούν οι µερικές διαφορικές εξισώσεις από τις οποίες έχουν προκύψει. Μία βασική διαφορά ανάµεσα στις µεθόδους των πεπερασµένων διαφορών όγκων είναι ότι στις πεπερασµένες διαφορές η λύση βασίζεται µόνο στις τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στους κόµβους του πλέγµατος ενώ στους πεπερασµένους όγκους η λύση βασίζεται όχι µόνο στις τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στους κόµβους αλλά σε υποθετικές κατανοµές 1
ανάµεσα στους κόµβους. Τέλος σηµειώνεται ότι οι δύο υπολογιστικές µέθοδοι οδηγούν σε αντίστοιχες εξισώσεις διαφορών εφόσον η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών διατυπωθεί µε συστηµατικό τρόπο, έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η ευστάθεια η συνοχή του αριθµητικού σχήµατος. 6.2 Ολοκλήρωση σε όγκο αναφοράς Έστω η µόνιµη µονοδιάστατη εξίσωση θερµότητας µε πηγή d dt + S = 0 dx dx (6.2.1), = ( x) ο συντελεστής θερµικής αγωγής, ( ) θερµοκρασίας S T x η κατανοµή ο ρυθµός παραγωγής θερµότητας ανά µονάδα όγκου. Η διατύπωση της µεθόδου ξεκινά ορίζοντας το υπολογιστικό χωρίο επίλυσης του προβλήµατος. Το συνεχές πεδίο ορισµού διακριτοποιείται εστιάζουµε την προσοχή µας σε ένα τυχαίο κόµβο του πλέγµατος, έστω στον κόµβο στους γειτονικούς κόµβους όπως φαίνεται στο Σχήµα 6.1. δx δx x Σχήµα 6.1 ιακριτοποίηση σε µια διάσταση Στη συνέχεια ορίζουµε τον όγκο ελέγχου γύρω από τον κόµβο µε τις διακεκοµµένες γραµµές τα σηµεία βρίσκονται στο αριστερό δεξί αντίστοιχα µέτωπο του όγκου ελέγχου. Στο Σχήµα 6.1 φαίνεται ότι τα σηµεία ορίζονται στο µέσο των διαστηµάτων, χωρίς όµως αυτή η επιλογή να είναι υποχρεωτική. Σε σχέση µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών οι κόµβοι, είναι αντίστοιχοι των κόµβων 2
i 1, i i + 1, ενώ οι κόµβοι αντιστοιχούν στους κόµβους i ± 1/2. Θεωρώντας µοναδιαία πάχη στις κατευθύνσεις y z, αφού το πρόβληµα είναι µονοδιάστατο ο όγκος του όγκου ελέγχου είναι x 1 1. Η εξίσωση (6.1) ολοκληρώνεται στον όγκο ελέγχου προκύπτει d dt dt dt dx + Sdx = 0 + Sdx = 0 dx dx dx dx (6.2.2) Στο σηµείο αυτό για να προχωρήσουµε απαιτείται να γίνει µια υπόθεση για την θερµοκρασιακή κατανοµή γύρω από τα σηµεία. Οι δύο απλούστερες υποθέσεις είναι να θεωρήσουµε ότι η θερµοκρασία T( x ) είναι σταθερή ή ότι µεταβάλλεται γραµµικά ανάµεσα στα σηµεία, Ε. Επιλέγοντας τη δεύτερη υπόθεση η εξίσωση (6.2) ανάγεται στην αλγεβρική πλέον εξίσωση δx + =, (6.2.3) ( T T ) ( T T ) S x 0 δx το S είναι η µέση τιµή του S στον όγκο ελέγχου. Για υπολογιστικούς λόγους συνηθίζεται η εξίσωση (6.3) να γράφεται στη µορφή T = T + T + b, (6.2.4) =, (6.2.5α) δ x =, (6.2.5β) δ x = + (6.2.5γ) b= S x, (6.2.5δ) ή στην πιο βολική µορφή = +, (6.2.6) T btb b ο δείκτης b σηµαίνει κάποιο γειτονικό κόµβο το άθροισµα ισχύει για όλους τους γειτονικούς κόµβους. Οι συντελεστές της εξίσωσης (6.2.6) πρέπει να είναι θετικοί επίσης =. (6.2.7) p b 3
Υπάρχουν πολλές περιπτώσεις που οι κανόνες αυτοί δεν τηρούνται αυτό έχει συνήθως σαν συνέπεια ασταθή αριθµητικά αποτελέσµατα που δεν συµφωνούν µε τη φυσική του προβλήµατος. 6.3 Οριακές συνθήκες µικτού τύπου Οι οριακές συνθήκες που συνοδεύουν τις µερικές διαφορικές εξισώσεις, όπως έχουµε συχνά αναφέρει, είναι τύπου Dirichlt ή τύπου Num, ή µικτού τύπου. Όταν είναι τύπου Dirichlt, οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στους οριακούς κόµβους του υπολογιστικού πλέγµατος είναι γνωστές. Αντίθετα στις άλλες δύο περιπτώσεις είναι απαραίτητο να διατυπωθούν εξισώσεις πεπερασµένων όγκων για τους συνοριακούς κόµβους που θα λυθούν µαζί µε τις υπόλοιπες εξισώσεις των εσωτερικών κόµβων. Η µεθοδολογία παρουσιάζεται µε ένα παράδειγµα εξετάζεται η µόνιµη µονοδιάστατη εξίσωση θερµότητας (6.2.1) µε συνοριακή συνθήκη µικτού τύπου στο όριο x = 0 : dt = h( T T B ), (6.3.1) dx B T T B οι θερµοκρασίες του περιβάλλοντος του συνοριακού σηµείου Β ( x = 0 ) αντίστοιχα. Η διακριτοποίηση στον οριακό όγκο αναφοράς, στο σηµείο Β φαίνεται στο Σχήµα 3.2. δx i B x i Ι Σχήµα 3.2. ιακριτοποίηση οριακού κόµβου σε µια διάσταση 4
Παρατηρούµε ότι τώρα ο συνοριακός κόµβος Β δεν περιβάλλεται από τον αντίστοιχο όγκο ελέγχου. Η εξίσωση (6.2.1) ολοκληρώνεται στον συνοριακό όγκο ελέγχου προκύπτει ότι i i i d dt dt dt dx + Sdx = 0 + Sdx = 0 dx dx dx dx (6.3.2) B B i B B θεωρούµε ότι η θερµοκρασία T( x ) µεταβάλλεται γραµµικά ανάµεσα στα σηµεία Β επίσης αντικαθιστούµε τον δεύτερο όρο της (6.3.2) από την οριακή συνθήκη (6.3.1). Με βάση τα παραπάνω έχουµε ότι i δ x i ( T T ) h( T T ) S x 0 + + =. (6.3.3) I B B Η εξίσωση (6.3.3) γράφεται στη µορφή T B B = T I I + b, (6.3.4) i I =, (6.3.5α) δ xi B = +h (6.3.5β) I b= S x+ ht. (6.3.5γ) Λύνοντας την εξίσωση (6.3.3) µαζί µε τις εξισώσεις πεπερασµένων όγκων για τους εσωτερικούς κόµβους (6.2.4) οδηγούµαστε στον υπολογισµό των θερµοκρασιών. 6. 4 Χρονικά µεταβαλλόµενα προβλήµατα Έστω ότι ζητείται η αριθµητική επίλυση της χρονικά µεταβαλλόµενης εξίσωσης θερµότητας T T ρc = t x x, (6.4.1) η πυκνότητα ρ η ειδική θερµότητα δεν µεταβάλλονται ως προς το χρόνο. Ακολουθώντας την ίδια µεθοδολογία η εξίσωση (6.4.1) ολοκληρώνεται στον όγκο αναφοράς. Παράλληλα η χρονική επίλυση του c 5
προβλήµατος επιτυγχάνεται ολοκληρώνοντας την εξίσωση (6.4.1) στο χρονικό διάστηµα ανάµεσα σε βρίσκουµε t+ t t+ t t t+ t. Εφαρµόζοντας τα παραπάνω T T ρ c dt dx= d t x dt, (6.4.2) x x t t η σειρά ολοκλήρωσης εξαρτάται από το χαρακτήρα του κάθε όρου. Θεωρούµε ότι στον όγκο ελέγχου η εξαρτηµένη µεταβλητή T( t, x ) παραµένει σταθερή στη διάρκεια του χρονικού βήµατος, ενώ µεταβάλλεται γραµµικά στο διάστηµα x. Με βάση τις υποθέσεις αυτές προκύπτει ότι t+ t + 1 ρ c x( T T ) = ( T T) ( T T) dt δx t δx, (6.4.3) η χωρική διακριτοποίηση είναι αντίστοιχη αυτής της Παραγράφου 6.2 του Σχήµατος 6.1. Για να συνεχίσουµε απαιτείται µια νέα υπόθεση για τη χρονική µεταβολή της εξαρτηµένης µεταβλητής T( t, x ) στα σηµεία Ε, στη διάρκεια του χρονικού βήµατος δυνατότητες παρουσιάζονται στη γενική έκφραση t+ t t ( 1 θ) + 1 Tdt = θ T + T t t. Μερικές από τις υπάρχουσες, (6.4.4) η παράµετρος θ είναι ο συντελεστής σηµαντικότητας ή βαρύτητας ανάµεσα στις χρονικές στιγµές t t + t. Αντικαθιστώντας την εξίσωση (6.4.4) στην εξίσωση (6.4.3) προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων όγκων x ρc T T θ T T T T δ δ + 1 + 1 + 1 + 1 +1 ( ) = ( ) ( ) t x x + δx δx ( 1 θ ) ( T T ) ( T T ) (6.4.5) Το παραπάνω αποτέλεσµα µπορεί να γραφεί στην πιο συνεκτική µορφή ( 1 θ) ( 1 θ) ( 1 ) ( 1 ) * + 1 + 1 + 1 T = θt + θ T + θt + θ T + T +, (6.4.6) 6
=, (6.4.7α) δ x =, (6.4.7β) δ x ρc x = t * θ θ (6.4.7γ) = + +. (6.4.7δ) Όταν θ = 0 θ = 1 το σχήµα είναι ρητό πεπλεγµένο αντίστοιχα, ενώ όταν θ = 1/2 το σχήµα είναι πεπλεγµένο τύπου Cr-Nicolso. Επίσης όλα τα σχήµατα που προκύπτουν για θ 0 είναι πεπλεγµένα απαιτείται η επίλυση ενός συστήµατος εξισώσεων σε κάθε χρονική στιγµή. Αντίθετα, όταν το σχήµα είναι ρητό ( θ = 0 ) οι θερµοκρασίες σε κάθε χρονική στιγµή υπολογίζονται άµεσα. Στην περίπτωση αυτή πρέπει να είµαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί ώστε να ικανοποιείται ο ορισµός ότι όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης (6.4.6) πρέπει να είναι θετικοί. Στην ειδική περίπτωση που η θερµική αγωγιµότητα παραµένει σταθερή ( = = ) x = δ x = δ x, ο περιορισµός των θετικών συντελεστών ικανοποιείται µόνο όταν t x 2 1 ρc 2. (6.4.8) Όταν το κριτήριο (6.4.8) παραβιάζεται τότε προκύπτουν αφύσικα αποτελέσµατα αφού µια υψηλότερη θερµοκρασία τη χρονική στιγµή θα οδηγήσει σε χαµηλότερη θερµοκρασία T T την επόµενη χρονική στιγµή 1 +. Η επίλυση της αντίστοιχης εξίσωσης µε ρητό σχήµα περασµένων διαφορών είναι ευσταθής µόνο όταν ικανοποιείται το ίδιο ακριβώς κριτήριο ευστάθειας. Επίσης επεκτείνοντας τη σύγκριση των δύο µεθοδολογιών στις περιπτώσεις του πεπλεγµένου σχήµατος του σχήµατος Cr-Nicolso προκύπτουν αντίστοιχα αποτελέσµατα ισοδυναµίας, αν η περίπτωση του σχήµατος Cr-Nicolso χρίζει ιδιαίτερης προσοχής. Με βάση τα παραπάνω σχόλια µπορούµε να παραλληλίσουµε την απαίτηση για θετικούς συντελεστές 7
στη µέθοδο των πεπερασµένων όγκων µε το κριτήριο ευστάθειας στη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών. 6.5 Ολοκλήρωση σε δισδιάστατο τρισδιάστατο όγκο αναφοράς Έστω ότι ζητείται η αριθµητική επίλυση της µόνιµης εξίσωσης θερµότητας σε δυο διαστάσεις T T + = 0. (6.5.1) x x y y Τµήµα του υπολογιστικού πλέγµατος µε έναν όγκο ελέγχου γύρω από το σηµείο φαίνεται στο Σχήµα 3.3 δx N δx δx x y δx s s S Σχήµα 3.3: ιακριτοποίηση σε δυο διαστάσεις Τα γειτονικά σηµεία του είναι τα σηµεία Ε στη διεύθυνση x τα σηµεία S Ν στη διεύθυνση διεύθυνση y. Το πάχος του όγκου ελέγχου στη z είναι µονάδα. Εποµένως, ο όγκος είναι x y 1. Τα σηµεία,, s βρίσκονται στα µέτωπα του όγκου ελέγχου. Είναι προφανές, ότι επιχειρώντας µία σύγκριση ανάµεσα στα υπολογιστικά πλέγµατα των µεθόδων πεπερασµένων διαφορών όγκων βλέπουµε ότι τα πλέγµατα 8
είναι ισοδύναµα. Συγκεκριµένα τα σηµεία,, Ε, S Ν είναι αντίστοιχα των σηµείων ( i, j ), ( i± 1, j) ( i, j± 1) αντίστοιχα των σηµείων ( i± 1/2, j) (, 1/2) ολοκληρώνεται στον όγκο αναφοράς έχουµε ότι, ενώ τα σηµεία,, s είναι i j±. Η εξίσωση (6.5.1) T T dxdy + dydx 0 x x = (6.5.2) y y s s ή T T T T dy + dx x x y y = s s 0. (6.5.3) Στη συνέχεια θεωρώντας ότι οι θερµορροές παραµένουν σταθερές κατά µήκος των τεσσάρων µετώπων του όγκου ελέγχου η εξίσωση (6.5.3) γράφεται στη µορφή T T T T y+ x 0 x x = y y s (6.5.4) Τέλος, υποθέτουµε γραµµική µεταβολή της θερµοκρασίας στα µέτωπα,, s προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων όγκων y y x x δ δ δ δ ( T T ) ( T T ) + ( T T ) ( T T ) = 0 s N S x x y ys Η εξίσωση (6.5.5) γράφεται στην πιο συνεκτική µορφή (6.5.5) T = T + T + T N N + T S S (6.5.6) y =, (6.5.7α) δ x y =, (6.5.7β) δ x x N =, (6.5.7γ) δ y x s S = (6.5.7δ) δ ys 9
= + + N + S. (6.5.8) Η παραπάνω ανάλυση επεκτείνεται εύκολα σε τρισδιάστατα προβλήµατα µε ή χωρίς χρονική µεταβολή όρο πηγής. 6.6 Πολικές συντεταγµένες Μέχρι τώρα χρησιµοποιήσαµε µόνο καρτεσιανές συντεταγµένες. Είναι προφανές ότι η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων εφαρµόζεται σε άλλα συστήµατα συντεταγµένων. Στην παρούσα παράγραφο εξετάζεται η περίπτωση των πολικών συντεταγµένων, η µη οµογενής χρονικά µεταβαλλόµενη εξίσωση θερµότητας είναι T 1 T 1 T ρc = r + + S. (6.6.1) t r r r r θ r θ Το πλέγµα ο όγκος ελέγχου σε πολικές συντεταγµένες στο Σχήµα 3.4. N r θ φαίνονται s θ S r δr s δr δθ δθ Σχήµα 3.4 : ιακριτοποίηση σε πολικές συντεταγµένες Η εξίσωση πεπερασµένων όγκων προκύπτει αφού πολλαπλασιάσουµε την εξίσωση (6.6.1) µε r στη συνέχεια ολοκληρώσουµε ως προς r θ 10
στον όγκο ελέγχου V = r θ r. Ακολουθώντας την ίδια µαθηµατική επεξεργασία όπως στην περίπτωση των καρτεσιανών συντεταγµένων βρίσκουµε T = T + T + T + T + T + b * + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 N N S S (6.6.2) b r =, (6.6.3α) rδθ r =, (6.6.3β) rδθ r θ N =, (6.6.3γ) δ r r θ s s S =, (6.6.3δ) δ rs ρc V =, t (6.6.3ε) = S V (6.6.3στ) = + + + + S. (6.6.3ζ) * N Οι εκφράσεις (6.6.3) έχουν προκύψει θεωρώντας το πεπλεγµένο σχήµα (συντελεστής βαρύτητας 1 θ = ) ( ) V = 0.5 r + r s θ. Το παραπάνω παράδειγµα οδηγεί στο συµπέρασµα ότι οι διαφορές που προκύπτουν στη µαθηµατική επεξεργασία των εξισώσεων οφείλονται αποκλειστικά στη γεωµετρία του προβλήµατος, ενώ η µεθοδολογία διατύπωσης της µεθόδου των πεπερασµένων όγκων παραµένει η ίδια δεν εξαρτάται από το σύστηµα συντεταγµένων. Η παραπάνω ανάλυση επεκτείνεται εύκολα σε κυλινδρικές συντεταγµένες. 11