Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή μς ζωή χρησιμοποιούμε προτάσεις, όπως: «Σήμερ είνι ωρί μέρ γι εκδρομή» «Μου τη δίνουν τ Μθημτικά» Οι πρπάνω προτάσεις ν κι πό γρμμτική ή συντκτική άποψη είνι σωστές, πό Μθημτική άποψη έχουν έν μειονέκτημ. Δεν μπορούν ν χρκτηριστούν ως ληθείς ή ψευδείς. Στ Μθημτικά όμως, οι προτάσεις που χρησιμοποιούμε πρέπει πέρν κάθε μφιβολίς ν μπορούν ν χρκτηριστούν ληθείς ή ψευδείς. Γι πράδειγμ μθημτικές προτάσεις είνι οι εξής: Μ.Π.1: (Μθημτική πρότση 1): «Ο ριθμός είνι διιρέτης του 6» Μ.Π.: «Υπάρχει φυσικός ριθμός x τέτοιος ώστε x 5» Γι όλες τις πρπάνω μθημτικές προτάσεις, μπορούμε με σιγουριά ν ισχυριστούμε ν είνι ληθείς ή ψευδείς. Έτσι η Μ.Π.1 είνι ληθής, όπως κι η Μ.Π., ενώ η είνι ψευδής. Πρτήρηση: Στο σχολικό βιβλίο, ντί του όρου «μθημτική πρότση» ή του πιο γενικού «λογική πρότση», χρησιμοποιείτι ο όρος «ισχυρισμός». Προτσικός τύπος είνι μί μθημτική έκφρση που περιέχει μί μετβλητή κι η οποί γίνετι λογική πρότση γι κάθε τιμή της μετβλητής.
Ποσοδείκτες Ας θεωρήσουμε τους προτσικούς τύπους: px : «γι τον πργμτικό ριθμό x ισχύει x 0». qx : «γι τον πργμτικό ριθμό x ισχύει x 1 7». Πρτηρούμε ότι ο πρώτος προτσικός τύπος γίνετι ληθής πρότση γι οποιδήποτε τιμή του πργμτικού ριθμού x. Λέμε τότε ότι ο προτσικός τύπος μί κθολική πρότση. px είνι Στ Μθημτικά γι ν δηλώσουμε ότι ένς προτσικός τύπος είνι ληθής γι κάθε τιμή της μετβλητής που περιέχει, χρησιμοποιούμε το σύμβολο που λέγετι κθολικός ποσοδείκτης. Επίσης πρτηρούμε ότι ο δεύτερος προτσικός τύπος γίνετι ληθής πρότση μόνο γι x 3, ενώ γι οποιδήποτε άλλη τιμή του x γίνετι ψευδής πρότση. Δηλδή υπάρχει πργμτική τιμή του x γι την οποί ο προτσικός τύπος qx γίνετι ληθής πρότση. Στ Μθημτικά γι ν δηλώσουμε ότι υπάρχει τιμή της μετβλητής γι την οποί ένς προτσικός τύπος γίνετι ληθής, χρησιμοποιούμε το σύμβολο που λέγετι υπρξικός ποσοδείκτης. 9
Λογικές πράξεις Με τις πλές λογικές προτάσεις, δεν μπορούμε ν εκφράσουμε πάντοτε υτό που θέλουμε. Έτσι δημιουργούμε «σύνθετες» προτάσεις συνδέοντς πλές προτάσεις με τις λεγόμενες «λογικές πράξεις». Αυτές είνι οι πρκάτω: Η άρνηση : Από την λογική πρότση p, μπορούμε ν δημιουργήσουμε την άρνηση της p που συμβολίζετι με p ή όχι p. Η πρότση p είνι ληθής ότν η p είνι ψευδής, ενώ είνι ψευδής ότν η p είνι ληθής. Πράδειγμ: Αν έχουμε την πρότση p : «5 7», η άρνηση της p είνι η πρότση: «5 7». Ο πίνκς λήθεις γι την πρότση p είνι ο εξής: p p Δηλδή ότν η πρότση p είνι ληθής (A), η άρνησή της ντίστροφ. Η συνεπγωγή p είνι ψευδής (Ψ) κι Έστω δύο ισχυρισμοί p κι q. Αν πό την λήθει του ισχυρισμού p μπορούμε ν συμπεράνουμε την λήθει του ισχυρισμού q, τότε λέμε ότι ο p συνεπάγετι τον q κι γράφουμε p q. Η πρότση p λέγετι υπόθεση κι η πρότση q λέγετι συμπέρσμ Πράδειγμ: Αν x, τότε p: υπόθεση x 0 κι γράφουμε: x x 0. q: συμπέρσμ Θεωρούμε ότι η συνεπγωγή p q είνι ψευδής μόνο στη περίπτωση που η υπόθεση p είνι ληθής κι το συμπέρσμ q είνι ψευδής πρότση. Σε κάθε άλλη περίπτωση η συνεπγωγή p q είνι ληθής πρότση. O πίνκς λήθεις της συνεπγωγής p q είνι ο πρκάτω. p q p q 10
Η ισοδυνμί Έστω δύο ισχυρισμοί p κι q. Αν πό την λήθει του ισχυρισμού p μπορούμε ν συμπεράνουμε την λήθει του ισχυρισμού q κι πό την λήθει του ισχυρισμού q μπορούμε ν συμπεράνουμε την λήθει του ισχυρισμού p, τότε λέμε ότι οι ισχυρισμοί p κι q είνι ισοδύνμοι κι γράφουμε p q. Είνι φνερό ότι ν οι ισχυρισμοί p κι q είνι ισοδύνμοι, ισχύουν κι οι δύο συνεπγωγές: p q κι q p Μί ισοδυνμί θεωρείτι ληθής πρότση ότν οι προτάσεις p κι q είνι κι οι δύο ληθείς ή κι οι δύο ψευδείς. Πρδείγμτ: Α: Β: x x x 9 3 ή 3 p q το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ισόπλευρο p q Ο πίνκς λήθεις της ισοδυνμίς είνι ο πρκάτω: p q p q Ο σύνδεσμος «ή» (διάζευξη). Έστω δύο ισχυρισμοί p κι q. Από τους ισχυρισμούς υτούς μπορούμε ν δημιουργήσουμε τον ισχυρισμό «p ή q». Ο ισχυρισμός «p ή q» λέγετι διάζευξη των p κι q. Δεχόμστε ότι ο ισχυρισμός ληθεύει ότν ένς τουλάχιστον πό τους p κι q ληθεύει. Πράδειγμ: Ο ισχυρισμός 5 ή p 0 q, θεωρείτι ληθής γιτί είνι ληθής ο ισχυρισμός p p q p ή q 11
Ο σύνδεσμος «κι» (σύζευξη) Έστω δύο ισχυρισμοί p κι q. Από τους ισχυρισμούς υτούς μπορούμε ν δημιουργήσουμε τον ισχυρισμό «p κι q». Ο ισχυρισμός «p κι q» λέγετι σύζευξη των p κι q. Δεχόμστε ότι ο ισχυρισμός «p κι q» ληθεύει ότν κθένς πό τους p κι q ληθεύει. Πράδειγμ: Ο ισχυρισμός: Γι κάθε πργμτικό ριθμό ισχύει 1 0 κι p q είνι σωστός, γιτί είνι ληθεύουν κι οι δύο ισχυρισμοί p κι q. Ο ισχυρισμός: Αν,β κέριοι, τότε ο ριθμός β είνι κέριος κι δεν είνι ληθής, γιτί δεν είνι ληθής ο ισχυρισμός q. p Ο πίνκς λήθεις της σύζευξης είνι ο πρκάτω: p q p κι q ο ριθμός είνι κέριος β Σημείωση: Ότν συνδέουμε δύο ή περισσότερους ισχυρισμούς με τις λεγόμενες «λογικές πράξεις» δηλδή άρνηση, σύζευξη, διάζευξη, συνεπγωγή κι ισοδυνμί, προκύπτει ένς «λογικός τύπος». Αν ο λογικός τύπος είνι ληθής γι κάθε τιμή των ισχυρισμών που περιέχει, λέμε ότι ποτελεί «τυτολογί», ενώ ότν είνι πάντ ψευδής λέμε ότι ποτελεί «ντίφση». Πράδειγμ Ν ποδείξετε ότι ο λογικός τύπος p ή p κι q p είνι τυτολογί. Θ κτσκευάσουμε τον πίνκ λήθεις του λογικού τύπου p q p κι q p ή p κι q p ή p κι q p p ή p κι q p είνι πάντ ληθής, άρ είνι Πρτηρούμε ότι ο λογικός τύπος τυτολογί. q 1
Μέθοδοι πόδειξης Ότν ορίζουμε μί μθημτική έννοι, χρησιμοποιούμε άλλες έννοιες που έχουν οριστεί προηγούμεν. Έτσι όμως οδηγούμστε σε ορισμένες έννοιες που δεν μπορούν ν οριστούν λλά θεωρούντι «ρχικές» έννοιες. Γι πράδειγμ οι έννοιες σημείο, ευθεί κι επίπεδο είνι ρχικές έννοιες στη Γεωμετρί. Επίσης ότν ποδεικνύουμε μί πρότση, στηριζόμστε σε προηγούμενες προτάσεις που έχουν ποδειχθεί. Έτσι όμως οδηγούμστε σε κάποιες προτάσεις που δεν μπορούν ν ποδειχθούν. Οι προτάσεις υτές την λήθει των οποίων δεχόμστε χωρίς πόδειξη, λέγοντι «ξιώμτ». Γι πράδειγμ η πρότση: «Γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς,β ισχύει β β» είνι Αλγεβρικό ξίωμ. Μί μθημτική πρότση έχει δύο μέρη. Την υπόθεση κι το συμπέρσμ. Απόδειξη είνι η διδικσί με την οποί χρησιμοποιώντς την υπόθεση κι λογικά βήμτ κτλήγουμε στο συμπέρσμ. Οι συνηθισμένες ποδεικτικές μέθοδοι είνι οι εξής: Ευθεί πόδειξη: Ξεκινάμε πό την υπόθεση κι χρησιμοποιώντς τ δεδομέν κι προηγούμενες γνώσεις, κτλήγουμε στο συμπέρσμ. Πράδειγμ: x y Αν, ν ποδείξετε ότι x y. y x Απόδειξη: Έχουμε x y x y xy y x 0 x y 0 x y 0 x y. x y xy 13
Απόδειξη με ισοδυνμίες. Ξεκινάμε πό τη σχέση που θέλουμε ν ποδείξουμε κι με ισοδυνμίες κτλήγουμε σε κάτι που ισχύει. Πράδειγμ: Αν 0 x y ν ποδείξετε ότι x y 1x 1y Απόδειξη: Έχουμε x y 1x 1 y ισχύει πό υπόθεση. 1 x0,1 y0 1 1 x y y x x xy y xy x y που Απόδειξη με πγωγή σε άτοπο. Έστω ότι θέλουμε ν ποδείξουμε την συνεπγωγή p q κι διπιστώνουμε ότι η ευθεί πόδειξη δεν έχει ποτέλεσμ. Ένς τρόπος με τον οποίο μπορούμε ν εργστούμε σε μί τέτοι περίπτωση, είνι η «πγωγή σε άτοπο». Υποθέτουμε ότι δεν ισχύει το συμπέρσμ q, άρ θ ισχύει η άρνηση του q. Χρησιμοποιώντς τώρ τ δεδομέν, στο τέλος κτλήγουμε σε κάτι που δεν ισχύει, δηλδή κτλήγουμε σε άτοπο. Πράδειγμ: Αν ο ριθμός είνι κέριος κι ο κι ο είνι περιττός. είνι περιττός, ν ποδείξετε ότι Απόδειξη: Έστω ότι ο δεν είνι περιττός, άρ θ είνι άρτιος. Δηλδή θ έχει μορφή κ, όπου κ φυσικός ριθμός. Έτσι έχουμε κ 4κ κ που σημίνει ότι ο ριθμός είνι άρτιος. Αυτό όμως είνι άτοπο, φού πό την υπόθεση ο είνι περιττός. Κτλήξμε σε άτοπο γιτί υποθέσμε ότι ο ριθμός είνι άρτιος. Άρ ο ριθμός είνι περιττός. 14
Λυμένες Ασκήσεις 1. Ν βρείτε ποιοι πό τους πρκάτω ισχυρισμούς είνι σωστοί κι ποιοι λάθος.. Αν x 4, τότε x β. Αν x τότε x 4 γ. Ισχύει xy 0 x 0 y δ. Η λογική πράξη «p κι q» είνι ληθής ότν μί τουλάχιστον πό τις προτάσεις p κι q είνι ληθής. ε. Αξίωμ λέμε μί πρότση που μπορούμε ν την ποδείξουμε.. Σωστό. β. Λάθος. Π.χ. ν x 4. x τότε γ. Σωστό. Το πηλίκο κι το γινόμενο δύο ριθμών είνι πάντ ομόσημοι ριθμοί. δ. Λάθος. Όπως φίνετι πό τον πίνκ λήθεις, η λογική πράξη «p κι q» είνι ληθής ότν κι οι δύο προτάσεις p κι q είνι ληθείς. ε. Λάθος. Αξίωμ είνι μί πρότση την οποί δεχόμστε ως ληθή, χωρίς πόδειξη.. Ποιες πό τις πρκάτω φράσεις είνι λογικές προτάσεις;. Ο ριθμός 8 είνι περιττός. β. Ο ριθμός 5 είνι ρητός. γ. Τ Κύθηρ ποτέ δεν θ τ βρούμε.. Είνι λογική πρότση κι είνι ψευδής. β. Επίσης είνι ψευδής λογική πρότση. γ. Δεν είνι λογική πρότση. 3. Ποιες πό τις πρκάτω προτάσεις είνι πλές κι ποιες σύνθετες;. Έν ορθογώνιο τρίγωνο έχει δύο οξείες γωνίες. β. Αν έν τρίγωνο είνι μβλυγώνιο, δεν μπορεί ν είνι ισόπλευρο. γ. Οι ριθμοί 3 κι 4 είνι διιρέτες του 0.. Η πρότση είνι πλή. β. Η πρότση είνι σύνθετη γιτί είνι της μορφής p q όπου p : «το τρίγωνο είνι μβλυγώνιο» κι q : «το τρίγωνο δεν είνι ισόπλευρο». γ. Η πρότση είνι σύνθετη γιτί είνι της μορφής p κι q όπου p : «ο ριθμός 3 είνι διιρέτης του 0» κι q : «ο ριθμός 4 είνι διιρέτης του 0». 15
. Το Λεξιλόγιο της Λογικής 4. Ν βρείτε τις πλές προτάσεις πό τις οποίες ποτελείτι κάθε μί πό τις επόμενες σύνθετες προτάσεις.. Αν ο ριθμός είνι άρρητος κι ο ριθμός β είνι ρητός, τότε ο ριθμός β είνι άρρητος. β. Αν οι γωνίες κι β είνι κτά κορυφήν, τότε είνι ίσες κι ντίστροφ. γ. Αν β κι β γ τότε.. Θεωρούμε τις πλές προτάσεις: p : «ο ριθμός είνι άρρητος», q : «ο ριθμός β είνι ρητός» κι r : «ο ριθμός β είνι άρρητος». Τότε η πρότση: Αν ο ριθμός είνι άρρητος κι ο ριθμός β είνι ρητός, τότε ο ριθμός β είνι άρρητος γράφετι ως εξής: p κι q r. β. Θεωρούμε τις πλές προτάσεις: p : «οι γωνίες κι β είνι κτά κορυφήν» κι q : «β». Τότε η πρότση: Αν οι γωνίες κι β είνι κτκορυφήν, τότε είνι ίσες κι ντίστροφ γράφετι ως εξής: p q. γ. Θεωρούμε τις πλές προτάσεις: p : «β», q : «β γ» κι r :. Τότε η πρότση: Αν β κι β γ 5. Ν ποδείξετε ότι ο λογικός τύπος p κι q τότε γράφετι p κι q r. p είνι τυτολογί Κτσκευάζουμε τον πίνκ λήθεις του λογικού τύπου p κι q p q p κι q p κι q p p. Από τον πίνκ λήθεις βλέπουμε ότι γι οποιονδήποτε συνδυσμό τιμών των λογικών προτάσεων p κι q η τιμή λήθεις του λογικού τύπου p κι q p είνι πάντ. Άρ ο προτσικός τύπος είνι τυτολογί. 16
6. Αν,β είνι ρητοί ριθμοί, x άρρητος κι ισχύει βx 0, ν ποδείξετε ότι β 0 Θ ποδείξουμε την πρότση με πγωγή σε άτοπο. Έστω ότι β 0. Τότε έχουμε βx 0 βx x x. Η ισότητ υ- β τή μς λέει ότι ο ριθμός x είνι ρητός γιτί είνι πηλίκο δύο ρητών. Αυτό όμως είνι άτοπο, γιτί πό την υπόθεση ο x είνι άρρητος. Κτλήξμε σε άτοπο γιτί υποθέσμε ότι β 0. Άρ θ είνι β 0. Γι β 0 η ισότητ βx 0 γίνετι 0x 0 0 0 0 Αποδείξμε λοιπόν ότι β 0.. 7. Ν ποδείξετε ότι ο λογικός τύπος p κι q p ή q είνι ντίφση. Κτσκευάζουμε τον πίνκ λήθεις του λογικού τύπου p κι q p ή q p q p q p κι q p ή q p κι q p ή q Πρτηρούμε ότι γι οποιονδήποτε συνδυσμό τιμών των λογικών προτάσεων p κι q η τιμή του λογικού τύπου p κι q p ή q είνι πάντ. Άρ ο λογικός τύπος είνι ντίφση ( ή ντιλογί). Είνι φνερό πό τον πρπάνω λογικό τύπο ότι η άρνηση της πρότσης p κι q είνι η πρότση p ή q. Ας πάρουμε γι πράδειγμ δύο πργμτικούς ριθμούς,β κι ς θεωρήσουμε την ισότητ β 0. Τότε όπως ξέρουμε θ είνι 0 κι β 0. Έτσι ν θεωρήσουμε τις προτάσεις: p: 0 κι q: β 0 περιγράφετι πό την σύζευξη p κι q. Αν τώρ θεωρήσουμε την άρνηση της ισότητς β 0, τότε θ ισχύει 0 ή β 0, η ισότητ β 0 β 0, δηλδή τη σχέση. Δηλδή η σχέση β 0 περιγράφετι πό την διάζευξη p ή q. Έτσι μπορούμε ν πούμε ότι οι προτάσεις p κι q κι p ή q είνι ισοδύνμες. 17
8. Ν ποδείξετε ότι ο λογικός τύπος p qp κι p είνι ντίφση. Κτσκευάζουμε τον πίνκ λήθεις του πρπάνω λογικού τύπου κι έχουμε: p q q p p p κι q p q p κι q Πρτηρούμε ότι γι οποιονδήποτε συνδυσμό τιμών των λογικών προτάσεων p κι q η τιμή του λογικού τύπου p qp κι q είνι πάντ. Άρ ο λογικός τύπος είνι ντίφση ( ή ντιλογί). 9. Έστω,β δύο περιττοί κέριοι ριθμοί. Ν ποδείξετε ότι ο ριθμός είνι άρτιος. β Αφού οι ριθμοί,β είνι περιττοί, θ υπάρχουν κέριοι κ,λ έτσι ώστε κ 1 κι β λ 1. Επομένως θ έχουμε: β κ 1λ 1 κ λ κ λ 1 Ο ριθμός. π.χ. με ρ. Δηλδή Τότε θ είνι 4κ 4κ 1 4λ 4λ 1 4κ 4λ 4κ 4λ κ λ κ λ 1 είνι κέριος, άρ μπορούμε ν τον συμβολίσουμε κ λ κ λ 1 ρ. β ρ. Η ισότητ υτή σημίνει ότι ο ριθμός β είνι άρτιος. 18
Ασκήσεις γι λύση 1. Ποιοι πό τους πρκάτω ισχυρισμούς είνι Σωστοί (Σ) κι ποιοι λάθος (Λ); i. Όλες οι προτάσεις μπορούν ν χρκτηριστούν ως ληθείς ή ψευδείς. ii. Υπάρχει πργμτικός ριθμός x τέτοιο ώστε x x. iii. Γι κάθε πργμτικό ριθμό x ισχύει x x. iv. Οι σύνθετες προτάσεις ποτελούντι πό πλές προτάσεις που συνδέοντι μετξύ τους με τις λογικές πράξεις. v. Η p q είνι ψευδής μόνο ν η p είνι ψευδής κι η q είνι ληθής. vi. Η διάζευξη δύο ισχυρισμών είνι πάντ ληθής πρότση. vii. Οι ρχικές έννοιες της Γεωμετρίς είνι: σημείο, ευθεί κι κύκλος. viii. Αξίωμ είνι μί λογική πρότση που προκύπτει πό έν θεώρημ. ix. Η πγωγή σε άτοπο χρησιμοποιείτι μόνο στη Γεωμετρί. x. Στην ευθεί πόδειξη, ξεκινάμε πό την υπόθεση κι κτλήγουμε στο συμπέρσμ. i ii iii iv v vi vii viii ix x. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω προτάσεις, γι τους ριθμούς κι β, κυκλώστε το γράμμ Σ ν ο ισχυρισμός είνι σωστός κι το γράμμ Λ ν είνι λνθσμένος. 1. β 0 0 ή β 0. 0 0 3. Γι κάθε πργμτικός ριθμός ισχύει 4. Αν 1, τότε 5. Αν,β πργμτικοί ριθμοί, με β, τότε 6. β β 7. Αν 0 τότε 9 3 3 8. 9. β 34 3 κι β 4 10. β 0 0 ή β 0 β 1 3 4 5 6 7 8 9 10 19
3. Ν συμπληρώσετε τις πρκάτω προτάσεις ώστε ν προκύψουν ληθείς ισχυρισμοί.. Η έκφρση, λέγετι υπρξικός β. Η έκφρση «γι κάθε» λέγετι... γ. Αν η πρότση p είνι., τότε η πρότση p είνι ληθής. δ. Η ισοδυνμί δύο προτάσεων είνι, ότν η μί πό τις δύο προτάσεις είνι κι η άλλη είνι ψευδής. ε. είνι μί, την λήθει της οποίς δεχόμστε χωρίς πόδειξη. 4. Στις πρκάτω προτάσεις ν συμπληρώσετε τ κενά με τις εκφράσεις: «υπάρχει, τέτοιο ώστε» ή «γι κάθε., ισχύει», όπως στ δύο πρώτ πρδείγμτ, έτσι ώστε ν προκύψουν ληθείς προτάσεις. 1: Υπάρχει πργμτικός ριθμός x τέτοιος ώστε : Γι οποιονδήποτε φυσικό ριθμό x, ισχύει 3 3.. κέριος x,. x 1 4.. x 1, x 1 5.. φυσικός x, 6.., φυσικός x,. x x. x x x. x. 5. Ν γράψετε την άρνηση των πρκάτω ισχυρισμών. i. x 5, ii. y 3, iii. x 1 ή x 4 iv. z 4, v. x y, vi. x y. 6. Στον πρκάτω πίνκ δίνοντι στη πρώτη στήλη κάποιες σχέσεις κι στη δεύτερη στήλη υπάρχουν άλλες προτάσεις που είνι ισοδύνμες των προτάσεων της πρώτης στήλης. Ν κάνετε την ντιστοιχί των ισοδύνμων προτάσεων. Στήλη Α Στήλη Β Ι x x 1 x y 1 ή x y 1 ΙΙ x x ή x ΙΙΙ x x3 0 κι x 1 3 x y 0 ΙV x y 0 4 x 1 V xy, θετικοί κέριοι κι xy 1 5 x 0 ή x 1 6 x y 1 7 x 8 x 3 0
7. Ν ντιστοιχίσετε κθέν πό τους ισχυρισμούς της 1 ης ομάδς με τον ισοδύνμό του ισχυρισμό της ης ομάδς. 1 η ομάδ η ομάδ Α x 3 1 x 0 ή x 1 Β x 4x 0 x 4 Γ x x 3 x ή x Δ x 9 κι x 0 4 x 0 κι x 3 Ε xx3 0 5 x ή x 4 Ζ x 4 6 x 3 Η x 16 κι x 4x 0 7 x 3 8 x κι x 9 x 3 ή x 3 Α Β Γ Δ Ε Ζ Η 8. Έστω p,q δύο προτάσεις. Ν ποδείξετε ότι η ισοδυνμί p q q p (που είνι γνωστή στ Μθημτικά ως «ντιθετοντιστροφή»), είνι τυτολογί. 9. Έστω p,q δύο προτάσεις. Ν ποδείξετε ότι οι πρκάτω ισοδυνμίες είνι τυτολογίες. (Νόμοι de Morgan). p ή q p κι q Α: Β: p κι q p ή q. 10. Ν ποδείξετε ότι ο πρκάτω λογικός τύπος (Νόμος του συλλογισμού), είνι τυτολογί: p q κι q rp r. 11. Έστω,β δύο κέριοι ριθμοί. Ν ποδείξετε ότι: i. Αν οι,β είνι άρτιοι, τότε κι ο ριθμός +β είνι άρτιος. ii. Αν οι,β είνι περιττοί, τότε ο ριθμός.β είνι περιττός. iii. Αν ο είνι άρτιος κι ο β είνι περιττός, τότε οι ριθμοί +β κι.β είνι περιττοί. 1
1. Αν οι ριθμοί,β,γ,δ είνι με τη σειρά που δίνοντι διδοχικοί φυσικοί, ν - ποδείξετε ότι: i. β γ δ. ii. Ο ριθμός βδ γ είνι περιττός. iii. Ο ριθμός β γ δ είνι άρτιος λλά όχι πολλπλάσιο του 4. 13. Έστω κέριος ριθμός. Ν ποδείξετε ότι ν ο είνι περιττός, τότε κι ο είνι περιττός. 14. Έστω κέριος ριθμός. Ν ποδείξετε ότι ν ο είνι περιττός. είνι περιττός, τότε κι ο 15. Έστω άρρητος ριθμός κι ρ ρητός ριθμός. Ν ποδείξετε ότι: Α: Ο ριθμός ρ είνι άρρητος. Β: Αν ρ 0, ο ριθμός ρ είνι άρρητος. Γ: Αν ρ 0, ο ριθμός ρ είνι άρρητος.