Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης.... Ειαγωγή.... Απόδοη και Κίνδυνος....3 Διαφοροποίηη Χαρτοφυλακίων... 5.4 Το Αποτελεματικό Μέτωπο... 7.5 Τεχνικές Προδιοριμού Αποτελεματικών Μετώπων... 4.6 Συμπεράματα και Κριτικός Σχολιαμός... 30 Βιβλιογραφία... 39 Πολυκριτήριες Προεγγίεις ιαχείριης Χαρτοφυλακίων... 43. Ειαγωγή... 43. Το Μεθοδολογικό Πλαίιο της Πολυκριτήριας Ανάλυης... 45.. Στόχοι και γενική φιλοοφία του χώρου...45.. Σύντομη ιτορική αναδρομή...46..3 Βαικές έννοιες και μεθοδολογία...47..4 Κύρια θεωρητικά ρεύματα και ταξινόμηή τους...54.3 Πολυκριτήρια Ανάλυη και Χρηματοοικονομική Διοίκηη... 56.4 Πολυκριτηρια Ανάλυη και Διαχείριη Χαρτοφυλακίου... 6.4. Γενικό μεθοδολογικό πλαίιο και επικοπήεις...6.4. Πολυκριτήριος μαθηματικός προγραμματιμός...67.4.3 Πολυκριτήρια θεωρία χρηιμότητας...76.4.4 Θεωρία των χέεων υπεροχής...8.4.5 Αναλυτική-υνθετική προέγγιη...90
4 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ.4.6 Συνδυαμοί πολυκριτήριων μεθόδων...95.4.7 Συτήματα υποτήριξης αποφάεων...99.5 Συμπεράματα...03 Βιβλιογραφία...05 3 Η Προτεινόμενη Μεθοδολογία ιαχείριης Χαρτοφυλακίων... 9 3. Ειαγωγή...9 3. Η Γενική Μεθοδολογική Προέγγιη...30 3.3 Συνιτώα Ι: Επιλογή Μετοχικών Τίτλων...39 3.3. Γενική περιγραφή...39 3.3. Η μέθοδος ELECTRE Tr...4 3.3.3 Λόγοι επιλογής της μεθόδου ELECTRE Tr...47 3.3.4 Εναλλακτικές δρατηριότητες...49 3.3.5 Μοντελοποίηη κριτηρίων...5 3.3.6 Η μέθοδος τάθμιης των κριτηρίων...56 3.3.7 Κατηγορίες και καθοριμός κατωφλίων...60 3.3.8 Ανάλυη ευαιθηίας...6 3.3.9 Επικύρωη αποτελεμάτων...63 3.4 Συνιτώα ΙΙ: Βελτιτοποίηη Χαρτοφυλακίων...64 3.4. Γενική περιγραφή...64 3.4. Η μέθοδος ε-constrant...66 3.4.3 Η μέθοδος augmented ε-constrant (AUGMECO)...68 3.4.4 Μεταβλητές απόφαης...73 3.4.5 Αντικειμενικές υναρτήεις...74 3.4.6 Περιοριμοί...78 3.5 Συνιτώα ΙΙΙ: Αλληλεπιδρατική Διύλιη Χαρτοφυλακίων...80 3.6 Συνιτώα ΙV: Αξιολόγηη Χαρτοφυλακίων...83 3.6. Γενική περιγραφή...83 3.6. Η μέθοδος ELECTRE III...85 3.6.3 Μοντελοποίηη κριτηρίων...88 3.6.4 Η μέθοδος τάθμιης των κριτηρίων...9 3.6.5 Καθοριμός κατωφλίων...93 3.6.6 Ανάλυη ευαιθηίας...94 3.6.7 Επικύρωη αποτελεμάτων...94 3.7 Συμπεράματα...95 Βιβλιογραφία...96
Περιεχόμενα 5 4 Το Πληροφοριακό Σύτημα... 0 4. Ειαγωγή... 0 4. Γενικά Χαρακτηριτικά και Αρχιτεκτονική Συτήματος... 0 4.3 Υπούτημα Επιλογής Μετοχικών Τίτλων... 05 4.4 Υπούτημα Βελτιτοποίηης Χαρτοφυλακίων... 4.5 Υπούτημα Αλληλεπιδρατικής Διύλιης Χαρτοφυλακίων... 6 4.6 Υπούτημα Αξιολόγηης Χαρτοφυλακίων... 4.7 Συμπεράματα... 4 Βιβλιογραφία... 4 5 Εφαρμογή της Προτεινόμενης Μεθοδολογίας... 5 5. Ειαγωγή... 5 5. Tα Χαρακτηριτικά του Πεδίου Εφαρμογής... 6 5.3 Δεδομένα και Αποτελέματα... 30 5.3. Φάη η : Επιλογή μετοχικών τίτλων...30 5.3. Φάη η : Βελτιτοποίηη χαρτοφυλακίων...4 5.3.3 Φάη 3 η : Αλληλεπιδρατική διύλιη χαρτοφυλακίων.55 5.3.4 Φάη 4 η : Αξιολόγηη χαρτοφυλακίων...58 5.4 Συμπεράματα... 68 6 Προοπτικές... 7 Βιβλιογραφία... 7
Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης. Ειαγωγή Η παρουίαη του μεθοδολογικού πλαιίου μέου-διακύμανης αναπτύεται ε πέντε κύριους άξονες. Σε πρώτο χρόνο πραγματοποιείται η ενδελεχής ανάλυη των κριτηρίων τη βάη των οποίων θεμελιώνεται το πλαίιο. Έτι παρουιάζονται διεξοδικά οι έννοιες της απόδοης και του κινδύνου, τόο αναφορικά την περίπτωη μεμονωμένων χρεογράφων, όο και την περίπτωη χαρτοφυλακίων χρεογράφων. Η μελέτη του κινδύνου που ενωματώνεται ε ένα χαρτοφυλάκιο αναδεικνύει την αναγκαιότητα υιοθέτηης κατάλληλων τρατηγικών διαφοροποίηης, κατά την υλοποίηη μιας επενδυτικής πολιτικής. Για τον λόγο αυτό αναπτύεται τη υνέχεια η θεωρητική βάη πάνω την οποία είναι δυνατόν να τηριχθεί μια αποτελεματική τρατηγική διαφοροποίηης. Αμέως μετά παρουιάζονται οι πρωταγωνιτικές έννοιες του μεθοδολογικού πλαιίου, αυτή του αποτελεματικού χαρτοφυλακίου και αυτή του αποτελεματικού μετώπου. Η υζήτηη καλύπτει τόο την περίπτωη όπου επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις, όο και την περίπτωη που αυτές δεν επιτρέπονται. Επιπλέον, δίδεται ιδιαίτερη έμφαη την εξέταη των ιδιαίτερων χαρακτηριτικών της περίπτωης κατά την οποία το ακίνδυνο χρεόγραφο ειάγεται το φάμα επιλογών ενός επενδυτή. Κατόπιν, αναπτύονται λεπτομερώς οι κλαικές τεχνικές μαθηματικού προγραμματιμού της ύγχρονης θεωρίας χαρτοφυλακίου για τον προδιοριμό αποτελεματικών μετώπων, κάτω από διαφορετικές υποθέεις απαγόρευης ή μη των ανοικτών πωλήεων και δυνατότητας ή μη επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο.
ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Στην τελευταία ενότητα παρουιάζεται μια ολοκληρωμένη και ενδελεχής υμπεραματολογία, με βάη την ανάλυη και τις επιμέρους διαπιτώεις κάθε παραγράφου. Απόδοη και κίνδυνος χρεογράφων. Απόδοη και Κίνδυνος Για την αναμενόμενη απόδοη (expected return) ενός χρεογράφου, αναφορικά ε μια ειρά μελλοντικών χρονικών περιόδων, κατά τις οποίες οι αποδόεις αυτού θεωρούνται ιοδύναμα πιθανές θα ιχύει: M Rj R = M j= όπου R j η j -απόδοη του χρεογράφου. Όταν οι μελλοντικές αποδόεις του χρεογράφου δεν θεωρούνται ιοδύναμα πιθανές, για την αναμενόμενη απόδοη αυτού θα ιχύει: R M = R j j j= όπου j η πιθανότητα πραγματοποίηης της j -απόδοης του χρεογράφου. Ως μέτρο του κινδύνου που ενωματώνεται ε ένα χρεόγραφο, χρηιμοποιείται η διακύμανη της απόδοης (varance of returns) αυτού. Για τη διακύμανη της απόδοης ενός χρεογράφου, αναφορικά ε μια ειρά μελλοντικών χρονικών περιόδων, κατά τις οποίες οι αποδόεις αυτού θεωρούνται ιοδύναμα πιθανές θα ιχύει: M = j= ( R ) j R όπου R j η j -απόδοη του χρεογράφου και R η αναμενόμενη απόδοη αυτού. Όταν οι μελλοντικές αποδόεις του χρεογράφου δεν θεωρούνται ι- οδύναμα πιθανές, για την αναμενόμενη απόδοη αυτού θα ιχύει: M ( ) M = j Rj R j= όπου j η πιθανότητα πραγματοποίηης της j -απόδοης του χρεογράφου και R η αναμενόμενη απόδοη αυτού.
Κεφάλαιο : Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης 3 Έτω χαρτοφυλάκιο αποτελούμενο από το πλήθος χρεόγραφα. Για την j -απόδοη του χαρτοφυλακίου θα ιχύει: R = X R j j = όπου X είναι το ποοτό του κεφαλαίου που επενδύεται το χρεόγραφο και R j η j -απόδοη αυτού. Για την αναμενόμενη απόδοη του χαρτοφυλακίου θα ιχύει: R = E( R) = E XRj = E( XRj) = XR = = = όπου X είναι το ποοτό του κεφαλαίου που επενδύεται το χρεόγραφο και R η αναμενόμενη απόδοη αυτού. Αναφορικά την περίπτωη του κινδύνου, εξετάζοντας αρχικά την περίπτωη χαρτοφυλακίου αποτελούμενου από δυο χρεόγραφα θα ιχύει: = E( R R) ( ) ( ) ( ) E XRj XRj XR XR E X Rj R X R j R = + + = + = E X ( Rj R) XX( Rj R)( R j R) X ( R j R) + + = X E ( R R ) X X E ( R R )( R R ) X E ( R R ) + + = X + X X + X j j j j όπου, οι διακυμάνεις των αποδόεων των χρεογράφων και η υνδιακύμανη (covarance) μεταξύ αυτών. Αντίτοιχα, για τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου αποτελούμενου από τρία χρεόγραφα θα ιχύει: ( - ) = E R R = E XRj XR j X3R3j - ( XR XR X3R3) + + + + = E X( Rj -R) + X( Rj -R) + X3( R3j -R3) Απόδοη και κίνδυνος χαρτοφυλακίων
4 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ X ( - ) X ( - ) 3 ( 3-3) ( j )( j ) ( j )( j ) XX3( R j -R)( R3j -R3) E R j R R j R X R j R = + + + XX R -R R -R + XX R -R R -R + 3 3 3 = X E ( Rj -R) X E ( Rj -R) X3 E ( R3j -R3) + + + XXE ( Rj -R)( Rj -R) + XXE 3 ( Rj -R)( R3j -R3) + XX3E ( R j -R)( R3j R3) = X + X + X + X X + X X + X X 3 3 3 3 3 3 όπου,, 3 είναι οι διακυμάνεις των αποδόεων των χρεογράφων και, 3, 3 οι υνδιακυμάνεις μεταξύ αυτών. Για τη υνδιακύμανη μεταξύ δυο χρεογράφων και k για μια ειρά M χρονικών περιόδων θα ιχύει: k M = j= ( Rj R )( Rkj Rk ) Ένα εναλλακτικό και πιο τυποποιημένο μέτρο της υνδιακύμανης των α- ποδόεων μεταξύ δυο χρεογράφων, είναι ο υντελετής υχέτιης (correlaton coeffcent). Για δυο χρεόγραφα και k με υνδιακύμανη k και τυπικές αποκλίεις και k αντίτοιχα, ο υντελετής υχέτιης ρ είναι: k ρ k M k = Γενικεύοντας, ο κίνδυνος την περίπτωη ενός χαρτοφυλακίου αποτελούμενου από το πλήθος χρεόγραφα θα δίδεται από τη χέη: ( X ) ( X X ) = + j j j k jk j= j= k= k j k
Κεφάλαιο : Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης 5.3 ιαφοροποίηη Χαρτοφυλακίων Η αναµενόµενη απόδοη R ενός χαρτοφυλακίου είναι µια γραµµική υνάρτηη των αποδόεων των χρεογράφων που περιέχονται ε αυτό, ταθµιµένων µε τα ποοτά υµµετοχής του κάθε χρεογράφου το χαρτοφυλάκιο. Καθώς αυτή η υνάρτηη είναι γραµµική, εύκολα εξάγεται το υµπέραµα ότι η απόδοη του χαρτοφυλακίου δεν µπορεί να υπερβαίνει την απόδοη του πλέον αποδοτικού χρεογράφου του χαρτοφυλακίου και αντίτοιχα δεν µπορεί να είναι µικρότερη της απόδοης του λιγότερου α- ποδοτικού χρεογράφου του χαρτοφυλακίου. Σε αντίθεη όμως µε την απόδοη, ο κίνδυνος ενός χαρτοφυλακίου είναι µη γραµµική υνάρτηη των κινδύνων των χρεογράφων που περιέχονται ε αυτό. Για τον λόγο αυτό, η υνάρτηη του κινδύνου ενός χαρτοφυλακίου μελετάται τη υνέχεια διεξοδικά. Αρχικά εξετάζεται η περίπτωη όπου οι αποδόεις των χρεογράφων είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους, δηλαδή jk = 0 για κάθε ζεύγος χρεογράφων j και k. Στην περίπτωη αυτή ο κίνδυνος ενός χαρτοφυλακίου το οποίο αποτελείται από χρεόγραφα είναι: ( X ) = j j j= Αν υποτεθεί ότι το διαθέιμο κεφάλαιο ιοκατανέμεται μεταξύ των χρεογράφων του χαρτοφυλακίου ( X = X =... = X = ), για τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου θα ιχύει: j = j = j= j= Ο όρος εντός της παρένθεης είναι µια µέη τιμή η οποία αναπαριτά τη µέη διακύμανη j των αποδόεων των χρεογράφων του χαρτοφυλακίου. Έτι, η παραπάνω χέη γίνεται: = j Από την εξίωη αυτή προκύπτει ότι, καθώς η τιμή του αυξάνει, δηλαδή καθώς αυξάνει ο αριθμός των χρεογράφων που περιέχονται το χαρτοφυλάκιο, τότε ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου μειώνεται. Στην περίπτωη δηλαδή
6 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ενός καλά διαφοροποιημένου χαρτοφυλακίου, η ύνθεη του οποίου αποτελείται από χρεόγραφα με αυχέτιτες αποδόεις, ο κίνδυνος είναι δυνατόν να περιοριτεί ημαντικά. Στην πράξη βέβαια η υπόθεη περί αυχέτιτων αποδόεων μεταξύ των χρεογράφων δεν είναι ρεαλιτική. Στη υνέχεια εξετάζεται η γενική περίπτωη όπου j 0. Αν και την περίπτωη αυτή υποτεθεί ότι το διαθέιμο κεφάλαιο ιοκατανέμεται μεταξύ των χρεογράφων του χαρτοφυλακίου, για τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου θα ιχύει: j jk j= j= k= k j = + j jk = + j= j= k= ( ) k j Όπως επιημάνθηκε, ο πρώτος όρος εντός της παρένθεης αναπαριτά τη µέη διακύμανη των αποδόεων των χρεογράφων του χαρτοφυλακίου. Αντίτοιχα, και ο δεύτερος όρος εντός της παρένθεης είναι µια µέη τιμή η οποία αναπαριτά τη µέη υνδιακύµανη j των αποδόεων των χρεογράφων του χαρτοφυλακίου. Αυτό γίνεται αφές αν ληφθεί υπόψη ότι το πλήθος των όρων που εμπεριέχουν τη υνδιακύµανη είναι ( ). Συνεπαγόμενα, ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου µπορεί να εκφρατεί απλούτερα ως εξής: = j + jk = ( j jk) + jk Μέω των παραπάνω χέεων, γίνεται εμφανής η επίδραη της διαφοροποίηης (dversfcaton) τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου χρεογράφων. Όταν ο αριθμός των χρεογράφων που περιέχει ένα χαρτοφυλάκιο γίνει πολύ μεγάλος, ο κίνδυνος που προέρχεται από το κάθε χρεόγραφο ξεχωριτά ε- ξουδετερώνεται. Στην περίπτωη αυτή, η τιμή της διακύμανης του χαρτοφυλακίου ελαχιτοποιείται και γίνεται ίη με την μέη υνδιακύμανη των αποδόεων των χρεογράφων.
Κεφάλαιο : Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης 7.4 Το Αποτελεματικό Μέτωπο Οι κύριες έννοιες που δεπόζουν το μεθοδολογικό πλαίιο του υποδείγματος μέου-διακύμανης είναι αυτές του αποτελεµατικού χαρτοφυλακίου (effcent portfolo ή non domnated portfolo) και του αποτελεµατικού μετώπου (effcent fronter). Ένα χαρτοφυλάκιο ονομάζεται αποτελεματικό εάν και μόνο εάν δεν υπάρχει κανένα άλλο χαρτοφυλάκιο ' τέτοιο ώτε R ' R και ', με τουλάχιτον μια από τις δυο ανιότητες να είναι αυτηρή. ηλαδή, το χαρτοφυλάκιο είναι αποτελεματικό εάν και μόνο εάν δεν υπάρχει κανένα άλλο χαρτοφυλάκιο ' το οποίο να υπερτερεί έναντι του όον αφορά την απόδοη και τον κίνδυνο. Με βάη το Σχήμα., από τον παραπάνω οριμό προκύπτει ότι τα χαρτοφυλάκια A, B και C είναι αποτελεματικά, ενώ τα χαρτοφυλάκια D, E και F είναι μη-αποτελεματικά. Επιπλέον, κανένα χαρτοφυλάκιο δεν υπερέχει του χαρτοφυλακίου A, δηλαδή του χαρτοφυλακίου ελαχίτου κινδύνου, ή του χαρτοφυλακίου C, δηλαδή του χαρτοφυλακίου μέγιτης απόδοης. Απαγόρευη ανοικτών πωλήεων Σχήμα.: Αποτελεματικά και μη-αποτελεματικά χαρτοφυλάκια E(R ) C B D A F Ε
8 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Το ύνολο των αποτελεματικών χαρτοφυλακίων αποτελεί το αποτελεματικό μέτωπο. Στην περίπτωη όπου δεν επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις (short sales), το αποτελεματικό μέτωπο θα είναι μια καμπύλη η οποία ε- κτείνεται μεταξύ του χαρτοφυλακίου ελαχίτου κινδύνου ( mv ) και του MR (Σχήμα.). χαρτοφυλακίου μέγιτης απόδοης ( ) Σχήμα.: Το αποτελεματικό μέτωπο την περίπτωη που δεν επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις E(R ) MR mv Το αποτελεματικό μέτωπο είναι, ε κάθε περίπτωη, μια κοίλη υνάρτηη (concave functon) και δεν είναι δυνατόν να περιέχει κυρτά τμήματα (Σχήμα.3α), καθώς όπως ήδη επιημάνθηκε ο υνδυαμός χρεογράφων ή χαρτοφυλακίων χρεογράφων δεν είναι δυνατόν να υνεπάγεται μεγαλύτερο κίνδυνο από τον κίνδυνο που εκφράζεται μέω του ευθύγραμμου τμήματος το οποίο υνδέει τα υγκεκριμένα χρεόγραφα ή χαρτοφυλάκια (Σχήμα.3β).
Κεφάλαιο : Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης 9 Σχήμα.3: Αδύνατη μορφή αποτελεματικού μετώπου α β
0 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Μη απαγόρευη ανοικτών πωλήεων Όπως ήδη επιημάνθηκε, οι ανοιχτές πωλήεις αφορούν πωλήεις χρεογράφων τα οποία ο πωλητής δεν έχει την κατοχή του. Καθώς ο πωλητής δεν έχει την κατοχή του το χρεόγραφο, η χρηματιτηριακή εταιρία που αναλαμβάνει να διεκπεραιώει τη υναλλαγή, είτε δανείζεται το χρεόγραφο από κάποιον άλλον επενδυτή, είτε το δανείζει η ίδια προς τον πωλητή. Στο άμεο μέλλον ο πωλητής έχει την υποχρέωη να αγοράει το χρεόγραφο που πούληε χωρίς να κατέχει και να το επιτρέψει ε όποιον του το δάνειε. Ανοιχτές πωλήεις πραγματοποιούνται ε περιπτώεις όπου ο πωλητής ε- κτιμά ότι η τιμή του χρεογράφου θα είναι καθοδική και άρα πουλώντας το ήμερα ε υψηλότερη τιμή ε χέη με αυτή την οποία θα το επαναγοράει το μέλλον, θα έχει κέρδος από τη υναλλαγή. Στη βάη αυτής της τρατηγικής, ένας επενδυτής έχει τη δυνατότητα να πουλά ανοικτά χρεόγραφα των οποίων οι τιμές εκτιμά ότι θα κινηθούν καθοδικά και με τα κέρδη να αγοράζει χρεόγραφα των οποίων οι τιμές εκτιμά ότι θα είναι ανοδικές. Με τον τρόπο αυτό είναι επομένως δυνατόν να δημιουργηθούν χαρτοφυλάκια χωρίς πεπεραμένο άνω όριο απόδοης, την περίπτωη που οι προδοκίες του επενδυτή επαληθευτούν. Έτι, την περίπτωη όπου επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις, το αποτελεματικό μέτωπο θα είναι μια καμπύλη η οποία ξεκινώντας από το χαρτοφυλάκιο ελαχίτου κινδύνου ( mv ), θα εκτείνεται το άπειρο, καθώς δεν υ- πάρχει άνω όριο αναμενόμενης απόδοης (Σχήμα.4). Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουιάζει η μελέτη της περίπτωης κατά την οποία το ακίνδυνο χρεόγραφο (rsk-free securty) ειάγεται το φάμα επιλογών του επενδυτή. Στην περίπτωη αυτή, ο επενδυτής είτε δανείζει το επιτόκιο του ακίνδυνου χρεογράφου (rskless lendng) (π.χ. αγορά ενός εντόκου γραμματίου του δημοίου), είτε δανείζεται το επιτόκιο του ακίνδυνου χρεογράφου (rskless borrowng) (π.χ. ανοικτή πώληη ενός εντόκου γραμματίου του δημοίου). Έτω χαρτοφυλάκιο επικίνδυνων χρεογράφων A με αναμενόμενη απόδοη R A και το ακίνδυνο χρεόγραφο με απόδοη R F. Ο υνδυαμός των δυο παραπάνω επενδύεων ε ένα χαρτοφυλάκιο με ποοτά επένδυης X και X αντίτοιχα θα έχει απόδοη: R = XR + ( X) R A F
Κεφάλαιο : Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης Σχήμα.4: Το αποτελεματικό μέτωπο την περίπτωη όπου επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις Αντίτοιχα για την τυπική απόκλιη της απόδοης του χαρτοφυλακίου θα ιχύει: = X A + ( X) F + X( X) A Fρ AF / = X A = X A X = καθώς για την τυπική απόκλιη του ακίνδυνου χρεογράφου θα ιχύει F = 0. Με αντικατάταη την απόδοη του χαρτοφυλακίου προκύπτει: R = RA + ( ) RF A A RA R F R = RF + A A / Ειαγωγή του ακίνδυνου χρεογράφου
ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Από την παραπάνω χέη προκύπτει ότι το αποτελεματικό μέτωπο την περίπτωη της ειαγωγής του ακίνδυνου χρεογράφου θα είναι μια ευθεία η οποία τέμνει τον άξονα της απόδοης το ημείο (0, R F ) και διέρχεται από το ημείο ( A, RA) (Σχήμα.5). Διαφορετικά ημεία πάνω την ευθεία του αποτελεματικού μετώπου, αντιπροωπεύουν διαφορετικούς υνδυαμούς ποοτών επένδυης κεφαλαίου το ακίνδυνο χρεόγραφο και το χαρτοφυλάκιο επικίνδυνων χρεογράφων. Το τμήμα της ευθείας αριτερά του ημείου A περιλαμβάνει υνδυαμούς του χαρτοφυλακίου A και του ακίνδυνου χρεογράφου, όταν ο επενδυτής έχει το ρόλο του δανειτή. Αντίθετα, το τμήμα της ευθείας δεξιά του ημείου A περιλαμβάνει υνδυαμούς του χαρτοφυλακίου A και του ακίνδυνου χρεογράφου, όταν ο επενδυτής έχει το ρόλο του δανειζόμενου. Σχήμα.5: Το αποτελεματικό μέτωπο την περίπτωη της ειαγωγής του ακίνδυνου χρεογράφου Έτω τώρα η γενικότερη περίπτωη κατά την οποία το ακίνδυνο χρεόγραφο είναι δυνατόν να υνδυατεί με διάφορα χαρτοφυλάκια επικίνδυνων χρεογράφων πάνω ε ένα αποτελεματικό μέτωπο. Με βάη το Σχήμα.6, οι υνδυαμοί της ευθείας RF B, υπερέχουν έναντι των υνδυαμών των ευθειών RFC και RF D, καθώς για δεδομένο επίπεδο κινδύνου προφέρουν υψηλότερη απόδοη.
Κεφάλαιο : Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης 3 Σχήμα.6: Συνδυαμός του ακίνδυνου χρεογράφου με διάφορα χαρτοφυλάκια επικίνδυνων χρεογράφων Ένας επενδυτής ο οποίος αποτρέφεται τον κίνδυνο θα επιλέξει ένα χαρτοφυλάκιο πάνω το τμήμα RF B, τοποθετώντας ένα μέρος του κεφαλαίου του το ακίνδυνο χρεόγραφο και το υπόλοιπο το χαρτοφυλάκιο επικίνδυνων χρεογράφων B. Αντίθετα, ένας επενδυτής ο οποίος θα διαθέτει μεγαλύτερη ανοχή κινδύνου θα επιλέξει ένα χαρτοφυλάκιο πάνω το τμήμα RF H, δανειζόμενος το επιτόκιο του ακίνδυνου χρεογράφου και τοποθετώντας τόο το κεφάλαιο που έχει δανειτεί, όο και το αρχικό του κεφάλαιο το βέλτιτο χαρτοφυλάκιο επικίνδυνων χρεογράφων B. Σε κάθε περίπτωη όμως, όλοι οι επενδυτές, ανεξαρτήτως της ανοχής τους τον κίνδυνο, θα επιλέξουν να υνδυάουν το ακίνδυνο χρεόγραφο με το ίδιο ακριβώς χαρτοφυλάκιο επικίνδυνων χρεογράφων, δηλαδή το χαρτοφυλάκιο B. Η δυνατότητα καθοριμού του βέλτιτου χαρτοφυλακίου επικίνδυνων χρεογράφων την περίπτωη που υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο, χωρίς να απαιτείται γνώη για το προφίλ του ε- πενδυτή, εκφράζει ένα ιδιαίτερα ημαντικό θεώρημα το χώρο της χρηματοοικονομικής, το θεώρημα του διαχωριμού (separaton theorem).
4 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Μη απαγόρευη ανοικτών πωλήεων- Ύπαρξη ακίνδυνου χρεογράφου.5 Τεχνικές Προδιοριμού Αποτελεματικών Μετώπων Στην παράγραφο αυτή, παρουιάζονται οι τεχνικές για τον προδιοριμό των αποτελεματικών μετώπων, κατά τις περιπτώεις όπου:. Επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο.. Επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και δεν υπάρχει η δυνατότητα ε- πένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο.. Δεν επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και υπάρχει η δυνατότητα ε- πένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο. v. Δεν επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και δεν υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο. Όπως επιημάνθηκε, η ειαγωγή του ακίνδυνου χρεογράφου την ανάλυη υνεπάγεται την ύπαρξη ενός χαρτοφυλακίου επικίνδυνων χρεογράφων το οποίο θα προτιμάται έναντι όλων των άλλων. Ο προδιοριμός του αποτελεματικού μετώπου την περίπτωη όπου επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο, βαίζεται τη διαπίτωη ότι η ευθεία που υνδέει το ακίνδυνο χρεόγραφο με το βέλτιτο χαρτοφυλάκιο επικίνδυνων χρεογράφων είναι αυτή με τη μέγιτη κλίη (Σχήμα.7). Καθώς η κλίη μιας ευθείας η οποία υνδέει το ακίνδυνο χρεόγραφο με ένα χαρτοφυλάκιο επικίνδυνων χρεογράφων ιούται με τον λόγο της επιπρόθετης απόδοης (excess return) του χαρτοφυλακίου (δηλαδή της διαφοράς μεταξύ της αναμενόμενης απόδοης του χαρτοφυλακίου και της απόδοης του ακίνδυνου χρεογράφου) προς την τυπική του απόκλιη, η μαθηματική διατύπωη του προβλήματος για τον προδιοριμό του αποτελεματικού μετώπου έχει ως εξής: R RF Μεγιτοποίηη: θ = Υπό τον περιοριμό: = X =
Κεφάλαιο : Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης 5 Σχήμα.7: Προδιοριμός του αποτελεματικού μετώπου την περίπτωη που επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο Το παραπάνω πρόβλημα είναι ένα πρόβλημα μεγιτοποίηης υπό περιοριμούς, για την επίλυη του οποίου μπορούν να χρηιμοποιηθούν διάφορες τεχνικές, όπως η μέθοδος των πολλαπλαιατών Lagrange κλπ. Εναλλακτικά, ο περιοριμός του προβλήματος είναι δυνατόν να ενωματωθεί την αντικειμενική υνάρτηη και αυτή με τη ειρά της να μεγιτοποιηθεί ακριβώς όπως την περίπτωη ενός προβλήματος χωρίς περιοριμούς. Δεδομένου ότι: R = R = X R = X R ( ) F F F F = = η αντικειμενική υνάρτηη είναι δυνατόν να γραφεί ως εξής: θ = = ( ) X R R F X + XX jj = = j= j
6 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Τα ποοτά X k του κεφαλαίου που επενδύεται ε κάθε χρεόγραφο και για τα οποία μεγιτοποιείται η αντικειμενική υνάρτηη θ είναι δυνατόν να προδιοριτούν με επίλυη του υτήματος των εξιώεων που προκύπτει εάν ληφθούν όλες οι μερικές παράγωγοι θ X και τεθούν ίες με μηδέν: ( Rk R F ) X XX j + j + X( R RF ) ( R R ) θ X k = 0 = = j= = j 3 X XX j j Xkk X j + + kj = 0 = = j= j= j j k Θέτοντας: X ( R R ) + = 0 F = k F X kk X j kj j= X XX j j j + k = = j= j λ = ( ) X R R F = X + XX jj = = j= j από την τελευταία εξίωη προκύπτει: Rk RF λ Xkk + X j kj = 0 j= j k ( ) Ορίζοντας ως νέα μεταβλητή την: k F = λ kk + λ jkj j= j k R R X X Z k = λ X k k
Κεφάλαιο : Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης 7 από την προηγούμενη έκφραη προκύπτει: R R = Z + Z +... + Z +... + Z + Z Πιο αναλυτικά: F R R = Z + Z + Z +... + Z F 3 3 R R = Z + Z + Z +... + Z F 3 3 R R = Z + Z + Z +... + Z 3 F 3 3 3 3 3... R R = Z + Z + Z +... + Z F 3 Τα ποοτά X k του κεφαλαίου που επενδύεται ε κάθε χρεόγραφο προκύπτουν επιλύοντας το παραπάνω ύτημα για τις τιμές των Z, Z,..., Z και κάνοντας χρήη της χέης X = Z Z. k k = Στην περίπτωη όπου επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και δεν υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο, το αποτελεματικό μέτωπο προδιορίζεται και πάλι με εφαρμογή της μεθοδολογίας που παρουιάτηκε κατά την προηγούμενη περίπτωη. Για διάφορες τιμές της απόδοης του ακίνδυνου χρεογράφου, το οποίο υποθετικά θεωρείται ότι υπάρχει, υπολογίζονται τα αντίτοιχα βέλτιτα χαρτοφυλάκια, μέχρι να αρωθεί όλο ο αποτελεματικό μέτωπο (Σχήμα.8). Στην περίπτωη όπου δεν επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο, το πρόβλημα είναι και πάλι ανάλογο με αυτό της πρώτης περίπτωης όπου επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο. Η διαφορά έγκειται το ότι ένας νέος περιοριμός ενωματώνεται το πρόβλημα, καθώς πλέον δεν είναι δυνατόν να διατηρούνται αρνητικά ποοτά επένδυης ε κάποιο χρεόγραφο. Η μαθηματική διατύπωη του προβλήματος για τον καθοριμό του αποτελεματικού μετώπου την περίπτωη αυτή έχει ως εξής: R RF Μεγιτοποίηη: θ = Υπό τους περιοριμούς: = X = και X 0 Μη απαγόρευη ανοικτών πωλή- εων- Μη ύπαρξη ακίνδυνου χρεογράφου
8 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Σχήμα.8: Προδιοριμός του αποτελεματικού μετώπου την περίπτωη που επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και δεν υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο E(R ) B C R F3 A R F R F Απαγόρευη ανοικτών πωλήεων-ύπαρξη ακίνδυνου χρεογράφου Το παραπάνω πρόβλημα είναι ένα πρόβλημα τετραγωνικού προγραμματιμού (quadratc programmng), καθώς οι περιοριμοί είναι γραμμικοί, αλλά η αντικειμενική υνάρτηη περιέχει τους δευτεροβάθμιους όρους X και XX j. Για την επίλυη του προβλήματος αυτού γίνεται χρήη αλγορίθμων οι οποίοι βαίζονται τις υνθήκες Kuhn-Tucker (Kuhn-Tucker condtons). Η λογική χρηιμότητας των υνθηκών Kuhn-Tucker έχει να κάνει με το ότι εάν είναι δυνατόν να βρεθεί μια λύη η οποία να τις ικανοποιεί, τότε η λύη αυτή θα αντιτοιχεί το βέλτιτο χαρτοφυλάκιο. Στην αρχική περίπτωη κατά την οποία επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις και υπάρχει η δυνατότητα επένδυης το ακίνδυνο χρεόγραφο, η μέγιτη τιμή της αντικειμενικής υνάρτηης θ προκύπτει αν ληφθούν οι μερικές παράγωγοι θ X και τεθούν ίες με μηδέν. Η μέγιτη τιμή της αντικειμενικής υνάρτηης θ αναπαρίταται το Σχήμα.9α με το ημείο M.
Κεφάλαιο : Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης 9 Στην περίπτωη όπου δεν επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις ( X 0), το πρόβλημα που προκύπτει έχει να κάνει με το ότι η αντικειμενική υνάρτηη θ μπορεί να λάβει τη μέγιτη τιμή της για τιμές X που δεν ανήκουν το πεδίο οριμού της (δηλαδή για X < 0 ). Όπως φαίνεται και από το Σχήμα.9β, η μέγιτη τιμή που δύναται να λάβει η αντικειμενική υνάρτηη θ, ικανοποιώντας υγχρόνως τη υνθήκη περί απαγόρευης των ανοικτών πωλήεων, αναπαρίταται από το ημείο M '. Συνεπώς, όταν η μέγιτη τιμή της αντικειμενικής υνάρτηης θ παρατηρείται για X = 0, τότε θα ιχύει θ X < 0, ενώ όταν η μέγιτη τιμή της παρατηρείται για X > 0, τότε θα ιχύει θ X = 0. Γενικεύοντας, για την περίπτωη όπου δεν επιτρέπονται οι ανοικτές πωλήεις, θα ιχύει: θ 0 X για X 0 Σχήμα.9: Μεγιτοποίηη της αντικειμενικής υνάρτηης θ για τις διάφορες τιμές του ποοτού Χ του κεφαλαίου που ε- πενδύεται ε κάθε χρεόγραφο