ΕΥΘΕΙΑ Γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και μια υθία που τέμνι τον άξονα στο σημίο Α. Α ω Α ω Τη γωνία ω που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρω από το Α κατά τη θτική φορά μέχρι να συμπέσι μ την υθία τη λέμ γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Αν η υθία ίναι παράλληλη προς τον άξονα, τότ λέμ ότι σχηματίζι μ αυτόν γωνία ω. Σ κάθ πρίπτωση για τη γωνία ω ισχύι ω 18 ή σ ακτίνια ωπ. Συντλστής διύθυνσης μιας υθίας Ως συντλστή διύθυνσης μιας υθίας ορίζουμ την φαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζι η μ τον άξονα. Προφανώς ο συντλστής διύθυνσης μιας υθίας ίναι θτικός, αν η γωνία ω που σχηματίζι μ τον άξονα ίναι οξία και αρνητικός, αν ίναι αμβλία. Αν η υθία σχηματίζι μ τον μηδνική γωνία, δηλαδή ίναι παράλληλη στον άξονα, ο συντλστής διύθυνσης ίναι ίσος μ μηδέν. Στην πρίπτωση που η γωνία της υθίας μ τον άξονα ίναι 9, δηλαδή η υθία ίναι κάθτη στον άξονα, δν ορίζουμ συντλστή διύθυνσης για την υθία αυτή. συντλστής διύθυνσης λ μιας υθίας που διέρχται από τα σημία A ( 1, 1) και B (, ), μ 1 1 ίναι: λ. 1 Έστω τώρα ένα διάνυσμα δ παράλληλο σ μια υθία. Αν φ και ω ίναι οι γωνίς που σχηματίζουν το και η μ τον αντιστοίχως, τότ θα ισχύι φ ω ή φ π ω και πομένως φφ φω. Άρα: 3
Όταν μια υθία και ένα διάνυσμα ίναι παράλληλα, έχουν τον ίδιο συντλστή διύθυνσης. φ ω ω φ ω ω φ=ω φ=π+ω Συνθήκς Καθτότητας και Παραλληλίας Ευθιών Αν οι υθίς 1 και έχουν συντλστές διύθυνσης λ 1 και λ αντιστοίχως, τότ: και 1 // 1 1 1 1 Εξίσωση Ευθίας Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και A, ) ένα σημίο του ( πιπέδου. Η ξίσωση της υθίας που διέρχται από το Α και έχι συντλστή διύθυνσης λ ίναι: ( ) (1) Για παράδιγμα, η υθία που διέρχται από το σημίο A( 1, ) και έχι συντλστή διύθυνσης 3 έχι ξίσωση 3( 1), δηλαδή 3 1. Η ξίσωση (1) δν μπορί να χρησιμοποιηθί, όταν η υθία ίναι κατακόρυφη, αφού στην πρίπτωση αυτή δν ορίζται ο συντλστής διύθυνσης της υθίας. Όμως η ξίσωση μιας κατακόρυφης υθίας που διέρχται από το σημίο A, ) μπορί να βρθί ( αμέσως, αφού κάθ σημίο της Μ έχι ττμημένη και άρα η ξίσωσή της ίναι: Α(, ) 4
Ειδικές πριπτώσις Η ξίσωση υθίας που τέμνι τον άξονα στο σημίο A (, β) και έχι συντλστή διύθυνσης λ ίναι ( ), η οποία τλικά γράφται λ β. Α(,β) Αν μια υθία διέρχται από την αρχή των αξόνων και έχι συντλστή διύθυνσης λ, τότ η ξίσωσή της ίναι ( ) ή λ. δ δ 1 Oι διχοτόμοι των γωνιών O και O και αντιστοίχως. έχουν ξισώσις =- 135 o 45 o = Τέλος, αν μια υθία διέρχται από το σημίο A (, ) και ίναι παράλληλη στον άξονα, δηλαδή ίναι όπως λέμ μια οριζόντια υθία, έχι ξίσωση της, δηλαδή Α(, ). Γνική μορφή της ξίσωσης της υθίας ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθ υθία του πιπέδου έχι ξίσωση της μορφής A B μ A ή B (1) και αντιστρόφως, κάθ ξίσωση της μορφής (1) παριστάνι υθία γραμμή. Αν B, τότ η υθία έχι συντλστή διύθυνσης στο σημίο, B. A και τέμνι τον άξονα B Αν B, τότ, λόγω της υπόθσης, ίναι A και η ξίσωση γράφται που ίναι ξίσωση υθίας κάθτης στον άξονα στο σημίο του P,. A, A 5
Διάνυσμα Παράλληλο ή Κάθτο σ Ευθία Η υθία μ ξίσωση A B ίναι παράλληλη στο διάνυσμα δ ( B, A). Η υθία μ ξίσωση A B ίναι κάθτη στο διάνυσμα n ( A, B). Απόσταση Σημίου από Ευθία Έστω μια υθία του καρτσιανού πιπέδου, μ ξίσωση A B και M, ) ένα σημίο ( κτός αυτής. Η απόσταση d ( M, ) του σημίου M από την υθία ίναι: Μ (, ) A B d(m, ) A B Υπολογισμός Εμβαδού Γ Έστω, Α,Β,Γ τρία σημία του καρτσιανού πιπέδου. Το B μβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ίναι: 1 (AB) det(ab, A). A Απόσταση δύο παράλληλων υθιών Αν 1 : =λ+β 1 και : =λ+β ίναι δύο παράλληλς υθίς τότ η απόστασή τους ίναι: d( 1, ) = 1 1... 6
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΥ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ 1. Συντλστής διύθυνσης μιας υθίας () ίναι η φαπτομένη της γωνίας που σχηματίζι η υθία () μ τον άξονα. Σ Λ. ι υθίς = 3 + 1 και 3 - = 4 τέμνονται. Σ Λ 3. ι υθίς = - 3 κ + 1 και = - λ + ίναι παράλληλς. Ισχύι κ = 3λ. Σ Λ 4. ι υθίς = + 1 και 4 - + 5 = ίναι παράλληλς. Σ Λ 5. ι υθίς = και = ίναι παράλληλς. Σ Λ 6. ι υθίς 5 + = 1 και - 5-1 = ίναι κάθτς. Σ Λ 7. Τα σημία Α (-, - 1), Β (1, 4) και Γ (- 4, ) ίναι συνυθιακά. Σ Λ 8. Από το σημίο Α(, ) πρνά μία μόνο υθία μ δδομένο συντλστή διύθυνσης λ. Σ Λ 9. Η υθία που πρνά από το σημίο (1, ) και ίναι παράλληλη προς την υθία = - 3 + 4, έχι ξίσωση - = - 3 ( - 1) Σ Λ 1. Η υθία β + α = 1,α, β τέμνι τους άξονς στα σημία Α(α, ) και Β(, β) Σ Λ 11. Η υθία - 3 + 4 = τέμνι τον άξονα στο σημίο ( 3 4, ). Σ Λ 1. Η γωνία που σχηματίζι η υθία + = μ τον άξονα ίναι 45. Σ Λ 13. Η γωνία που σχηματίζι η υθία 3 + 3 + 1 = μ τον άξονα ίναι 1. Σ Λ 14. Κάθ ξίσωση υθίας μπορί να γραφί στη μορφή Α + B =. Σ Λ 15. Το διάνυσμα n =(-, 1) ίναι κάθτο στην υθία + + =. Σ Λ 16. Όλα τα διανύσματα μ κοινό φορέα έχουν τον ίδιο συντλστή διύθυνσης. Σ Λ 7
17. Η υθία = κ + 1 σχηματίζι αμβλία γωνία μ τον άξονα για κάθ κ. Σ Λ 18. Η απόσταση των υθιών 1 : = λ + β 1 και : = λ + β δίνται από τον τύπο d ( 1, ) = β 1 β Σ Λ 1 λ 19. Η ξίσωση της υθίας που ίναι κάθτη στην υθία : + 3 = και πρνά από το σημίο (3, ), ίναι = 3. Σ Λ. Αν οι υθίς (μ + 1) - = και 3 + - 7 = ίναι παράλληλς, τότ μ =. Σ Λ 1. ι υθίς 1 : 7 + 3 + = και : + 5-3 = ίναι κάθτς. Σ Λ. Η απόσταση των παράλληλων υθιών = και = + 1 ίναι 1. Σ Λ 3. Η ξίσωση = + β μ β R παριστάνι οικογένια υθιών παράλληλων προς την υθία =. Σ Λ 4. Η ξίσωση του ύψους ΓΔ του τριγώνου ΑΒΓ μ κορυφές Α (5, 1), Β (6, 3) και Γ (, ) ίναι - = - 1 ( - ). Σ Λ 5. Το μβαδόν του τριγώνου που ορίζται από την υθία + 5 = 1 και τους άξονς και, ίναι 5 τ.μ. Σ Λ 6. Η ξίσωση = για παριστάνι μια ημιυθία. Σ Λ 7. Η ξίσωση = παριστάνι μία μόνο ημιυθία. Σ Λ 8
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛ/ΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ 1. συντλστής διύθυνσης μιας υθίας που ίναι παράλληλη μ τον ισούται μ π Α. 1 Β. - 1 Γ. Δ. φ Ε. δν ορίζται. 4 --. συντλστής διύθυνσης μιας υθίας (), που διέρχται από τα σημία Α ( 1, 1 ) και Β(, ) ορίζται πάντα όταν Α. 1 Β. 1 = και 1 Γ. 1 - και 1 Δ. 1 = και 1 = Ε. 1. -- 3. ι υθίς + + 1 = και + λ - = Α. τέμνονται για κάθ λ R Β. ίναι και οι δύο κάθτς στην = - Γ. ίναι κάθτς μταξύ τους για λ = - 1 Δ. ίναι παράλληλς για λ = Ε. τέμνονται στο σημίο (- 1, ) για λ =. -- 4. Το διάνυσμα δ = (-, 3) ίναι κάθτο στην υθία Α. - 3 + 1 = Β. + 3 + 1 = Γ. 3 + + 1 = Δ. 3 - + 1 = Ε. 3 - - 1 =. -- 5. Η ξίσωση της υθίας ΑΒ μ Α (1998, ), Β (, 1998) ίναι Α. 1998-1998 = Β. 1998 + 1998 = 1 Γ. + = 1 1998 1998 Δ. 1998-1998 = 1 Ε. = 1998 + 1998. - 6. Στο καρτσιανό πίπδο η ξίσωση = παριστάνι Α. μια υθία κάθτη στον Β. τη διχοτόμο της γωνίας Γ. τη διχοτόμο της γωνίας O Δ. τις διχοτόμους των γωνιών και O Ε. μια υθία κάθτη στον. -- 7. Αν Α (1, 3) και Β (5, 3), το συμμτρικό του μέσου του ΑΒ ως προς τον άξονα ίναι το Α. (, 3) Β. (,- 3) Γ. (3, - 3) Δ. (- 3, 3) Ε. (- 3, - 3). -- 8. Δίνονται τα σημία Α (, 4) και Β (4, ). συντλστής διύθυνσης της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒ ίναι ( το σημίο τομής των, ) Α. 4 Β. Γ. Δ. - Ε. 4. -- 9. Τα σημία Α (1, 1), Β (3, 3) και Γ (5, κ) ίναι συνυθιακά. Η τιμή του κ ίναι Α. - 4 Β. 3 Γ. 1 Δ. 5 Ε. 1. - 9
1. Το σημίο Μ (, - 9 ) ίναι το μέσο του υθύγραμμου τμήματος ΑΒ μ Α (- 1, - 5). Το σημίο Β ίναι το 19 1 19 Α. (, - 5) Β. (- 1, - ) Γ. (- 1, 4) Δ. (1, - 4) Ε. (-, - ). -- 11. Δίνται υθία (): - 3 + + 1 = και το σημίο Μ (1, - ). Τότ η απόσταση του Μ από την () ίναι Α. - 6 13 Β. 13 6 Γ. - 6 13 Δ. 6 13 Ε. 13 6. -- 1. Τα σημία (, ), Α (κ, ), Β (, λ) μ κ, λ. > ορίζουν τρίγωνο μ μβαδόν: Α. κλ Β. 1 (κ + λ) κ Γ. κλ Δ. 1 (κ - λ) (κ + λ) Ε. 1 κλ. -- 13. Το μβαδόν του τριγώνου μ κορυφές Α (, ), Β (α, ) και Γ (α, β) ίναι: αβ α β αβ α β Α. Β. Γ. αβ Δ. Ε.. -- 14. ι υθίς = και = 3-1 σχηματίζουν μταξύ τους οξία γωνία ίση μ: Α. 3 Β. 6 Γ. 45 Δ. 75 Ε. 15. -- 3
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από το σημίο Α (3, - ) και: α) ίναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ =(, - 5) β) ίναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ =(, 3) γ) ίναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ =(-, ) δ) ίναι κάθτη στο διάνυσμα δ =(, 1) ) ίναι κάθτη στο διάνυσμα δ =(, - ) στ) σχηματίζι μ τον άξονα γωνία ω = 135.. Να βρθί η ξίσωση της υθίας η οποία διέρχται από το σημίο τομής των υθιών: 3 + 4-11 = και - 3 + 1 = και ίναι: α) παράλληλη προς την υθία + + 1 = β) κάθτη προς την υθία 3 - + 5 = γ) διέρχται από την αρχή των αξόνων δ) παράλληλη στον άξονα ) παράλληλη στον άξονα στ) παράλληλη στη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων ζ) παράλληλη στη διχοτόμο της δύτρης γωνίας των αξόνων. 3. Έστω η υθία η οποία διέρχται από τα σημία Α(, μ), Β(5, μ), όπου μ. Να βρίτ το μ ώστ η : α) να σχηματίζι γωνία 135 ο μ τον. β) να ίναι παράλληλη στο διάνυσμα = (6, 1). γ) να ίναι παράλληλη στην υθία ζ η οποία έχι συντλστή διύθυνσης λ ζ = -. δ) να ίναι κάθτη στην υθία ξ η οποία έχι συντλστή διύθυνσης λ ξ = 9 1. 4. Θωρούμ την υθία : - 5 + + 4 =. Να βρίτ : α) την ξίσωση της συμμτρικής της ως προς τον άξονα, β) την ξίσωση της συμμτρικής της ως προς τον άξονα, γ) την ξίσωση της συμμτρικής της ως προς την αρχή (, ) δ) την ξίσωση της συμμτρικής της ως προς την υθία =. 5. Δίνται τρίγωνο ΑΒΓ μ Α (- 5, 4), Β (, 3) και Γ ( - 3, - ). Να βρθούν : α) οι ξισώσις δύο υψών του, β) οι ξισώσις δύο διαμέσων του, γ) οι συντταγμένς του ορθόκντρου Η του ΑΒΓ, δ) οι συντταγμένς του βαρύκντρου Θ του ΑΒΓ. 31
6. Δίνονται τα σημία Α(4, 3), Β(, 1), Γ( -, 5). α) Αποδίξτ ότι τα Α, Β, Γ ίναι κορυφές τριγώνου. β) Αποδίξτ ότι το τρίγωνο ΑΒΓ ίναι ορθογώνιο. 7. Δίνται η υθία μ ξίσωση + = 1. Να βρίτ το συμμτρικό του σημίου Ρ (, 3) ως προς άξονα συμμτρίας την (). 8. Να βρίτ τη σχτική θέση των υθιών 1 : = - 1, : = 3-4 για τις διάφορς τιμές των λ, μ. 9. Δίνται η υθία μ ξίσωση = - + 1. α) Να βρίτ τον μ ώστ το σημίο Ζ( μ+1, μ+4) να ανήκι στην. β) Να βρίτ το συμμτρικό του σημίου Ρ (, 3) ως προς άξονα συμμτρίας την. γ) Να βρίτ τη συμμτρική της υθίας ζ : = 3 +5 ως προς άξονα συμμτρίας την. 1. Να βρίτ τις ξισώσις των υθιών που ίναι παράλληλς προς την υθία : - 3-1 = και οι οποίς ορίζουν μ τους άξονς τρίγωνο μ μβαδόν 1 τ.μ. 11. Σ τρίγωνο ΑΒΓ έχουμ: Α(- 8, ), Β(7, 4) και Η(5, ) το ορθόκντρό του. Να βρίτ: α) την ξίσωση της πλυράς ΒΓ β) τις συντταγμένς της κορυφής Γ γ) τις ξισώσις των πλυρών του. 1. Αποδίξτ ότι οι υθίς 1 : + + =, : + + 1 =, 3 : 5 + 5 = συντρέχουν σ σημίο Ρ. Να βρίτ τις συντταγμένς του Ρ. 13. Δίνται η ξίσωση : (λ 4) + (λ 3λ + ) + λ = (1), όπου λ. α) Να βρίτ για ποις τιμές του λ η (1) παριστάνι υθία //. β) Να βρίτ για ποις τιμές του λ η (1) παριστάνι υθία //. γ) Να βρίτ για ποις τιμές του λ η (1) παριστάνι υθία. 14. Θωρούμ την ξίσωση : (λ 1) + (λ 3λ + ) + 6λ 6 = (1), λ. α) Αποδίξτ ότι για κάθ λ 1 η (1) παριστάνι υθία. β) Να ξτάστ αν οι υθίς της μορφής (1) διέρχονται από σταθρό σημίο. (Αν διέρχονται από σταθρό σημίο να βρίτ και τις συντταγμένς του). 15. Θωρούμ την ξίσωση (λ + λ - 3) - (λ + λ - ) - 5λ - 3λ + 8 = (1) Για ποις τιμές του λ R η (1) παριστάνι υθία; Να ξτάστ αν οι υθίς τη (1) διέρχονται από το ίδιο σημίο. 3
16. Να αποδιχθί ότι η ξίσωση : συν θ + ημ θ + συνθ - 1 =, θ [, π] παριστάνι υθία, η οποία διέρχται από σταθρό σημίο. 17. Να υπολογίστ το μβαδό του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ του οποίου οι τρις κορυφές ίναι τα σημία Α( -, 3), Β( 4, - 5), Γ( - 3, 1). 18. Για ποις τιμές των λ, μ οι υθίς 1 : (μ + 1) μ = λ και : (μ - 1) - 3 = λ 1 : α) τέμνονται, β) ίναι παράλληλς ( χωρίς να συμπίπτουν), γ) συμπίπτουν. 19. Δίνονται οι υθίς 1 : + + 1= και : + + 3 =. α) Να δίξτ ότι 1 //. β) Να βρίτ την ξίσωση της μσοπαράλληλης των 1,. γ) Να βρίτ την απόσταση των 1,.. Να βρθί η ξίσωση της υθίας που ίναι μσοπαράλληλη των υθιών: α) 1 : 3 - + 1 = και : - 6 + - 3 = β) 1 : = 4 και : = - 6 γ) 1 : = και : = 3. 1. ι ξισώσις των πλυρών τριγώνου ίναι: 3 + 4-7 =, + + = και + 3-5=. Ζητούνται: α) οι συντταγμένς των κορυφών του τριγώνου β) το μβαδόν του.. Να αποδίξτ ότι η ξίσωση - 3 - = παριστάνι ζύγος δύο υθιών. Ποια ίναι η σχτική θέση των δύο υθιών που βρήκατ; 3. Να βρίτ τις γραμμές που παριστάνουν οι ξισώσις : α) ( 3)( + 3) = β) 3 γ) 3 4 = δ) 6 + = ) + 4 + 5 =. 4. Δίνονται τα σημία Α (, 1), Β (6, 4) και Γ ( 9, 6). α) Να διχθί ότι η γωνία ΑΒΓ ίναι ορθή. β) Να βρθούν οι συντταγμένς της κορυφής Δ του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. γ) Να βρθούν οι συντταγμένς του κέντρου του πριγγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ. 33
5. Δίνονται τα σημία Α (1, 4) και Β (- 1, - 5). α) Να βρθούν οι συντταγμένς του μέσου Μ του υθυγράμμου τμήματος ΑΒ. β) Να βρθί ο συντλστής διύθυνσης της υθίας ΑΒ. γ) Να βρθί η ξίσωση της μσοκαθέτου υθίας του υθύγραμμου τμήματος ΑΒ. δ) Να βρθί η ξίσωση της υθίας που διέρχται από την αρχή των αξόνων και ίναι κάθτη στην υθία ΑΒ. ) Να βρθί το μβαδόν του τριγώνου που έχι κορυφές την αρχή των αξόνων και τα σημία τομής τους μ την υθία ΑΒ. 6. Έστω τα σημία Α(1, 1), Β(5, 5) και η υθία : 1 =. Να βρίτ σημίο Γ της υθίας, ώστ το μβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να ίναι 4. 7. Δίνονται οι υθίς 1 : + 3 + 1= και : 3 + + 5=. α) Αποδίξτ ότι οι 1, τέμνονται. β) Να βρίτ τις ξισώσις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι 1,. 8. Να βρίτ την οξία γωνία των υθιών 1 : 3 - + 1= και : 4 + + 7 =. 9. Να βρθί ο γωμτρικός τόπος των σημίων, τα οποία ισαπέχουν από τις υθίς 3 - + 4 = και 3 - + 6 =. 3. ι συντταγμένς δύο πλοίων Π 1, Π ίναι Π 1 (t - 1, t + ) και Π (3t, 3t - 1) για κάθ χρονική στιγμή t (t ). α) Να βρθούν οι γραμμές πάνω στις οποίς κινούνται τα δύο πλοία. β) Να ξταστί αν υπάρχουν τιμές του t που τα δύο πλοία θα συναντηθούν. γ) Να βρθί η απόσταση των δύο πλοίων τη χρονική στιγμή t = 3. 31. Να βρθί ο γωμτρικός τόπος των σημίων Μ (λ - 1, λ + 3), λ. 3. Να βρίτ το γωμτρικό τόπο των σημίων Μ του πιπέδου για τα οποία ισχύι : d( M, 1), όπου 1 : - = και : + =. d( M, ) 33. Να βρίτ το γωμτρικό τόπο των σημίων Μ του πιπέδου για τα οποία ισχύι : (ΜΑΒ) =, όπου Α( - 5, ) και Β(3, 1). 34. Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Δίνται η κορυφή Α(1, 1), η ξίσωση της διαμέσου μ γ : = - +1 και του ύψους υ β : =. Να βρθούν οι συντταγμένς των κορυφών Β, Γ. 34