1 3.1 σκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 144 146 Ο Σ 1. Έν κουτί έχει τρεις µπάλες, µι άσπρη, µι µύρη κι µι κόκκινη. άνουµε το εξής πείρµ : πίρνουµε πό το κουτί µι µπάλ, κτγράφουµε το χρώµ της κι την ξνάζουµε στο κουτί. Στη συνέχει πίρνουµε µι δεύτερη µπάλ κι κτγράφουµε επίσης το χρώµ της ( όπως λέµε πίρνουµε διδοχικά δύο µπάλες µε επντοποθέτηση ). i) οιος είνι ο δειγµτικός χώρος του πειράµτος ; οιο είνι το ενδεχόµενο η πρώτη µπάλ είνι κόκκινη i οιο είνι το ενδεχόµενο ν εξχθεί κι τις δύο φορές µπάλ µε το ίδιο χρώµ ; i) εντροδιάγρµµ υντά Όπου είνι το ενδεχόµενο η µπάλ είνι άσπρη είνι το ενδεχόµενο η µπάλ είνι µύρη κι είνι το ενδεχόµενο η µπάλ είνι κόκκινη πό το πρπάνω δεντροδιάγρµµ ρίσκουµε ότι ο δειγµτικός χώρος Ω είνι ο Ω = {,,,,,,,, } ο ενδεχόµενο η πρώτη µπάλ είνι κόκκινη είνι το {,, } i ο ενδεχόµενο µπάλ του ιδίου χρώµτος κι στις δύο εξγωγές είνι το {,, }
2 2. Ν επιλυθεί το προηγούµενο πρόληµ, χωρίς όµως τώρ ν γίνει επντοποθέτηση της πρώτης µπάλς πριν την εξγωγή της δεύτερης (όπως λέµε πίρνουµε διδοχικά δύο µπάλες χωρίς επντοποθέτηση) i) εντροδιάγρµµ 2 η εξγωγή 1 η εξγωγή ρχή δυντά Οπότε ο δειγµτικός χώρος Ω είνι Ω = {,,,,, } ο ενδεχόµενο η πρώτη µπάλ είνι κόκκινη είνι {, } i ο ενδεχόµενο µπάλ µε το ίδιο χρώµ κι στις δύο εξγωγές είνι το
3 3. ι οικογένει πό την θήν ποφσίζει ν κάνει τις επόµενες δικοπές της στην ύπρο () ή στη κεδονί (). Στην ύπρο µπορεί ν πάει µε εροπλάνο () ή µε πλοίο (). Στη κεδονί µπορεί ν πάει µε το υτοκίνητό της (υτ), µε τρένο () ή µε εροπλάνο (). ν ως ποτέλεσµ του πειράµτος θεωρήσουµε τον τόπο δικοπών κι το τξιδιωτικό µέσο, τότε : i) Ν γράψετε το δειγµτικό χώρο Ω του πειράµτος Ν ρείτε το ενδεχόµενο : η οικογένει θ πάει µε εροπλάνο στον τόπο των δικοπών της ρχή υτ. υτ. δυντά i) Ω = {,, υτ,, } ={, }.
4 4. Έν ξενοδοχείο προσφέρει γεύµ που ποτελείτι πό τρί πιάτ. ο κύριο πιάτο, το συνοδευτικό κι το γλυκό. Οι δυντές επιλογές δίνοντι στον πρκάτω πίνκ Γεύµ Επιλογές ύριο πιάτο οτόπουλο ή φιλέτο Συνοδευτικό κρόνι ή ρύζι ή χόρτ Γλυκό γωτό ή τούρτ ή ζελέ Έν άτοµο πρόκειτι ν διλέξει έν είδος πό κάθε πιάτο i) Ν ρείτε το δειγµτικό χώρο του πειράµτος Ν ρείτε το ενδεχόµενο : το άτοµο επιλέγει πγωτό i Ν ρείτε το ενδεχόµενο Β : το άτοµο επιλέγει κοτόπουλο iv) Ν ρείτε το ενδεχόµενο Β v) ν Γ είνι το ενδεχόµενο : το άτοµο επιλέγει ρύζι, ν ρείτε το ενδεχόµενο ( Β) Γ Φτιάχνουµε δεντροδιάγρµµ του πειράµτος Γλυκό Συνοδευτικό ύριο πιάτο Ρ Ρ Ρ Ρ ρχή Φ Χ Ρ Χ Χ Χ Φ Φ Φ ΦΡ ΦΡ δυντά Χ ΦΡ ΦΧ ΦΧ ΦΧ ε τη οήθει του πρπάνω δενδροδιγράµµτος έχουµε ότι i) Ω = {,,, Ρ, Ρ, Ρ, Χ, Χ, Χ, Φ, Φ, Φ, ΦΡ, ΦΡ, ΦΡ, ΦΧ, ΦΧ, ΦΧ }
5 ο ζητούµενο ενδεχόµενο θ έχει σν στοιχεί όλ τ που περιέχουν το (πγωτό), άρ = {, Ρ, Χ,Φ, ΦΡ, ΦΧ } i Οµοίως το ενδεχόµενο Β θ περιέχει σν στοιχεί όλ τ που περιέχουν το ( κοτόπουλο), άρ Β = {,,, Ρ, Ρ, Ρ, Χ, Χ, Χ } iv) Β = {, Ρ, Χ } v) Γ = {Ρ, Ρ, Ρ, ΦΡ, ΦΡ, ΦΡ}, οπότε ( Β) Γ = { Ρ}
6 5. Η διεύθυνση ενός νοσοκοµείου κωδικοποιεί τους σθενείς σύµφων µε το ν είνι σφλισµένοι ή όχι κι σύµφων µε την κτάστση της υγείς τους, η οποί χρκτηρίζετι ως κλή, µέτρι, σορή κι κρίσιµη. Η διεύθυνση κτγράφει µε 0 τον νσφάλιστο κι µε Ι τον σφλισµένο, κι στην συνέχει δίπλ γράφει έν πό τ γράµµτ,, γ, δ, νάλογ ν η κτάστσή του είνι κλή, µέτρι, σορή ή κρίσιµη. Θεωρούµε το πείρµ της κωδικοποίησης ενός νέου σθενούς. Ν ρείτε : i) ο δειγµτικό χώρο του πειράµτος ο ενδεχόµενο : η κτάστση του σθενούς είνι σορή ή κρίσιµη κι είνι νσφάλιστος i ο ενδεχόµενο Β : η κτάστση του σθενούς είνι κλή ή µέτρι iv) ο ενδεχόµενο Γ: ο σθενής είνι σφλισµένος 0 γ 0 0 0γ ρχή δ 0δ Ι δυντά Ι γ δ Ι Ιγ Ιδ i) πό το πρπάνω δεντροδιάγρµµ ρίσκουµε ότι ο δειγµτικός χώρος Ω είνι Ω = { 0, 0, 0γ, 0δ, Ι, Ι, Ιγ, Ιδ} = { 0γ, 0δ} i Β = {0, 0, Ι, Ι } iv) Γ = {Ι, Ι, Ιγ, Ιδ}
7 6. Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν εξετάσετε ν τ ενδεχόµεν κι Β είνι συµίστ : i) Ρίχνουµε έν ζάρι. είνι το ενδεχόµενο ν φέρουµε 3 κι Β είνι το ενδεχόµενο ν φέρουµε άρτιο ριθµό. Επιλέγουµε έν άτοµο. είνι το ενδεχόµενο ν έχει γεννηθεί στην Ελλάδ κι Β το ενδεχόµενο ν είνι κθολικός i Επιλέγουµε µι γυνίκ. είνι το ενδεχόµενο ν έχει ηλικί άνω των 30 κι Β το ενδεχόµενο ν είνι πντρεµένη πάνω πό 30 χρόνι iv) Επιλέγουµε κάποιον µε έν υτοκίνητο. είνι το ενδεχόµενο το υτοκίνητό του ν είνι ευρωπϊκό κι Β το ενδεχόµενο ν είνι σιτικό. i) ενδεχόµεν είνι συµίστ διότι = {3} κι Β = {2, 4, 6}, οπότε Β= ενδεχόµεν δεν είνι συµίστ, διότι όπως όλοι ξέρουµε υπάρχουν Έλληνες κθολικοί οπότε Β i ενδεχόµεν δεν είνι συµίστ διότι υπάρχουν γυνίκες µε ηλικί µεγλύτερη των 30 ετών που είνι πντρεµένες περισσότερο πό 30 χρόνι οπότε Β Ø iv) ενδεχόµεν είνι συµίστ φού, έν υτοκίνητο που είνι ευρωπϊκό δεν µπορεί ν είνι κι σιτικό δηλδή Β =
8 7. ετξύ των οικογενειών µε τρί πιδιά επιλέγουµε τυχί µι οικογένει κι εξετάζουµε τ πιδιά ως προς το φύλο κι ως προς τη σειρά γέννησής τους. Ν γράψετε το δειγµτικό χώρο του πειράµτος. = γόρι κι = κορίτσι 3 ο ιδί ρχή 1 ο ιδί 2 ο ιδί δυντά Ω = {,,,,,,, } Β Ο Σ 1. ύο πίκτες θ πίξουν σκάκι κι συµφωνούν νικητής ν είνι υτός που θ κερδίσει πρώτος δύο πιχνίδι. ν είνι το ποτέλεσµ ν κερδίσει ο πρώτος πίκτης έν πιχνίδι κι είνι το ποτέλεσµ ν κερδίσει ο δεύτερος πίκτης έν πιχνίδι, ν ρείτε τον δειγµτικό χώρο του πειράµτος. 2 ο ιχνίδι ρχή 1 ο ιχνίδι 3 ο ιδχνίδι δυντά Ω = {,,,,, }
9 2. Ρίχνουµε έν ζάρι δύο φορές. Ν ρείτε τ ενδεχόµεν : : ο ποτέλεσµ της 1 ης ρίψης είνι µεγλύτερο πό το ποτέλεσµ της 2 ης Β : ο άθροισµ των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είνι άρτιος ριθµός Γ : ο γινόµενο των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είνι µικρότερο του 5 Στη συνέχει ν ρείτε τ ενδεχόµεν. Β, Γ, Β Γ, ( Β) Γ Στο πείρµ υτό γι ν ρούµε τον δειγµτικό χώρο µς συµφέρει ν φτιάξουµε πίνκ διπλής εισόδου 2 η ρίψη 1 2 3 4 5 6 1 η ρίψη 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) ( 1, 5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Ο δειγµτικός χώρος περιέχει σν στοιχεί όλ τ του πρπάνω πίνκ διπλής εισόδου = { (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5, 3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)} Β = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4, 6), ( 5,1),( 5, 3), ( 5,5), (6,2), (6,4), (6,6)} Γ={(1,1), (1,2), ( 1, 3), ( 1,4), ( 2,1), ( 2, 2), (3, 1), (4, 1)} Β = {(3,1), ( 4, 2), ( 5, 1), ( 5, 3), ( 6, 2), ( 6, 4)} Γ= { ( 2, 1), (3, 1), ( 4,1)} Β Γ ={ ( 1, 1), ( 1, 3), ( 2, 2), ( 3, 1) } ( Β) Γ={ ( 3,1) } 3. ν κι Β είνι ενδεχόµεν ενός δειγµτικού χώρου Ω, ν ποδείξετε ότι : ν Β τότε Β ρκεί ν ποδείξουµε ότι το τυχίο στοιχείο x του Β νήκει κι στο. x x Β κι φού Β x x Β
10 4. Έστω κι Β ενδεχόµεν του ίδιου δειγµτικού χώρου Ω. Ν γράψετε το ενδεχόµενο Β ως ένωση τριών ξένων µετξύ τους ενδεχοµένων. Έστω το πρκάτω διάγρµµ του Venn Ω Β Β= ( Β) ( Β) ( Β ). Β Β Β