Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Η έννοια και χρήση των εσωτερικών δεσμεύσεων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ
Η λογική των εσωτερικών δεσμεύσεων Η συμβατότητα μεταξύ 2 σετ συντεταγμένων, x και x', ως προς το ΣΑ τους εξασφαλίζεται όταν οι παράμετροι μετασχηματισμού ομοιότητας μεταξύ τους είναι μηδέν. x x x x θ 0 θ 0
2Δ μετασχηματισμός ομοιότητας (γραμμικοποιημένο μοντέλο) T x x G θ x1 x1 1 0 y x y1 y1 0 1 x y x x 1 0 y x y y 0 1 x y x x 1 1 t x 1 1 t y s T G θ
3Δ μετασχηματισμός ομοιότητας (γραμμικοποιημένο μοντέλο) T x x G θ x1 x1 1 0 0 0 z y x y1 y 1 0 1 0 z 0 x y z1 z 1 0 0 1 y x 0 z x x 1 0 0 0 z y x y y 0 1 0 z 0 x y z z 0 0 1 y x 0 z x x G 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T t t t x y z x y z s θ
1Δ μετασχηματισμός ομοιότητας (γραμμικοποιημένο μοντέλο) T x x G θ H H 1 H H H 1 H x 1 1 1 H s x T G t θ
Να θυμάστε ότι Η χρήση του γραμμικοποιημένου μοντέλου του μετασχηματισμού ομοιότητας (μετασχ/μός Helmert) T x x G θ βασίζεται σε δύο σημαντικές προϋποθέσεις: o η διαφορά κλίμακας των ΣΑ για τα δύο σετ συντεταγμένων είναι σχετικά μικρή (π.χ. -10-4 < δs < 10-4 ). o η διαφορά προσανατολισμού των ΣΑ για τα δύο σετ συντεταγμένων είναι σχετικά μικρή (π.χ. -1'< ε < 1').
Παράμετροι μετασχ/μού ομοιότητας μεταξύ δύο σετ συντεταγμένων ˆ T 1 ( ) ( ) θ GG G x x x Εκτίμηση (μέσω ΜΕΤ) των παραμέτρων μετασχηματισμού ομοιότητας. x Εκφράζουν το κατά πόσο τα δύο σετ συντεταγμένων υλοποιούν το ίδιο ΣΑ.
Παράμετροι μετασχ/μού ομοιότητας μεταξύ δύο σετ συντεταγμένων ˆ T 1 ( ) ( ) θ GG G x x Αν ισχύει ότι G ( xx) 0 x θˆ 0 x Τα σετ συντεταγμένων x και x' υλοποιούν το ίδιο ΣΑ!
Συμπέρασμα Αν ισχύει η παρακάτω συνθήκη μεταξύ δύο διαφορετικών σετ συντεταγμένων x και x', G ( xx) 0 τότε αυτά αναφέρονται στο ίδιο σύστημα αναφοράς (ή, πιο σωστά, υλοποιούν το ίδιο σύστημα αναφοράς)!
Σε ποιες εξισώσεις δεσμεύσεων αντιστοιχεί η συνθήκη G ( xx) 0 ; i1 i1 x i y i x y i i 0 0 π.χ. για 2Δ δίκτυο o-net translation i1 y ( x x ) x ( y y ) 0 i i i i i i o-net rotation i1 x ( x x ) y ( y y ) 0 i i i i i i o-net scale difference
Σε ποιες εξισώσεις δεσμεύσεων αντιστοιχεί η συνθήκη G ( xx) 0 ; i1 x i x i 0 1 1 x i i1 i1 x i i1 y i y i 0 1 1 y i i1 i1 y i i1 i1 y ( x x ) x ( y y ) 0 i i i i i i x ( x x ) y ( y y ) 0 i i i i i i Διατήρηση του κέντρου βάρους του δικτύου
Τι σχέση έχουν τα προηγούμενα με τη συνόρθωση δικτύων;
Συνόρθωση δικτύου & μετασχηματισμός ομοιότητας Ο ορισμός του ΣΑ σε ένα δίκτυο μπορεί να γίνει μέσω δεσμεύσεων που εξασφαλίζουν τον μηδενισμό των παραμέτρων μετασχηματισμού μεταξύ των: o συνορθωμένων συντεταγμένων του δικτύου o κάποιων αρχικών γνωστών συντεταγμένων για (όλες ή ορισμένες από) τις κορυφές του. π.χ. o G ( xˆ x ) Gδxˆ 0 (*) οι παραπάνω δεσμεύσεις εξασφαλίζουν ότι το συνορθωμένο δίκτυο θα αναφέρεται στο ίδιο ΣΑ που υλοποιούν οι προσεγγιστικές συντεταγμένες σε όλες τις κορυφές του!
Συνόρθωση δικτύου & μετασχηματισμός ομοιότητας Οι προηγούμενες δεσμεύσεις μπορούν επίσης να εφαρμοστούν σε ορισμένα μόνο από τα σημεία του δικτύου (π.χ. μόνο στους σταθμούς αναφοράς) xˆ x ˆ xˆ 1 2 σταθμοί αναφοράς νέα σημεία 1 ˆ o ( 1 1 ) 1 ˆ1 G x x G δx 0 (*) οι παραπάνω δεσμεύσεις εξασφαλίζουν ότι το συνορθωμένο δίκτυο θα αναφέρεται στο ίδιο ΣΑ που υλοποιείται από τις προσεγγιστικές συντεταγμένες στους σταθμούς αναφοράς!
Δομή του πίνακα G x1 x2 G G G 1 2 θ - Οι γραμμές του πίνακα G αναφέρονται στις βασικές παραμέτρους του ΣΑ (μεταθέσεις, στροφές, κλίμακα). - Οι στήλες του πίνακα G αναφέρονται στις συντεταγμένες όλων των σημείων του δικτύου. - Οι υποπίνακες G 1 και G 2 αντιστοιχούν σε διαφορετικές ομάδες σημείων (π.χ. σταθμοί αναφοράς και νέα σημεία).
Δομή του πίνακα G (π.χ. οριζόντιο δίκτυο) G 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 y x y x y x y x 1 1 k k k+1 k+1 x y x y x y x y 1 1 k k k+1 k+1 G1 G2 1 η γραμμή: μετάθεση κατά x 2 η γραμμή: μετάθεση κατά y 3 η γραμμή: στροφή/προσανατολισμός 4 η γραμμή: κλίμακα
Δομή του πίνακα G x1 x2 G G G 1 2 θ Δεσμεύσεις για τον ορισμό του συστήματος αναφοράς 1 xo 1 o 2 x 2 xˆ G 1 0 0 xˆ 1 xo 1 o 2 x 2 xˆ G 1 G2 0 xˆ χρήση ΟΛΩΝ των σημείων του δικτύου χρήση μόνο των σημείων της 1 ης ομάδας
Εποπτική αντίληψη y Gδxˆ 0 Μορφή ελεύθερου δικτύου yˆf x ˆ o ( δx ) x Οι παράμετροι μετασχηματισμού o ομοιότητας μεταξύ ˆx και x είναι μηδέν ˆ δx u
Εποπτική αντίληψη y C G δxˆ 0 1 1 C Β Μορφή ελεύθερου δικτύου Α A B yˆf x ˆ o ( δx ) Οι παράμετροι μετασχηματισμού ομοιότητας μεταξύ ˆx και x είναι μηδέν 1 x 1 o ˆ δx u
Σχόλια Αν χρησιμοποιηθούν οι δεσμεύσεις Gδxˆ 0 ή G δxˆ 0 για τη συνόρθωση του δικτύου, τότε 1 1 - η απόλυτη θέση του δικτύου, - ο προσανατολισμός του δικτύου, - η κλίμακα του δικτύου καθορίζονται εξ ολοκλήρου από τις γνωστές (προσεγγιστικές) συντεταγμένες των σημείων που συμμετέχουν στις εξισώσεις δεσμεύσεων.
Σχόλια Αν ορισμένα στοιχεία του ΣΑ του δικτύου καθορίζονται μέσω των παρατηρήσεων, π.χ. o κλίμακα/προσανατολισμός σε 3Δ δίκτυα GPS o κλίμακα σε 2Δ τοπογραφικά δίκτυα με μετρήσεις αποστάσεων o κλίμακα σε κατακόρυφα δίκτυα με μετρήσεις υψομετρικών διαφορών τότε ενδέχεται να μην θέλουμε να τα δεσμεύσουμε εκ νέου μέσω πρόσθετων δεσμεύσεων.
Εσωτερικές δεσμεύσεις o Είναι μια μικρή παραλλαγή των δεσμεύσεων Gδxˆ 0 ή G δx ˆ 0. 1 1 o Εξασφαλίζουν το μηδενισμό των παραμέτρων μετασχηματισμού μεταξύ του συνορθωμένου δικτύου και κάποιων γνωστών συντεταγμένων αναφοράς αλλά μόνο για τις παραμέτρους του ΣΑ που εμπλέκονται στην αδυναμία βαθμού του δικτύου. o Είναι ελάχιστες δεσμεύσεις δεν παραμορφώνουν το συνορθωμένο δίκτυο.
Πίνακας των εσωτερικών δεσμεύσεων x1 x2 G G G 1 2 θ x1 x2 E E E 1 2 * θ Οι παράμετροι θ* αντιστοιχούν στις παραμέτρους του ΣΑ του δικτύου που δεν ορίζονται μέσω των παρατηρήσεων.
Πίνακας των εσωτερικών δεσμεύσεων x1 x2 G G G 1 2 θ x1 x2 E E E 1 2 * θ Ο πίνακας Ε δημιουργείται μέσω των γραμμών του πίνακα G που αντιστοιχούν στην αδυναμία βαθμού του δικτύου.
Παράδειγμα Οριζόντιο δίκτυο με μετρήσεις αποστάσεων (αδυναμία βαθμού = 3) G 1 0 1 0 0 1 0 1 y x y x 1 1 x y x y 1 1 t x t y s E 1 0 1 0 0 1 0 1 y x y x 1 1 Πίνακας εσωτερικών δεσμεύσεων
Παράδειγμα 3Δ δίκτυο GPS με συνιστώσες βάσεων (αδυναμία βαθμού = 3) G 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 z y 0 z y 1 1 z 0 x z 0 x 1 1 y x 0 y x 0 1 1 x y z x y z 1 1 1 t x t y t z x y z s E 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 Πίνακας εσωτερικών δεσμεύσεων
Παράδειγμα 1Δ υψομετρικό δίκτυο (αδυναμία βαθμού = 1) G 1 1 H H 1 t H s E 1 1 Πίνακας εσωτερικών δεσμεύσεων
Συνόρθωση δικτύου με εσωτερικές δεσμεύσεις Βασικές σχέσεις (ολικές) εσωτερικές δεσμεύσεις 1 xo 1 o 2 x 2 xˆ E 1 E2 0 xˆ E Eδxˆ 0 T 1 δxˆ ( E E) u ˆ ˆ o x x δx Θα ισχύει: Eδxˆ 0 ˆ δx u (*) Εξασφαλίζουν ότι το συνορθωμένο δίκτυο θα αναφέρεται στο ίδιο ΣΑ που υλοποιούν οι συντεταγμένες x ο
Συνόρθωση δικτύου με εσωτερικές δεσμεύσεις Βασικές σχέσεις (μερικές) εσωτερικές δεσμεύσεις 1 xo 1 o 2 x 2 xˆ E 1 0 0 xˆ K Kδxˆ E δxˆ 0 1 1 T 1 δxˆ ( K K) u ˆ ˆ o x x δx Θα ισχύει: Kδxˆ 0 ˆ δx u (*) Εξασφαλίζουν ότι το συνορθωμένο δίκτυο θα αναφέρεται στο ίδιο ΣΑ που υλοποιούν οι συντεταγμένες x 1 ο
Συνόρθωση δικτύου με εσωτερικές δεσμεύσεις Μια πιο γενική μορφή ext E ( xˆ x ) 0 ext Eδxˆ E( x x ) όπου x ext είναι κάποιες γνωστές συντεταγμένες αναφοράς για τις κορυφές του δικτύου. T 1 T ˆ ( ) ( ) δx E E u E c ˆ ˆ o x x δx (*) Εξασφαλίζουν ότι το συνορθωμένο δίκτυο θα αναφέρεται στο ίδιο ΣΑ που υλοποιούν οι συντεταγμένες x ext c o
Να θυμάστε ότι Αν σε ένα δίκτυο υπάρχουν διαθέσιμοι σταθμοί αναφοράς, τότε έχουμε διάφορες εναλλακτικές επιλογές δεσμεύσεων για να πάρουμε μια λύση συνόρθωσης που να αναφέρεται στο ίδιο ΣΑ με αυτό που υλοποιούν οι γνωστοί σταθμοί αναφοράς. y 3 2 1 x