ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού ή και το Α, αν αυτό δεν αποτελείται από ένωση διαστημάτων, με. και Στη συνέχεια με διαδοχικές συνεπαγωγές προσπαθούμε να σχηματίσουμε τα. Αν, τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, ενώ αν, η είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι παρακάτω συναρτήσεις: α) () β) () 5 γ) () (Απ: α) στο,,β) στο γ) στο, ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις α) () 5 β) () γ) () 5 δ) () ε) () 6 8 (Απ: α) στο,,β) στο, γ) στο δ) στο, και στο, ε) στο, και στο, ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις α) () β) () γ) () δ) () ε) (), στ) (), (Απ: α) στο, και στο,,β) στο, και στο, γ) στο δ) στο,0 και στο0, ε) στο, στ) στο, ) 4. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες στο., 0 4, α) () β) (), 0 6 9, (Απ:α) στο,β) στο ) 5. Δίνονται δύο συναρτήσεις,g γνησίως μονότονες στο. Να αποδείξετε ότι: α) Αν οι, g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας τότε και η g έχει το ίδιο είδος μονοτονίας β) Αν οι, g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας τότε η og (αν ορίζεται) είναι γνησίως

αύξουσα. γ) Αν οι, g δεν έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας τότε η og είναι φθίνουσα. δ) Αν η είναι γνησίως αύξουσα και η g γνησίως φθίνουσα, τότε η g είναι γνησίως φθίνουσα. 6. Δίνεται συνάρτηση περιττή και γνησίως αύξουσα στο. Να αποδείξετε ότι 0 για κάθε 0 0 για κάθε 0. και 7. Δίνεται συνάρτηση άρτια στο και γνησίως αύξουσα στο,. Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. 8. Έστω συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι: () () για κάθε, με. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο. 9. Έστω συνάρτηση γνησίως μονότονη στο με Να αποδείξετε ότι,. 0. Έστω συνάρτηση γνησίως μονότονη στο με για κάθε. για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α) η είναι γνησίως φθίνουσα β) η είναι περιττή 0 για κάθε 0 0 για κάθε 0 γ) και. Δίνεται συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο για την οποία ισχύει ότι για κάθε 5. Να αποδείξετε ότι,.. Δίνεται συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο για την οποία ισχύει ότι g για κάθε. Να αποδείξετε ότι g g για κάθε.. Έστω συνάρτηση : είναι γνησίως αύξουσα. 5 με για κάθε. Να αποδείξετε ότι η 4

0η Κατηγορία: ΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΗΣ ή α, κάνουμε τα εξής: χ για την οποία 0 α μετατρέπετε στην 0 ή 0. Για να λύσουμε μία ανίσωση της μορφής - Βρίσκουμε μία προφανή τιμή του 0 - Βρίσκουμε τη μονοτονία της. - Aν η είναι γνησίως αύξουσα, τότε για να είναι για να είναι 0, ισχύει ότι 0 Aν η είναι γνησίως φθίνουσα, τότε για να είναι 0 να είναι 0 ισχύει ότι. 0 7 4. Δίνεται η συνάρτηση () 4. α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία, 4. β) Να λυθεί η ανίσωση: 5. Δίνεται η συνάρτηση () 5,. I. Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία. () 7. II. Να λύσετε την ανίσωση 6. Δίνεται η συνάρτηση 7 () 5. α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία, β) Να λύσετε την ανίσωση: ( ) 4 6. και η ανίσωση 0, ισχύει ότι, ενώ 0 ισχύει ότι, ενώ για 0 (Απ: Ι. (Απ: α) 7. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι 5 για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Να λύσετε την ανίσωση 8. Έστω συνάρτηση : για την οποία ισχύει α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. β) Να αποδείξετε ότι 0. και γ) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i. ii. 0 iii. (Απ: α) στο β) 0 ) στο ΙΙ. (0,+) ) στο β) (0,+) ) (Απ:,0, ) για κάθε. iv. 4 0 (Απ: γ)i.,, ii., iii., iv., ) 5

9. Έστω συνάρτηση : για την οποία ισχύει α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. β) Να αποδείξετε ότι. 0 0 και γ) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: 0 ii. i. iii. για κάθε. 0 iv. 4 0 (Απ: γ)i. 0, ii., iii., iv., 40. Δίνεται γνησίως φθίνουσα συνάρτηση : o o. Να λύσετε την ανίσωση 4. Αν η συνάρτηση : είναι γνησίως αύξουσα, να λύσετε την ανίσωση o o ) (Απ:, ) (Απ:, ) 4. Να λύσετε την ανίσωση:, 0, (Απ. 0, ) 4. Να αποδείξετε ότι για κάθε, 0, με ισχύει ότι:. η Κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Αν η έχει σύνολο τιμών [m,μ], τότε έχει ολικό ελάχιστο το m και ολικό μέγιστο το Μ. Αν θέλουμε να βρούμε μόνο το ελάχιστο ή μόνο το μέγιστο της τότε με διαδοχικές ισοδυναμίες προσπαθούμε να κατασκευάσουμε τις ανισώσεις () m ή () M αντίστοιχα. Πρέπει να βρίσκουμε και για ποιες τιμές του η παρουσιάζει το ακρότατο λύνοντας την εξίσωση ()=m ή ()=Μ αντίστοιχα. 44. Να βρείτε το ακρότατο των παρακάτω συναρτήσεων: 6 α) () β) () 4 5 γ) () 4 (Απ :α) min για,β) ma για=,γ) min για ) 45. Να βρείτε τα ακρότατα καθώς και τις θέσεις ακροτάτων της συνάρτησης (Απ : min για ) 6

46. Να βρείτε τα ακρότατα καθώς και τις θέσεις ακροτάτων της συνάρτησης. (Απ : min για 0,και ma για=ή-) 47. Να βρείτε τα ακρότατα καθώς και τις θέσεις ακροτάτων της συνάρτησης. (Απ. min 0 για και ma 4 για ) 48. Να βρείτε τα ακρότατα καθώς και τις θέσεις ακροτάτων της συνάρτησης. (Απ: η έχει μέγιστο το για 0 και ελάχιστο το για ) 49. Να προσδιοριστεί η τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η συνάρτηση () έχει ελάχιστο το. 50. Δίνεται η συνάρτηση () ελάχιστο το.,, (Απ:, ). Να βρείτε το λ, ώστε η να έχει 5. Να βρεθεί σημείο της ευθείας : y του οποίου το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεών του από τους άξονες είναι ελάχιστο. 5. Να βρείτε σημείο της ευθείας : y 4 του οποίου το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεών του από τους άξονες είναι ελάχιστο. (Απ: 4 ) (Απ: (-,) ) (Απ: (, ) ) 5. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ,λ για τους οποίους η συνάρτηση κ λ () να έχει μέγιστη τιμή το και ελάχιστη το. (Απ: 4, ) 4 λ 54. Δίνεται η συνάρτηση: (). Να βρείτε το, αν είναι γνωστό ότι η έχει ελάχιστο το min, μέγιστο το ma, για τα οποία ισχύει min ma. (Απ: ) 7

η Κατηγορία: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Αρχικά βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της. Στη συνέχεια Θέτουμε () y και λύνουμε την εξίσωση ως προς βάζοντας περιορισμούς για το y. Απαιτούμε να ισχύουν για το αποτέλεσμα οι αρχικοί περιορισμοί του. Τέλος συναληθεύουμε τους περιορισμούς που έχουν προκύψει για το y και βρίσκουμε το σύνολο τιμών της. Αν κάνοντας τη προηγούμενη διαδικασία βρούμε τριώνυμο ως προς χ, τότε επειδή το τριώνυμο θα έχει τουλάχιστον μία λύση στο, απαιτούμε 0 και από αυτή τη σχέση βγάζουμε τους περιορισμούς για το y. 55. Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: α) () β) () γ) () (Απ: α) A,β) (A) [0,),γ) (A) 5, ) 56. Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: α) () β) () γ) () 9 δ) () 5 (Aπ: α) -{}, ) [0,+), γ) 0,, δ) [,7] ) 57. Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων: α) 6 7, β) (). (Απ:α) [-,+), β) [-, ] ) 58. Δίνεται η συνάρτηση: (). Να βρείτε το, β, αν είναι γνωστό ότι η έχει σύνολο τιμών το διάστημα 0,. (Απ: α=, β= ) 59. Δίνεται η συνάρτηση (). Να βρεθούν τα α,β, αν είναι γνωστό 4 ότι η έχει σύνολο τιμών το διάστημα,. (Απ:, 4 ) 8

η Κατηγορία: - Για να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι - σε ένα διάστημα Δ, χρησιμοποιούμε κάποιον από τους παρακάτω τρόπους: - Έστω, Δ με ()(). Στην τελευταία σχέση κάνουμε όλες τις πράξεις και καταλήγουμε στο. - Έστω, Δ με. Με διαδοχικές συνεπαγωγές επιδιώκουμε να καταλήξουμε στη σχέση () (). - Αποδεικνύουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο Δ, οπότε είναι και -. Μη αντιστρέψιμη Για να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση δεν είναι αντιστρέψιμη, αρκεί να δείξουμε ότι δεν είναι - με κάποιον από τους παρακάτω τρόπους: Μέσω παρατήρησης βρίσκουμε, D με τέτοια ώστε () (). Υποθέτουμε ότι () () και με διαδοχικές συνεπαγωγές κατασκευάζουμε το γινόμενο Π, 0. Τότε ή Π, 0 (). Αν στην () θέσουμε α, και προκύψει β α, τότε () () και η δεν είναι αντιστρέψιμη. Αν δίνεται η C, τότε αποδεικνύουμε ότι υπάρχει οριζόντια ευθεία που τέμνει τη σε περισσότερα από ένα σημεία. 60. Να αποδειχθεί ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι -. α) () β) () γ) (). 6. Να εξετάσετε αν είναι - οι παρακάτω συναρτήσεις : α) () β) () γ) () δ) () ε) 4 () στ) () 5 ζ) 6. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο Να αποδείξετε ότι η είναι -., 0., 0 (Απ: είναι β,γ,δ,ε) C 6. Να εξετάσετε αν είναι - οι παρακάτω συναρτήσεις:,, 0 α) () β) (),, 0 (Απ: είναι η α) 9

64. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις δεν είναι αντιστρέψιμες: 4 α) () β) () 65. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: () () κάθε.να αποδείξετε ότι: α) η αντιστρέφεται, β) η C διέρχεται από το σημείο A,. 66. Δίνεται συνάρτηση : με (o)() (), να δείξετε ότι : α) η αντιστρέφεται β) η C διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 67. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: ( )() () για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α) η αντιστρέφεται β) η γραφική παράσταση της διέρχεται από την αρχή των αξόνων. για 68. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει:. α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται. β) Η C διέρχεται από την αρχή των αξόνων. () () για κάθε 69. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: () 4() για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α) η αντιστρέφεται, β) η C διέρχεται από το σημείο A,. 70. Δίνονται οι συναρτήσεις,g : κάθε. Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται. 5 για τις οποίες ισχύει go 4 για 7 7. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: () 9 6() για κάθε. Να αποδείξετε ότι η δεν είναι αντιστρέψιμη 7. Αν : με () 4() 5 για κάθε, να δείξετε ότι η δεν είναι αντιστρέψιμη. 7. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: ( )() 4 για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α) (). 4 β) η συνάρτηση g()( ) () 5 4, δεν είναι αντιστρέψιμη. 0

74. Δίνεται συνάρτηση : με (oo)() 4 6, να αποδείξετε ότι : α) β) η συνάρτηση g() () 5, δεν είναι αντιστρέψιμη. 75. Αν : με (oo)(), να αποδείξετε ότι : α) 4 β) η συνάρτηση g() 4 (), δεν είναι αντιστρέψιμη. 76. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: ( ) ( ) () για κάθε. Να αποδείξετε ότι η δεν είναι αντιστρέψιμη. 77. Δίνεται συνάρτηση : είναι αντιστρέψιμη. με. Να αποδείξετε ότι η δεν 78. Έστω συνάρτηση για την οποία ισχύει : και 4 για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η είναι β) Να βρείτε την συνάρτηση. (Απ:β) () 5, ) 79. Έστω οι συναρτήσεις,g : για τις οποίες ορίζεται η συνάρτηση go. Να αποδείξετε ότι: α) Αν η go είναι αντιστρέψιμη, τότε η είναι αντιστρέψιμη. β) Αν οι,g είναι αντιστρέψιμες, τότε και η go είναι αντιστρέψιμη. 80. Έστω,g δύο συναρτήσεις γνησίως μονότονες στο με το ίδιο είδος μονοτονίας. Αν o g και gog, να αποδείξετε ότι g. 8. Έστω οι συναρτήσεις,g :, για τις οποίες ισχύει ότι: για κάθε. Να αποδείξετε ότι g και g. og go 8. Δίνονται οι αντιστρέψιμες συναρτήσεις,g : για τις οποίες ισχύει: ( g)()(g )() για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α) (g )()( g)() β) (g )()( g)() γ) (g )()( g)().

4η Κατηγορία: ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Για να λύσουμε μία εξίσωση, στην οποία δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κάποια από τις μεθόδους που μάθαμε στις προηγούμενες τάξεις, κάνουμε τα εξής: Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος και η εξίσωση γίνεται της μορφής ()=0. Μέσω παρατήρησης, βρίσκουμε μία προφανή ρίζα 0 της. Αποδεικνύουμε ότι η είναι -, οπότε το 0 είναι η μοναδική ρίζα της. Αν τα δύο μέλη της εξίσωσης είναι συνθέσεις της ίδιας συνάρτησης, τότε ορίζουμε ως τη συνάρτηση αυτή και αποδεικνύουμε ότι η είναι -. Τότε η εξίσωση γίνεται : g() h() g() h()... 8. Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση: 7 9 0 (Απ.: ) 84. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 5 5 α) β) e e (Απ.: α) β) ) 4 85. Δίνονται οι συναρτήσεις,g :, όπου η είναι - και για τις οποίες ισχύει: g g g για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. g g 6. β) Να λύσετε την εξίσωση 86. Δίνεται η συνάρτηση : α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται. β) Να αποδείξετε ότι η γ) Να λύσετε την εξίσωση (). 87. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: C διέρχεται από το σημείο A, (Απ.: ή ) () για κάθε.. για την οποία ισχύει: α) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη, 4,. β) Να λύσετε την εξίσωση (Απ.: γ) ) () (),. (Απ.: β) ) 88. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: ( y) () (y),y. Να αποδείξετε ότι: α) Αν η εξίσωση () 0 έχει μοναδική ρίζα τότε η είναι. β) Αν η C τέμνει την y το πολύ σε ένα σημείο τότε η συνάρτηση g() () είναι αντιστρέψιμη. για κάθε

89. Δίνεται συνάρτηση :,y.να αποδείξετε ότι: α) 0 0 για την οποία ισχύει: y y β) η είναι περιττή., για κάθε γ) Αν η έχει μοναδική ρίζα το 0, τότε η είναι αντιστρέψιμη και ισχύει: y y,,y. 5η Κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ Για να βρούμε την αντίστροφη μίας συνάρτησης, ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Αποδεικνύουμε ότι η είναι -. Λύνουμε την εξίσωση () y ως προς. Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της. Θέτουμε () y και αλλάζουμε μεταβλητές (όπου y το και αντίστροφα). 90. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τις αντίστροφες των παρακάτω συναρτήσεων: α) () β) () γ) () δ) () (Απ.: α) (),,β) ( ), γ), (), 9. Να βρείτε τις αντίστροφες των παρακάτω συναρτήσεων: α) () 6 0, β) () 4, 9. Δίνεται η συνάρτηση την. (Απ.: α) (), δ) (),, β), ),, ). Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να ορίσετε, (Απ.:, ) 9. Δίνεται συνάρτηση : με () 5() 0, να αποδείξετε ότι : α) η αντιστρέφεται β) να βρείτε την 5, ) (Απ.:

94. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται. β) Να βρείτε την. () () για κάθε. (Απ.: β) ) ( ) ( ), 95. Να βρείτε, αν υπάρχει, η αντίστροφη των παρακάτω συναρτήσεων : 6 5,, 0 α) β), >, 0 4, 4 (Απ.: α), 4 ) 96. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: () () 0 για κάθε. α) Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται. β) Να βρείτε την. (Απ.: (), ) 97. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: 4 5 και ( )() 8 5 για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται. β) Να βρείτε τον τύπο της. (Απ.: β) 5, ) 98. Δίνεται η συνάρτηση : () 64 6 για κάθε. για την οποία ισχύει: () 4 α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται β) Να βρείτε το τύπο της. (Απ.: β) ( ) 6 5, ) 99. Δίνεται αντιστρέψιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει () 6. Να βρείτε το (6) και να λύσετε την εξίσωση: (). 00. Έστω οι συναρτήσεις,g : για τις οποίες ισχύει: και (Απ.: g 5 για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι αν η είναι γνησίως αύξουσα, τότε η g είναι γνησίως φθίνουσα στο. γ) Αν οι,g είναι ίσες, να εκφράσετε την συνάρτηση της. (Απ.: γ) 5 6 ), ) 4

0. Έστω () 4 4. α) Να δείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το 9 β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των C και C. (Απ.:α),,β),0 ) 0. Δίνεται συνάρτηση : γνησίως μονότονη που η γραφική της παράσταση,4 6,. διέρχεται από τα σημεία και α) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 4 β) Να λύσετε την ανίσωση ( 5). 0. Δίνεται η συνάρτηση 5 (),. α) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη. 4 4 γ) Να λύσετε την ανίσωση β) Να λύσετε την εξίσωση 04. Δίνεται η συνάρτηση. 5 0 α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται. 64. β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Να λύσετε την εξίσωση 05. Δίνεται συνάρτηση :. για την οποία ισχύει ότι. α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται β) Να αποδείξετε ότι η έχει σύνολο τιμών το. 4 7. γ) Να λύσετε την εξίσωση 06. Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι. Α) Να αποδείξετε ότι: α) η έχει σύνολο τιμών το. β) η αντιστρέφεται k k Β) Να βρείτε k τέτοιο, ώστε 07. Να δείξετε ότι για κάθε > οι συναρτήσεις () (Απ.:α), ή,β) 9 ) (Απ.:β)., γ). ) γ). 64 ) (Απ: β). 0 για κάθε (Απ :γ). ) 0 04 για κάθε και (Απ:Β). 007 ) 006 g, η μια είναι αντίστροφη της άλλης και να λύσετε την εξίσωση. (Απ.: 0ή ) 5

08. 5 Δίνεται η συνάρτηση () 4 8,. α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται. β) Να βρείτε τα ( 8), (). γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των C,C. 09. Δίνεται η συνάρτηση 4,. α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. β) Να βρείτε την. γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των C,C. (Απ :β). (Απ. β). 0, γ) (,) ), 4 γ).,,, ), 4 0. Δίνεται η συνάρτηση 4 5,. α) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των C,C.. Δίνεται συνάρτηση : (Απ: α),β) ) για την οποία ισχύει: () () για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την β) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο. γ) Να λύσετε την εξίσωση () ().. Δίνεται συνάρτηση :. για την οποία ισχύει ότι: κάθε. α) Να βρείτε τα σημεία τομής της C με τον άξονα. β) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο. o για κάθε. γ) Να αποδείξετε ότι δ) Να βρείτε την. (Απ. β) να χρησιμοποιήσετε άτοπο γ). ) 0. () για, (Απ.: α),0 δ) ),. Δίνεται γνησίως μονότονη συνάρτηση : της οποίας η γραφική παράσταση B,4. διέρχεται από τα σημεία A,6 και α) Να αποδείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση. () 6. β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 5. (Απ.: β) 4,γ) 7 ) 6