Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Άλγεβρα. Ενιαίου Λυκείου

Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άλγεβρ Β Ενιίου Λυκείου

Άλγεβρ B Λυκείου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τριγωνομετρί Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πολυώνυμ Πολυωνυμικές Εξισώσεις Η θεωρί με Ερωτήσεις 9 Ασκήσεις & Προβλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πρόοδοι Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εκθετική & Λογριθμική Συνάρτηση Η θεωρί με Ερωτήσεις 9 Ασκήσεις & Προβλήμτ «Σκέφτομι άρ υπάρχω» Κρτέσιος

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Τριγωνομετρί Κεφάλιο Τριγωνομετρί ΕΝΟΤΗΤΑ : Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ν ορίσετε τους τριγωνομετρικούς ριθμούς οξείς γωνίς σε έν ορθογώνιο τρίγωνο;. Ν ορίσετε τους τριγωνομετρικούς ριθμούς γωνίς ω, με 0 ω 60, σε ορθοκνονικό σύστημ ξόνων.. Ν ορίσετε τους τριγωνομετρικούς ριθμούς γωνίς μεγλύτερης των 60 ; Ποι γωνί ορίζετι ως θετική κι ποι ως ρνητική;. Τι είνι ο τριγωνομετρικός κύκλος; Πως υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς ριθμούς ημίτονο κι συνημίτονο με την βοήθει του;. Ποιος άξονς ονομάζετι άξονς των εφπτομένων κι ποιος ξονς των συνεφπτομένων στον τριγωνομετρικό κύκλο; Τι μπορούμε ν προσδιορίσουμε με την βοήθει υτών των ξόνων; 6. Τι γνωρίζετε γι το πρόσημο των τριγωνομετρικών ριθμών; 7. Πρτήρηση: Γι κάθε γωνί ω ισχύει: ημω κι συνω 8. Ν ορίσετε το κτίνιο (rad); Ν δείξετε τη σχέση που συνδέει μι γωνί σε κτίνι κι μοίρες; 9. Ποιοι είνι οι τριγωνομετρικοί ριθμοί των γωνιών π π π π 0,,,, ; 6

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Τριγωνομετρί ΕΝΟΤΗΤΑ : Τριγωνομετρικές Τυτότητες Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ν ποδείξετε ότι ημ ω συν ω ημω. Ν ποδείξετε ότι εφω κι συνω. Ν ποδείξετε ότι εφω σφω συνω σφω ημω. Ν εκφράσετε το ημω κι το συνω σε συνάρτηση με την εφω. Πρτήρηση: Γι ν ποδείξουμε μι τριγωνομετρική τυτότητ είτε ξεκινάμε πό το ο μέλος κι κτλήγουμε στο ο μέλος, είτε θεωρούμε ότι η ισότητ ισχύει κι μετά πό πράξεις κτλήγουμε σε κάτι προφνές. ΕΝΟΤΗΤΑ : Ανγωγή στο ο Τετρτημόριο Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Με τη βοήθει του τριγωνομετρικού κύκλου ν εξηγήσετε τις διπλνές σχέσεις.. Πρτήρηση: Εάν δυο τόξ συνδέοντι μετξύ τους με 80 ή 60 δηλδή είνι της μορφής & 80 ή & 60 τότε έχουν ίσους τους ομώνυμους τριγωνομετρικούς ριθμούς, το δε πρόσημο της ισότητς κθορίζετι πό το τετρτημόριο στο οποίο τελειώνει το μεγλύτερο τόξο. Εάν δυο τόξ συνδέοντι μετξύ τους με 90 ή 70 δηλδή είνι της μορφής & 90 ή & 70 τότε οι τριγωνομετρικοί ριθμοί υτών ενλλάσσοντι, το δε πρόσημο της ισότητς κθορίζετι πό το τετρτημόριο στο οποίο τελειώνει το μεγλύτερο τόξο. ΕΝΟΤΗΤΑ : Τριγωνομετρικές Συνρτήσεις Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Πότε μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγετι περιοδική;. Ν μελετήσετε την συνάρτηση f() = ημ στο διάστημ [0, π]. Ν μελετήσετε την συνάρτηση f() = συν στο διάστημ [0, π]. Ν μελετήσετε την συνάρτηση f() = εφ στο διάστημ [ π, π ]

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Τριγωνομετρί ΕΝΟΤΗΤΑ : Τριγωνομετρικές Εξισώσεις Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ποιες είνι οι λύσεις της εξίσωσης ημ = ημθ;. Ποιες είνι οι λύσεις της εξίσωσης συν = συνθ;. Ποιες είνι οι λύσεις της εξίσωσης εφ = εφθ κι ποιες της σφ = σφθ;. Πρτήρηση: Ειδικές περιπτώσεις τριγωνομετρικών εξισώσεων ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσμτος Γωνιών Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Πώς νπτύσσετι το συνημίτονο της διφοράς δυο γωνιών συν( β);. Ν ποδείξετε ότι συν( β) συνσυνβ - ημημβ. Ν ποδείξετε ότι ημ( β) ημσυνβ συνημβ. Ν ποδείξετε ότι. Ν ποδείξετε ότι εφ εφβ εφ( β) - εφεφβ εφ εφβ εφ( β) εφεφβ 6. Επίσης ισχύει: σφσφβ σφ( β) σφ σφβ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίς Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ν ποδείξετε ότι ημ ημσυν συν ημ. Ν ποδείξετε ότι συν συν ημ εφ. Ν ποδείξετε ότι εφ - εφ συν. Ν ποδείξετε ότι ημ. Ν ποδείξετε ότι 6. Ν ποδείξετε ότι συν εφ συν συν συν

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Τριγωνομετρί Ασκήσεις & Προβλήμτ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Α ΟΜΑΔΑΣ. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ν δειχθεί: i) γημβ βημγ 0 ii) το εμβδόν του είνι Ε γημβ βημγ. Ν υπολογιστούν οι ριθμοί: i) ημ 860 ii) εφ 76. Ν ποδείξετε ότι: i) 00 ημ0 ii) συν 0 συν0 ημ. Στο κρτεσινό επίπεδο δίνετι το σημείο Α(, ). Αν ω είνι η γωνί OA, ν βρείτε τους τριγωνομετρικούς ριθμούς της γωνίς ω.. ) Ν εκφράσετε τις γωνίες σε κτίνι (rad): i) ii) 0 iii) 70 β) Ν εκφράσετε τις γωνίες σε μοίρες: i) π rad ii) π rad iii) π + π rad 8 π 6. Ν βρείτε τους τριγωνομετρικούς ριθμούς των γωνίς 7. Ν υπολογιστεί η πράστση: A συν0 ημ0 8. Αν ισχύει 70 80 ν δείξετε ότι εφ ημ συν σφ 0 π 9. Ν ποδείξετε ότι ν, εφ ημ συν π ισχύει: 0 ημ εφ B ΟΜΑΔΑΣ 0. Ν βρεθεί η μέγιστη κι ελάχιστη τιμή των πρστάσεων: i) A ημ συνω ii) Β ημ. Ν υπολογιστεί η πράστση ημ A εφ 9π 7π ημ 6 7π π ημ. Ν προσδιορίσετε το ώστε ν ληθεύει η ισότητ: ημθ ημθημθ Τριγωνομετρικές Τυτότητες. Αν. Αν. Αν Α ΟΜΑΔΑΣ π ημ κι π, ν βρείτε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς ριθμούς της γωνίς. εφ π κι π, ν βρείτε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς ριθμούς της γωνίς π συν εφ ημ κι π, ν βρείτε τη τιμή της πράστσης A ημ σφ 6. Ν ποδειχθεί ότι ημθ συνθ, ότν συνθ( + ημθ) 0. συνθ ημθ

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Τριγωνομετρί εφ εφβ 7. Ν ποδειχθεί ότι εφ εφβ σφ σφβ 8. Ν ποδειχθεί ότι ημ θ εφθ συν θ σφθ εφθ σφθ 9. Ν ποδειχθεί ότι συν ημ ημ B ΟΜΑΔΑΣ κ κ 0. Ν εξετάσετε ν υπάρχουν τιμές του κ ώστε ν ισχύει: εφ κι σφ. κ κ. Ν ποδειχθεί ότι ημθ συνθ εφθ, ότν ημθ + συνθ 0 κι εφθ + 0 ημθ συνθ εφθ. Ν λυθεί η εξίσωση ημθ συνθ ημθ συνθ 0. i) Ν ποδειχθεί ότι: ημ θ συν θ ημ θ συν θ ii) Ν εξετάσετε ν η συνάρτηση f θ ημ θ συν θ ημ θ συν θ y. Δίνετι η πράστση K 6 i) Αν ημθ κι y συνθ ν ποδειχθεί ότι Κ = ii) Αν ρημθ κι y ρσυνθ ν ποδειχθεί ότι Κ = ρ iii) Γι ποιες τιμές του ρ ισχύει ημθ ρ < 0, με θ π π, κι ρζ. είνι στθερή. Ανγωγή στο ο Τετρτημόριο Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν βρεθούν οι τριγωνομετρικοί ριθμοί των γωνιών: i) 9π ii) 7π iii) 99π 6. Ν ποδείξετε ότι: συν7 συν συν συν 0 7. Ν πλοποιηθεί η πράστση: 8. Ν ποδείξετε ότι: ημ ημ ημ σφ π π π θ συν θ εφ θ π π θ ημ θ ημπ θ 70 ημ80 συν60 εφ90 90 ημ60 συν80 εφ7 9. Δίνοντι οι πρστάσεις: A εφ εφ9 εφ εφ9 κι Β συν π ημ π π ημ ημ συν π. Ν ποδειχθεί ότι Β = Α. Τριγωνομετρικές Συνρτήσεις Α ΟΜΑΔΑΣ 0. Ν βρεθεί η περίοδος των συνρτήσεων: i) π f() ημ ii) g() συν iii) h() εφ

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Τριγωνομετρί 6 π. Ν βρείτε την μέγιστη κι ελάχιστη τιμή των συνρτήσεων: i) f() ημ - ii) g() συν -. Δίνετε η συνάρτηση f() συν. Ν βρείτε: i) την μέγιστη κι ελάχιστη τιμή της ii) την περίοδο της π. Ν σχεδιάσετε την γρφική πράστση της συνάρτησης f() συν β. Αν η συνάρτηση f() συν με, β > 0, έχει περίοδο π κι μέγιστη τιμή ν βρείτε τ, β.. Ν βρείτε την μέγ ιστη κι ελάχιστη τιμή της συνάρτησης: π π f() ημ - συν - 6. Δίνετι η συνάρτηση f: RR γι την οποί ισχύει f f συν ποδείξετε ότι η f είνι άρτι. γι κάθε R. Ν Τριγωνομετρικές Εξισώσεις Α ΟΜΑΔΑΣ π 7. Ν λυθεί η εξίσωση: εφ στο π π, π π 8. Ν λυθεί η εξίσωση: συν ημ 0 π 9. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ συν 6 0. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ συν 0. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ συν 0. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ ημημ 0. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ ημ 0 B ΟΜΑΔΑΣ. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ ημ 0 ii) συν ημ iii) ημ. Ν 6. λυθεί η εξίσωση: συν συν συν 0 Ν λυθεί η εξίσωση: ημ θ συνθ π 7. Ν λυθεί στο [0, π) η εξίσωση: συν. ημ 8. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ συν ημ ημ συν

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Τριγωνομετρί 9. Ν λυθεί η εξίσωση: εφ συν συν 7 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσμτος Γωνιών 0. Αν Α ΟΜΑΔΑΣ ημ π π, π κι συνβ, β π, ν υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί ριθμοί του β. Ν ποδείξετε ότι:. Ν ποδείξετε ότι: ημ β εφ εφβ συν συνβ β ημ β ημ εφ εφ β συν συν β. Ν ποδείξετε ότι: ημ 0 συν συν0 ημ ημ780 π π εφ εφ 8 9. Ν γρφεί σε πλούστερη μορφή η πράστση: A π π εφ εφ 8 9 συνω ημω. Ν ποδείξετε ότι: εφ ω 6. Αν συν β συν συνβ συνω ημω δείξτε ότι: ημ β ημ ημ β εφ εφ β 7. ποδείξετε ότι: εφ β εφ εφ β Ν εφ β ημ 8. Ν ποδείξετε ότι: ημ ημβ β ημβ γ ημγ ημβ ημγ 0 ημγ ημ 9. Ν ποδείξετε ότι: ημ y συν y ημ συνσυνy ημy 60. Ν λυθεί η εξίσωση: 6. Αν β π π ημ συν 6 κι εφ ν βρεθεί η εφβ. B ΟΜΑΔΑΣ 6. Ν ποδείξετε ότι: συν β συν β συν συν β. 6. Αν β γ ν δείξετε ότι: εφγ εφ εφβ εφγ εφ εφβ. 6. Ν λυθεί στο διάστημ [0, π] η εξίσωση: ημ συν. Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίς 6. Αν συνθ Α ΟΜΑΔΑΣ π κι θ π ν υπολογίσετε το ημθ κι την εφθ. π π 66. Ν ποδείξετε ότι: εφ εφ εφ

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Τριγωνομετρί 8 ημ συν 67. Ν ποδείξετε ότι: ημ συν 68. Ν υπολογίσετε την β εφ ν εφ κι εφβ π 69. Ν υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς ριθμούς του ν ημ κι, π 70. Ν λυθεί η εξίσωση: συν συν 7. Ν ημ συν ποδείξετε ότι: εφ συν συν 7. Ν ποδείξετε ότι: συν ημ συν8 B 7. Ν ποδείξετε ότι: συν ημ ημ εφ ημ 7. Ν ποδείξετε ότι: εφ συν 7. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ ημ συν 76. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ ημ 77. Ν λυθεί η εξίσωση: συν 6ημ ΟΜΑΔΑΣ

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πολυώνυμ Πολυωνυμικές Εξισώσεις 9 Πολυώνυμ Πολυωνυμικές Εξισώσεις Κεφάλιο ΕΝΟΤΗΤΑ : Πολυώνυμ Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Τι ονομάζετι μονώνυμο του ; Τι ονομάζετι πολυώνυμο του ;. Τι ονομάζοντι όροι κι τι συντελεστές ενός πολυωνύμου; Ποιος είνι ο στθερός όρος ενός πολυωνύμου;. Ποιο πολυώνυμο ονομάζετι στθερό; Ποιο πολυώνυμο ονομάζετι μηδενικό;. Τι ονομάζετι ριθμητική τιμή ενός πολυωνύμου;. Τι ονομάζετι ρίζ ενός πολυωνύμου; 6. Τι ονομάζετι βθμός ενός πολυωνύμου; 7. Πότε δύο πολυώνυμ είνι ίσ; ΕΝΟΤΗΤΑ : Διίρεση Πολυωνύμων Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ν γράφει η τυτότητ της διίρεσης δυο πολυωνύμων; Ν σχολιάσετε τον βθμό του υπολοίπου υ().. Πότε μι διίρεση δυο πολυώνυμων ονομάζετι τέλει; Πότε λέμε ότι έν πολυώνυμο Q() είνι διιρέτης ή διιρεί έν πολυώνυμο P();. Ν ποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ() με το ρ είνι ίσο με Ρ(ρ).. Ν ποδείξετε ότι έν πολυώνυμο Ρ() έχει πράγοντ το ρ ν κι μόνο ν το ρ είνι ρίζ του Ρ().. Τι είνι το σχήμ Hornr; Ποι η χρησιμότητ του; Εφρμόζετι γι οποιδήποτε διίρεση πολυωνύμων;

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πολυώνυμ Πολυωνυμικές Εξισώσεις 0 6. Πρτήρηση: Έν πολυώνυμο P() έχει πράγοντ το ρ π() το πηλίκο της διίρεσης του P() με το ρ, δηλδή μόνο ότν Pρ 0 κι ρ 0 Έν πολυώνυμο P() έχει πράγοντ το β, μόνο ότν το ρ είνι πράγοντς του P() κι του π(), όπου π., μόνο ότν το είνι πράγοντς του P() κι το β πράγοντς του π(), όπου π() το πηλίκο της διίρεσης του P() με το. ΕΝΟΤΗΤΑ : Πολυωνυμικές Εξισώσεις Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ν γράφει η γενική μορφή της πολυωνυμικής εξίσωσης βθμού ν;. Τι ονομάζουμε ρίζ πολυωνυμικής εξίσωσης;. Πρτήρηση: Μέθοδος επίλυσης πολυωνυμικής εξίσωσης με βθμό μεγλύτερου του Γι ν λύσουμε μι πολυωνυμική εξίσωση P() = 0, πργοντοποιούμε το P() κι νγόμστε έτσι στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων μικρότερου βθμού, δηλδή: P 0 P P... P ν ν. Ν ποδείξετε ότι ν η πολυωνυμική εξίσωση... 0 0 κ 0 P P... Pκ 0 ή 0 0 ν ν ή ή με κερίους συντελεστές έχει ρίζ τον μη μηδενικό ριθμό ρ, τότε ο ρ είνι διιρέτης του στθερού όρου 0. (θεώρημ κερίων ριζών). Ισχύει το ντίστροφο του θεωρήμτος; Ποι η χρησιμότητ του; ΕΝΟΤΗΤΑ : Εξισώσεις που νάγοντι σε Πολυωνυμικές Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ποιες εξισώσεις ονομάζοντι κλσμτικές;. Πρτήρηση : Κλσμτικές εξισώσεις Γι ν λύσουμε μι κλσμτική εξίσωση θέτουμε τους πρίτητους περιορισμούς γι τους προνομστές, πργοντοποιούμε τους προνομστές πολλπλσιάζουμε με το ελάχιστο κοινό πολλπλάσιο των προνομστών κι έτσι προκύπτει εξίσωση γνωστής μορφής.. Πρτήρηση : Άρρητες Εξισώσεις (εξισώσεις με ρίζες που περιέχουν τον άγνωστο ) Γι ν λύσουμε μι άρρητη εξίσωση θέτουμε τους πρίτητους περιορισμούς γι τις ρίζες (υπόρριζο 0) πομονώνουμε τη τετργωνική ρίζ στο έν μέλος υψώνουμε στο τετράγωνο Αν υψώσουμε τ μέλη μις εξίσωσης στο τετράγωνο (κι γενικά σε οποιδήποτε άρτι δύνμη), τότε η εξίσωση που προκύπτει έχει ως ρίζες της όλες τις ρίζες της ρχικής εξίσωσης, μπορεί όμως ν έχει κι άλλες ρίζες εκτός πό υτές. Έτσι, είνι πρίτητο ν διπιστώνουμε, με επλήθευση στη ρχική εξίσωση, ποιες πό τις ρίζες που βρήκμε είνι ρίζες ή όχι. Αν υψώσουμε τ μέλη μις εξίσωσης που έχει κι τ δυο μέλη της θετικά στο τετράγωνο (κι γενικά σε οποιδήποτε άρτι δύνμη), προκύπτει εξίσωση ισοδύνμη με την ρχική (δηλδή με τις ίδιες κριβώς λύσεις). Σε υτή τη περίπτωση δεν χρειάζετι επλήθευση. Αν υψώσουμε τ μέλη μις εξίσωσης στον κύβο (κι γενικά σε οποιδήποτε περιττή δύνμη), προκύπτει εξίσωση ισοδύνμη με την ρχική.

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πολυώνυμ Πολυωνυμικές Εξισώσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ Πολυώνυμ Α ΟΜΑΔΑΣ. Γι ποιες τιμές των, β το πολυώνυμο P β ριθμητική του τιμή είνι. έχει ρίζ το κι γι = η. Ν βρεθεί γι ποιες τιμές των κ, λ, μ τ πολυώνυμ P λ λ κ μ λ μ λ κ λ Q είνι ίσ. κι. Ν βρεθεί η τιμή του λr γι την οποί το πολυώνυμο: P λ λ λ λ το μηδενικό πολυώνυμο.. Δίνετι το πολυώνυμο P. Ν βρεθεί ο πργμτικός ριθμός ν ισχύει: είνι P. Ν δειχθεί ότι γι κάθε κr το πολυώνυμο P κ κ κ δεν έχει ρίζ το 6. Αν το πολυώνυμο P έχει ρίζ το ποδείξτε ότι το ίδιο ισχύει κι γι το Q. Το ντίστροφο ισχύει; 7. Ν δειχθεί ότι το πολυώνυμο P κ λ 6 κ λ 8. Δίνετι πολυώνυμο P που ικνοποιεί τη συνθήκη: P P Ν βρείτε τ P, P κι P 6. Τι πρτηρείτε; B ΟΜΑΔΑΣ είνι διάφορο του μηδενικού.. Αν P0 0 κι P 9. Ν βρεθεί ο βθμός του πολυωνύμου P διάφορες τιμές της πρμέτρου R. 0. Ν βρεθεί πολυώνυμο. i) Ν βρεθεί πολυώνυμο ii) Ν λυθεί η εξίσωση 0. Ν βρεθεί πολυώνυμο γι τις P πρώτου βθμού τέτοιο ώστε: i) PP ii) P PP P τέτοιο ώστε P. P τέτοιο ώστε P P Διίρεση Πολυωνύμων Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν βρείτε πολυώνυμο Pτο οποίο ότν διιρεθεί με το +, δίνει πηλίκο κι υπόλοιπο +.. Αν το πολυώνυμο P β διιρείτι κριβώς με το κι εάν επιπλέον P() = 8, ν προσδιοριστούν τ, β.

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πολυώνυμ Πολυωνυμικές Εξισώσεις. Γι ποιες τιμές των, βr το πολυώνυμο P β κι + ; 6. Δίνετι το πολυώνυμο P β. Αν το προσδιορίσετε τ, β R. 7. Δίνετι το πολυώνυμο P λ λ λ λ P : είνι νεξάρτητο του λ. 8. Ν ποδείξετε ότι ν το πολυώνυμο πράγοντ το. έχει πράγοντες τους P διιρείτι με το 6, ν. Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διίρεσης P έχει πράγοντ το, τότε το πολυώνυμο P έχει 9. Με τη βοήθει του σχήμτος Hornr ν βρείτε τ πηλίκ κι τ υπόλοιπ των διιρέσεων: i) ( + 6 + ) : ( + ) ii) [6 ( + 6 ) + ] : ( ), R 0. Δίνετι το πολυώνυμο P λ 0 6. P ν έχει πράγοντ το +. i) Ν βρεθεί το λ ώστε το ii) Γι ποι τιμή του λ το υπόλοιπο της διίρεσης. Δίνοντι τ πολυώνυμ P λ λ : P είνι το ; κι Q λ λ 9 τ πολυώνυμ ν φήνουν το ίδιο υπόλοιπο ότν διιρεθούν με το +.. Έστω. Ν βρεθεί το λ ώστε P έν πολυώνυμο. Ν ποδείξετε ότι οι διιρέσεις P : κι P6 0: έχουν το ίδιο υπόλοιπο. B ΟΜΑΔΑΣ. Ν προσδιοριστούν οι πργμτικοί ριθμοί, β ώστε το πολυώνυμο P β 0 ν έχει γι πράγοντ το ( ).. Ν προσδιοριστούν οι πργμτικοί ριθμοί κ, λ ώστε το πολυώνυμο P κ λ έχει γι πράγοντ το ( )( + ). ν. Έν πολυώνυμο P διιρούμενο με δίνει υπόλοιπο κι διιρούμενο με + δίνει υπόλοιπο 0. Ν βρείτε το υπόλοιπο της διίρεσης του P με το. Πολυωνυμικές Εξισώσεις Α ΟΜΑΔΑΣ 6. Ν λυθεί η εξίσωση: 0 7. Ν λυθεί η εξίσωση: i) 6 0 ii) 6 0 8. Ν λυθεί η εξίσωση: 0 9. Ν βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων: 0 0. Ν βρείτε τ σημεί τομής της συνάρτησης f 6 9 6. Ν λυθεί η εξίσωση: 9 8 0 998 997 κι με τον άξον.

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πολυώνυμ Πολυωνυμικές Εξισώσεις 6. Ν λυθεί η εξίσωση: 7 8 0. Ν λυθεί η εξίσωση: 6 0. Ν λυθεί η εξίσωση: 8 6. Ν λυθεί η νίσωση: 0 6. Ν λυθεί η νίσωση: 7. Ν βρεθεί γι τις διάφορες τιμές του το πρόσημο του πολυωνύμου P. 8. Ν βρείτε τ διστήμτ στ οποί η γρφική πράστση της συνάρτησης βρίσκετι πάνω πό τον άξον. f 6 9. Δίνετι η συνάρτηση f κ B ΟΜΑΔΑΣ της f, ν βρεθούν τ κοινά σημεί της με τον άξον.. Αν το σημείο Μ(, ) νήκει στη γρφική πράστση 0. Ν βρείτε γι ποιες τιμές των, βr το πολυώνυμο P 7 β τους + κι. Στη συνέχει ν λύσετε την εξίσωση 0. Δίνετι η εξίσωση 0 έχει πράγοντες P.. i) Ν βρείτε τις τιμές του γι τις οποίες η εξίσωση έχει ρίζ το. ii) Ν λύσετε τις εξισώσεις που προκύπτουν γι τις τιμές του που θ βρείτε.. Ν λυθεί η εξίσωση: 9. Ν βρείτε τις κέριες τιμές του κ γι τις οποίες η εξίσωση κ 0 έχει i) μι τουλάχιστον κέρι ρίζ ii) μι κριβώς κέρι ρίζ Εξισώσεις που νάγοντι σε Πολυωνυμικές Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν λυθεί η εξίσωση:. Ν λυθεί η νίσωση: 6. Ν λυθεί η νίσωση: 7. Ν λυθεί η νίσωση: 8. Ν λυθεί η νίσωση:

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πολυώνυμ Πολυωνυμικές Εξισώσεις 9. Ν λυθεί η εξίσωση: 0. Ν λυθεί η εξίσωση:. Ν λυθεί η εξίσωση:. Ν λυθεί η εξίσωση:. Ν λυθεί η νίσωση:. Ν λυθεί η εξίσωση: συν ημ συν 0

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πρόοδοι Κεφάλιο Πρόοδοι ΕΝΟΤΗΤΑ : Αριθμητική Πρόοδος Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Τι ονομάζετι κολουθί;. Πότε μι κολουθί λέγετι ριθμητική πρόοδος; Ν δώσετε τον μθημτικό ορισμό.. Ν ποδείξετε τον τύπο που δίνει το νιοστό όρο ν μις ριθμητικής προόδου ( ν ), που έχει πρώτο όρο κι διφορά ω.. Ν ποδείξετε τη σχέση που ισχύει μετξύ των πργμτικών ριθμών, β, γ που είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου.. Ν γράψετε τους δυο τύπους που δίνουν το άθροισμ (S ν ) των πρώτων ν όρων ριθμητικής προόδου ( ν ) με πρώτο όρο κι διφορά ω. ΕΝΟΤΗΤΑ : Γεωμετρική Πρόοδος Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Πότε μι κολουθί λέγετι γεωμετρική πρόοδος; Ν δώσετε τον μθημτικό ορισμό.. Ν ποδείξετε τον τύπο που δίνει το νιοστό όρο ν μις γεωμετρικής προόδου ( ν ), που έχει πρώτο όρο κι λόγο λ.. Ν ποδείξετε τη σχέση που ισχύει μετξύ των μη μηδενικών πργμτικών ριθμών, β, γ που είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.. Ν ποδείξετε τον τύπο που δίνει το άθροισμ (S ν ) των ν πρώτων όρων μις γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο κι λόγο λ.

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πρόοδοι 6 Ασκήσεις & Προβλήμτ Αριθμητική Πρόοδος Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν βρείτε τους πρώτους όρους των κολουθιών: i) ν ν π ii) ν συν κπ iii) ν ν ν. Ν βρείτε τον ο όρο της κολουθίς ν+ = ν + με =.. Σε μι ριθμητική πρόοδο είνι = 6 κι = 9. Ν βρείτε i) τη διφορά ω ii) τον 0 ο όρο της προόδου.. Δείξτε ότι σε κάθε ριθμητική πρόοδο ισχύει + = 0.. Ν βρείτε την ριθμητική πρόοδο στην οποί το άθροισμ του ου κι του ου όρου είνι, ενώ το άθροισμ του ου κι του 6 ου είνι. 6. Ν βρεθεί ο πρώτος όρος κι η διφορά ω ριθμητικής προόδου ν + = 6 κι = 8. 7. Ν βρείτε την ριθμητική πρόοδο της οποίς το άθροισμ των πρώτων της όρων είνι ίσο με κι άθροισμ των πρώτων όρων ίσο με 0. 8. Σε μι ριθμητική πρόοδο είνι = κι ω = 7. i) Ν βρείτε το πλήθος ν των πρώτων όρων της προόδου που δίνουν άθροισμ ίσο με 679. ii) Ποιος θ είνι ο τελευτίος όρος ν σ' υτή την περίπτωση; 9. Ν βρεθεί η ριθμητική πρόοδος ν ισχύει S 0 = 00 κι η διφορά του 0 ου πό τον ο όρο είνι. 0. Ν βρείτε το άθροισμ των πρώτων όρων της ριθμητικής προόδου με 6 = 8 κι =.. Σε μι ριθμητική πρόοδο ισχύει S 0 = 60 κι S =. Ν βρείτε τη διφορά ω κι τον ο όρο της.. Δίνετι ότι: + + 9 + + + = 780 i) Ν βρεθεί το πλήθος των προσθετέων του θροίσμτος. ii) Ν βρεθεί ο ριθμός.. Σε μι ριθμητική πρόοδο είνι 9 = κι S = 6. i) Ν βρείτε τον ο όρο της προόδου ii) το άθροισμ των 0 πρώτων όρων της.. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε, β, γ R οι ριθμοί ( + β), + β κι ( β) είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου.. Ν βρεθούν οι τιμές του ώστε οι ριθμοί ριθμητικής προόδου., 6, ν είνι διδοχικοί 6. Αν οι ριθμοί β γ, γ, είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου, ν δείξετε ότι το ίδιο β ισχύει κι γι τους, β, γ. 7. Ν βρείτε την ριθμητική πρόοδο ν S S0 S κι =. 8. Αν σε ριθμητική πρόοδο ισχύει + + + 7 + 9 + = 7 ν υπολογιστεί το άθροισμ S = + 6 +

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πρόοδοι 7 9. Μι ομάδ στρτιωτών πρτάσσετι σε τριγωνικό σχήμ ώστε: στην πρώτη σειρά μπίνει ένς στην δεύτερη τρεις, στην τρίτη πέντε κ.λ.π. i) Πόσοι θ είνι στην η σειρά; ii) Πόσες σειρές σχημτίστηκν συνολικά; 0. Αν ( ν ) είνι ριθμητική πρόοδος κι ισχύει S 0 = S 0 δείξτε ότι S 80 = 0. B ΟΜΑΔΑΣ. Ο νιοστός όρος μις κολουθίς είνι ν = ν +. i) Ν ποδείξετε ότι η κολουθί υτή είνι ριθμητική πρόοδος ii) Ν βρείτε το άθροισμ των 0 πρώτων όρων της iii) Ν βρείτε την τάξη του όρου της που είνι ίσος με 6.. Ν βρείτε το πλήθος κι το άθροισμ: i) των διψήφιων περιττών ριθμών ii) των διψήφιων ρτίων ριθμών iii) των διψήφιων φυσικών ριθμών iv)των διψήφιων πολλπλσίων του.. Ν λυθεί η εξίσωση: 8... 9 6. Ν λυθεί η εξίσωση: 7... 80, με > 0.. Ν βρεθεί ο ώστε οι ριθμοί, +, ν είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. 6. Μετξύ των ριθμών κι ν πρεμβάλετε άλλους ριθμούς, ώστε ν δημιουργηθεί μι ριθμητική πρόοδος με όρους. 7. Σε ριθμητική πρόοδο ισχύουν: 7 + 7 = 0 κι 9 + 0 = 0. Ν βρείτε το άθροισμ των όρων που βρίσκοντι μετξύ του 8 ου κι του ου όρου της. 8. Σε ριθμητική πρόοδο ισχύει 7 = 0 κι =. Πόσους όρους πρέπει ν πάρουμε ώστε το άθροισμ τους ν είνι 0; 9. Ν βρείτε τρεις διδοχικούς όρους ριθμητικής προόδου με άθροισμ κι γινόμενο 0. 0. Μις κολουθίς το άθροισμ των ν πρώτων όρων της είνι S ν = ν + ν. i) Ν βρείτε το άθροισμ των (ν ) πρώτων όρων της ii) Ν βρείτε τον νιοστό της όρο iii) Ν βρείτε τον όρο ν+ iv) Ν ποδείξετε ότι η κολουθί υτή είνι ριθμητική πρόοδος v) Ν βρείτε την τάξη του όρου της που είνι ίσος με 00. Ν βρείτε την ριθμητική πρόοδο της οποίς το άθροισμ των ν πρώτων είνι S ν ν ν Γεωμετρική Πρόοδος Α ΟΜΑΔΑΣ. i) Αν = κι λ = ν βρείτε τον 6 ii) Αν 6 = 8 κι λ = ν βρείτε τον iii) Αν = 9 κι = ν βρείτε το λ iv) Αν = κι λ = κι ν = 6 ν βρείτε το ν. Ν βρείτε μί γεωμετρική πρόοδο, ν = 6 κι 8 = 7. Στη γεωμετρική πρόοδο με = 8, = ν βρείτε τον λόγο λ. Ν βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο, ν = κι + = 6

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Πρόοδοι 8 6. Ν βρείτε τη γεωμετρική πρόοδο ν κι 6 8 7. Αν σε μί γεωμετρική πρόοδο είνι =, 6 = 7 κι ν = 977, ν βρείτε το ν. 8. Ν βρεθεί το πλήθος ν των όρων μις γεωμετρικής προόδου, ν έχουμε: =, ν = 97 κι S ν = 6 9. Αν οι, +, + είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε ν βρεθεί ο. 0. Αν οι ριθμοί,, είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου τότε οι ριθμοί β,, γ είνι β γ διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.. Αν, β, γ, είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ν δειχθεί ότι το ίδιο συμβίνει κι γι τους ριθμούς ( β + γ), + β + γ, ( + β + γ).. Ν βρείτε την γεωμετρική πρόοδο, ν S = 6 κι η διφορά =.. Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο, ν μ κι κ είνι οι όροι της τάξεως μ κι κ ντίστοιχ, ν δείξετε ότι ισχύει: μ = λ μ κ κ, με μ, κn.. Σε μι γεωμετρική πρόοδο έχουμε + = +. Ν βρεθεί ο λόγος της. B ΟΜΑΔΑΣ. Ν βρείτε τρεις διδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, οι οποίοι ν έχουν άθροισμ κι γινόμενο 6 6. Ν βρείτε τη γεωμετρική πρόοδος ν ο έκτος όρος είνι τετρπλάσιος του τέτρτου όρου της κι το άθροισμ του δεύτερου κι του πέμπτου όρου της είνι 6. 7. Σε γεωμετρική πρόοδο είνι S 6 = 8S κι S = 80. Ν βρεθεί η πρόοδος. 8. Ν βρεθεί γεωμετρική πρόοδος της οποίς οι τρεις πρώτοι όροι έχουν άθροισμ κι = 6 7 9. Έστω =, β =, γ = 0. Αν οι, β, γ είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ν βρεθεί ο. 0. Αν, β, γ είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου δείξτε ότι: β γ β γ β γ γ γ β γ. Αν οι ριθμοί,, είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου δείξτε ότι οι, β, γ, γ γ είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.. Αν, β, γ, δ είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, ν πλοποιήσετε την πράστση: Π = ( γ) + (β γ) + (β δ) ( δ). Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) + + +... + 99 = 06 ii)... 0. Ν λυθεί η εξίσωση:.. 0 7. Ν λυθεί η εξίσωση:... 0 6. Δίνετι η κολουθί με γενικό όρο ν = ν. i) Ν βρείτε τον όρο ν+ ii) Ν ποδείξετε ότι υτή είνι γεωμετρική πρόοδος κι ν βρείτε το λόγο λ κι τον πρώτο της όρο. iii) Ποιος όρος της είνι ίσος με 07; 7

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Εκθετική & Λογριθμική Συνάρτηση 9 Εκθετική & Λογριθμική Συνάρτηση Κεφάλιο ΕΝΟΤΗΤΑ : Εκθετική Συνάρτηση Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ιδιότητες Δυνάμεων. Γι, β θετικούς κι,, R ισχύουν: Ιδιότητες β β β β Επίσης ισχύουν: 0, R * ν ν β ν β ν μ ν ν μ. Εκθετική Συνάρτηση f με >. Πεδίο ορισμού το R Σύνολο τιμών το διάστημ (0, + ) των θετικών πργμτικών ριθμών Είνι γνησίως ύξουσ στo R δηλδή γι κάθε, R ισχύει: ν < τότε Η γρφική πράστση τέμνει τον άξον yy στο σημείο Α(0, ) κι έχει σύμπτωτο τον ρνητικό ημιάξον των.. Εκθετική Συνάρτηση f με 0 < <. Πεδίο ορισμού το R Σύνολο τιμών το διάστημ (0, + ) των θετικών πργμτικών ριθμών Είνι γνησίως φθίνουσ στo R δηλδή γι κάθε, R ισχύει: ν < τότε Η γρφική πράστση τέμνει τον άξον yy στο σημείο Α(0, ) κι έχει σύμπτωτο τον θετικό ημιάξον των.. Πρτήρηση : Στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων είνι χρήσιμη η ισοδυνμί:

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Εκθετική & Λογριθμική Συνάρτηση 0. Πρτήρηση : Γι τις συνρτήσεις f κι g πρτηρούμε ότι g f. Δηλδή οι γρφικές τους πρστάσεις είνι συμμετρικές ως προς τον άξον y y όπως φίνετι στο σχήμ με >. 6. Ν μελετήσετε την εκθετική συνάρτηση f() =. Τι είνι ο ριθμός ; 7. Ν εξηγήσετε τον νόμο της εκθετικής μετβολής. Τι ονομάζετι χρόνος υποδιπλσισμού ή ημιζωή; ΕΝΟΤΗΤΑ : Λογάριθμοι Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ορισμός: Αν > 0 με κι θ > 0, τότε: θ log θ Άμεση συνέπει του ορισμού: log 0 log log θ θ. Ν ποδείξετε ότι log θ θ log θ log θ κι ότι log log θ log θ θ κ. Ν ποδείξετε ότι log θ κ log θ. Ν ορίσετε τον δεκδικό λογάριθμο κι ν γράψετε τις ιδιότητες που ισχύουν γι υτούς.. Ν ορίσετε τους φυσικό λογάριθμο κι ν γράψετε τις ιδιότητες που ισχύουν γι υτούς. 6. Ν γράψετε τον τύπο λλγής βάσης λογρίθμων. log θ ΕΝΟΤΗΤΑ : Λογριθμική Συνάρτηση Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Λογριθμική Συνάρτηση f log με >. Πεδίο ορισμού το διάστημ (0, + ) Σύνολο τιμών το R Είνι γνησίως ύξουσ στo R δηλδή γι κάθε, R ισχύει: ν < τότε log log Η γρφική πράστση τέμνει τον άξον στο σημείο Α(, 0) κι έχει σύμπτωτο τον ημιάξον των Oy. Λογριθμική Συνάρτηση f log με 0 < <. Πεδίο ορισμού το διάστημ (0, + ) Σύνολο τιμών το R Είνι γνησίως φθίνουσ στo R δηλδή γι κάθε, R ισχύει: ν < τότε log log Η γρφική πράστση τέμνει τον άξον στο σημείο Α(, 0) κι έχει σύμπτωτο τον ημιάξον των Oy. Πρτήρηση : Οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων y log κι προς την ευθεί y =, δηλδή τη διχοτόμο του ου κι ου τετρτημορίου. y είνι συμμετρικές ως. Πρτήρηση : Στην επίλυση λογριθμικών εξισώσεων είνι χρήσιμη η ισοδυνμί: log log

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Εκθετική & Λογριθμική Συνάρτηση Ασκήσεις & Προβλήμτ Εκθετική Συνάρτηση Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) 8 ii) 7 iii) iv) 6. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) ii) 6 9 iii) 6. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) 0 ii) 0 iii) 0 9. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) 0 ii) 8. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) ii) 6 6. Ν λύσετε τις νισώσεις: i) 6 ii) 7 iii) 0 8 6 7. Ν λύσετε τις νισώσεις: i) 0 ii) iii) 6 8. Ν λύσετε τ συστήμτ: i) ii) y y 8 9 8 y 6 9. Ν λύσετε τ συστήμτ: i) y y ii) y y : 0. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) 0 ii) 6. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) 0 0 ii) 6 8. Ν λυθεί η εξίσωση 0 9 συν ημ B ΟΜΑΔΑΣ. Δίνετι η συνάρτηση f. Ν βρείτε τις τιμές του R γι τις οποίες η συνάρτηση: ) έχει πεδίο ορισμού το R β) είνι γνησίως ύξουσ γ) είνι γνησίως φθίνουσ δ) είνι στθερή. N μελετήσετε ως προς την μονοτονί τις συνρτήσεις: i) f ii) g. Ν λυθεί η εξίσωση 6. Ν λύσετε τ συστήμτ: i) ii) 0 6 0 y y 9 y y

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Εκθετική & Λογριθμική Συνάρτηση y y 7. Ν λύσετε τ συστήμτ: i) ii) y 8 y 9 6 8. Ν λυθούν οι πρκάτω νισώσεις: i) ii) 9. Αν f κι g δύο συνρτήσεις με f κι g f y f f y g gy 0. Ν βρεθεί ο ώστε οι ριθμοί,, ν ποδείξετε ότι: ν είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου.. Γι ποιες τιμές του R η γρφική πράστση της συνάρτησης f βρίσκετι πάνω πό τον άξον ;. Δίνετι η συνάρτηση f κ i) Γι ποίες τιμές του κ ορίζετι η f; ii) Ν εξετάσετε ν υπάρχουν τιμές του κ γι τις οποίες η f είνι γνησίως ύξουσ. iii) Ν βρείτε το κ ώστε η γρφική πράστση της f() ν περνάει πό το σημείο Ρ, iv) Ν βρείτε τις τιμές του κ ώστε η γρφική πράστση της f() ν περνάει πό το σημείο Σ (, ). Δίνετι η συνάρτηση f λ λ i) Γι ποίες τιμές του λ είνι -; ii) Υπολογίστε τις τιμές του λ γι τις οποίες ισχύει f () f () f () f (0) iii) Αν γι κάθε < 0 ισχύει f () ν βρείτε τις τιμές του λ.. Σε έν σθενή με υψηλό πυρετό χορηγείτι έν ντιπυρετικό φάρμκο. Η θερμοκρσί (πυρετός) Θ(t) του σθενούς t ώρες μετά την λήψη του φρμάκου δίνετι πό τον τύπο: t Θ t 6 σε βθμούς Κελσίου. i) Ν βρείτε πόσο πυρετό είχε ο σθενής τη στιγμή που του χορηγήθηκε το φάρμκο. ii) Ν βρείτε σε πόσες ώρες η θερμοκρσί του σθενούς θ πάρει την φυσιολογική τιμή των 6, C. iii) Αν η επίδρση του ντιπυρετικού διρκεί ώρες πόση θ είνι η θερμοκρσί του σθενούς μόλις στμτήσει η επίδρση του φρμάκου.. Ένς βιολόγος μελετώντς την νάπτυξη ενός είδους βκτηριδίων πρτηρεί ότι: ) ώρες μετά την ένρξη της πρτήρησης τ βκτηρίδι ήτν 00. β) ώρες μετά την ένρξη της πρτήρησης τ βκτηρίδι ήτν.00. Αν ο τύπος που δίνει τον ριθμό των βκτηριδίων είνι P(t) = Ρ ο kt λt, Pt P 0 όπου Ρ(t) ο ριθμός των βκτηριδίων σε χρόνο t, Ρ 0 o ρχικός ριθμός κι λ στθερά που εξρτάτι πό το είδος των βκτηριδίων τότε: i) Ν βρείτε τη στθερά λ. ii) Ν βρείτε τον ρχικό ριθμό των βκτηριδίων. iii) Σε πόσ λεπτά ο ρχικός ριθμός των βκτηριδίων είχε διπλσιστεί; Λογάριθμοι Α ΟΜΑΔΑΣ 6. Ν ποδείξετε τις ισότητες: i) log log log ii) log log8 log log

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Εκθετική & Λογριθμική Συνάρτηση log 9 7. Ν ποδείξετε τις ισότητες: i) log 6 log log8 ii) log log 8. Ν ποδείξετε ότι: log log 8 log log log 9. Ν υπολογιστεί η τιμή της πράστσης log log 6 log 0. Ν πλοποιηθούν: i) A ln ln A ii) ln B iii) Γ ln ln iv) Δ ln ln. Ν υπολογιστεί ο 6 log ν γνωρίζουμε ότι log 0, 6. Ν ποδείξετε ότι: ln log 6 ln log 0 ii) 8. Ν γρφούν σν λογάριθμοι ενός ριθμού οι πρστάσεις: i) log log 6. Ν ποδείξετε ότι: log β logβ γ γ, με,β, γ R β,β log ln yln z ln zln ln ln y. Ν ποδείξετε ότι: y z B ΟΜΑΔΑΣ β ii) log log 0 6. Ν υπολογιστούν οι πρστάσεις: i) log 7 log8 log 9 log ii) log log 7. Αν log, logβ κι log γ ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: i) β log ii) 0γ log β 0 γ 8. Ν ποδείξετε ότι: log log log... log 7 8 9. Έστω, β, γ θετικοί ριθμοί κι διφορετικοί μετξύ τους. Αν ισχύει ποδείξετε ότι β γ. β γ log logβ log γ β γ γ β ν 0. Αν, y > 0, κι y 7y, ν δείξετε ότι: log log y log y. Ν ποδείξετε ότι το άθροισμ των v πρώτων όρων σε ριθμητική πρόοδο με logβ είνι: S ν log β ν ν ν ν log κι. Έστω οι, β, γ, θ θετικοί κι διάφοροι του. Αν οι, β, γ είνι διδοχικοί όροι σε γεωμετρική πρόοδο ν δείξετε ότι οι ντίστροφοι των ριθμών log θ, logβ θ,log γ θ είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου.. Μι ποσότητ ρδιενεργού υλικού θάβετι κι με τη πάροδο του χρόνου μειώνετι κολουθώντς το νόμο της εκθετικής μετβολής. i) Αν γνωρίζουμε ότι μετά πό δυο χρόνι έχει πομείνει το της ρχικής ποσότητς ν γρφεί ο τύπος της εκθετικής μετβολής. ii) Αν μετά πό τέσσερ χρόνι η ποσότητ που έχει πομείνει είνι κιλό ν βρεθεί η ρχική ποσότητ που θάφτηκε. iii) Μετά πό πόσ χρόνι η ποσότητ που θ έχει πομείνει θ είνι 8 κιλά;

Άλγεβρ B Λυκείου Κεφάλιο : Εκθετική & Λογριθμική Συνάρτηση. Ο πληθυσμός μις πόλης είνι σήμερ 0 χιλιάδες κάτοικοι κι μετά πό 0 χρόνι υπολογίζετι ότι θ είνι 0 χιλιάδες κάτοικοι. Βρέθηκε επίσης ότι σε t 0 χρόνι πό σήμερ ο πληθυσμός της πόλης θ λt είνι N t A. i) Ν βρείτε τις στθερές Α κι λ. ii) Ν βρείτε σε πόσ χρόνι πό σήμερ ο πληθυσμός της πόλης θ τετρπλσιστεί. iii) Ν λύσετε ως προς t την νισότητ N t N t N t N t 6 0 Λογριθμική Συνάρτηση Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων: i) f 6. Ν λυθεί η εξίσωση: log log 0 7. Ν λυθεί η εξίσωση: log log log 8. Ν λυθεί η εξίσωση: log log log 9. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) ln ln ln ii) f ln ii) ln ln ln log log y y 0. Ν λυθούν τ συστήμτ: i) ii) log log y 9 ln ln y ln y ln ln ln ln y. Ν λυθούν τ συστήμτ: i) ii) y ln ln y 0 ln ln y 0 B ΟΜΑΔΑΣ. Ν λυθεί η εξίσωση: ln ln ln 6 0. Ν λυθεί η εξίσωση: log log log 6 log. Ν λυθεί η εξίσωση: 00. Ν λυθεί η νίσωση: ln ln ln 6. i) Ν ποδείξετε ότι: logy = y log ii) Ν λύσετε την εξίσωση: log = log 7. Ν λυθεί το σύστημ: y log log y log 6 8. Ν βρεθεί ο θετικός ώστε ν ισχύει: log 9. i) Ν ποδείξετε ότι logy = y log με, y > 0 ii) Ν λύσετε το σύστημ: log y log y log y log 0 log... log ν iii) Αν οι λύσεις του (ii) είνι ρίζες της εξίσωσης loglog log θ 0 0 ν ν βρείτε το θ * R