. Μέθοδος Frobenius Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ d w Γενική µορφή της γραµµικής.ε. ης τάξης: dz + P (z)dw + Q(z)w = dz Μορφή της.ε. όταν το σηµείο z = z είναι κανονικό ανώµαλο σηµείο d w dz + p(z) z z dw dz + όπου p(z), q(z) αναλυτικές στην περιοχή του σηµείου z. Μετασχηµατισµός της.ε. για z =/ζ, ] dw d w dζ + [ ζ ζ P ( ζ ) q(z) z z w = dζ + ζ 4 Q( ζ )w = Ενδεικτική ή χαρακτηριστική εξίσωση : λ +(p )λ + q = Αναδροµική σχέση n R n (λ)c n + [(λ + n k)p k + q k ] C n k =, n > όπου k= R n (λ) =(λ + n) +(p )(λ + n)+q Α. Γενική λύση στην περιοχή ενός κανονικού ανώµαλου σηµείου για λ λ N, N =,,,... w(z) =w (z)+w (z) = C n (λ )z n+λ + C n (λ )z n+λ Β. Γενική λύση στην περιοχή ενός κανονικού ανώµαλου σηµείου για λ λ = N, N =,,... [ w(z) =w (z)+w (z) = C n (λ )z n+λ + d ] C n (λ)z n+λ dλ Β. Γενική λύση στην περιοχή ενός κανονικού ανώµαλου σηµείου για λ λ = w(z) =w (z)+w (z) = C n (λ )z n+λ + lnzw (z)+z λ. Υπεργεωµετρική σειρά και εξίσωση Υπεργεωµετρική σειρά : F (α, β; γ; z) = (α) n (β) n n!(γ) n z n =+ αβ γ Γ(α + n) όπου (α) n =(α)(α +)(α +) (α + n ) = Γ(α) Ολοκληρωτική παράσταση της Υπεργεωµετρικής σειράς F (α, β; γ; z) = B(β,γ β) λ=λ ( ) dcn (λ) dλ λ=λ z n +)β(β +) z+α(α z +, z <!γ(γ +) t β ( t) γ β ( zt) α dt, z < Υπεργεωµετρική εξίσωση : z( z)w +[γ ( + α + β)z]w αβw = Γενική λύση της υπεργεωµετρικής εξίσωσης στην περιοχή του σηµείου z =: w(z) =A F (α, β; γ; z)+bz γ F (α γ +,β γ +; γ; z), z <
Γενική λύση της υπεργεωµετρικής εξίσωσης στην περιοχή του σηµείου z =: w(z) =A F (α, β;+α + β γ; z) + B( z) γ α β F (γ β,γ α; γ α β +; z) Γενική λύση της υπεργεωµετρικής εξίσωσης στην περιοχή του σηµείου z = : w(z) =Az α F (α, α γ +;α β +; z )+Bz β F (β,β γ +;β α +; z ), z > 3. Συµφυής υπεργεωµετρική σειρά και εξίσωση Συµφυής υπεργεωµετρική σειρά : F (α; γ; z) = (α) n z n =+ α α(α +) z + n!(γ) n γ!γ(γ +) z +, Συµφυής υπεργεωµετρική εξίσωση : z d w +(γ z)dw αw = dz dz Γενική λύση της συµφυούς υπεργεωµετρικής εξίσωσης στην περιοχή του σηµείου z =: z < w(z) =A F (α; γ; z)+bz γ F ( + α γ; γ; z), z < Ολοκληρωτική παράσταση της συµφυούς υπεργεωµετρική σειράς F (α; γ; z) = 4. Συναρτήσεις Bessel B(α, γ α) e zt ( t) γ α t α dt, Re γ>re α> ιαφορική εξίσωση Bessel: z w (z)+zw (z)+(z ν )w = ( ) k z ) k+ν Συνάρτηση Bessel πρώτου είδους τάξης ν: J ν (z) =, z <, arg z <π k!γ(k + ν +)( k= Γεννήτρια συνάρτηση των συναρτήσεων Bessel: g(z,t) =e z (t t ) = J n (z)t n, < t < Συνάρτηση Bessel πρώτου είδους ακέραιας τάξης n: J n (z) = k= n= ( ) k z ) k+n, z < k!γ(k + n +)( Σχέσεις συµµετρίας: J n (z) =( ) n J n (z), J n ( z) =( ) n J n (z), n = ακέραιος Αναδροµικές σχέσεις: J ν (z) J ν+ (z) =J ν(z), d dz [zν J ν (z)] = z ν J ν (z), Ολοκληρωτικές παραστάσεις της συνάρτησης Bessel J ν (z)+j ν+ (z) = ν z J ν(z) d dz [z ν J ν (z)] = z ν J ν+ (z) J n (z) = π π cos(z sin θ nθ)dθ, n= ακέραιος, J ν (z) = Ορίζουσα Wronsky των συναρτήσεων J ν και J ν W (J ν,j ν )=J ν (z)j ν(z) J ν(z)j ν (z) = sin(νπ) zπ Συναρτήσεις Neumann και Hankel: N ν (z) = J ν(z) cos(νπ) J ν (z) sin(νπ) α Σχέση ορθογωνιότητας: xj n (ξ i x)j n (ξ j x)dx = α [J n+(ξ i α)] δ ij όπου ξ i,ξ j ϱίζες της συνάρτησης J n (ξα). ( z)ν π Γ(ν + ) ( t ) ν e izt dt, ν >, H ν (±) (z) =J ν (z) ± in ν (z)
3 Τροποποιηµένες συναρτήσεις Bessel: I ν (z) =i ν J ν (iz), K ν (z) = π Σφαιρικές συναρτήσεις Bessel, Neumann και Hankel I ν (z) I ν (z) sin(νπ) π π j l (z) = z J l+ (z), n l (z) = z N l+ (z), h (±) ν (z) =j l (z) ± in l (z) 5. Κλασικά Πολυώνυµα Γενικευµένος τύπος του Rodrigues: C n (x) = K n ρ(x) dx n [ρ(x)sn (x)], n =,,,..., x [a, b] όπου : C (x) είναι πολυώνυµο πρώτου ϐαθµούως προς x. s(x) είναι πολυώνυµο του x ϐαθµού, µε πραγµατικές ϱίζες. ρ(x) είναι πραγµατική, ϑετική και ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο διάστηµα [a, b] που ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες: ρ(a)s(a) =ρ(b)s (b) =. K n είναι η σταθερά στανταροποίησης". d m ( Λήµµα. ρs n ) dx m Π ( k) ρs n m Π ( k+m), όπου Π ( k) (x) αυθαίρετο πολυώνυµο ϐαθµού k. Λήµµα. Η παράγωγος dm dx m (ρsn ) για m<nµηδενίζεται στα σηµεία a και b. b Σχέση ορθογωνιότητας: (Π m,ρc n ) Π m (x)ρ(x)c n (x)dx =, m < n a Ανάπτυγµα συνάρτησης σε σειρά Κλασικών Πολυωνύµων f(x) = c n C n (x), c n = N n b a d n ρ(x)f(x)c n (x)dx, N n =(C n,ρc n ) Στα σηµεία ασυνέχειας της f(x) η σειρά συγκλίνει στο όριο lim [f(x + ɛ)+f(x ɛ)] ɛ 5α. Πολυώνυµα Legendre, P n (x), x, ρ(x) =. Τύπος του Rodrigues: P n = ( )n n n! Ορθογωνιότητα : (P n,p m )= n + δ nm `Εκφραση υπό µορφή αθροίσµατος: P n (x) = όπου [ν] ο µεγαλύτερος ακέραιος ν. [n/] k= d n dx n [ ( x ) n] = d n ( ) k (n k)! n k!(n k)!(n k)! xn k [ (x n n! dx n ) n] Γεννήτρια συνάρτηση : g(x, t) = = P n (x)t n, x, t < xt + t Αναδροµικές Σχέσεις: (n +)P n+ (x) =(n +)xp n (x) np n (x) n =,, 3, P n+ xp n + P n P n = n =,, 3, P n+ P n =(n +)P n n =,, 3,... xp n P n = np n n =,, 3,... ιαφορική εξίσωση: ( x )P n (x) xp n(x)+n(n +)P n (x) =, n =,,,... x [, ]
4 Χρήσιµες ιδιότητες: P n ( x) =( ) n P n (x), P n () =, P n ( ) = ( ) n P n (x), x [, ], P n () = ( ) n Γ ( n + ), P n+ () = πn! P n() =, P n+() = ( ) n Γ ( n + 3 ) πn! Ανάπτυγµα συνάρτησης σε σειρά πολυωνύµων Legendre. f(x) = c n P n (x), x, c n = n + f(x)p n (x)dx Τα πρώτα πολυώνυµα Legendre: P (x) =,P (x) =x, P (x) = (3x ), P 3 (x) = (5x3 3x) 5β. Πολυώνυµα Hermite, H n (x), x <, ρ(x) =e x, s(x) = Τύπος του Rodrigues : H n (x) =( ) n x dn e dx n (e x ), Ορθογωνιότητα: (H n, e x H m )= π n n!δ nm `Αλλες εκφράσεις: H n (x) = [n/] k= Γεννήτρια συνάρτηση: g(x, t) =e t +tx = ( ) k n! k!(n k)! (x)n k, H n (x) = n! πi c n! H n(x)t n, t < Αναδροµικές σχέσεις: H n+ =xh n nh n, H n =nh n n =,, 3,... e t +tx t n+ dt ιαφορική εξίσωση: H n xh n +nh n =, x < Χρήσιµες ιδιότητες: H n (x) =( ) n H n ( x), H n () = ( ) n (n)!, H n+ () = n! Ανάπτυγµα συνάρτησης σε σειρά πολυωνύµων Hermite f(x) = c n H n (x), <x<, c n = π n e x f(x)h n (x)dx n! Ταυτότητα Parseval: e x f (x) dx = π n n! c n Τα πρώτα πολυώνυµα Hermite: H (x) =,H (x) =x, H (x) =4x, H 3 (x) =8x 3 x
5 5γ. Πολυώνυµα Laguerre, L ν n(x), x<, ρ(x) =x ν e x, s(x) =x Τύπος του Rodrigues : L ν n(x) = n! x ν e x dn dx n (e x x ν+n ) Ορθογωνιότητα: (L ν n,x ν e x L ν m)= Γ(n + ν +) δ nm n! `Αλλη έκφραση: L ν n(x) = n ( ) k (n + ν)! (n k)!(ν + k)!k! xk, ν > k= Γεννήτρια συνάρτηση: Αναδροµικές σχέσεις: g(x, t) = e xt/( t) ( t) ν+ = L ν n(x)t n, t < (n +)L ν n+ =(n + ν + x)l ν n (n + ν)l ν n x(l ν n) = nl ν n (n + ν)l ν n n =,,,... ιαφορική εξίσωση: x(l ν n) +(ν + x)(l ν n) + nl ν n = x< Χρήσιµες ιδιότητες: L ν n() = Γ(n + ν +) n!γ(ν +) Τα πολυώνυµα Laguerre για n =,, : L ν =, Lν = x+ν+, Lν = x (ν+)x+ (ν+)(ν+) 6. Λογισµός Μεταβολών.Ε των Euler-Lagrange α) Μια εξαρτηµένη και µια ανεξάρτητη µεταβλητή f = f(x, y, y ), y d dx y = ή x d ( f y ) dx y = ϐ) Πολλές εξαρτηµένες µεταβλητές και µια ανεξάρτητη µεταβλητή f = f(x, y,y,...,y k,y,y,...,y k ), d y i dx y i =, i =,, 3,...,k γ) Μια εξαρτηµένη µεταβλητή και τρείς ανεξάρτητες µεταβλητές f = f(x, y, z, u, u x,u y,u z ), u x u x y u y z u z = Μεταβολές που υπόκεινται σε περιορισµούς (ισοπεριµετρικό πρόβληµα) J[y] = x x f(x, y, y )dx, K[y] = y d dx Αν ϕ(x, y, y )= τότε h = f + λ(x)ϕ. Συναρτησοειδή της µορφής J = x x y =, x f(x, y,y,..., y k,y,y,..., y k )dx, K j = x ϕ(x, y, y )dx, y(x )=y, y(x )=y x h = f + λϕ x ϕ j (x, y,..., y k,y,..., y k )dx = c j, j =,,..., p
6 d y i dx y i p =, i =,,..., k, h = f + λ j ϕ j j= 7. Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα Ορισµός του ορισµένου ολοκληρώµατος: Γ(z) e t t z dt, Re z> Παραγοντική συνάρτηση : z! e t t z dt =Γ(z +), Re z> Ορισµός του απείρου ορίου : n! Γ(z) lim n z(z +)(z +) (z + n) nz Αναδροµική σχέση : Γ(z + n) =(z + n )(z + n ) (z +)zγ(z) `Αλλες µορφές της συνάρτησης Γ: [ ( )] z Γ(z) = e t t z dt, Γ(z) = ln dt, Re z> t Ορισµός της συνάρτησης Βήτα : B(p, q) = Χρήσιµες ιδιότητες: Γ(z)Γ( z) = 8. Κριτήρια σύγκλισης σειρών B(p, q) = π/ B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q) π sin πz cos p θ sin q θdθ, Re p>, Re q> t p ( t) q dt, Re p>, Re q> z, Γ(z) = π Γ(z)Γ(z + ), Γ() =! =, Γ( )= π Κριτήριο σύγκρισης. a) Αν η σειρά f n (z) συγκλίνει και f n (z) g n (z) τότε η σειρά g n (z) συγκλίνει απόλυτα. b) Αν η g n (z) αποκλίνει και f n (z) g n (z) τότε και η f n (z) αποκλίνει ενώ η f n (z) µπορεί να συγκλίνει ή να αποκλίνει. f Κριτήριο του d Alembert (του λόγου). Αν lim n+ n f n L <, αποκλίνει για L >, ενώ για L = το κριτήριο αποτυγχάνει. = L τότε η fn (z) συγκλίνει απόλυτα για Κριτήριο του Gauss (της ϱίζας). Αν lim n n f n (z) = L,τότεη f n (z) συγκλίνει απόλυτα όταν L <, αποκλίνει για L > ενώ για L = το κριτήριο αποτυγχάνει. ( )] Κριτήριο του Raabe. Αν lim n [n f n+ f n = L,τότεη f n (z) συγκλίνει απόλυτα όταν L>, αποκλίνει όταν L <, ενώ για L =το κριτήριο αποτυγχάνει. Κριτήριο του Gauss. Αν wn(z) w n+ (z) = L + a n + Cn, β >, C n β n <M, για n,τότεη w n (z) συγκλίνει απόλυτα για L > και αποκλίνει για L <. ΑνL = η σειρά συγκλίνει απόλυτα για a > και αποκλίνει για a. Κριτήριο της εναλλασόµενης σειράς. Αν a n και a n a n+ για n και lim n a n =,τότε η σειρά ( ) n a n συγκλίνει. Κριτήριο του Abel. Αν η w n (z) συγκλίνει και για την ακολουθία {f n } ισχύει : wn (z)f n συγκλίνει. f n f n+,τότεη