ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος του που { } παράγεται από τα διανύσματα v = (,,,), v = (,,, ) α) (7 μον) Δείξτε ότι το U αποτελεί υπόχωρο του και βρείτε μία βάση του και τη διάστασή του Βρείτε επίσης τη διάσταση του διανυσματικού χώρου V β) (0 μον) Υπολογίστε τις διαστάσεις των διανυσματικών χώρων U + V, U V γ) ( μον) Εξετάστε αν ισχύει = U V Θέμα (0 μονάδες) a 0 0 α) Έστω abθ,, και A= b cos θ si θ 0 siθ cosθ α) (5 μον) Να βρεθούν όλες οι τιμές των abθ,, τέτοιες ώστε ο πίνακας A να είναι ορθογώνιος α) (5 μον) Έστω f : μια γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε ο πίνακας της f ως προς κάποια βάση του είναι ο A Να βρεθούν όλες οι τιμές των abθ,, τέτοιες ώστε η f να είναι - 6 β) Έστω A = 8 6 β) (5 μον) Υπολογίστε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A 00 β) (5 μον) Υπολογίστε τον πίνακα A (Υπόδειξη: Μπορείτε να χρησιμοποιήστε το θεώρημα Cayley-Hamilto) Θέμα (0 μονάδες) Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( ) = e με πεδίο ορισμού το α) (5 μον) Προσδιορίστε τα διαστήματα όπου η f είναι αύξουσα ή φθίνουσα β) (5 μον) Βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f που είναι τοπικά η ολικά ακρότατα σημεία και δείξτε ότι e e για κάθε 0 γ) (5 μον) Βρείτε τα τέτοια ώστε τα σημεία (, f( )) να είναι τα σημεία καμπής της f δ) (5 μον) Έστω a 0 Υπολογίστε το εμβαδόν Ea του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα των και την ευθεία = a Θέμα (0 μονάδες) + a, < 0 α) (8 μον) Έστω ab, Θεωρούμε τη συνάρτηση f( ) = + b, 0 Να βρεθούν όλες οι τιμές των ab, τέτοιες ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο
β) (6 μον) Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες σειρές συγκλίνουν ( )! (!) 5 = (Υπόδειξη: Συγκρίνετέ την με γνωστή σειρά) = 5 + γ) (6 μον) Υπολογίστε τα ακόλουθα ολοκληρώματα d + 0 ( + ) d (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε την αντικατάσταση u = + για το δεύτερο ολοκλήρωμα) Θέμα 5 (0 μονάδες) α) Από το σύνολο των αριθμών {,,,,5} επιλέγουμε τυχαία δύο, δεχόμενοι ότι ο αριθμός που επιλέχθηκε πρώτος μπορεί να επιλεγεί και δεύτερη φορά α) ( μον) Προσδιορίστε τον δειγματικό χώρο του πειράματος α) ( μον) Βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α = «Οι αριθμοί που επιλέχθηκαν είναι ίσοι» Β = «Οι αριθμοί που επιλέχθηκαν διαφέρουν το πολύ κατά» α) ( μον) Εξετάστε αν τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ανεξάρτητα β) Μια μηχανή κατασκευάζει βίδες των οποίων το μήκος σε cm ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 5 και τυπική απόκλιση 0 Αν το μήκος μιας βίδας είναι εκτός του κλειστού διαστήματος [8 5] τότε αυτή θεωρείται ελαττωματική β) (5 μον) Ποια η πιθανότητα μια τυχαία επιλεγμένη βίδα να είναι ελαττωματική; β) (5 μον) Αν ξέρουμε ότι μια βίδα είναι ελαττωματική, ποια είναι η πιθανότητα να έχει μήκος μεγαλύτερο των 55 cm; Δίνεται ότι για την τυποποιημένη κανονική κατανομή Φ () = PZ ( ) = 08και Φ (5) = PZ ( 5) = 0998 ------------------------------ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!---------------------------------
Σύντομες Ενδεικτικές Λύσεις Θέμα α) O U είναι υπόχωρος του διότι είναι φανερό ισχύει η κλειστότητα ως προς την πρόσθεση (, y, z, w) + (, y, z, w) = (, y,, y) + (, y,, y) = ( +, y+ y, +, y+ y) U και ως προς τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό λ (, y, z, w) =λ (, y,, y) = ( λ, λy, λ, λy) U Το τυχαίο στοιχείο (, yzwτου,, ) U γράφεται ως ( yzw,,, ) = ( yy,,, ) = (,0,,0) + y(0,,0,) όποτε βλέπουμε ότι παράγεται από τα διανύσματα u = (,0,,0), u = (0,,0,) τα οποία τα οποία εύκολα βλέπουμε ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα οπότε αυτά αποτελούν βάση του χώρου και dimu = Επίσης αφού τα v =(,,,), v = (,,, ) είναι γραμμικά ανεξάρτητα έχουμε ότι dim V = 0 0 0 0 β) Θεωρούμε τον πίνακα A = με γραμμές τις συντεταγμένες των u Με, u, v, v τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών r r, rr, r r, r + r βρίσκουμε την 0 0 (ανηγμένη) κλιμακωτή μορφή 0 0 του A Σε αυτή υπάρχουν δύο μη μηδενικές γραμμές 0 0 0 0 0 0 0 0 και άρα dim ( U + V) = Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 5 του βιβλίου της Γραμμικής Άλγεβρας και το α), έχουμε dimu V = dimu + dimv dim( U + V) = + = γ) Από το β) έχουμε U V {0} και άρα (Θεώρημα 5) δεν αληθεύει ότι = U V Θέμα α) Έστω ότι ο A είναι ορθογώνιος Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 8 του βιβλίου της Γραμμικής Άλγεβρας, βλέπουμε ότι το μέτρο της πρώτης γραμμής πρέπει να είναι, οπότε a + 0+ 0 =, δηλαδή a =± Επίσης, η πρώτη γραμμή πρέπει να είναι κάθετη με τη δεύτερη, οπότε ab = 0, δηλαδή b = 0 Αντίστροφα, αν a = ±, b = 0 (και θ αυθαίρετο), τότε από το ίδιο Θεώρημα ο A είναι ορθογώνιος α) Επειδή η f : είναι γραμμική απεικόνιση, η f είναι - αν και μόνο αν ο πυρήνας της απεικόνισης είναι ο τετριμμένος χώρος det A 0 Έχουμε det A= a( cos θsi θ ) = a και άρα η απάντηση είναι a 0 (και b, θ αυθαίρετα) β) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A είναι 6 χ A( ) = det ( A I) = det = = ( )( + ) Οπότε οι ιδιοτιμές είναι οι, 8 6 για τις οποίες βρίσκουμε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα, { 0} και, { 0} β) Από το Θεώρημα Cayley-Hamilto (ή με άμεσο υπολογισμό) έχουμε A = I = I Οπότε 005 005 ( ) ( ) A = A = I = 00 00 I Θέμα α) Έχουμε f / ( ) = ( ) e και επομένως η f είναι φθίνουσα στο (,0], αύξουσα στο [ 0,] και φθίνουσα στο [, + )
β) Από το α) έπεται το ( 0, f (0)) = (0,0) είναι σημείο τοπικού ελαχίστου της f και το (, f ()) (, e = ) σημείο τοπικού μεγίστου της f Επειδή f( ) = e 0 για κάθε, το σημείο (0,0) είναι σημείο ολικού ελαχίστου Είδαμε ότι η f είναι αύξουσα στο [0,] και φθίνουσα στο [, + ) Άρα για κάθε [0, + ), f ( ) f(), δηλαδή e γ) Υπολογίζοντας βρίσκουμε e // ( ) ( ) f e ( ( ))( ( )) e = + = + και άρα f // ( ) = 0 = +, Παρατηρούμε ότι αν (, ) τότε f( ) > 0, αν (, + ) τότε f( ) < 0 και αν ( +, + ) τότε f( ) > 0 Άρα η σημεία καμπής στα = +, δ) Έχουμε f( ) 0 για κάθε Άρα Ea = f( ) d Χρησιμοποιώντας δυο φορές a 0 f έχει δυο ολοκλήρωση κατά παράγοντες (όπως στην Άσκηση Αυτοαξιολόγησης β) σελίδα 57 του βιβλίου του Λογισμού Μιας Μεταβλητής) βρίσκουμε f ( d ) = ( + + ) e + cκαι άρα a E = ( a + a+ ) e + a Θέμα α) Είναι σαφές ότι η f είναι συνεχής στα διαστήματα (,0),(0, + ) ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων και ως πολυώνυμο αντίστοιχα Άρα η f είναι συνεχής στο αν και μόνο αν είναι συνεχής στο 0, δηλαδή υπάρχει το lim f ( ) και lim f( ) = f(0), ή ισοδύναμα 0 0 lim f( ) = lim f( ) = f(0) Έχουμε + 0 + 0 0 lim f ( ) = f(0) = b Για το άλλο πλευρικό όριο παρατηρούμε ότι + a ( + a)( + + a) + a lim f( ) = lim = lim = lim Άρα αν a 0, 0 0 0 0 ( + + a) ( + + a) + a τότε το lim δεν υπάρχει Για a =, βρίσκουμε 0 ( + + a) + a lim = lim = 0 0 0 ( + + a) + + και για a = βρίσκουμε με τον κανόνα L Hospital lim lim 0 0 = = + ( + ) Συνεπώς αν η f είναι συνεχής στο 0, τότε a = Στην περίπτωση αυτή έχουμε b= lim f ( ) = li m f ( ) = 0 όπως είδαμε πριν Άρα b = 0 Αντίστροφα, αν a = και b = 0, τότε + 0 0 lim f( ) = li m f( ) = f(0) + 0 0 Μία εναλλακτική λύση είναι η ακόλουθη: Η f είναι συνεχής στα διαστήματα (, 0) και (0, + ) ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων και ως πολυώνυμο, αντιστοίχως Άρα η f είναι συνεχής στο τότε και μόνο, εάν είναι συνεχής στο 0, δηλαδή υπάρχει το lim f ( ) και lim f ( ) = f(0) ή ισοδυνάμως Έχουμε + 0 0 0 lim f( ) = lim f( ) = f(0) + 0 0 lim f ( ) = f(0) = b Για το άλλο πλευρικό όριο παρατηρούμε ότι
+ a lim + a= lim lim = b 0 = 0 lim + = a = a Επομένως, 0 0 0 0 ( + )( + + ) ( + + ) ( + + ) + + lim = lim = lim = lim = 0 = b + + 0 0 0 0 β) Με το κριτήριο του λόγου στην πρώτη σειρά έχουμε (( + ))! (( + )!) 5 + (+ )(+ ) = < ( )! 5( + ) 5 (!) 5 ( )! Άρα η σειρά συγκλίνει (!) 5 = Για τη δεύτερη σειρά παρατηρούμε ότι για κάθε, 0 < < και η συγκλίνει ως 5 + 5 = 5 γεωμετρική σειρά με λόγο 5 και < < Από το κριτήριο σύγκρισης, η 5 συγκλίνει = 5 + 7 6 7 γ) Χρησιμοποιώντας μερικά κλάσματα βρίσκουμε = + και άρα + + 7 6 7 6 d = d + d = l + l + c + + και + 7 7 6 6 d = l l + l 5 l + 7 7 7 7 0 Θέτοντας u = + παίρνουμε 7 ( + ) d= ( u ) u d= ( u u+ ) u d= u du u du+ u du = 0 7 0 7 u u + u + c= ( + ) ( + ) + ( + ) + c 0 7 0 7 Θέμα 5 α) Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι Ω = { (,), (,), (,), (,), (,5), (,), (,), (,), (,), (,5), (,), (,), (,), (,), (,5), (,), (,), (,), (,), (,5), (5,), (5,), (5,), (5,), (5,5) } α) Οι ευνοϊκές περιπτώσεις για το ενδεχόμενο Α είναι 5 (με κίτρινο στον Ω) επομένως P(A) = 5/5 = /5, ενώ αντίστοιχα για το Β έχουμε συνολικά ευνοϊκές περιπτώσεις (κίτρινες και πράσινες στον Ω) και P(Β) = /5 α) Είναι σαφές από τα προηγούμενα ότι, οπότε ενώ 5
Συνεπώς και τα ενδεχόμενα Α, Β είναι εξαρτημένα β) Έστω X η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει το μήκος μιας βίδας Τότε X N(5,0 ) Αν E είναι το ενδεχόμενο η βίδα να είναι ελαττωματική, PE ( ) = PE ( ') = P(5 0 X 5 + 0) = P(8 X 5) = X 5 55 X 5 85 = [ PX ( 5) PX ( < 8) ] = P P < 0 0 0 0 = [ Φ() Φ( )] = [ Φ() ( Φ ())] = iφ () = i08 = 07 β) Αν A είναι το ενδεχόμενο η βίδα να έχει μήκος μεγαλύτερο των 55 cm, ζητάμε την πιθανότητα ({ : > 55} [{ : < 8} { : > 5} ]) PA ( E) P PAE ( ) = = PE ( ) PE ( ) X 5 555 P P( { : > 55} ) P( X 55) 0 0 = = = = PE ( ) PE ( ) PE ( ) Φ(5) 0998 0006 = = = 0095 PE ( ) PE ( ) 07 = 6