E. ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΟΥΣ Ι.Συνθήκες Μεγιστοποίησης.Έσοδο.Κέρδος ντγωνιστικής πργωγής 3.Κερδοφορί.Προσφορά προιόντος 5.Κέρδος με συντελεστή πργωγής.ζήτηση γθών στην κτνάλωση 7.Μέγιστο κέρδος. Συνθήκες Μεγιστοποίησης Θ εξετάσουμε πλά προβλήμτ βελτιστοποίησης στ οικονομικά της πρκάτω μορφής: max{b(x) = r(x) c(x) x Δικρίνουμε τις συνρτήσεις: r(x), έσοδο (revenue) ή χρησιμότητ (utility) Mr = r (x), ορικό έσοδο (marginal revenue) ή η ορική χρησιμότητ (marginal utility),: c(x), κόστος (cost) Mc= c (x), ορικό κόστος (marginal cost), b(x) = r(x) c(x), κέρδος (rofit) ή όφελος (benefit) Όσον φορά την λύση του πρπάνω προβλήμτος μεγιστοποίησης, δικρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:. x =. Λέμε ότι η διδικσί είνι μη συμφέρουσ. Θ ικνοποιείτι η συνθήκη: b () r () c () Mr() Mc() Δηλδή το ρχικό ορικό έσοδο θ είνι οπωσδήποτε μικρότερο πό το ρχικό ορικό κόστος.. x >. Λέμε ότι η διδικσί είνι συμφέρουσ. Θ ικνοποιείτι η συνθήκη: {b (x) =, b (x) {r (x) = c (x), r (x) c (x)} {Mr(x) = Mc(x), Mr (x) Mc(x)} Δηλδή στη λύση το ορικό έσοδο θ κόβει το ορικό κόστος πό πάνω προς τ κάτω, ή ισοδύνμ το ορικό κόστος θ κόβει το ορικό έσοδο πό κάτω προς τ πάνω. 3. x +, η λύση είνι μη φργμένη Σε πολλές περιπτώσεις έχουμε κι πάνω φράγμ στη μετβλητή επιλογής, της μορφής: max{b(x) = r(x) c(x) x β} Τότε θ ντικτστήσουμε στις περιπτώσεις κι 3, ως εξής:. < x < β 3.. x = β. Λέμε ότι ο περιορισμός είνι δεσμευτικός. Θ ικνοποιείτι η συνθήκη: b (β) r (β) c (β) Mr(β) Mc(β) Το τελικό ορικό έσοδο είνι μεγλύτερο πό το τελικό ορικό κόστος, κι θ μπορούσμε ν υξήσουμε το x γι μεγλύτερο κέρδος ν δεν υπήρχε ο πάνω περιορισμός. Οι πρπάνω συνθήκες ως νγκίες μς δίνουν τ υποψήφι σημεί γι λύση, οπότε θ πρέπει ν συγκρίνουμε μετξύ τους τις τιμές της συνάρτησης κέρδους b(x). Σε πολλά προβλήμτ οι πρπάνω συνρτήσεις έχουν κι τ εξής πρόσθετ χρκτηριστικά: Το έσοδο r(x) είνι κοίλη, γρμμική ή γνήσι κοίλη. Το κόστος c(x) είνι κυρτή, γρμμική ή γνήσι κυρτή. Δηλδή Το ορικό έσοδο Mr = r (x) είνι φθίνουσ, στθερή ή γνήσι φθίνουσ. Tο ορικό κόστος Mc= c (x) είνι ύξουσ, στθερή ή γνήσι ύξουσ. Τότε έχουμε πρόβλημ ΚΠ, οι πρπάνω συνθήκες γίνοντι κι ικνές, οπότε ν κάποι πό υτές ικνοποιείτι τότε υτή είνι κι η λύση. κι έχουμε τις εξής περιπτώσεις:. b () : r () c (). Η διδικσί είνι μη συμφέρουσ. Η λύση είνι: x = Αν b () > : r () > c (), τότε η διδικσί είνι συμφέρουσ, κι δικρίνουμε δύο περιπτώσεις:. Η ύξουσ συνάρτηση ορικού κόστους κόβει την φθίνουσ συνάρτηση ορικού εσόδου πό κάτω προς τ πάνω, κι η λύση βρίσκετι στο σημείο τομής: r (x) = c (x) x > 3. Οι δύο κμπύλες δεν συνντώντι, το ορικό κόστος είνι πντού μικρότερο πό το ορικό έσοδο, κι η λύση βρίσκετι στο άπειρο, ως όριο: r (x) > c (x) x + r (x) x c (x) c (x) r (x) r (x) c (x)
Πρτήρηση. Θεωρούμε δύο συνρτήσεις κι την διφορά τους: {f,g} h= f g Αν το γράφημ της f δισχίζει υτό της g πό πάνω προς τ κάτω ή ισοδύνμ ν το γράφημ της g δισχίζει υτό της f πό κάτω προς τ πάνω, τότε στο σημείο τομής ικνοποιούντι οι συνθήκες: {f(x) = g(x), f (x) g(x)} {h(x) =, h(x) Το ντίστροφο επίσης ισχύει ν οι νισότητες είνι γνήσιες. f g
. Εσοδο Αν μι πργωγή ποσότητς διτεθεί στην κτνάλωση με μονδιί τιμή P, θ προκύψει έσοδο (revenue): R= P Όσον φορά την εξάρτηση της τιμής πό την ποσότητ, δικρίνουμε δύο βσικές περιπτώσεις, ως εξής:. Στη γενική περίπτωση η μονδιί τιμή εξρτάτι πό την ποσότητ σύμφων με την εξίσωση ζήτησης του προϊόντος, οπότε λέμε ότι επικρτούν συνθήκες ελλιπούς ντγωνισμού, ειδικότερ συνθήκες μονοπωλίου (monooly): P= P() R= P(). Η μονδιί τιμή είνι στθερή εξωγενώς κθορισμένη, οπότε λέμε ότι επικρτούν συνθήκες πλήρους ντγωνισμού (full cometition). Έχουμε: P() R= Εδώ θ σχοληθούμε μόνο με το, που μπορεί ν θεωρηθεί κι ως ειδική (ορική) περίπτωση του.. Κέρδος ντγωνιστικής πργωγής Θεωρούμε πργωγή σε συνθήκες πλήρους ντγωνισμού όπου η μονδιί τιμή είνι δοσμένη εξωγενώς: P= Συτή την περίπτωση το έσοδο θ είνι R Π= C(), = κι το κέρδος (rofit): όπου η συνάρτηση κόστους C= C() είνι συνήθως κυρτή, λλά όχι πρίτητ. Ενίοτε είνι ρχικά κοίλη πριν κτλήξει ν γίνει κυρτή. Το πρόβλημ μεγιστοποίησης του κέρδους τίθετι στη μορφή: max{π= C() Θ πριστάνουμε τις μετβλητές με κεφλί γράμμτ, τις βέλτιστες ποσότητες κι τις πρμέτρους με μικρά. Έτσι η βέλτιστη ποσότητ πργωγής κι το μέγιστο κέρδος θ πριστάνοντι ντίστοιχ με:,π = Π() Μεγιστοποίηση κέρδους ντγωνιστικής πργωγής Όσον φορά την βέλτιστη ποσότητ πργωγής, δικρίνουμε δύο περιπτώσεις:. =. Λέμε ότι η τιμή είνι μη συμφέρουσ. Θ ισχύει κι η γνωστή συνθήκη γι κρόττο στο ριστερό σύνορο: Π () C () Δηλδή η μονδιί τιμή είνι μικρότερη πό το ρχικό ορικό κόστος.. >. Λέμε ότι η τιμή είνι συμφέρουσ. Θ ισχύει κι η γνωστή συνθήκη γι εσωτερικό κρόττο, υποθέτοντς ότι η λύση είνι φργμένη: {Π () =, Π () {= C (), C () {= (), () Υπενθυμίζουμε ότι ν η συνάρτηση κόστους είνι κυρτή, τότε έχουμε πρόβλημ ΚΠ κι οιδήποτε πό τις πρπάνω συνθήκες ικνοποιείτι δίνει την λύση. Σε κάθε περίπτωση, ν η τιμή είνι συμφέρουσ κι η λύση φργμένη, τότε στη βέλτιστη πργωγή το ορικό κόστος είνι ίσο με την μονδιί τιμή κι υξνόμενο. Δηλδή στη βέλτιστη πργωγή το ορικό κόστος δισχίζει την μονδιί τιμή πό κάτω προς τ πάνω, οπότε είνι μικρότερο πριν κι μεγλύτερο μετά. Ειδικότερ όσον φορά την προσφορά προιόντος, προκύπτει πό τ πρπάνω ότι: Αν η τιμή είνι μη συμφέρουσ τότε η ποσότητ προσφοράς είνι μηδενική: =. Αν η τιμή είνι συμφέρουσ τότε η ποσότητ προσφοράς > είνι υτή στην οποί το ορικό κόστος συμπίπτει με την μονδιί τιμή: = C () γι > Η πρπάνω σχέση είνι η γνωστή ντίστροφη συνάρτηση προσφοράς (inverse demand function). Διπιστώνουμε ότι συμπίπτει με την συνάρτηση ορικού κόστους, εφόσον η τιμή είνι συμφέρουσ. Πρτήρηση. Αν δεν έχουμε στθερό κόστος τότε η συμφέρουσ τιμή είνι κι κερδοφόρος: π= Π() > Π() = Αν όμως έχουμε στθερό κόστος το οποίο υπάρχει κι χωρίς πργωγή, τότε η συμφέρουσ τιμή δεν είνι πρίτητ κερδοφόρος, λλά είνι κλλίτερη πό την ζημιά του στθερού κόστους της μη πργωγής: π= Π() > Π() = C() 3
Πράδειγμ. Θεωρούμε το πρόβλημ μεγιστοποίησης κέρδους γι ντγωνιστική πργωγή με συνάρτηση κόστους: C= + + C = + Λύση. Είνι το κλσικό πρόβλημ μεγιστοποίησης κέρδους που εκφράζετι ως διφορά μις κοίλης (γρμμικής) συνάρτηση εσόδου κι μις κυρτής συνάρτησης κόστους, στο θετικό διάστημ: Π= R C, όπου: R() =, C() = + + Έχουμε στθερό ορικό έσοδο κι ύξον ορικό κόστος : R =, C = + όπου: R () =, C () = Η λύση, θ είνι:. = ν R () C (), < η τιμή είνι μη συμφέρουσ. > ν R () > C () >, < η τιμή είνι συμφέρουσ, κι η λύση, δίνετι πό = > > την σχέση: = C () = + γι {>, > μη συμφέρουσ συμφέρουσ κερδοφόρος Όπως φίνετι στ σχήμτ πρπάνω είνι το σημείο όπου το ύξον ορικό κόστος κόβει την μονδιί τιμή πό κάτω προς τ πάνω. Τo μέγιστο κέρδος ως συνάρτηση της τιμής, είνι: C() = ν π= C() = + ( ) / ν > Θ έχουμε κερδοφορί μόνο ν: π= + ( ) / > >, οπότε > Βρήκμε πρπάνω κι την εξίσωση ζήτησης, όπου η ντίστροφη συνάρτηση προσφοράς δίνετι πό τη συνάρτηση ορικού κόστους, γι τις συμφέρουσες τιμές. Αντιστρέφοντς βρίσκουμε κι την συνάρτηση προσφοράς: ν = ( ) / ν Πρτηρούμε ότι ως συνρτήσεις της τιμής : Η προσφορά προιόντος: = (), είνι ύξουσ. Το μέγιστο κέρδος:π= π(), είνι ύξουσ κυρτή, δηλδή υξάνει με υξνόμενο ρυθμό, κι κυμινόμενες τιμές του προιόντος είνι περισσότερο προσοδοφόρες πό στθερές ενδιάμεσες τιμές, κτά μέσο όρο. 3. Κερδοφορί Θ εξετάσουμε τώρ το πρόβλημ κερδοφορίς χρησιμοποιώντς το ορικό κι τ μέσ κόστη. Το συνολικό κόστος C() προκύπτει ως άθροισμ του στθερού κόστους κι του μετβλητού κόστους: C() = FC+ VC() Το κέρδος ντγωνιστικής πργωγής γράφετι: Π= C() = [ AC], όπου: AC= C() / είνι το μέσο κόστος Αν πρλείψουμε το στθερό κόστος τότε βρίσκουμε το μετβλητό ή λειτουργικό κέρδος (variable, oerational rofit): VΠ= VC() = [ AVC], όπου: AVC= VC() / είνι το μέσο μετβλητό κόστος Έτσι το κέρδος προκύπτει φιρώντς το στθερό κόστος πό το λειτουργικό κέρδος: Π= VΠ FC Το κέρδος κι το λειτουργικό κέρδος έχουν μέγιστο στο ίδιο διότι διφέρουν μετξύ τους μόνο κτά μι στθερά. Πρτηρούμε ότι η τιμή είνι: συμφέρουσ το μέγιστο λειτουργικό κέρδος είνι γνήσι θετικό κερδοφόρος το μέγιστο κέρδος είνι γνήσι θετικό. Διπιστώνουμε ότι: = C () π= π() = ()
Συμφέρουσ τιμή. Σε μι ντγωνιστική πργωγή, η μονδιί τιμή είνι συμφέρουσ είνι γνήσι μεγλύτερη πό το ελάχιστο μέσο μετβλητό κόστος: > > = min{avc}, Συτή την περίπτωση το μέγιστο λειτουργικό κέρδος: vπ= VΠ() > είνι γνήσι θετικό κι δίνετι πό το προσημσμένο εμβδό μετξύ της οριζόντις ευθείς της τιμής κι της κμπύλης ορικού κόστους: vπ = [ C ()]d > Κερδοφόρ τιμή. Σε μι ντγωνιστική πργωγή, η μονδιί τιμή είνι κερδοφόρ είνι γνήσι μεγλύτερη πό το ελάχιστο μέσο κόστος: π> > = min{ac} Συτή την περίπτωση το μέγιστο λειτουργικό κέρδος όχι μόνο είνι γνήσι θετικό, λλά υπερκλύπτει το στθερό κόστος κι η γνήσι θετική διφορά τους μς δίνει το μέγιστο κέρδος. Πράδειγμ. Θ λύσουμε πάλι το προηγούμενο πράδειγμ χρησιμοποιώντς τώρ το ορικό κι τ μέσ κόστη. Έχουμε: C= + + = +, AC= + +, min{ac} = VC= + AVC= +, min{avc} = Στο πρώτο σχήμ βρίσκουμε γρφικά το ελάχιστο του μέσου κόστους κι το ελάχιστο του μέσου μετβλητού κόστους στην ντίστοιχη τομή τους με το ορικό, σύμφων με την θεωρί του κεφ. Ε: AC= min AC=, AVC= min AVC= Πρτηρούμε ότι το ελάχιστο μέσο κόστος είνι το ρχικό κι συμπίπτει με το ρχικό ορικό κόστος: min AVC= () = AC = min AC AVC < < = min AVC = >, vπ> >,π > μη συμφέρουσ συμφέρουσ κερδοφόρος μέγιστο κέρδος ντγωνιστικής πργωγής με C= + + Πρτηρούμε κι τ εξής:. Στο δεύτερο σχήμ η τιμή είνι μη συμφέρουσ διότι είνι μικρότερη πό το min AVC=. Στο τρίτο σχήμ η τιμή είνι συμφέρουσ διότι είνι γνήσι μεγλύτερη πό το min AVC=, λλά είνι μη κερδοφόρ διότι είνι μικρότερη του min AC=. 3. Στο τέτρτο σχήμ η τιμή είνι κι κερδοφόρ διότι είνι γνήσι μεγλύτερη πό το min AC=. Στο δεύτερο κι τρίτο σχήμ η βέλτιστη πργωγή βρίσκετι εκεί όπου το ορικό κόστος κόβει την τιμή πό κάτω προς τ πάνω. Γρφική Λύση. Δίνουμε πρκάτω κι μι γρφική λύση του πρπάνω προβλήμτος μεγιστοποίησης κέρδους, χρησιμοποιώντς τις ρχικές συνρτήσεις κόστους C= C() κι εσόδου R= με τρεις διφορετικές τιμές που δίνοντι πό τις κλίσεις της ευθείς του εσόδου. Σε κάθε περίπτωση το βέλος πριστάνει το μέγιστο κέρδος. Ειδικότερ η τιμή θ είνι: 5
μη συμφέρουσ όπως στο πρώτο σχήμ, ν η κλίση είνι μικρότερη πό την κλίση του ελάχιστου μέσου μετβλητού κόστους που εδώ συμπίπτει με το ρχικό ορικό κόστος: = min{avc} = συμφέρουσ όπως στο δεύτερο σχήμ, ν η κλίση είνι μεγλύτερη πό την κλίση του ελάχιστου μέσου μετβλητού κόστους: > = min{avc} = κερδοφόρος όπως στο τρίτο σχήμ ν η κλίση είνι μεγλύτερη πό την κλίση του ελάχιστου μέσου κόστους: > = min{ac} =. C C R π> FC= π< R = < < μη συμφέρουσ συμφέρουσ μη κερδοφόρος.κερδοφόρος μέγιστο κέρδος ντγωνιστικής πργωγής με C= + + Πράδειγμ. Θ εξετάσουμε κι έν πρόβλημ μεγιστοποίησης κέρδους γι ντγωνιστική πργωγή, που δεν είνι ΚΠ. Ειδικότερ η συνάρτηση κόστους δεν είνι κοίλη. Αρχικά έχουμε οικονομίες κλίμκς, οπότε είνι κυβική, ρχικά κοίλη πριν κτλήξει ν είνι κυρτή: 3 C= 9+ 3 + / 3 9 = 3 +, AC= + 3 +, AVC= 3 + 3 3. Στο ελάχιστό του, το μέσο μετβλητό κόστος συμπίπτει με το ορικό, οπότε βρίσκουμε: AVC= 3= {=.5, AVC(.5) =.5} { =.5, =.5}. Στο ελάχιστό του, το μέσο κόστος συμπίπτει με το ορικό, οπότε βρίσκουμε: 3 AC= 3 7= = 3, AC(3) = } { = 3, = } Συμπερίνουμε ότι: η ελάχιστη συμφέρουσ τιμή είνι η =.5 με πργωγή =.5 η ελάχιστη κερδοφόρ τιμή είνι = με πργωγή = 3 Στο πρκάτω γράφημ δίνουμε ορισμέν χρκτηριστικά της λύσης. Στο πρώτο σχήμ εντοπίζουμε την συμφέρουσ τιμή κι την κερδοφόρο τιμή. Βρίσκοντι στις τομές του ορικού κόστους με τ ντίστοιχ μέσ κόστη. Στο δεύτερο σχήμ η τιμή είνι συμφέρουσ κι η λύση βρίσκετι στο σημείο όπου η κμπύλη ορικού κόστους κόβει την τιμή πό κάτω προς τ πάνω. Το ίδιο στο τρίτο σχήμ όπου η τιμή είνι τώρ κι κερδοφόρος. R FC< π C AC AVC βέλτιστη ντγωνιστική πργωγή με 3 C= 9+ 3 + 3
Πρτήρηση. Σε ντίθεση με το προηγούμενο πράδειγμ, τώρ η τιμή μπορεί ν είνι συμφέρουσ πρότι μικρότερη πό το ρχικό ορικό κόστος, διότι ενώ ρχικά έχουμε ζημιά, στη συνέχει έχουμε κερδοφορί διότι το ορικό κόστος είνι φθίνον. Κόβει την τιμή σε δύο σημεί, λλά μόνο το δεύτερο σημείο που κόβει πό κάτω προς τ πάνω είνι ποδεκτό.. Προσφορά προιόντος Διπιστώσμε ότι στην ντγωνιστική πργωγή η προσφορά προϊόντος ρχίζει με την ελάχιστη συμφέρουσ τιμή = min AVC κι ντίστοιχη ποσότητ, κι κθορίζετι έτσι ώστε το ορικό κόστος ν συμπίπτει με την τιμή κι ν είνι ύξον. Η εξίσωση προσφοράς προϊόντος γι τ δύο προβλήμτ ντγωνιστικής πργωγής που εξετάσμε έχει ως εξής: = γι =. C= + + = C () = + γι > 3 = γι =.5. C= 9+ 3 + 3 = C () = 3 + γι {> =.5, > =.5} Δηλδή, γι συμφέρουσες τιμές οι ντίστροφες συνρτήσεις προσφοράς συμπίπτουν με τις συνρτήσεις ορικού κόστους, όπως φίνετι κι στο πρκάτω γράφημ. Πρτηρούμε ότι στο δεύτερο σχήμ, όπου η συνάρτηση κόστους είνι ρχικά γνήσι κοίλη με φθίνον ορικό κόστος, κθώς η μονδιί τιμή περνάει το κτώφλι του = min AVC κι γίνετι συμφέρουσ, η πργωγή εμφνίζει συνέχει κι πό μηδενική πηγίνει στην ντίστοιχη ποσότητ, πρκάμπτοντς τελείως το ενδιάμεσο τμήμ. προσφορά ντγωνιστικής πργωγής: = C (), Πρτήρηση. Σόλ τ πρπάνω υποθέσμε ότι το στθερό κόστος υπάρχει κι με μηδενική πργωγή: C() = FC Αν υποθέσουμε ότι το στθερό κόστος εμφνίζετι μόνο με την ένρξη της πργωγής, τότε η μηδενική πργωγή θ έχει μηδενικό κόστος: C() = Συτή την περίπτωση έχουμε πάντοτε την επιλογή της μηδενικής πργωγής με μηδενικό κόστος, οπότε η συμφέρουσ θ συμπίπτει με την κερδοφόρο. Η πργωγή θ ρχίσει με τιμή κι ποσότητ. Πρτήρηση. Αν η συνάρτηση κόστους είνι γρμμική: C= C + m = = C () τότε η προσφορά προιόντος είνι: ν < m = ν > m Δηλδή η προσφορά είνι πλήρως ελστική. Εξάλλου συτή την περίπτωση η συνάρτηση ορικού κόστους είνι οριζόντι: = C () = m, 5. Κέρδος με συντελεστή πργωγής Στη συνέχει θ εξετάσουμε μι πργωγική διδικσί όπου η πργωγή κι το κόστος δεν συνδέοντι πευθείς, λλά μέσω ενός συντελεστή πργωγής τον οποίο συμβτικά θ ποκλούμε εργσί (Labor) L. Τώρ η πργωγή θ είνι συνάρτηση της εργσίς: = (L) = +, = 7 =.5 C () = 3 +, =.5 C () = m
συνήθως κοίλη συνάρτηση λλά όχι πρίτητ. Ενίοτε μπορεί ν είνι στην ρχή κυρτή πριν κτλήξει ν είνι κοίλη. Θ υποθέσουμε συνθήκες πλήρους ντγωνισμού στην γορά του προιόντος κι της εργσίς, οπότε η μονδιί τιμή του προιόντος P, κι το μονδιίο κόστος της εργσίς W θ είνι πράμετροι, δηλδή στθερές κθορισμένες εξωγενώς: P=, W = Το κόστος κι το έσοδο της πργωγής θ είνι: C= L, R= (L) Υποθέτοντς ως συνήθως ότι το στθερό κόστος υπάρχει κι χωρίς πργωγή, το πρλείψμε ν υπάρχει, δεδομένου ότι δεν επηρεάζει την βέλτιστη πργωγή λλά μόνο το επίπεδο του κέρδους κτά μι στθερά. Έτσι, η πρκάτω μελέτη φορά στην πργμτικότητ το λειτουργικό κέρδος. Το πρόβλημ μεγιστοποίησης του κέρδους τίθετι στη μορφή: max{π(l) = (L) L L L Μεγιστοποίηση κέρδους με συντελεστή πργωγής Όσον φορά την βέλτιστη ποσότητ εργσίς l, δικρίνουμε δύο περιπτώσεις:. l =. Λέμε ότι οι τιμές {,} είνι μη συμφέρουσες. Θ ισχύσει κι η γνωστή συνθήκη γι μέγιστο στο ριστερό σύνορο: Π () {R () C ()} (). l >. Λέμε ότι οι τιμές {,} είνι συμφέρουσες. Θ ισχύει κι η γνωστή συνθήκη γι εσωτερικό μέγιστο, υποθέτοντς ότι η λύση είνι φργμένη: {Π (L) =,Π (L) {R (L) = C (L), R (L) C (L)} { (L) =, (L) Υπενθυμίζουμε ότι ν η συνάρτηση πργωγής (L) είνι κοίλη, ως συνήθως, τότε κι η συνάρτηση κέρδους Π(L) θ είνι κοίλη. Θ έχουμε πρόβλημ Κυρτού Προγρμμτισμού (ΚΠ), οπότε η λύση θ δίνετι πό οιδήποτε πό τις πρπάνω συνθήκες που ικνοποιείτι. Σε κάθε περίπτωση, ν οι τιμές είνι συμφέρουσες, τότε στη βέλτιστη πργωγή το ορικό έσοδο είνι ίσο με το ορικό κόστος, που εδώ συμπίπτει με το μονδιίο κόστος της εργσίς, κι φθίνον. Δηλδή στη βέλτιστη πργωγή το ορικό έσοδο δισχίζει το μονδιίο κόστος της εργσίς πό πάνω προς τ κάτω, οπότε είνι μεγλύτερο πριν κι μικρότερο μετά. Λύνοντς το πρόβλημ βρίσκουμε τη λύση που είνι η βέλτιστη ποσότητ εργσίς, ως συνάρτηση των πρμέτρων {,} : l= l (,), ζήτηση εργσίς (labor demand) Στη συνέχει ντικθιστώντς βρίσκουμε επίσης την βέλτιστη ποσότητ πργωγής, κι το μέγιστο κέρδος επίσης ως συνρτήσεις των πρμέτρων: (,) = ( l ), προσφορά προιόντος (roduct suly) π(,) = Π( l) = ( l) l, μέγιστο κέρδος (maximal rofit) Ειδικότερ όσον φορά την ζήτηση εργσίς, προκύπτει πό τ πρπάνω ότι: Αν οι τιμές {,} είνι μη συμφέρουσες τότε η ζήτηση εργσίς είνι μηδενική: l =. Αν οι τιμές {, } είνι συμφέρουσες τότε η ζήτηση εργσίς l > είνι υτή στην οποί το ορικό έσοδο συμπίπτει με την μονδιί τιμή της εργσίς: ( l) = ( l ) = / Λύνοντς την εξίσωση ως προς l βρίσκουμε την συνάρτηση ζήτησης (demand function) γι τις συμφέρουσες τιμές.. Πρτηρούμε ότι η λύση του προβλήμτος εξρτάτι μόνο πό τον λόγο των τιμών: / R= L Πράδειγμ. = L max{π= L L L Πρόβλημ ΚΠ με στάσιμη λύση, όπως στο γράφημ, όπου το βέλος C= L πριστάνει το μέγιστο κέρδος. π L = = = L= l L Η λύση βρίσκετι εκεί όπου το φθίνον ορικό έσοδο κόβει το μονδιίο R = / L κόστος εργσίς πό πάνω προς τ κάτω. Βρίσκουμε: = C = l,,π = l = = l = l L 8
Πράδειγμ. = ln(+ L) max{π= ln(+ L) L L Πρόβλημ ΚΠ, με λύση:. Στάσιμη: Π (L) = = l = ν l + L. Συνορική μηδενική: l =, ν Π () = Έτσι θ έχουμε πργωγή: l > μόνο ν η μονδιί τιμή του προιόντος είνι μεγλύτερη πό το μονδιίο κόστος της εργσίς. Πρτήρηση. Η λύση μπορεί ν βρεθεί κι γρφικά πρτηρώντς ότι οι συνρτήσεις εσόδου ln(+ L) κι κόστους L ρχίζουν πό το (,) με κλίσεις κι ντίστοιχ. Ανάλογ ποι είνι μεγλύτερη, βρίσκουμε το έν πό τ δύο σχήμτ πρπλεύρως. Στ δεξιά το κόστος εργσίς είνι σχετικά υψηλό κι δεν συμφέρει η πργωγή. Στ ριστερά το κόστος εργσίς είνι σχετικά χμηλό, οπότε συμφέρει η πργωγή. Συτή την περίπτωση η ζητούμενη εργσί είνι υτή στην οποί το φθίνον πργόμενο l > l > ορικό έσοδο συνντάει το μονδιίο κόστος της εργσίς. Η λύση πριστάνετι με τον πρκάτω πίνκ. Δίνουμε κι το γράφημ του μέγιστου κέρδους π ως συνάρτησης του κι του. C > C R R L C= L l = l = R= = ln(+ L} C R L συνθήκη l π / ln( / ) ln( / ) ( ) π= π() π= π() Όσον φορά την εξάρτηση της ζήτησης εργσίς κι του μέγιστου κέρδους πό τις τιμές {,}, διπιστώνουμε τ εξής Η ζήτηση εργσίς l= l (, ) είνι ύξουσ ως προς την τιμή του προιόντος κι φθίνουσ ως προς το κόστος εργσίς Το μέγιστο κέρδος π= π(,) είνι ύξουσ ως προς την τιμή του προιόντος,φθίνουσ ως προς το κόστος εργσίς, κυρτή ως προς μφότερες. Επομένως κυμινόμενες τιμές {,} είνι περισσότερο προσοδοφόρες πό ενδιάμεσες στθερές, κτά μέσο όρο. Πράδειγμ. {= L με < < } max{π= L L L Έχουμε πρόβλημ ΚΠ, με στάσιμη λύση: 9 = = ( ) Π = L = l = =, l, π= l l = Πράδειγμ. = L max{π= L L L c}. Έχουμε πάνω περιορισμό στην εργσί. Τώρ η συνάρτηση πργωγής είνι κυρτή ντί ν είνι κοίλη. Το ίδιο ισχύει γι την συνάρτηση κέρδους. Επομένως το μέγιστο κέρδος θ βρίσκετι σέν πό τ δύο π= π() σύνορ: L c, όπου είνι μεγλύτερο. Έχουμε: c c ν c c / c π= max{π() =,Π(c) = c c} = ν c c / c Έτσι δεν θ έχουμε πργωγή ν η μονδιί τιμή είνι μικρή σε σχέση με το μονδιίο κόστος, ενώ θ έχουμε την μέγιστη επιτρεπτή πργωγή ν είνι σχετικά μεγάλη. Η λύση είνι κρί λόγω της κυρτότητς της συνάρτησης πργωγής. Αν δεν υπήρχε ο πάνω περιορισμός η δεύτερη περίπτωση θ έδινε άπειρη λύση. / c π= π() c
Πρτήρηση. Όπως φίνετι στ γρφήμτ πρπάνω, ισχύει πάλι η ιδιότητ κυρτότητς της συνάρτησης μέγιστου κέρδους ως προς τις πρμέτρους {,}. Ζήτηση προιόντος στην κτνάλωση Αντίστοιχο πρόβλημ βελτιστοποίησης εμφνίζετι στην κτνάλωση. Θεωρούμε ότι η κτνάλωση μις ποσότητς:, ενός γθού έχει κάποι ξί η οποί χρκτηρίζετι πό μι συνάρτηση χρησιμότητς: U(), ενώ συνεπάγετι κι μι δπάνη η οποί χρκτηρίζετι πό μι συνάρτηση κόστους: C(). Θ υποθέσουμε ως συνήθως ότι η συνάρτηση χρησιμότητς είνι γνήσι ύξουσ κοίλη: U() U () >, U () Δηλδή, η ορική χρησιμότητ της κτνάλωσης θ είνι θετική φθίνουσ. Σε ντίθεση με τις συνρτήσεις πργωγής η συνάρτηση χρησιμότητς δεν έχει πρίτητ θετικές τιμές. Αλλά π.χ. θ έχει θετικές τιμές ν θεωρήσουμε ότι εκφράζει το χρημτικό ποσό που θ ήτν διτεθειμένος ν δώσει ο κτνλωτής γι ν ποκτήσει την συγκεκριμένη ποσότητ. Υποθέτοντς συνθήκες πλήρους ντγωνισμού στην γορά του προιόντος όπου η μονδιί τιμή του γθού είνι δοσμένη: P=, η δπάνη θ χρκτηρίζετι πό μι γρμμική συνάρτηση κόστους: C= Ως ποτέλεσμ της κτνάλωσης θεωρούμε ότι προκύπτει γι τον κτνλωτή έν όφελος (benefit) στη μορφή κέρδους, που δίνετι πό την διφορά: B() = U(B) C(B) = U(B) Το πρόβλημ βελτιστοποίησης γι τον κτνλωτή διτυπώνετι στη μορφή: max{b() = U() Το πρόβλημ είνι ίδιο με το προηγούμενο της μεγιστοποίησης κέρδους με συντελεστή πργωγής, όπου η συνάρτηση χρησιμότητς ντικθιστά την συνάρτηση εσόδου, κι ντιμετωπίζετι με τον ίδιο τρόπο. Μεγιστοποίηση οφέλους Όσον φορά την βέλτιστη ποσότητ κτνάλωσης, δικρίνουμε δύο περιπτώσεις:. =. Λέμε ότι η τιμή είνι μη συμφέρουσa. Θ ισχύσει κι η γνωστή συνθήκη γι μέγιστο στο ριστερό σύνορο: B () {U () C ()} U (). >. Λέμε ότι η τιμή είνι συμφέρουσ. Θ ισχύει κι η γνωστή συνθήκη γι εσωτερικό μέγιστο, εφόσον η λύση είνι φργμένη: {Β () =, () {U () = C (), U () C ()} {U () =, U () Έτσι, ν η τιμή είνι συμφέρουσ, τότε στη βέλτιστη κτνάλωση η ορική χρησιμότητ είνι ίση με το ορικό κόστος που είνι η μονδιί τιμή του γθού. Δηλδή στη βέλτιστη κτνάλωση η ορική χρησιμότητ δισχίζει την μονδιί τιμή του γθού πό πάνω προς τ κάτω, οπότε είνι μεγλύτερη πριν κι μικρότερη μετά. Λύνοντς το πρόβλημ βρίσκουμε τη λύση που είνι η βέλτιστη ποσότητ κτνάλωσης, ως συνάρτηση της πρμέτρου : = (), συνάρτηση ζήτησης γθού Προκύπτει πό τ πρπάνω ότι: Αν η τιμή είνι μη συμφέρουσ τότε η ζήτηση είνι μηδενική: =. Αν η τιμή είνι συμφέρουσ τότε η ζήτηση > είνι υτή στην οποί η ορική χρησιμότητ συμπίπτει με την μονδιί τιμή του γθού κόβοντάς την πό πάνω προς τ κάτω: U () = Η πρπάνω σχέση είνι η ντίστροφη συνάρτηση ζήτησης (inverse demand function). Πράδειγμ. U= ln(+ ) max{b= ln(+ ) Είνι πρόβλημ ΚΠ, με λύση:. Στάσιμη: B () = = = +. Συνορική μηδενική: =, ν U () = ν = > U C = C = R
Έτσι θ έχουμε κτνάλωση: > μόνο ν η μονδιί τιμή του γθού είνι μικρότερη πό μι κρίσιμη τιμή. Η λύση βρίσκετι κι γρφικά όπως στο ντίστοιχο πρόβλημ μεγιστοποίησης κέρδους με συντελεστή. Στ πρώτ δύο γρφήμτ πρπάνω δείχνουμε μι μη συμφέρουσ κι μι συμφέρουσ τιμή. Πρτήρηση. Η συνάρτηση ορικής χρησιμότητς μς δίνει την ντίστροφη συνάρτηση ζήτησης: = D () = U () = D() = Η ντίστροφή της μς δίνει την συνάρτηση ζήτησης όπως στο τελευτίο γράφημ πρπλεύρως. Πράδειγμ. U= ln max{b= ln Η συνάρτηση χρησιμότητς πίρνει κι ρνητικές τιμές. Είνι όμως ύξουσ κοίλη, οπότε έχουμε πρόβλημ ΚΠ μάλιστ με λύση πάντοτε εσωτερική. Δηλδή υπάρχει πάντοτε κτνάλωση. Η λύση βρίσκετι εκεί όπου η φθίνουσ ορική χρησιμότητ κόβει την μονδιί τιμή του γθού πό πάνω προς τ κάτω.: = U () =, ντίστροφη συνάρτηση ζήτησης Λύνοντς ως προς βρίσκουμε την συνάρτηση ζήτησης. = / 7. Συνάρτηση μέγιστου κέρδους = Θεωρούμε πάλι το ρχικό πρόβλημ μεγιστοποίηση κέρδους στη μορφή: max{π= C() Η λύση του μς δίνει την ζήτηση προιόντος κι το μέγιστο κέρδος ως συνρτήσεις της μονδιίς τιμής: = (),π = π() Οι συνρτήσεις υτές έχουν τις πρκάτω ιδιότητες: Η συνάρτηση ζήτησης είνι φθίνουσ Η συνάρτηση μέγιστου κέρδους είνι ύξουσ κυρτή Τ πρπάνω ισχύουν γι οιδήποτε συνάρτηση κόστους, γι συνορικές κι εσωτερικές λύσεις, κι επληθεύοντι σόλ τ πρδείγμτ που εξετάσμε Απόδειξη. Θ δώσουμε την πόδειξη μόνο γι εσωτερικές λύσεις. Αρχίζουμε με τις συνθήκες που πρέπει ν ισχύουν σε εσωτερική λύση: {Π (),Π () {= C (), C (). Υποθέτοντς ότι η λύση = () ορίζετι πλεγμέν πό την εξίσωση στσιμότητς, πργωγίζουμε πλεγμέν ως προς, κιν βρίσκουμε: = C () = C () () () = C () Επομένως η συνάρτηση ζήτησης είνι φθίνουσ διότι έχει θετική πράγωγο.. Στη συνέχει εξετάζουμε την συνάρτηση μέγιστου κέρδους: π(() = C() Πργωγίζοντς ως προς, βρίσκουμε: π() = C() π = + C () = + [ C ()] = >, διότι C () = Η πράγωγος είνι θετική κι ύξουσ, επομένως η συνάρτηση είνι ύξουσ κυρτή Οι ιδιότητες μονοτονίς κι κυρτότητς της συνάρτησης μέγιστου κέρδους μπορούν ν διτυπωθούν κι ως εξής: Το μέγιστο κέρδος υξάνει με ύξοντ ρυθμό ότν υξάνει η τιμή του προϊόντος, κι μετβλλόμενες τιμές του προιόντος είνι περισσότερο κερδοφόροι πό ντίστοιχες στθερές ενδιάμεσες τιμές, κτά μέσο όρο. U C
Αντίστοιχες ιδιότητες ισχύουν στο πρόβλημ μεγιστοποίησης κέρδους με ένν συντελεστή πργωγής, στη μορφή: max{π(l) = (L) L L L Τώρ έχουμε δύο πρμέτρους {,}, κι η λύση μς δίνει τις συνρτήσεις: (,) l : ζήτηση εργσίς (labor demand) (,) = ( l ) : προσφορά προϊόντος (roduct suly) π(, ) = ( l) l : (μέγιστο) κέρδος (rofit) Με τον ίδιο βσικά τρόπο όπως κι προηγουμένως, ποδεικνύετι ότι οι συνρτήσεις υτές έχουν τις πρκάτω ιδιότητες νεξάρτητ της συγκεκριμένης συνάρτησης πργωγής(l), ως εξής:. Η συνάρτηση ζήτησης εργσίς l (, ), είνι: ύξουσ, φθίνουσ, κι εξρτάτι μόνο πό τον λόγο /. Η συνάρτηση προσφοράς προϊόντος (,), είνι: ύξουσ, φθίνουσ, κι εξρτάτι μόνο πό τον λόγο / 3. Η συνάρτηση μέγιστου κέρδους π(,), είνι: ύξουσ κυρτή, φθίνουσ κυρτή Τ πρπάνω ισχύουν γενικά, είτε η λύση είνι εσωτερική είτε συνορική, κι επληθεύοντι άμεσ στ πρδείγμτ που λύσμε πρπάνω. Οι ιδιότητες της συνάρτησης μέγιστου κέρδους εξετάζοντι στ πλίσι της γενικότερης θεωρίς της περιβάλλουσς.