Eisagwgă sta Mh-GrammikĹ DunamikĹ Sustămata kai Fusikoqhmikèc Efarmogèc Antÿnhc Karantÿnhc Dr. Qhmikìc Ajăna, 2004
1 Prìlogoc Οι σηµειώσει αυτέ πάνω στα Mh-GrammikĹ DunamikĹ Sustămata είναι µία πρώτη προσέγγιση του θέµατο αυτού και αποτε ούν την ύ η ενό µαθήµατο ενό εξαµήνου που έγινε για πρώτη φορά στο Τµήµα Χηµεία του Πανεπιστηµίου Σα τάµα, στην Ιαπωνία, την Άνοιξη του 2000. Στη συνέχεια, το µάθηµα αυτό έγινε υπό µορφή σεµιναρίου στη Σχο ή Χηµικών Μηχανικών του Ε.Μ.Π. την Άνοιξη του 2004, εµπ ουτισµένο µε πειραµατικέ επιδείξει, προβο έ ταινιών καθώ και µε ένα νέο Κεφά αιο µε θέµα του Συζευγµένου τα αντωτέ. Ο κύριο στόχο τόσο των δια έξεων όσο και των σηµειώσεων αυτών είναι η παρουσίαση των basikÿn εννοιών τη θεωρία των µη-γραµµικών δυναµικών συστηµάτων, µε έµφαση σε σχετικά φυσικά φαινόµενα. Η θεωρία των δυναµικών συστηµάτων είναι κατά κύριο όγο µια µαθηµατική θεωρία και γιαυτό µεγά ο µέρο των σηµειώσεων είναι αφιερωµένο σε ορισµού, θεωρήµατα και µαθηµατικέ τεχνικέ, α ά µε τρόπο polô εφαρµοσµένο. Στο τέ ο κάθε κεφα αίου έχει γίνει προσπάθεια να παρουσιαστούν παραδείγµατα, µερικά από αυτά από τον φυσικό κόσµο, έτσι ώστε να γίνονται φανερέ οι εφαρµογέ του. Επιπ έον, ένα κεφά αιο είναι αφιερωµένο σε αριθµητικέ τεχνικέ που επιτρέπουν στον αναγνώστη να δοκιµάσει να ύσει µόνο του δικά του προβ ήµατα. Είναι προφανέ ότι οι σηµειώσει αυτέ δεν παρουσιάζουν µια π ήρη εικόνα τη θεωρία των δυναµικών συστηµάτων και των εφαρµογών του. Οµω µία πιο π ήρη και έγκυρη π ηροφόρηση µπορεί να προκύψει µέσω τη αναφερόµενη βιβ ιογραφία. Ειδικέ ευχαριστίε θα πρέπει να δοθούν στου Χηµικού Μηχανικού και υποψήφιου διδάκτορε Ε ένη Ρακαντά και την Ε ένη Ντάφ ου, για την προτετοι- µασία επιτυχών πειραµατικών επιδείξεων τη τα αντούµενη αντίδραση Belusov- Zhabotinskii. 1 StoiqeiojesÐa me LATEX
2
Perieqìmena 1 Eisagwgă kai orismoð 5 1.1 Εισαγωγή............................... 5 1.2 Βασικέ έννοιε............................ 6 1.3 Είδη δυναµική συµπεριφορά.................... 8 1.4 Ευστάθεια............................... 9 1.5 Παραδείγµατα............................. 9 2 GrammikĹ Sustămata 17 2.1 Στοιχεία από τη γραµµική ά γεβρα.................. 17 2.1.1 Γενικότητε.......................... 17 2.1.2 Ιδιοτιµέ και ιδιοδιανύσµατα................. 19 2.2 ύση γραµµικών συνήθων διαφορικών εξισώσεων.......... 22 2.3 Αυτόνοµα συστήµατα στι δύο διαστάσει.............. 23 2.4 Παραδείγµατα............................. 27 3 Grammikă AnĹlush EustĹjeiac 33 3.1 Γραµµικοποίηση............................ 33 3.2 Γραµµικοποιηµένη Ευστάθεια..................... 35 3.3 Παραδείγµατα............................. 35 4 Stoiqeiÿdeic Diakladÿseic 43 4.1 Ορισµοί................................ 43 4.2 Θεωρία κεντρική πο απ ότητα.................. 44 4.3 Στατικέ διακ αδώσει........................ 47 4.3.1 ιακ άδωση σάγµατο -κόµβου................ 47 4.3.2 Υπερκρίσηµη διακ άδωση................... 50 4.3.3 ιχα ωτή διακ άδωση.................... 52 4.4 Κανονικέ µορφέ........................... 54 4.5 Η διακ άδωση Hopf.......................... 57 3
4 Perieqìmena 4.5.1 Η κανονική µορφή για ένα σύστηµα µε ένα ζεύγο φανταστικών ιδιοτιµών....................... 57 4.5.2 Η κανονική µορφή σε διάφορα συστήµατα συντεταγµένων. 60 4.5.3 Απ οποιηµένη ανά υση τη διακ άδωση Hopf....... 61 4.6 Παραδείγµατα............................. 62 5 Suzeugmènoi Talantwtèc 79 5.1 Εισαγωγή............................... 79 5.2 Ασθενή σύζευξη........................... 80 5.3 Οι εξισώσει Bonhoeffer-van der Pol................ 85 6 Arijmhtikèc mèjodoi kai teqnikèc 95 6.1 Στόχο του κεφα αίου........................ 95 6.2 Στατικέ καταστάσει : Η µέθοδο Newton-Raphson........ 96 6.2.1 Μέθοδο απα οιφή Gauss.................. 97 6.2.2 ιάσπαση LU......................... 101 6.3 Χρήση βιβ ιοθηκών.......................... 103 6.4 Ο οκ ήρωση Σ Ε: Η µέθοδο Runge-Kutta............ 103 6.5 Το πακέτο AUTO 97.......................... 105 6.6 Παραδείγµατα............................. 105 7 QĹoc mèsa apì paradeðgmata 117 7.1 Εισαγωγή............................... 117 7.2 Η ογιστική απεικόνιση........................ 118 7.3 ιασκεδάζοντα µε τι διακριτέ απεικονίσει............ 123 7.4 Οι εξισώσει Rössler......................... 125
KefĹlaio 1 Eisagwgă kai orismoð 1.1 Eisagwgă Στον φυσικό κόσµο, ο όρο dunamikì sôsthma περιγράφει κάθε φυσικό φαινόµενο που εξε ίσσεται µε το χρόνο. Ενα φυσικό σύστηµα µπορεί να περιγραφεί από ένα σύνο ο µεταβ ητών, οπότε δυναµικό σύστηµα είναι ένα φυσικό σύστηµα στο οποίο µία ή περισσότερε µεταβ ητέ µεταβά ονται µε το χρόνο. Τα περισσότερα φαινόµενα που παρατηρούµε στη φύση εξε ίσσονται µε το χρόνο, οπότε είναι φανερό ότι η µε έτη των δυναµικών συστηµάτων είναι πο ύ σηµαντική. Στη συνέχεια, θα µε ετηθούν συστήµατα που βρίσκονται µακρυά από την θερ- µοδυναµική ισορροπία, ειδικότερα σε mh-diathrhtikĺ δυναµικά συστήµατα (dissipative), δη αδή συστήµατα που αντα άσσουν ενέργεια και µάζα µε το περιβά ον, κατηγορία στην οποία ανοίκουν τα περισσότερα φυσικοχηµικά συστήµατα. Τα δυναµικά συστήµατα µε ετώνται συστηµατικά από µαθηµατικού, φυσικού και χηµικού εδώ και 150 χρόνια. Παρό α αυτά συχνά αναφέρεται η θεωρία των δυναµικών συστηµάτων ω ένα µοντέρνο κ άδο των φυσικών επιστηµών. Αυτό συµβαίνει όγω τη ανακά υψη του parĺxenou ή α οιώ qaotikoô elkustă. Η χαοτική απόκριση είναι ένα είδο δυναµική συµπεριφορά που χαρακτηρίζεται από µεγά η ευαισθησία του συστήµατο στι αρχικέ συνθήκε (δη. το σύστηµα εξε ίσσεται πο ύ διαφορετικά αν α άξουν πο ύ ίγο οι αρχικέ καταστάσει ), µη προβ επόµενη για µεγά ου µε οντικού χρόνου α ά που περιγράφεται από ντετερµινιστικού νόµου. 5
6 KefĹlaio 1. Eisagwgă kai orismoð 1.2 Basikèc ènnoiec Στι σηµειώσει αυτέ θα ασχο ηθούµε κυρίω µε φυσικά συστήµατα που περιγράφονται από εξισώσει τη µορφή, dx 1 = f 1 (x 1, x 2,..., x n ; µ 1, µ 2,..., µ p ), dt dx 2 = f 2 (x 1, x 2,..., x n ; µ 1, µ 2,..., µ p ), dt. (1.1) dx n dt = f n (x 1, x 2,..., x n ; µ 1, µ 2,..., µ p ). Προφανώ, η Εξ. (1.1), µπορεί να γραφεί µε έναν πιο συµπαγή τρόπο, ẋ = f(x; µ), (1.2) όπου x R n, t R 1 και µ R p. Στην Εξ. (1.2), η τε εία πάνω από το σύµβο ο σηµαίνει d dt και το έντονο σύµβο ο παριστά ένα διάνυσµα. Το διάνυσµα x το κα ούµε dunamikèc metablhtèc, το µ paramètrouc του συστήµατο και t τον qrìno. Σε ένα φυσικό σύστηµα, το x είναι οι µεταβ ητέ που παρατηρούµε πειραµατικά, είτε άµεσα είτε µέσω µία συνάρτηση απόκριση. Το διάνυσµα µ είναι οι παράµετροι του συστήµατο και παραµένουν σταθερέ. Φυσικά και ο χρόνο t είναι µία µεταβ ητή α ά εφόσον δεν µπορούµε να επέµβουµε στην εξέ ιξη τη τη θεωρούµε anexĺrthth µεταβ ητή. Αν θεωρήσουµε ω παράδειγµα τη χρονική εξέ ιξη µια οµογενού χηµική αντίδραση τότε x είναι οι συγκεντρώσει των αντιδρώντων ή των προ όντων και µ µπορεί να είναι η θερµοκρασία, η πίεση ή ο όγκο. Η Εξ. (1.2) συχνά κα είται sunăjhc diaforikă exðswsh (Σ Ε), dianusmatikì pedðo ή απ ά dunamikì sôsthma. Στη περίπτωση που το δεξιό σκέ ο τη Εξ (1.2) είναι µία µη-γραµµική συνάρτηση, τότε την κα ούµε mh-grammikì dunamikì sôsthma. Ω diĺstash του δυναµικού συστήµατο ορίζεται το π ήθο των δυναµικών µεταβ ητών που απαιτούνται για να περιγράψουν το σύστηµα. Στην περίπτωση τη Εξ. (1.2) η διάσταση είναι n. Η Εξ. (1.2) µαζί µε κάποιε αρχικέ συνθήκε συχνά κα είται prìblhma arqikÿn sunjhkÿn. Τέ ο, αν το δεξιό σκέ- ο τη Εξ. (1.2) δεν εξαρτάται άµεσο από το χρόνο, τότε το δυναµικό σύστηµα ονοµάζεται autìnomo. υναµικά συστήµατα τη µορφή τη Εξ. (1.2) µπορούν να περιγράψουν εξε- ισσόµενε διαδικασίε µε ειδικέ ιδιότητε, οι οποίε έχουν ιδιαίτερη σηµασία στη Φυσικοχηµεία. Αυτέ οι ιδιότητε είναι οι [Arnold, 1973]:
1.2. Basikèc ènnoiec 7 Sqăma 1.1: (a) Troqièc pou katalăgoun se èna eustajèc shmeðo kai (b) probolă miac oloklhrwmènhc kampôlhc. Nteterministikìthta: Ο όκ ηρο το µέ ον και ο όκ ηρο το παρε θόν του συστήµατο ορίζονται µονοσήµαντα από την κατάσταση που βρίσκεται το σύστηµα στον παρόντα χρόνο. (Το σύστηµα κα είται nteterministikì.) Peperasmènh diĺstash: Ο αριθµό των µεταβ ητών που απαιτούνται για την περιγραφή του συστήµατο είναι πεπερασµένο. Diaforisimìthta: Η µεταβο ή τη κατάσταση µε το χρόνο περιγράφεται από διαφορίσιµε συναρτήσει. Μερικά παραδείγµατα φυσικών συστηµάτων που den περιγράφονται από τι εξισώσει που θεωρούµε εδώ είναι η κίνηση ενό κβαντικού σωµατιδίου (δεν είναι ντετερµινιστική), η κίνηση των ρευστών (δεν έχει πεπερασµένη διάσταση) και η κίνηση των κρουστικών κυµάτων (δεν είναι διαφορίσιµη). Ο χώρο που ορίζεται από τι δυναµικέ µεταβ ητέ ονοµάζεται qÿroc twn fĺsewn. Προφανώ, η διάσταση του χώρου αυτού είναι n. Η ύση τη Εξ. (1.2) υπό ορισµένε arqikèc sunjăkec x 0 x(t = t 0 ) γράφεται ω x(t, t 0, x 0 ) και κα είται troqiĺ ή kampôlh sto qÿro twn fĺsewn που περνά από το σηµείο x 0 για t = t 0. Το γράφηµα x(t, t 0, x 0 ) ω προ το t ονοµάζεται oloklhrwmènh kampôlh. Τέ ο, το σύνο ο των σηµείων του χώρου των φάσεων τα οποία ανήκουν σε µία τροχιά που περνά από το x 0 κα είται troqiĺ που περνά από το x 0.
8 KefĹlaio 1. Eisagwgă kai orismoð Sqăma 1.2: (a) Troqièc pĺnw se èna tìro, kai (b) o qaotikìc elkustăc Lorenz 1.3 EÐdh dunamikăc sumperiforĺc Στη παράγραφο αυτή θα δοθούν µόνο µερικοί ορισµοί και γεωµετρικέ αναπαραστάσει διαφόρων ειδών δυναµική συµπεριφορά, ενώ συγκεκριµένα ανα υτικά παραδείγµατα θα παρουσιαστούν σε επόµενα κεφά αια. Statikì shmeðo. Statikì shmeðo ενό δυναµικού συστήµατο που περιγράφεται από την Εξ. (1.2) είναι ένα σηµείο x R n τέτοιο ώστε, f( x) = 0. (1.3) Από την Εξ. (1.3) παρατηρούµε ότι το στατικό σηµείο είναι µία ύση η οποία δεν µεταβά εται µε το χρόνο. Τα στατικά σηµεία κα ούνται επίση shmeða isorropðac ή statikèc katastĺseic. Υπάρχουν διαφορετικά είδη στατικών καταστάσεων, τα οποία θα αναφερθούν σε επόµενα κεφά αια. Στο Σχ. 1.1 παρουσιάζεται ένα παράδειγµα στατικού σηµείου στο χώρο R 2 και η αντίστοιχη ο οκ ηρωµένη καµπύ η. Oriakìc kôkloc. Σε ότι αφορά τον oriakì kôklo θα δώσουµε ένα πο ύ γενικό ορισµό. Α θεωρήσουµε την Εξ. (1.2) όπου x R 2. Μία περιοδική ύση αυτού του δυναµικού συστήµατο κα είται oriakìc kôkloc αν κάθε µία ά η ύση του συστήµατο π ησιάζει αυτήν την περιοδική ύση για t ±. Μία γραφική αναπαράσταση δίνεται στο Σχ. 1.5. (Ο οριακό κύκ ο ορίζεται επίση ω µία apomonwmènh περιοδική τροχιά.) Tìroc. Ο τόρο αποτε εί συµπεριφορά µη περιοδική, ειδικότερα sqedìn periodikă. Σχεδόν περιοδική συµπεριφορά ορίζεται η ύση που αποτε είται
1.4. EustĹjeia 9 από δύο του άχιστον ασύµµετρε συχνότητε δη αδή, όπου q N και q Z. θ φ = α p q, (1.4) Ενα παράδειγµα σχεδόν περιοδικότητα πάνω σε ένα τόρο φαίνεται στο Σχ. 1.2(α) QĹoc. Το χάο αποτε εί µη περιοδική συµπεριφορά, ευαίσθητη στι αρχικέ συνθήκε. Στο Σχ. 1.2(β) παρουσιάζεται ο χαοτικό ε κυστή Lorenz. 1.4 EustĹjeia Α θεωρήσουµε το αυτόνοµο δυναµικό σύστηµα Εξ. (1.2). Εστω x(t) µια ύση του συστήµατο. Η ύση x(t) είναι eustajăc αν ά ε ύσει που βρίσκονται κοντά στο x(t) σε ένα δεδοµένο χρόνο, παραµένουν κοντά στο x(t) για ό ου του επόµενου χρόνου. Η ύση θα είναι asumptwtikĺ eustajăc αν γειτονικέ ύσει συγκ ίνουν στη ύση x(t) όταν t. Οι ορισµοί αυτοί µπορούν να γραφούν συνοπτικά ω εξή : [Wiggins, 1990]: Orismìc 1.1 (EustĹjeia Lyapunov) H lôsh x(t) onomĺzetai eustajăc (eustajăc katĺ Lyapunov) an, gia dedomèno ε, upĺrqei δ = δ(ε) ètsi ÿste, gia kĺje Ĺllh lôsh y(t) pou ikanopoieð th sqèsh x(t 0 ) y(t 0 ) < δ, tìte x(t) y(t) < ε gia t > t 0. Μια γεωµετρική ερµηνεία τη ευστάθεια Lyapunov παρουσιάζεται στο Σχ. 1.3(α). Orismìc 1.2 (Asumptwtikă eustĺjeia) H lôsh x(t) onomĺzetai asumptwtikĺ eustajăc an eðnai eustajăc katĺ Lyapunov kai an upĺrqei stajeră β > 0 ètsi ÿste, an x(t 0 ) y(t 0 ) < β tìte lim t x(t) y(t) = 0. Μια γεωµετρική ερµηνεία τη ασυµπτωτική ευστάθεια παρουσιάζεται στο Σχ. 1.3(β) 1.5 ParadeÐgmata ParĹdeigma 1.1 Estw to dunamikì sôsthma, me x 1 (t = 0) = 1 kai ẋ 1 (t = 0) = 0. Estw k = 1. ẍ 1 + kx 1 = 0 (1.5)
10 KefĹlaio 1. Eisagwgă kai orismoð Sqăma 1.3: (a) EustĹjeia Lyapunov (b) asumptwtikă eustĺjeia. 1. Na grafeð h Ex. (1.5) wc sôsthma sunăjwn diaforikÿn exisÿsewn. 2. Poia eðnai h diĺstash tou sustămatoc? 3. Na grafeð h Ex. (1.5) se dianusmatikă morfă. 4. Na sqhmatisteð mia troqiĺ tou sustămatoc ( Συµβου ή: na diairejoôn metaxô touc oi exisÿseic pou proèkuyan apì to prÿto erÿthma kai na oloklhrwjeð h exðswsh pou prokôptei). 5. Na sqhmatisteð mia kleistă troqiĺ tou sustămatoc. 6. Na sqhmatisteð mia oloklhrwtikă kampôlh ( Συµβου ή: na qrhsimopoihjoôn migadikèc suntetagmènec). ( Σηµείωση: H Ex. (1.5) perigrĺfei tic talantÿseic mikroô plĺtouc enìc ekkremoôc sto qÿro twn dôo diastĺsewn) LÔsh: 1. Η Εξ. (1.5) µπορεί να γραφεί ω σύστηµα συνήθων διαφορικών εξισώσεων θέτοντα, ẋ 1 = x 2. Υπό αυτή την α αγή µεταβ ητών, η Εξ. (1.5) γράφεται, όπου x 1 (t = 0) = 1 και x 2 (t = 0) = 0. ẋ 1 = x 2, (1.6) ẋ 2 = x 1, (1.7)
1.5. ParadeÐgmata 11 Sqăma 1.4: (a) Mia troqiĺ, (b) mia troqiĺ pou pernĺ apì to shmeðo (1,0) kai (g) mia oloklhrwtikă kampôlh thc Ex. (1.5).
12 KefĹlaio 1. Eisagwgă kai orismoð 2. Το σύστηµα περιγράφεται από δύο δυναµικέ µεταβ ητέ, άρα η διάσταση του συστήµατο είναι n = 2. 3. Το σύστηµα µπορεί να γραφεί σε διανυσµατική µορφή θεωρώντα, ( ) x1 x =, (1.8) x 2 ( ) 0 1 A =, (1.9) 1 0 δη αδή, ẋ = Ax. (1.10) 4. Μια τροχιά του συστήµατο µπορεί να γραφεί διαιρώντα την Εξ. (1.6) µε την Εξ. (1.7) και ο οκ ηρώνοντα, dx 1 dx 2 = x 2 x 1. (1.11) Η εξίσωση αυτή µπορεί να υθεί µε διαχωρισµό των µεταβ ητών, x 2 1(t) = x 2 2(t) + c, (1.12) όπου c η σταθερή ο οκ ήρωση. όγω των αρχικών συνθηκών, c =1, άρα, x 2 1(t) + x 2 2(t) = 1. (1.13) Παρατηρούµε από την Εξ. (1.13) ότι η τροχιά είναι ένα κύκ ο µε ακτίνα τη µονάδα και κέντρο την αρχή των αξόνων [Σχ..1.4(α)]. Η διεύθυνση περιστροφή µπορεί να υπο ογιστεί παρατηρώντα ότι η εφαπτοµένη στη τροχιά ορίζεται από το κ άσµα x2 x 1, δη αδή η περιστροφή είναι δεξιόστροφη. 5. Η τροχιά φαίνεται στο Σχ. 1.4(β). 6. Για να υπο ογίσουµε µια ο οκ ηρωτική καµπύ η θα πρέπει να βρεθεί µια ύση. Αν και υπάρχουν πο οί τρόποι για να υθούν οι Εξ. (1.6-1.7), εδώ θα εισαγάγουµε ένα χρήσιµο τρόπο ύση του προβ ήµατο αυτού. Α ακο ουθήσουµε τη συµβου ή να εισαγάγουµε µιγαδικέ συντεταγµένε, δη., z = x 1 + ix 2, z = x 1 ix 2, (1.14)
1.5. ParadeÐgmata 13 όπου η διαγράµµιση παριστά το συζυγή µιγαδικό. Η Εξ. (1.14) µπορεί να γραφεί σε διανυσµατική µορφή ω εξή, z = Sx, (1.15) όπου S = ( 1 1 i i ). Η αντίστροφη σχέση 1 µπορεί να οριστεί επίση, x = S 1 z, (1.16) όπου S 1 = 1 2( 1 i 1 i ) και S 1 S = I. Επιστρέφοντα στην Εξ. (1.10), έχου- µε, ẋ = AS 1 Sx. (1.17) Πο απ ασιάζοντα από αριστερά µε S προκύπτει, Χρησιµοποιώντα τι Εξ. (1.15) και (1.16), Sẋ = SAS 1 Sx. (1.18) ż = Jz, (1.19) όπου J = ( i 0 0 i ). Εφόσον στην Εξ. (1.19) η πρώτη γραµµή είναι συζυγή τη δεύτερη, µπορεί να µε ετηθεί µόνο η πρώτη (ή µόνο η δεύτερη) σχέση από αυτό το σύστηµα, δη αδή, ż = iz, (1.20) όπου η ύση είναι z(t) = e it. Εφόσον η δεύτερη εξίσωση είναι συζυγή τη πρώτη, η ύση τη είναι z = e it. Χρησιµοποιώντα τη σχέση του De Moivre 2 και την Εξ. (1.16) έχουµε, x 1 (t) = cos t, (1.21) x 2 (t) = sin t. (1.22) Οπω αναµένονταν, η ύση είναι περιοδική συνάρτηση µε περίοδο και ένταση µονάδα. Μία ο οκ ηρωµένη καµπύ η παρουσιάζεται στο Σχ. 1.4(γ). 1 O antðstrofoc enìc pðnaka n n S eðnai S 1 = 1 adjs ìpou adjs eðnai o suzugăc, dets dedomènou ìti h orðzousa dets 0. 2 Sqèsh DeMoivre: e iα = cos α + i sin α.
14 KefĹlaio 1. Eisagwgă kai orismoð Sqăma 1.5: Enac oriakìc kôkloc kai oi troqièc pou ton plhsiĺzoun. ParĹdeigma 1.2 Jewrăste to sôsthma [Nemytskii and Stepanov, 1989], ẋ = y + ẏ = x + x x2 + y 2 (1 (x2 + y 2 )), (1.23) y x2 + y 2 (1 (x2 + y 2 )). (1.24) 1. BreÐte mða lôsh tou sustămatoc ( Συµβου ή: qrhsimopoieðste polikèc suntetagmènec). 2. SqhmatÐste th lôsh sto qÿro twn fĺsewn kai tic troqièc pou xekinoôn entìc kai ektìc thc lôshc. LÔsh: 1. εκινάµε εισάγοντα πο ικέ συντεταγµένε, x = r cos θ, y = r sin θ. (1.25) Υπό αυτόν το µετασχηµατισµό οι Εξ..(1.23) και (1.24) γράφονται, ẋ = y + x r (1 r2 ), (1.26) ẏ = x + y r (1 r2 ). (1.27)
1.5. ParadeÐgmata 15 Πο απ ασιάζοντα την Εξ. (1.26) µε x και την Εξ. (1.27) µε y και προσθέτοντα τι προκύπτουσε σχέσει προκύπτει, 3 ṙ = 1 r 2, (1.28) όπου r 0. Ανα όγω, πο απ ασιάζοντα την Εξ. (1.26) µε y και την Εξ. (1.27) µε x και αφαιρώντα τι προκύπτουσε σχέσει προκύπτει, 4 θ = 1. (1.29) Στο σηµείο αυτό παρατηρούµε ότι η Εξ. (1.28) έχει δύο στατικά σηµεία, 1 r 2 = 0 r = ±1. (1.30) Εφόσον η µεταβ ητή r παριστάνει την ακτίνα, το αρνητικό πρόσηµο δεν έχει φυσική σηµασία, άρα το µόνο στατικό σηµείο είναι r = 1. Επίση πρέπει να σηµειωθεί ότι τα στατικά σηµεία τη Εξ. (1.28) παριστάνουν περιοδικέ τροχιέ για το π ήρε σύστηµα, Εξ. (1.28) και (5.3). Άρα, το σύστηµα έχει µία περιοδική τροχιά µε ακτίνα µονάδα. ύνοντα την Εξ. (1.28) προκύπτει, r = { Ae 2t 1 Ae 2t +1 όταν 0 < r < 1 Ae 2t +1 Ae 2t 1 όταν r > 1 (1.31) όπου A = 1+r0 1 r 0. Προφανώ, και στι δύο περιπτώσει r 1 όταν t +. 2. Εφόσον r 1 όταν t + όταν η αρχική τιµή του r βρίσκεται εντό ή εκτό τη περιοδική τροχιά, ο οριακό κύκ ο είναι ευσταθή. Μία γραφική αναπαράσταση τη ασυµπτωτική ύση και των τροχιών προ τον οριακό κύκ ο παρουσιάζονται στο Σχ. 1.5. 3 Edÿ qrhsimopoioôme thn tautìthta: xẋ + yẏ = rṙ 4 Edÿ qrhsimopoioôme thn tautìthta: xẏ + yẋ = r 2 θ.
16 KefĹlaio 1. Eisagwgă kai orismoð
KefĹlaio 2 GrammikĹ Sustămata 2.1 StoiqeÐa apì th grammikă Ĺlgebra Στο προηγούµενο κεφά αιο δόθηκαν ορισµένε γενικέ π ηροφορίε για δυναµικά συστήµατα που µπορούν να γραφούν µε τη µορφή τη Εξ. (1.2). Σε αυτό το κεφά αιο θα ασχο ηθούµε µε µία ειδική κατηγορία δυναµικών συστηµάτων τα οποία µπορούν να γραφούν µε τη µορφή, ẋ = Ax. (2.1) Στην Εξ. (2.1) ο πίνακα A διάσταση n n κα είται ο pðnakac twn suntelestÿn ή paramètrwn. Το διάνυσµα x R n συνεχίζει να παριστάνει τι dunamikèc metablhtèc του συστήµατο. Το δυναµικό σύστηµα που ορίζεται από την Εξ. (2.1) κα είται grammikì δυναµικό σύστηµα. Είναι µά ον προφανέ ότι η συµπεριφορά ( ύσει ) του συστήµατο αυτού εξαρτάται από τι ιδιότητε του πίνακα των παραµέτρων, A. Για το υπό οιπο του κεφα αίου θα υποθέσουµε ότι ο A είναι ένα πίνακα ανεξάρτητο του χρόνου, δη αδή, το γραµµικό δυναµικό σύστηµα είναι αυτόνοµο. Εφόσον οι ιδιότητε του A είναι σηµαντικέ και ο A είναι απ ά ένα πίνακα n n, θα υπενθυµίσουµε ορισµένα στοιχεία από τη γραµµική ά γεβρα που θα είναι χρήσιµα για τη µε έτη τη δυναµική του συστήµατο. 2.1.1 Genikìthtec Θα ξεκινήσουµε δίνοντα µερικού αρχικού ορισµού [Anton, 1987]. Επίση θα θεωρήσουµε ότι οι αριθµητικοί κανόνε πράξεων µεταξύ πινάκων είναι γνωστοί. Τα στοιχεία ενό πίνακα A = (a i,j ) ή απ ά A θα συµβο ίζονται ω a i,j όπου i 17
18 KefĹlaio 2. GrammikĹ Sustămata συµβο ίζει τη γραµµή και j τη στή η του πίνακα, δη., a 1,1 a 1,2... a 1,m a 2,1 a 2,2... a 2,m A =.. a n,1 a n,2... a n,m Μερικοί χρήσιµοι ορισµοί δίνονται παρακάτω: Ενα πίνακα διάσταση n n ονοµάζεται tetrĺgwnoc πίνακα. Ενα τετράγωνο πίνακα όπου ό α τα στοιχεία του είναι µηδέν εκτό από τα στοιχεία a i,i, i = 1, 2,..., n, ονοµάζεται diagÿnioc πίνακα. Ο διαγώνιο πίνακα µε a i,i = 1 ονοµάζεται monadiaðoc πίνακα, I, και έχει την ιδιότητα, AI = IA = A. Ο suzugăc migadikìc ενό πίνακα A = (a i,j ), συµβο ίζεται µε Ā, και ορίζεται ω Ā = (ā i,j), όπου ā i,j είναι ο συζυγή µιγαδικό του a i,j. Ο metatejeimènoc πίνακα του A, που συµβο ίζεται A T, ορίζεται ω A T = (a j,i ). Η orðzousa του A συµβο ίζεται ω det A. Θα θεωρήσουµε ότι ο ορισµό τη ορίζουσα είναι γνωστό και θα υπενθυµίζουµε µόνο τον παρακάτω ορισµό: Orismìc 2.1 An A eðnai ènac tetrĺgwnoc pðnakac, tìte o elĺsswn (minor) tou stoiqeðou a i,j sumbolðzetai me M i,j kai orðzetai san thn orðzousa tou upopðnaka pou paramènei metĺ th diagrafă thc i-hc seirĺc kai j-hc stălhc apì ton pðnaka A. O arijmìc ( 1) i+j M i,j sumbolðzetai wc C i,j kai kaleðtai o parĺgontac (cofactor) tou stoiqeðou a i,j. Ο συζυγή (adjoint) του A, adj(a), είναι ο µετατεθειµένο πίνακα των παραγόντων (cofactors). Αν det A = 0 τότε ο A κα είται idiĺzwn. Ενα mh-idiĺzwn πίνακα A έχει antðstrofo, A 1, ο οποίο ικανοποιεί τη συνθήκη, AA 1 = A 1 A = I,
2.1. StoiqeÐa apì th grammikă Ĺlgebra 19 Sqăma 2.1: (a) Gewmetrikă ermhneða idiotimăc kai idiodianôsmatoc kai (b) drĺsh tou A se èna idiodiĺnusma u pou exartĺtai apì thn idiotimă, λ. Αν υπάρχει ο A 1 τότε έµε ότι ο πίνακα A είναι antistrèyimoc. Ο αντίστροφο πίνακα δίνεται από τη σχέση, 2.1.2 Idiotimèc kai idiodianôsmata A 1 = 1 adj(a). (2.2) det A Θα παρατηρήσουµε παρακάτω ότι οι idiotimèc και τα idiodianôsmata παίζουν ση- µαντικό ρό ο στη ύση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και την ανά υση τη ευστάθεια του. Υπενθυµίζουµε του επόµενου ορισµού, Orismìc 2.2 An A eðnai ènac pðnakac n n, tìte èna mh mhdenikì diĺnusma u kaleðtai idiodiĺnusma tou pðnaka A an, Au = λu, (2.3) gia kĺpoio monodiĺstato arijmì λ. O arijmìc λ kaleðtai idiotimă tou pðnaka A kai u kaleðtai to idiodiĺnusma pou antistoiqeð sto λ. Οι ιδιοτιµέ και τα ιδιοδιανύσµατα έχουν απ ή γεωµετρική ερµηνεία, όπω φαίνεται στο Σχ. (2.1). Α σηµειώσουµε ότι οι ιδιοτιµέ ενό πραγµατικού πίνακα µπορούν να είναι είτε πραγµατικοί είτε µιγαδικοί αριθµοί. Οι ιδιοτιµέ ενό πίνακα A µπορούν να
20 KefĹlaio 2. GrammikĹ Sustămata υπο ογιστούν ύνοντα την qarakthristikă exðswsh, det(a λi) = 0. (2.4) Μπορούµε να παρατηρήσουµε ότι για ένα πίνακα 2 2 η Εξ. (2.4) µπορεί να γραφεί, λ 2 λtra + det A = 0, (2.5) όπου το Ðqnoc του A, tra, είναι το άθροισµα των διαγωνίων στοιχείων, tra = n i=1 a i,i. ύο n n πίνακε, A και B, ονοµάζονται ìmoioi αν υπάρχει µη-ιδιάζωνν πίνακα S έτσι ώστε, B = SAS 1. (2.6) Σηµειώστε ότι όµοιοι πίνακε έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πο υώνυµο Στο σηµείο αυτό θα παρουσιάσουµε ένα θεµε ιώδε αποτέ εσµα που αφορά την kanonikă morfă (canonical form) ενό πίνακα [Coddington and Levinson, 1955; Hirsch and Smale, 1974]: Jeÿrhma 2.1 KĹje pðnakac A diĺstashc n n eðnai ìmoioc me ton pðnaka J thc morfăc (morfă Jordan), J = J 0 0 0... 0 0 J 1 0... 0. 0 0 0... J s, (2.7) ìpou J 0 eðnai ènac diagÿnioc pðnakac me diagÿnia stoiqeða λ 1, λ 2,..., λ q, kai (stoiqeðo Jordan), J i = λ q+i 1 0 0... 0 0 0 λ q+i 1 0... 0 0. 0 0 0 0... λ q+i 1 0 0 0 0... 0 λ q+i, (2.8) gia i = 1, 2,..., s. O monodiĺstatoi arijmoð λ j, j = 1, 2,..., q+s, eðnai oi idiotimèc tou A, ìqi aparaðthta diakritèc (dôo diaforetikèc idiotimèc mporeð na èqoun thn Ðdia timă).
2.1. StoiqeÐa apì th grammikă Ĺlgebra 21 Στην ειδική περίπτωση όπου ό ε οι ιδιοτιµέ λ i είναι διακριτέ τότε ο A είναι όµοιο µε το διαγώνιο πίνακα, λ 1 0 0... 0 0 λ 2 0... 0 J =.. 0 0 0... λ n Για παράδειγµα, η κανονική µορφή ενό πίνακα που ω ιδιοτιµέ ένα ζεύγο µιγαδικών ιδιοτιµών a ± ib µε πο απ ότητα 1 και µία πραγµατική ιδιοτιµή µ µε πο απ ότητα 2, είναι, J = a b 0 0 b a 0 0 0 0 µ 1 0 0 0 µ Θα δούµε σε επόµενη παράγραφο, ότι για να ύσουµε ένα σύστηµα συνήθων διαφορικών εξισώσεων είναι απαραίτητο να µετατρέψουµε τον πίνακα A σε διαγώνιο. Το πρόβ ηµα τη διαγωνιοποίηση µπορεί να εκφραστεί ω εξή : Orismìc 2.3 (To prìblhma thc diagwniopoðhshc) Dedomènou enìc pðnaka A diĺstashc n n, upĺrqei ènac antistrèyimoc pðnakac S ètsi ÿste S 1 AS eðnai diagÿnioc? Η διαδικασία διαγωνιοποίηση ενό πίνακα A µε πραγµατικέ ιδιοτιµέ έχει ω εξή,. Băma 1: Βρίσκουµε n γραµµικώ ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα A, π.χ., u 1, u 2,..., u n. Băma 2: Σχηµατίζουµε τον πίνακα S µε τα u 1, u 2,..., u n ω διανύσµαταστή ε. Băma 3: Ο πίνακα S 1 AS είναι διαγώνιο µε λ 1, λ 2,..., λ n ω διαγώνια στοιχεία. Α σηµειωθεί ότι αν οι ιδιοτιµέ είναι µιγαδικοί αριθµοί, η διαδικασία είναι ίγο διαφορετική. Ετσι, για ένα πίνακα A µε µιγαδικέ ιδιοτιµέ, Băma 1: Βρίσκουµε τα µιγαδικά ιδιοδιανύσµατα u i = v i + iw i. Băma 2: Σχηµατίζουµε τον πίνακα S µε v 1, w 1,..., ω διανύσµατα-στή ε. Băma 3: Ο πίνακα S 1 AS είναι τµηµατικά διαγώνιο µε ( ) a b b a ω διαγώνια στοιχεία.
22 KefĹlaio 2. GrammikĹ Sustămata 2.2 LÔsh grammikÿn sunăjwn diaforikÿn exisÿsewn Υπάρχουν διάφορε µεθοδο ογίε για τη ύση τη Εξ. (2.1). Στη παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουµε δύο ενα ακτικέ διαδικασίε. Α θεωρήσουµε την Εξ. (2.1) και έναν αντιστρέψιµο πίνακα S ο οποίο µετασχηµατίζει τον A σε κανονική µορφή µέσω ενό µετασχηµατισµού οµοιότητα, Η Εξ. (2.1) µπορεί να γραφεί, Θέτοντα, η αρχική εξίσωση γράφεται σε κανονική µορφή, J = S 1 AS. (2.9) S 1 ẋ = S 1 ASS 1 x. (2.10) x = Sy, (2.11) ẏ = Jy, (2.12) όπου ο J δίνεται από την Εξ. (2.7). Αν οι ιδιοτιµέ, λ i του A είναι πραγµατικέ και διακριτέ τότε ο J είναι απ ά ο διαγώνιο πίνακα µε λ i ω στοιχεία τη διαγωνίου. Ετσι, οι Εξ. (2.12) είναι αποσυζευµένε και µπορούν να υθούν άµεσα. Αν οι ιδιοτιµέ είναι µιγαδικέ και διακριτέ τότε ο J αποτε είται από τα τµήµατα ( a b b a ) κατά µήκο τη διαγωνίου και η Εξ. (2.12) µπορεί να υθεί άµεσα (πιθανόν εισάγοντα πο ικέ ή µιγαδικέ συντεταγµένε, όπω φαίνεται και στα παραδείγ- µατα που ακο ουθούν). Η διαδικασία είναι πιο πεπ εγµένη αν οι ιδιοτιµέ έχουν κάποια πο απ ότητα α ά και στη περίπτωση αυτή η ύση µπορεί να βρεθεί, όπω θα δούµε στα παραδείγµατα. Μία διαφορετική µεθοδο ογία για τη ύση τη Εξ. (2.1) µπορεί να ακο ουθηθεί αν θεωρήσουµε για µία στιγµή τη µονοδιάστατη διαφορική εξίσωση, Γνωρίζουµε ότι η ύση τη Εξ. (2.13) είναι, ẋ = ax. (2.13) x = ke at, (2.14) όπου k είναι µία µονοδιάστατη σταθερά. Στην περίπτωση ενό πο υδιάστατου συστήµατο τη µορφή τη Εξ. (2.1), µπορούµε να γράψουµε x = e ta k, (2.15)
2.3. Autìnoma sustămata stic dôo diastĺseic 23 όπου k είναι τώρα ένα σταθερό διάνυσµα και η εκθετική µορφή ενό πίνακα ορίζεται από την παρακάτω σειρά, e ta = I + ta + t2 A 2 +... = I + 2! t m A m. (2.16) m! Αν και η Εξ. (2.15) φαίνεται πάρα πο ύ απ ή, δεν είναι ιδιαίτερα πρακτικό να υπο ογιστεί η Εξ. (2.15) µέσω τη Εξ. (2.16). Αντί αυτού ακο ουθούµε µια διαφορετική διαδικασία γνωρίζουµε ότι αν ο πίνακα A διαγωνοποιείται τότε µπορούµε να γράψουµε, A = SΛS 1, (2.17) m=1 όπου Λ είναι διαγώνιο µε τι ιδιοτιµέ στη διαγώνιο. Χρησιµοποιώντα την Εξ. (2.16), η Εξ. (2.17) γράφεται, e ta = Se tλ S 1. (2.18) Α σηµειωθεί ότι αν οι ιδιοτιµέ είναι µιγαδικέ, χρειάζονται ορισµένε τροποποιήσει στη παραπάνω διαδικασία. 2.3 Autìnoma sustămata stic dôo diastĺseic Α θεωρήσουµε τη περίπτωση τη Εξ. (2.1) για n = 2. Σε αυτή τη περίπτωση το γραµµικό σύστηµα µπορεί να γραφεί ω, ẋ 1 = ax 1 + bx 2 ẋ 2 = cx 1 + dx 2 (2.19) όπου οι συντε εστέ είναι πραγµατικοί µονοδιάστατοι αριθµοί (µπορεί να έχουν και τιµή µηδέν). Προφανώ, σε αυτό το σύστηµα η αρχή των αξόνων είναι πάντα ένα στατικό σηµείο. Οπω αναφέρθηκε στη προηγουµένη παράγραφο, υπάρχει ένα µετασχηµατισµό οµοιότητα, Εξ. (2.6) ο οποίο µετασχηµατίζει τον A σε κανονική µορφή. Στη περίπτωση ενό δισδιάστατου συστήµατο, οι περιπτώσει είναι σχετικά περιορισµένε [Hirsch and Smale, 1974; Grimshaw, 1990]. 1. Kìmboc - dôo pragmatikèc diakritèc idiotimèc me to Ðdio prìshmo: Σε αυτή τη περίπτωση λ 1 λ 2 > 0 άρα σύµφωνα µε το Θεώρη- µα 2.1, η κανονική µορφή του A είναι, ( ) λ1 0 (2.20) 0 λ 2
24 KefĹlaio 2. GrammikĹ Sustămata Sqăma 2.2: (a) Eustajăc kìmboc λ 1 = 1 kai λ 2 = 2 kai (b) astajăc kìmboc λ 1 = 1 kai λ 2 = 2. Συνεπώ, η ύση του συστήµατο αυτού, σε νέο σύστηµα συντεταγµένων είναι, y 1 (t) = y 1 (0)e λ1t y 2 (t) = y 2 (0)e λ2t (2.21) Στην περίπτωση αυτή, η αρχή των αξόνων ονοµάζεται kìmboc. Παρατηρούµε από την Εξ. (2.23) ότι εφόσον τα λ 1 και λ 2 και αρνητικοί αριθµοί, οι τροχιέ π ησιάζουν ασυµπτωτικά την αρχή των αξόνων, δη. έχουµε έναν eustajă κόµβο. Αν λ 1 και λ 2 είναι και οι δύο θετικοί αριθµοί τότε οι τροχιέ αποκ ίνουν εκθετικά από την αρχή των αξόνων, δη αδή το στατικό σηµείο είναι ένα astajăc κόµβο. Ενα παράδειγµα ευσταθού και ασταθού κόµβου παρουσιάζεται στο Σχ. (2.2). 2. Akanìnistoc kìmboc - MÐa pragmatikă idiotimă me pollaplìthta 2: Στη περίπτωση αυτή, σύµφωνα µε το Θεώρηµα 2.1, η κανονική µορφή του A είναι, ( ) λ 1 (2.22) 0 λ
2.3. Autìnoma sustămata stic dôo diastĺseic 25 Sqăma 2.3: (a) Eustajăc akanìnistoc kìmboc gia λ = 1 kai (b) astajăc akanìnisto kìmboc gia λ = 1. Συνεπώ, η ύση του συστήµατο στο νέο σύστηµα συντεταγµένων είναι, y 1 (t) = (y 1 (0) + y 2 (0)t)e λt y 2 (t) = y 2 (0)e λt (2.23) Σε αυτή τη περίπτωση η αρχή των αξόνων ονοµάζεται akanìnistoc kìmboc. Παρατηρούµε από την Εξ. (2.21) ότι αν το λ είναι αρνητικό τότε οι τροχιέ π ησιάζουν την αρχή των αξόνων, δη. έχουµε έναν eustajă ακανόνιστο κόµβο. Αν το λ είναι θετικό τότε οι τροχιέ αποκ ίνουν από την αρχή των αξόνων δη. έχουµε έναν astajă ακανόνιστο κόµβο. Ενα παράδειγµα ευσταθού και ασταθού ακανόνιστου κόµβου παρουσιάζονται στο Σχ. (2.3). 3. Sagmatikì shmeðo - DÔo diakritèc pragmatikèc idiotimèc me antðjeto prìshmo: Στην περίπτωση αυτή η κανονική µορφή θα δίνεται από την Εξ. (2.20) και η ύση από την Εξ. (2.21). Παρό α αυτά, όγω των διαφορετικών προσήµων των ιδιοτιµών, το στατικό σηµείο χαρακτηρίζεται από δύο διαφορετικά είδη τροχιών. Η µία τείνει να π ησιάσει και η ά η να αποκ ίνει από την αρχή των αξόνων. Α σηµειωθεί ότι το σαγµατικό σηµείο είναι πάντα ένα ασταθέ σηµείο. Ενα παράδειγµα σαγµατικού σηµείου παρουσιάζεται στο Σχ. (2.4) 4. EstÐa - Ena zeôgoc migadikÿn idiotimÿn: Σε αυτή τη περίπτωση
26 KefĹlaio 2. GrammikĹ Sustămata Sqăma 2.4: Sagmatikì shmeðo gia λ 1 = 0.1, λ 2 = 0.2 έχουµε λ 1,2 = a ± ib οπότε σύµφωνα µε το Θεώρηµα 2.1, η κανονική µορφή του πίνακα A είναι, ( ) a b (2.24) b a Το σύστηµα αυτό µπορεί να υθεί εύκο α εισάγοντα πο ικέ ή µιγαδικέ συντεταγµένε και η ύση είναι, r(t) = r(0)e at ϑ(t) = ϑ(0) bt (2.25) Στη περίπτωση αυτή η αρχή των αξόνων (το στατικό σηµείο) ονοµάζεται estða. Παρατηρούµε από την Εξ. (2.25) ότι η ευστάθεια του στατικού ση- µείου καθορίζεται από το a ενώ το b καθορίζει µόνο την διεύθυνση περιστροφή. Αν το a είναι αρνητικό αριθµό τότε οι τροχιέ π ησιάζουν σπειροειδώ στην αρχή των αξόνων, δη αδή έχουµε µία eustajă εστία. Αν το a είναι θετικό τότε οι τροχιέ αποκ ίνουν σπειροειδώ από την αρχή των αξόνων, δη αδή έχουµε µία astajă εστία. Ενα παράδειγµα ευσταθού κι ασταθού εστία παρουσιάζεται στο Σχ. (2.5). 5. Kèntro - Ena zeôgoc fantastikÿn idiotimÿn Στη περίπτωση αυτή έχουµε λ 1,2 = ±ib και σύµφωνα µε το Θεώρηµα 2.1, η κανονική µορφή
2.4. ParadeÐgmata 27 Sqăma 2.5: (a) Eustajăc estða gia a = 0.15 kai b = 1 kai (b) astajăc estða gia a = 0.15 kai b = 1. του πίνακα A δίνεται ξανά από την Εξ. (2.24) α ά για a = 0. Η ύση του συστήµατο είναι, r(t) = r(0) ϑ(t) = ϑ(0) bt (2.26) Σε αυτή τη περίπτωση η αρχή των αξόνων κα είται kèntro. Παρατηρούµε από την Εκ. (2.26) ότι το κέντρο δεν είναι ασυµπτωτικά ευσταθέ. Οι τροχιέ που ξεκινούν από το σηµείο r 0 σχηµατίζουν κ ειστέ τροχιέ γύρω από το στατικό σηµείο, όπω φαίνεται στο Σχ. (1.4). 2.4 ParadeÐgmata ParĹdeigma 2.1 ApodeÐxte ìti h Ex. (2.15) eðnai lôsh tou sustămatoc Ex. (2.1). LÔsh: Αν η Εξ. (2.15) είναι ύση του συστήµατο Εξ. (2.1) τότε θα πρέπει να ισχύει, d dt (eat k) = Ae At k. (2.27)
28 KefĹlaio 2. GrammikĹ Sustămata Α ξεκινήσουµε από το αριστερό σκέ ο αυτή τη εξίσωση. Εφόσον το k είναι ένα σταθερό διάνυσµα µπορούµε να γράψουµε, ή, χρησιµοποιώντα την Εξ. (2.16, d dt (eat )k = = d dt (eat k) = d dt (eat )k, (2.28) ( lim h 0 ( lim h 0 = e ta ( lim h 0 = e ta ( lim h 0 = e ta Ak. e (t+h)a e ta h e ta e ha e ta h e ha I h ) k ) k ) k I + ha + h.o.t. I h ) k (2.29) Ο πίνακα A αντιµετατίθεται µε κάθε όρο αυτή τη σειρά για το e At, άρα η απόδειξη τε είωσε. ParĹdeigma 2.2 BreÐte th lôsh tou sustămatoc (se kanonikă morfă) enìc grammikoô sustămatoc gia n = 2 pou èqei mða idiotimă me pollaplìthta 2. LÔsh: Η κανονική µορφή ενό δισδιάστατου συστήµατο µε µία ιδιοτιµή µε πο απ ότητα 2 είναι, ) (ẏ1 = ẏ 2 ( ) ( ) λ 1 y1 0 λ y 2 (2.30) Η δεύτερη εξίσωση στο σύστηµα τη Εξ. (2.30) µπορεί να υθεί αµέσω. Η ύση είναι, y 2 (t) = c 2 e λt. Αντικαθιστώντα το y 2 (t) στην πρώτη εξίσωση τη Εξ. (2.30) προκύπτει, ẏ 1 = λy 1 + c 2 e λt. (2.31) Η Εξ. (2.31) µπορεί να υθεί µε τη µέθοδο τη metabolăc mðac stajerĺc. Συνεπώ, η ύση που αντιστοιχεί στην οµογενή εξίσωση είναι, y 1 (t) = ce λt.
2.4. ParadeÐgmata 29 Τώρα, αναζητούµε µία γενική ύση τη µορφή Εξ. (2.31) τη γενική µορφή, y 1 (t) = c(t)e λt. Αντικαθιστώντα αυτή τη σχέση στην Εξ. (2.31) και ύνοντα για c έχουµε c(t) = c 1 + c 2 t. Άρα, η ύση είναι, η οποία συµφωνεί µε την Εξ. (2.23). y 1 (t) = (c 1 + c 2 t)e λt, ParĹdeigma 2.3 BreÐte mða lôsh thc kanonikăc morfăc enìc grammikoô dunamikoô sustămatoc diĺstashc n = 2, to opoðo èqei èna zeôgoc migadikÿn idiotimÿn. LÔsh: Η κανονική µορφή ενό δισδιάστατου συστήµατο που έχει ένα ζεύγο µιγαδικών ιδιοτιµών, λ = a + ib και λ = a ib είναι, ) (ẏ1 = ẏ 2 ( ) ( ) a b y1 b a y 2 (2.32) Το σύστηµα αυτό µπορεί να υθεί είτε εισάγοντα πο ικέ συντεταγµένε είτε µιγαδικέ συντεταγµένε Θα παρουσιαστούν και οι δύο περιπτώσει. 1h PerÐptwsh: Qrăsh polikÿn suntetagmènwn Χρησιµοποιώντα πο ικέ συντεταγµένε y 1 (t) = r(t) cos ϑ(t) και y 2 (t) = r(t) sin ϑ(t) προκύπτει, ṙ = ar ϑ = 1 (2.33) οι οποίε έχουν ω ύση, r(t) = c 1 e at ϑ(t) = c 2 bt (2.34) Επιστρέφοντα στι αρχικέ µεταβ ητέ, y 1 (t) = c 1 e at cos(c 2 bt) y 2 (t) = c 1 e at sin(c 2 bt)
30 KefĹlaio 2. GrammikĹ Sustămata ή, 1 y 1 (t) = e at (c 1 cos bt + c 2 sin bt) y 2 (t) = e at (c 2 cos bt c 1 sin bt) (2.35) 2h PerÐptwsh: Qrăsh migadikÿn suntetagmènwn Κάνοντα χρήση µιγαδικών συντεταγµένων, z = y 1 + iy 2 και z = y 1 iy 2, έχουµε, ż = (a + ib)z z = (a ib) z Η δεύτερη εξίσωση είναι απ ά η συζυγή µιγαδική τη πρώτη, άρα µπορούµε να ύσουµε το πρόβ ηµα αµβάνοντα υπόψη µόνο µία από τι δύο. Η ύση τη πρώτη εξίσωση είναι, z(t) = ce (a ib)t ή, χρησιµοποιώντα την σχέση του De Moivre, z(t) = ce at (cos bt i sin bt). (2.36) Α σηµειώσουµε ότι στην περίπτωση αυτή, η σταθερή c είναι, γενικά, ένα migadikìc αριθµό, δη. c = c 1 + ic 2. Φυσικά, η ύση τη δεύτερη εξίσωση είναι απ ά ο συζυγή µιγαδικό τη Εξ. (2.36), δη αδή, z(t) = ce at (cos bt + i sin bt). (2.37) Επιστρέφοντα στι αρχικέ µεταβ ητέ, y 1 = 1 2 (z + z) και y 2 = 1 2 ( iz + i z) προκύπτει η Εξ. (2.35). ParĹdeigma 2.4 Na lujeð to parakĺtw sôsthma sunăjwn diaforikÿn exisÿsewn, ẋ 1 = 3x 1 + 2x 2 ẋ 2 = x 1 2x 2 (2.38) 1 Edÿ gðnetai qrăsh twn tautotătwn: cos(a B) = cos A cos B+sin A sin B kai sin(a B) = sin A cos B cos A sin B.
2.4. ParadeÐgmata 31 LÔsh: Η Εξ. (2.38) µπορεί να γραφεί σε διανυσµατική µορφή, ( ) 3 2 ẋ = x = Ax. (2.39) 1 2 Α ξεκινήσουµε βρίσκοντα τι ιδιοτιµέ του πίνακα A. Εξ. (2.5), έχουµε, λ 2 + 5λ 4λ = 0, Σύµφωνα µε την δη αδή, λ 1 = 1 και λ 2 = 4. Παρατηρούµε ότι το σύστηµα έχει δύο πραγµατικέ ιδιοτιµέ, διαφορετικέ µεταξύ του. Άρα, το σηµείο (0, 0) είναι ένα ευσταθή κόµβο, αφού οι ιδιοτιµέ είναι αρνητικέ. Τώρα θα πρέπει να αναζητήσουµε δύο γραµµικώ ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα. Σύµφωνα µε την Εξ. (2.3) έχουµε για την λ i, ( 3 2 1 2 ή α ιώ, ) ( u1 u 2 ) = λ i ( u1 u 2 ) 3u 1 + 2u 2 = λ i u 1 u 1 2u 2 = λ i u 2 Αν ύσουµε αυτό το σύστηµα, για τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτει, ( ) ( ) 1 2 u 1 =, u 1 2 =. 1 Άρα, ο πίνακα S είναι, S = ( 1 2 1 1 Εφόσον οι ιδιοτιµέ είναι διακριτέ και πραγµατικέ, η κανονική µορφή δίνεται από την Εξ. (2.20) και η ύση από την Εξ. (2.21) για λ 1 = 1 και λ 2 = 4, δη αδή, y 1 (t) = c 1 e t ). y 2 (t) = c 2 e 4t (2.40) Επιστρέφοντα στι αρχικέ µεταβ ητέ x η ύση µπορεί να βρεθεί χρησιµοποιώντα την Εξ. (2.11), δη αδή, ( ) ( ) ( ) x1 1 2 y1 = x 2 1 1 y 2
32 KefĹlaio 2. GrammikĹ Sustămata δη αδή, x 1 = c 1 e t 2c 2 e 4t, x 2 = c 1 e 4t + c 2 e 4t. (2.41) ParĹdeigma 2.5 Na lujeð to parakĺtw sôsthma sunăjwn diaforikÿn exisÿsewn, ẋ 1 = 5x 1 + 10x 2 ẋ 2 = x 1 x 2 (2.42) LÔsh: Η Εξ. (2.42) γράφεται σε διανυσµατική µορφή ω εξή, ( ) 5 10 ẋ = = Ax 1 1 Ο πίνακα A έχει ένα ζεύγο µιγαδικών ιδιοτιµών, δη αδή, λ = 2 + i και λ = 2 i, δη αδή η αρχή των αξόνων είναι µία εστία. Το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στη λ είναι, u = ( 3 + i 1 ) ( 3 = 1 ) ( 1 + i 0 ) = v + iw. Στη περίπτωση αυτή όπου οι ιδιοτιµέ είναι µιγαδικέ, ο πίνακα S έχει ω στή ε τα διανύσµατα v και w, δη αδή ( ) 3 1 S =. 1 0 Εφόσον έχουµε ένα ζεύγο µιγαδικών ιδιοτιµών, η κανονική µορφή δίνεται από την Εξ. (2.24) και η ύση από την Εξ. (2.35). Κάνοντα χρήση του µετασχηµατισµού x = Sy επιστρέφουµε στι αρχικέ µεταβ ητέ και προκύπτει η ύση, x 1 = e 2t {c 1 (3 cos t sin t) + c 2 (3 sin t + cos t)} x 2 = e 2t ( c 1 cos t c 2 sin t) (2.43)
KefĹlaio 3 Grammikă AnĹlush EustĹjeiac 3.1 GrammikopoÐhsh Στα προηγούµενα κεφά αια είδαµε ότι τα στατικά σηµεία ενό γραµµικού δυνα- µικού συστήµατο µπορούν να είναι ευσταθή ή ασταθή, ανά ογα µε το πρόσηµο των ιδιοτιµών του πίνακα των παραµέτρων. Επίση, στο Κεφ. 1 δόθηκαν κάποιοι ορισµοί για την ευστάθεια των µη-γραµµικών δυναµικών συστηµάτων, α ά δεν παρουσιάστηκε κάποιο τρόπο προσδιορισµού τη ευστάθεια ή αστάθεια κάποια ύση του. Πριν ξεκινήσουµε, θα υπενθυµίσουµε στο jeÿrhma Taylor σύµφωνα µε το οποίο µία µονοδιάστατη συνάρτηση f(x) µπορεί να γραφεί σαν σειρά ω εξή, f(x) = f(a) + df(x) dx (x a) + d2 f(x) (x a) 2 x=a dx 2 +... (3.1) x=a 2! Για να γραφεί η συνάρτηση f(a) σαν τη σειρά τη Εξ. (3.1), η συνάρτηση θα πρέπει να έχει πεπερασµένε παράγωγου ό ων των τάξεων στο σηµείο x = a. Το θεώρηµα Taylor για συναρτήσει πο ών µεταβ ητών γράφεται, f(x, y) f(x, y) =f(a, b) + f(x, y) x (x a) + a,b x (y b) a,b + 2 f(x, y) x 2 + 2 f(x, y) x y (x a) 2 + 2 f(x, y) (y b) 2 a,b 2! y 2 a,b 2! 2(x a)(y b) +... a,b 2! (3.2) Α επιστρέψουµε τώρα στο αρχικό µα πρόβ ηµα. η αδή, έχουµε ένα n- διάστατο αυτόνοµο µη-γραµµικό δυναµικό σύστηµα τη µορφή, ẋ = f(x), (3.3) 33
34 KefĹlaio 3. Grammikă AnĹlush EustĹjeiac το οποίο έχει ένα στατικό σηµείο, x(t), άρα, f( x) = 0. (3.4) Α συγκρατήσουµε επίση ότι η συνάρτηση f(x) είναι ένα n-διάστατο διάνυσµα µε στοιχεία τι µη-γραµµικέ συναρτήσει f 1 (x 1, x 2,..., x n ), f 2 (x 1, x 2,..., x n ) Στόχο µα είναι να προσδιορίσουµε την ευστάθεια του στατικού σηµείου, x(t). Για να το κάνουµε αυτό θα πρέπει να διερευνήσουµε η φύση των ύσεων κοντά στο σηµείο x(t). Εστω, οιπόν, µία ύση κοντά στο στατικό σηµείο, x = x + δx, (3.5) και α ανα ύσουµε σε σειρά την f(x) γύρω από το στατικό σηµείο, f(x) = f( x) + D x f( x)(x x) +... (3.6) Είναι εύκο ο να αναγνωρίσουµε ότι στην Εξ. (3.6), D x f( x) = f 1(x) f 1(x) x 1 x= x x 2 x= x... f 2(x) f 2(x) x 1 x= x x 2 x= x.... f n(x) f n(x) x 1 x= x x 2 x= x... f 1(x) x n x= x f 2(x) x n x= x f n(x) x n x= x (3.7) Α αντικαταστήσουµε την Εξ. (3.5) και Εξ. (3.6) στην Εξ. (3.3). Ω αποτέ εσµα θα έχουµε, x + δx = f( x) + D x f( x)(x x) +... (3.8) Α ά, x = f( x), άρα, έχουµε, δx = D x f( x)δx +... (3.9) Η Εξ. (3.9) περιγράφει την εξέ ιξη των τροχιών κοντά στο στατικό σηµείο x(t). Εφόσον, σε ότι αφορά το πρόβ ηµα τη ευστάθεια µα ενδιαφέρουν ύσει πο ύ κοντά στο στατικό σηµείο, αγνοούµε του όρου υψη ή τάξη (καθώ επίση και το σύµβο ο δ ) και έχουµε, ẋ = D x f( x)x. (3.10) Α ά η Εξ. (3.10) είναι απ ά ένα γραµµικό δυναµικό σύστηµα. Άρα η ευστάθεια του στατικού σηµείου καθορίζεται από τι ιδιοτιµέ του πίνακα Df( x), που
3.2. Grammikopoihmènh EustĹjeia 35 περιγράφεται από την Εξ. (3.7). Ο πίνακα αυτό κα είται ο Iakwbianìc του συστήµατο. Κάποιε φορέ η Εξ. (3.10) γράφεται χρησιµοποιώντα διαφορετικό σύµβο ο για τον Ιακωβιανό, δη., ẋ = J( x)x, (3.11) Α ά δεν πρέπει να υπάρχει σύγχυση του Ιακωβιανού πίνακα µε το πίνακα σε µορφή Jordan. 3.2 Grammikopoihmènh EustĹjeia Μία σηµαντική ερώτηση είναι το τι συµπεράσµατα µπορούνε να εξάγουµε για τι ύσει τη Εξ. (3.3) βασισµένοι στη µε έτη τη Εξ. (3.10) Με ά α όγια, η ευστάθεια του µη-γραµµικού συστήµατο καθορίζεται πάντα από την ευστάθεια του γραµµικοποιηµένου συστήµατο Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό θα δοθεί µετά από τον παρακάτω ορισµό: Orismìc 3.1 (UperbolikĹ statikĺ shmeða) Ena statikì shmeðo x kaleðtai uperbolikì an kamða apì tic idiotimèc tou IakwbianoÔ D x f( x) eðnai mhdèn ă fantastikìc arijmìc. Μπορούµε τώρα να διατυπώσουµε ένα θεώρηµα το οποίο αναφέρει τι συνθήκε υπό τι οποίε το γραµµικοποιηµένο σύστηµα καθορίζει την ευστάθεια του αντίστοιχου µη-γραµµικού συστήµατο. Jeÿrhma 3.1 An x eðnai èna uperbolikì statikì shmeðo tìte h asumptwtikă sumperiforĺ kontĺ se autì to shmeðo (Ĺra kai h eustĺjeia tou) kajorðzetai apì th grammikopoðhsh. Άρα, αν ο Ιακωβιανό δεν έχει µηδενικέ ή φανταστικέ ιδιοτιµέ, η ευστάθεια καθορίζεται από το γραµµικό σύστηµα, Εξ. (3.10). Αν έστω και µία ιδιοτιµή είναι µηδέν ή φανταστική τότε δεν µπορούµε να εξάγουµε κανένα συµπέρασµα µε ετώντα το γραµµικοποιηµένο σύστηµα. 3.3 ParadeÐgmata ParĹdeigma 3.1 Ac jewrăsoume èna sôsthma pou parousiĺzetai sto Sq. (3.1). Ac upojèsoume ìti to sÿma èqei mĺza m kai to elatărio exaskeð mða dônamh F 1 = k(x 3 x) ìpou x eðnai h metatìpish. Akìma, ac upojèsoume ìti h mĺza kineðtai se èna mèso to opoðo exaskeð tribă F 2 anĺlogh me thn taqôthta, v [Stoker, 1950].
36 KefĹlaio 3. Grammikă AnĹlush EustĹjeiac Sqăma 3.1: To sôsthma mĺza-elatărio me tribă 1. DeÐxte ìti to sôsthma mporeð na perigrafeð apì tic adiatĺraktec exisÿseic Duffing, ẋ = y ẏ = x x 3 ay (3.12) 2. BreÐte ta statikĺ shmeða tou sustămatoc gia a 0 3. Meletăste thn eustĺjeia twn statikÿn shmeðwn me grammikopoðhsh. 4. SqhmatÐste tic troqièc sto qÿro twn fĺsewn kontĺ sta statikĺ shmeða LÔsh: Η συνο ική δύναµη που εξασκείται στη µάζα είναι, F tot = F 1 + F 2 = mγ, όπου γ είναι η επιτάχυνση. Εφόσον F 1 είναι η δύναµη του ε ατηρίου και F 2 είναι ανά ογη τη ταχύτητα θα έχουµε, mγ + cv + k(x 3 x) = 0, ή, θέτοντα γ = ẍ, v = ẋ, a = c/m και κ = k/m, ẍ + aẋ + κ(x 3 x) = 0 Α υποθέσουµε ότι κ = 1 και α θέσουµε y = ẋ. Υπό αυτόν τον µετασχηµατισµό προκύπτει η Εξ. (3.12).
3.3. ParadeÐgmata 37 Sqăma 3.2: Troqièc kontĺ sta statikĺ shmeða gia ton talantwtă Duffing gia a = 0.5. Τα στατικά σηµεία τη Εξ. (3.12) είναι ύσει του α γεβρικού συστήµατο, ȳ = 0 x x 3 aȳ = 0 Άρα, το σύστηµα έχει τρία στατικά σηµεία, δη αδή, Ο Ιακωβιανό του πίνακα είναι, D x f( x) = ( x 1, ȳ 1 ) = (0, 0) ( x 2, ȳ 2 ) = (1, 0) ( x 3, ȳ 3 ) = ( 1, 0) ( f1 f 1 x x y x f 2 f 2 x x y x ) = ( 0 ) 1 1 3 x 2 a (3.13) (3.14) (3.15) Άρα, οι ιδιοτιµέ του γραµµικού συστήµατο είναι, λ 1,2 = a 2 ± 1 a2 + 4(1 3 x 2 2 ). (3.16) Για το πρώτο στατικό σηµείο, ( x 1, ȳ 1 ) = (0, 0), Εξ. (3.16) γράφεται, λ 1,2 = a 2 ± 1 a2 + 4. 2
38 KefĹlaio 3. Grammikă AnĹlush EustĹjeiac Είναι φανερό ότι, για a > 0, τότε λ 1 και λ 2 είναι πραγµατικοί αριθµοί. Επίση, παρατηρούµε ότι, λ 1 = a 2 + 1 2 a2 + 4 > 0 λ 2 = a 2 1 2 a2 + 4 < 0 άρα, η αρχή των αξόνων είναι ένα kìmboc (ασταθή ). Για το δεύτερο στατικό σηµείο, ( x 2, ȳ 2 ) = (1, 0), η Εξ. (3.16) γράφεται, λ 1,2 = a 2 ± 1 2 a2 8. Για 0 < a < 8, τα λ 1 και λ 2 είναι µιγαδικοί αριθµοί µε αρνητικό πραγµατικό µέρο (επειδή a > 0). Άρα, αυτό το στατικό σηµείο είναι είναι µία eustajăc estða. Για a > 8, λ 1 και λ 2 είναι πραγµατικοί αριθµοί. Είναι προφανέ ότι, λ 1 = a 2 + 1 2 a2 8 < 0 λ 2 = a 2 1 2 a2 8 < 0 άρα, αυτό το στατικό σηµείο είναι eustajăc kìmboc. Το ίδιο ισχύει και για το σηµείο ( x 3, ȳ 3 ) = ( 1, 0). Α µε ετήσουµε τι συµβαίνει όταν a = 0. Σε αυτή τη περίπτωση οι ιδιοτιµέ που αντιστοιχούν στο σηµείο ( x 1, ȳ 1 ) = (0, 0) είναι λ 1,2 = ±1, εποµένω το σηµείο αυτό παραµένει κόµβο. Οι ιδιοτιµέ που αντιστοιχούν στα υπό οιπα στατικά σηµεία είναι φανταστικέ, λ 1,2 = ±2i. Άρα, για το γραµµικοποιηµένο σύστηµα, αυτά τα στατικά σηµεία θα είναι κέντρα, α ά δεν µπορούµε να εξάγουµε κανένα συµπέρασµα για την ευστάθεια του. Οι τροχιέ για την περίπτωση 0 < a < 8 παρουσιάζονται στο Σχ. 3.2. Μπορούµε να παρατηρήσουµε ότι η αρχή των αξόνων ( x 1, ȳ 1 ) = (0, 0) είναι ένα σαγµατικό σηµείο και οι τροχιέ κινούνται σπειδοειδώ προ την ευσταθή εστία στο σηµείο ( x 2, ȳ 2 ) = (1, 0) και ( x 3, ȳ 3 ) = ( 1, 0). ParĹdeigma 3.2 Jewrăste dôo metablhtèc x kai y oi opoðec ekfrĺzoun, antðstoiqa, ton arijmì twn melÿn duo plhjusmÿn, ek twn opoðwn o èna zei eic bĺroc tou Ĺllou. Ac jewrăsoume epðshc ìti [Davis, 1962]: H metablhtă x ekfrĺzei ton plhjusmì twn jhramĺtwn kai h metablhtă y ton plhjusmì twn arpaktikÿn.
3.3. ParadeÐgmata 39 Ta arpaktikĺ exartÿntai mìno apì ta jhrĺmata wc phgă trofăc. UpĹrqei Ĺpeirh trofă gia ta jhrĺmata Upì autèc tic paradoqèc, 1. DeÐxte ìti to sôsthma mporeð na perigrafeð apì tic exisÿseic Volterra-Lotka (exisÿseic jhrĺmatoc-arpaktikoô), ẋ = Ax Bxy ẏ = Dy + Cxy A, B, C, D > 0 (3.17) ìpou x eðnai o plhjusmìc twn jhramĺtwn kai y o plhjusmìc twn arpaktikÿn. 2. BreÐte ta statikĺ shmeða tou sustămatoc. 3. Meletăste thn eustĺjeia twn statikÿn shmeðwn me grammikopoðhsh. 4. SqhmatÐste tic troqièc sto qÿro twn fĺsewn, kontĺ sta statikĺ shmeða. LÔsh: Τα στατικά σηµεία του συστήµατο µπορούν να βρεθούν ύνοντα το α γεβρικό σύστηµα, A x B xȳ = 0 Dȳ + C xȳ = 0 Άρα, το σύστηµα έχει δύο στατικά σηµεία, δη αδή, Ο Ιακωβιανό του συστήµατο είναι, D x f( x) = ( x 1, ȳ 1 ) = (0, 0) ( x 2, ȳ 2 ) = (D/C, A/B) ( f1 f 1 x x y x f 2 f 2 x x y x ) ( ) A Bȳ B x = Cȳ D + C x (3.18) (3.19) Για το πρώτο στατικό σηµείο ( x 1, ȳ 1 ) = (0, 0) οι ιδιοτιµέ είναι,
40 KefĹlaio 3. Grammikă AnĹlush EustĹjeiac Sqăma 3.3: Oi troqièc tou sustămatoc Volterra-Lotka gia A = B = C = D = 1 λ 1 = D > 0 λ 2 = A < 0 Εφόσον A, D > 0 το σηµείο αυτό είναι ένα sagmatikì shmeðo (ασταθέ ). Για το δεύτερο στατικό σηµείο ( x 2, ȳ 2 ) = (D/C, A/B) οι ιδιοτιµέ είναι, λ 1 = +i AD λ 2 = i AD Άρα, το στατικό σηµείο ( x 2, ȳ 2 ) = (D/C, A/B) είναι ένα kèntro µια που οι ιδιοτι- µέ είναι φανταστικέ. Οπότε δεν µπορούµε να εξάγουµε κάποια π ηροφορία για την ευστάθεια. Η Εξ. (3.17) µπορεί να γραφεί στη µορφή, dy y(dx C) = dx x(a By). (3.20) Αυτή η εξίσωση µπορεί να υθεί µε διαχωρισµό των µεταβ ητών. Η ύση είναι, A ln y By = C ln x + Dy + k, όπου k είναι µια αυθαίρετη σταθερά. Σχηµατίζοντα τη ύση στο χώρο των φάσεων παρατηρούµε ότι πραγµατικά υπάρχει µία οικογένεια περιοδικών τροχιών γύρω από το στατικό σηµείο ( x 2, ȳ 2 ) = (D/C, A/B). (Σχ. 3.3).
3.3. ParadeÐgmata 41 Είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουµε ότι ανεξάρτητα του αριθµού των ειδών, κανένα είδο δεν θα εξαφανιστεί α ά ούτε θα αυξηθεί πέρα από κάποιο όριο. Από την ά η π ευρά, εκτό από την στατική κατάσταση ( x 2, ȳ 2 ) = (D/C, A/B) (η οποία δεν είναι και τόσο πιθανή) οι π ηθυσµοί δεν παραµένουν ποτέ σε µία σταθερή τιµή. ParĹdeigma 3.3 Jewrăste to sôsthma [Guckenheimer and Holmes, 1983], ẍ + εx 2 ẋ + x = 0 (3.21) 1. GrĹyte thn Ex. (3.21) wc èna disdiĺstato dunamikì sôsthma diaforikÿn exisÿsewn. 2. BreÐte ta statikĺ shmeða. 3. ExetĹste thn eustĺjeia tou statikoô shmeðou sthn arqă twn axìnwn kai deðxte ìti h eustĺjeia den kajorðzetai apì th grammikopoðhsh. LÔsh: Η Εξ. (3.21) µπορεί να γραφεί ω ένα δισδιάστατο σύστηµα θέτοντα x 1 = x και x 2 = ẋ. Συνεπώ, έχουµε, ) (ẋ1 = ẋ 2 ( ) ( ) ( ) 0 1 x1 0 ε 1 0 x 2 x 2 1x 2 (3.22) Προφανώ, το σηµείο ( x 1, x 2 ) = (0, 0) είναι ένα στατικό σηµείο του συστήµατο µε ιδιοτιµέ λ 1 = +i και λ 2 = i. Ετσι, το στατικό σηµείο (υπό τη γραµµική έννοια) είναι ένα κέντρο. Α ά, το στατικό σηµείο είναι µη-υπερβο ικό κι έτσι δεν µπορούµε να εξάγουµε συµπεράσµατα για την ευστάθεια του. Πραγµατικά, αν ο οκ ηρώσουµε τι εξισώσει (µε τη βοήθεια του υπο ογιστή) θα δούµε ότι το σηµείο στην αρχή των αξόνων είναι µία µη-υπερβο ική, ασθενώ ε κυστική, εστία για ε > 0 (αντίθετα είναι ασθενώ απωθητική εστία για ε < 0). Φυσικά, για ε = 0 η αρχή των αξόνων είναι πραγµατικά κέντρο. Η κατάσταση αυτή παρουσιάζεται στο Σχ. (3.4).
42 KefĹlaio 3. Grammikă AnĹlush EustĹjeiac Sqăma 3.4: Troqièc thc Ex. (3.21) gia ε = 20.
KefĹlaio 4 Stoiqeiÿdeic Diakladÿseic 4.1 OrismoÐ Ω αυτό στο σηµείο µε ετήθηκαν δυναµικά συστήµατα τη µορφή, ẋ = f(x, µ), x R n, µ R k, (4.1) όπου θεωρήθηκε ότι οι παράµετροι µ έχουν σταθερή τιµή. Αν µια ή περισσότερε από τι παραµέτρου µεταβά ονται τότε µπορεί να συµβούν α αγέ οι οποίε µεταβά ουν τη ποιοτική δοµή των ύσεων τη Εξ. (4.1) για ορισµένε τιµέ των µ. Αυτέ οι α αγέ κα ούνται diakladÿseic και οι τιµέ των παραµέτρων κα ούνται shmeða diaklĺdwshc. Α θεωρήσουµε ω παράδειγµα την περίπτωση µ R. Τα στατικά σηµεία τη Εξ. (4.1) θα είναι οι ύσει τη παρακάτω εξίσωση, f( x, µ) = 0, (4.2) και θα εξαρτώνται από το µ. Το διάγραµµα τη x, ω προ µ κα είται diĺgramma diaklĺdwshc (στην περίπτωση αυτή το x µπορεί να παριστάνει όχι µόνο σηµεία α - ά και περιοδικέ τροχιέ κ..π.) Αν υπάρχουν περισσότερε τη µια παραµέτρου διακ άδωση, π.χ., µ 1 και µ 2, τότε το διάγραµµα στο επίπεδο που αντιστοιχεί σε τιµέ των παραµέτρων όπου παρατηρείται διακ άδωση, κα είται sônolo diaklĺdwshc. Από τα προηγούµενα κεφά αια γνωρίζουµε ότι αν ένα στατικό σηµείο είναι υπερβο ικό, η ευστάθεια του καθορίζεται µε γραµµικοποίηση. Εποµένω είναι απ ό να κατανοήσουµε ότι διακ άδωση θα άβει χώρα όταν του άχιστον µία από τι ιδιοτιµέ του δυναµικού συστήµατο γίνεται µηδενική ή φανταστική καθώ µεταβά εται η παράµετρο µ, δη. όταν το στατικό σηµείο γίνεται mh-uperbolikì. Κατ αυτό τον τρόπο φθάνουµε στο σηµείο να µε ετήσουµε µη-υπερβο ικά στατικά σηµεία. Θα πρέπει να σηµειώσουµε ότι η ύπαρξη µη-υπερβο ικού στατικού 43
44 KefĹlaio 4. Stoiqeiÿdeic Diakladÿseic σηµείου είναι µία anagkaða α ά όχι ικανή συνθήκη για διακ άδωση. Αυτό σηµαίνει ότι όταν µια ή περισσότερε από τι ιδιοτιµέ του συστήµατο είναι µηδενικέ ή φανταστικέ τότε µπορεί να παρατηρηθεί διακ άδωση. Από την ά η π ευρά, για να παρατηρηθεί διακ άδωση, µία ή περισσότερε από τι ιδιοτιµέ θα prèpei να είναι µηδέν ή φανταστικέ. 4.2 JewrÐa kentrikăc pollaplìthtac Α θεωρήσουµε ένα δυναµικό σύστηµα µε διάσταση n = c + s όπου c ιδιοτιµέ είναι µηδέν ή φανταστικέ και s ιδιοτιµέ είναι πραγµατικέ ή µιγαδικέ µε αρνητικό πραγµατικό µέρο (στο κεφά αιο αυτό θα θεωρήσουµε ότι ό ε οι ιδιοτιµέ είναι απ έ, έχουν δη αδή πο απ ότητα µονάδα). Είναι σχετικά απ ό να φανταστούµε ότι όγω τη παρουσία των s ιδιοτιµών µε αρνητικό πραγµατικό µέρο, κάθε τροχιά ταχύτατα θα συγκ ίνει σε ένα υποχώρο (κα ούµε αυτόν τον υποχώρο pollaplìthta) όπου η ευστάθεια του συστήµατο εξαρτάται από τι c ιδιοτιµέ µε µηδενικό πραγµατικό µέρο. Αυτό ο υποχώρο, όπου η ευστάθεια καθορίζεται από τι ιδιοτιµέ µε µηδενικό πραγµατικό µέρο, κα είται kentrikă pollaplìthta. Το ερώτηµα τώρα είναι πώ να υπο ογίσουµε αυτή τη κεντρική πο απ ότητα. Α ορίσουµε αρχικά το πρόβ ηµα. Θεωρούµε ένα δυναµικό σύστηµα τη µορφή Εξ. (4.1) όπου c ιδιοτιµέ είναι µηδενικέ ή φανταστικέ και s ιδιοτιµέ είναι αρνητικέ ή φανταστικέ µε αρνητικό πραγµατικό µέρο. Χρησιµοποιώντα εργα- εία από τη γραµµική ά γεβρα, αυτό το σύστηµα µπορεί να γραφεί (στο σηµείο αυτό α αγνοήσουµε την ύπαρξη των παραµέτρων), ẋ = Ax + f(x, y), ẏ = By + g(x, y), x R c, y R s. (4.3) Στην Εξ. (4.3) οι πίνακε A και B είναι σε κανονική µορφή Jordan. Α θεωρήσουµε ότι η αρχή των αξόνων είναι ένα στατικό σηµείο. Α σηµειώσουµε ότι στην Εξ. (4.3), ο πίνακα A έχει c ιδιοτιµέ µε µηδενικό πραγµατικό µέρο και ο B έχει s ιδιοτιµέ µε αρνητικό πραγµατικό µέρο. Ηρθε τώρα η ώρα να διατυπώσουµε δύο θεωρήµατα [Carr, 1981]: Jeÿrhma 4.1 ( Uparxh thc kentrikăc pollaplìthtac) UpĹrqei mða kentrikă pollaplìthta gia thn Ex. (4.3) pou parðstatai me th sqèsh y = h(x). H dunamikă thc Ex. (4.3), ìtan periorðzetai sthn kentrikă pollaplìthta, orðzetai apì to
4.2. JewrÐa kentrikăc pollaplìthtac 45 parakĺtw sôsthma, u = Au + f(u, h(u)), u R c, (4.4) gia mikrì u. Από το Θεώρηµα (4.1) µπορούµε να σηµειώσουµε ότι η µε έτη του αρχικού συστήµατο διάσταση n περιορίζεται τώρα στη κεντρική πο απ ότητα που έχει διάσταση c. Άρα, το αρχικό πρόβ ηµα έχει απ οποιηθεί µια που η διάσταση του έχει µειωθεί. Το επόµενο θεώρηµα ορίζει ότι η ευστάθεια του στατικού σηµείου του αρχικού δυναµικού συστήµατο καθορίζεται από την ευστάθεια των στατικών σηµείων τη Εξ. (4.4). Jeÿrhma 4.2 Ac jewrăsoume ìti h mhdenikă lôsh thc Ex. (4.4) eðnai eustajăc (asumptwtikĺ eustajăc) (astajăc). Tìte h mhdenikă lôsh thc Ex. (4.3) eðnai eustajăc (asumptwtikĺ eustajăc) (astajăc). Τώρα που γνωρίζουµε ότι η κεντρική πο απ ότητα υπάρχει και η ευστάθεια του αρχικού συστήµατο καθορίζονται από την ευστάθεια του συστήµατο µειωµένη διάσταση επί τη κεντρική πο απ ότητα, α περιγράψουµε ένα α γόριθµο για τον υπο ογισµό τη ανα υτική µορφή τη Εξ. (4.4). Η κεντρική πο απ ότητα θα δίνεται από, y = h(x). (4.5) ιαφορίζοντα ω προ το χρόνο έχουµε, Αντικαθιστώντα τη Εξ. (4.5) στην Εξ. (4.3) έχουµε, ẏ = D x h(x)ẋ. (4.6) ẋ = Ax + f(x, h(x)), ẏ = Bh(x) + g(x, h(x)). (4.7) Τέ ο, αντικαθιστώντα την Εξ. (4.7) στην Εξ. (4.6) προκύπτει, D x h(x)[ax + f(x, h(x))] Bh(x) g(x, h(x)) = 0, (4.8) όπου D x h(x) είναι ένα πίνακα µε στοιχεία hi x j. Αν ύσουµε την Εξ. (4.8) προκύπτει η ανα υτική µορφή τη h(x), δη αδή µπορούµε να γράψουµε ανα υτικά την Εξ. (4.4). υστυχώ, η Εξ. (4.8) είναι µία ηµι-γραµµική διαφορική εξίσωση µε µερικέ παραγώγου, η οποία είναι πο ύ δύσκο ο να υθεί για του αγνώστου h(x).