APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016
OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități condiționate
TEORIA PROBABILITĂŢILOR Are ca obiect de studiu legile care se manifestă în domeniul fenomenelor întâmplătoare, cu caracter de masă care pot apărea în diferite arii de interes natură, societate, biologie, medicină, etc.
DEFINIŢIE Prin experiment aleator se înţelege realizarea practică a unui complex de condiţii corespunzătoare unui criteriu de cercetare al diferitelor colectivităţi, care aplicat unei entităţi a colectivităţii are un rezultat întâmplător Un experiment poate fi definit şi ca un proces de colectare a datelor dintr-o populaţie
EXEMPLE DE EXPERIMENTE Determinarea statusului de a fi seronegativ sau seropozitiv Determinarea grupei sangvine Determinarea prezenţei sau absenţei unui factor de risc fumat, obezitate, etc.
DEFINIŢII Aplicarea experimentului asupra unui element al colectivităţii se numeşte probă Rezultatul unei probe constituie un eveniment Evenimentul care apare ca rezultat al unei singure probe (sau încercări) se numeşte eveniment elementar
DEFINIŢIA CLASICĂ A PROBABILITĂŢII Presupunându-se că toate probele posibile ale unui experiment sunt la fel de verosimile, probabilitatea de apariţie a unei probe prin efectuarea experimentului este egală cu raportul dintre numărul de moduri în care această probă se poate realiza la numărul total de probe pe care experimentul le poate genera
DEFINIŢIA CLASICĂ A PROBABILITĂŢII Dacă un eveniment A se poate realiza în s probe dintr-un total de n încercări echiprobabile pe care experimentul le poate produce, atunci probabilitatea evenimentului A se poate defini prin formula: = s n
PROBLEMĂ: Care este probabilitatea ca, alegând la întâmplare o persoană dintr-o comunitate, ea să aibă grupa sangvină 0? Grupa Probabilitatea sangvina 0 0,42 A 0,43 B 0,11 AB 0,04
DEFINIŢIA AXIOMATICĂ A PROBABILITĂŢII Fie H un experiment aleator pentru care E reprezintă mulţimea tuturor rezultatelor posibile. E se numeşte mulţime fundamentală sau spaţiu fundamental. Orice submulţime A a lui E se numeşte eveniment. Dacă A are doar un singur element din E, evenimentul este considerat eveniment elementar Orice eveniment a cărui realizare depinde de cel puţin două evenimente este un eveniment compus
EVENIMENTE - MULŢIMI Spaţiul fundamental mulţimea tuturor mulţimilor Evenimente părţi ale mulţimii
DEFINIŢIA AXIOMATICĂ A PROBABILITĂŢII Mulţimea vidăø şi mulţimea fundamentală E sunt sunt şi ele evenimente, şi anume evenimentul imposibil şi respectiv evenimentul cert
OPERAŢII CU EVENIMENTE Reuniunea A U B Intersecţia A Contrarul evenimentului A non A Evenimente incompatibile Evenimente compatibile Implicarea evenimentelor
DEFINIŢIA AXIOMATICĂ Fie E un spaţiu fundamental asociat unui experiment H şi Ω mulţimea tuturor evenimentelor, adică mulţimea părţilor lui E. Se spune că funcţia Pr:Ω R este o funcţie de probabilitate, iar prin P(A) se notează probabilitatea evenimentului A, dacă satisface următoarele axiome: 0 P(A) 1, oricare ar fi A din Ω P(E)=1 Dacă A şi B sunt incompatibile, atunci P(AUB) = P(A)+P(B)
NOTAŢII Evenimentul se notează între acolade Exemplu A={vârsta unei persoane este mai mică de 20 ani} Probabilitatea este o valoare P(A)=x
PROPRIETĂŢI Dacă A 1, A 2,..., A n sunt evenimente incompatibile două câte două atunci P(ø)=0 P(non A) = 1-P(A)
PROPRIETĂŢI Pentru orice evenimente A şi B are loc egalitatea
EVENIMENTE INDEPENDENTE Două evenimente A şi B se numesc independente dacă şi numai dacă Această proprietate se mai numeşte şi regula de înmulţire a probabilităţilor
EVENIMENTE DEPENDENTE Două evenimente A şi B se numesc dependente dacă
PROBABILITĂŢI CONDIŢIONATE Dacă A şi B sunt două evenimente arbitrare, prin probabilitatea condiţionată a lui A de către B, notată P(A B), se înţelege probabilitatea de a se realiza evenimentul A dacă în prealabil s-a realizat evenimentul B. Prin definiţie
REGULA DE CALCUL A PROBABILITĂŢII INTERSECŢIEI A DOUĂ EVENIMENTE Fiind date două evenimente A şi B
APLICAŢII Pentru studiul agregării familiale a HTA s-a determinat probabilitatea HTA la bărbaţi P(A)=0,2 şi la femei P(B)=0,1 Care este probabilitatea de a avea o familie de hipertensivi (ambii soţi să aibă hipertensiune)? Pentru studiul agregării familiale a HTA s-a determinat probabilitatea HTA la mamă P(A)=0,1, la primul copil P(B)=0,2 si frecvenţa apariţiei HTA la copiii cu mama afectată de HTA Pr(AB) = 0,5 Există o relaţie de cauzalitate între HTA la mamă şi cea la copil?
FORMULA LUI BAYES Se consideră două evenimente A şi B care nu sunt independente. Atunci Pr(A B) Pr(B Pr(B A) Pr(A) A) Pr(A) Pr(B nona) Pr(nonA)
APLICAŢII Se ştie că într-o ţară 60% din populaţie trăieşte în mediul urban, 20% din populaţie este alergică şi 55% dintre alergici trăiesc în mediul urban. Care este probabilitatea ca alergând la întâmplare o persoană din mediul urban, ea să fie alergică?
REZOLVARE Fie A evenimentul ca o persoană să fie alergică, iar U evenimentul ca o persoană să locuiască în mediul urban. P(A) = 0,2 ; P(U)=0,6; alegand la întâmplare o persoană din populaţia alergică ea să locuiască în oraş - U A P(U A)=0,55 alegând la întâmplare o persoană ce locuieşte în oraş, ea să fie alergică - A U Pr( A/ U ) Pr( U / A) Pr( A) Pr( U ) 0,550,2 0,6 11 60 0,18
DEFINIŢII Fie T un test diagnostic şi B o boală Un fals pozitiv este o persoană care pentru care testul este pozitiv dar care nu are boala Un fals negativ este o persoană pentru care testul este negativ dar care are boala
TABEL DE CONTINGENŢA Afecţiunea / Testul T Test pozitiv non (T) Test negativ B bolnavi non(b) sănătoşi Total a (AP) b (FP) a+b c (FN) d (AN) c+d Total a+c b+d n
SENSIBILITATE Probabilitatea, notată cu Se, de a obţine un test pozitiv, ştiind că testul este aplicat unei persoane care posedă afecţiunea, se numeşte sensibilitatea testului se exprimă cu ajutorul unei probabilităţi condiţionate: Se Pr( T / B) AP AP FN a a c a n a c n Pr( T B) Pr( B) Afecţiunea / Testul B bolnavi non(b) Fără afecţiunea B Total T Test pozitiv non (T) Test negativ a (AP) b (FP) a+b c (FN) d (AN) c+d Total a+c b+d n
SPECIFICITATE Pentru caracterizarea unui test diagnostic se utilizează şi specificitatea testului care se defineşte prin probabilitatea de a obţine un test negativ pentru o persoană care nu posedă afecţiunea (probabilitate condiţionată): Sp Pr( non( T ) / non( B)) AN FP AN d b d d n b d n Pr( nont nonb) Pr( nonb) Afecţiunea / Testul B bolnavi non(b) Fără afecţiunea B Total T Test pozitiv non (T) Test negativ a (AP) b (FP) a+b c (FN) d (AN) c+d Total a+c b+d n
VALOARE PREDICTIVĂ POZITIVĂ este probabilitatea ca un test pozitiv să indice o persoană cu afecţiunea B: VPP Pr( B / T) Pr( T B) Pr( B) AP AP FP a a b Afecţiunea / Testul B bolnavi non(b) Fără afecţiunea B Total T Test pozitiv non (T) Test negativ a (AP) b (FP) a+b c (FN) d (AN) c+d Total a+c b+d n
VALOARE PREDICTIVĂ NEGATIVĂ este probabilitatea ca un test negativ să indice o persoană fără afecţiune: VPN Pr( nonb / nont) Pr( nonb nont) Pr( nont) AN FN AN c d d Afecţiunea / Testul B bolnavi non(b) Fără afecţiunea B Total T Test pozitiv non (T) Test negativ a (AP) b (FP) a+b c (FN) d (AN) c+d Total a+c b+d n
FIE A O MALADIE ŞI B UN SEMN VPP Pr( A B) VPN Sensibilitate Pr( A B) Pr( B A) Pr(A B) Pr(B Pr(B A) Pr(A) A) Pr(A) Pr(B nona) Pr(nonA) Specificitate Pr( B A) VPP VPN sensibilitate prevalenta sensibilitate prevalenta (1 specificitate ) (1 prevalenta) specificitate (1 prevalenta) specificitate (1 prevalenta) (1 sensibilitate) prevalenta
APLICAŢIE În farmacii s-au introdus sisteme automate de determinare a bolii hipertensive. Un astfel de sistem clasifică 84% din hipertensivi şi 23% din normotensivi ca avand HTA. Dacă 20% din populaţia adultă are HTA care sunt VPP şi VPN ale acestei maşini? Sensibilitatea = 0,84 Specificitatea = 1 0,23 = 0,77 VPP=0,84x0,2/(0,84x0,2+0,23x0,8)=0,168/0,352=0,48 VPN=0,77x0,8/(0,77x0,8+0,16*0,2)=0,616/0,648=0,95 VPP VPN sensibilitate prevalenta sensibilitate prevalenta (1 specificitate ) (1 prevalenta) specificitate (1 prevalenta) specificitate (1 prevalenta) (1 sensibilitate) prevalenta