ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Εποπτεία ) Πρόδρομος Π Ελευθερίου, Προϊστάμενος Επιστημονικής και Παιδαγωγικής Καθοδήγησης Δ/θμιας Εκπ/σης Β Αιγαίου - Σχολικός Σύμβουλος ΠΕ3 με έδρα τη Λέσβο ) Ιωάννης Ράλλης, Σχολικός Σύμβουλος ΠΕ3 με έδρα τη Σάμο
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 5 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν η f είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ f () = Μονάδες 8 Α Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο ε- σωτερικό του Δ Πότε λέμε ότι η f είναι κυρτή στο Δ; Α3 Να διατυπώσετε το θεμελιώδες θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Μονάδες 3 A4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α) Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει καμπή σε ένα σημείο o και είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, τότε f ( o)= β) Κάθε συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (α,β), έχει γ) Αν σύνολο τιμών το διάστημα lim f()=+ o και lim g()=+ o lim f(), lim f() + β α, τότε lim f () g() o δ) Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο o, τότε και η συνάρτηση g f είναι συνεχής στο o ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ε) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () για κάθε Δ, τότε η f διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ Μονάδες ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τις συναρτήσεις g() = και 4 h() = + Β Να αποδείξετε ότι: α) Υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της g (μονάδες 3) β) Για κάθε IR * ισχύει + +4 g h () = ( ) (μονάδες 3) Μονάδες 6 Αν f = g h, τότε : Β Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Μονάδες 6 Β3 Να αποδείξετε ότι για κάθε α(,) υπάρχει μοναδικό o(, ) για το οποίο ι- σχύει: f (α)+ f (α) f ( o)= 3 Β4 Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f Μονάδες 5 Β5 Nα βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y = +, =, = e ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε τις συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύουν: f ()d =e- Η g είναι κυρτή στο [,+ ) ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ f () g ()= e για κάθε [,+ ) Γ Να αποδείξετε ότι g () g() = Γ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g () = ' έχει μια μόνο ρίζα ξ, η οποία μάλιστα α- νήκει στο διάστημα (,) Γ3 Αν ξ είναι η ρίζα της εξίσωσης g () = α) Να αποδείξετε ότι : ', τότε: Μονάδες 5 για κάθε >ξ ισχύει f() > e και για κάθε <ξ ισχύει f() < e β) Να αποδείξετε ότι: ξ f() - e d = f() - e d, () (μονάδες 4) ξ (μονάδες 6) Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία της ισότητας (); (μονάδες ) Γ4 Να υπολογίσετε το όριο: lim ημ g () f () Μονάδες ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο IR η οποία έχει τις παρακάτω ιδιότητες: f () = f () για κάθε (, ) και f () f ()= 4 +ln για κάθε Δ Να αποδείξετε ότι : f () = Δ Να αποδείξετε ότι: α) ln ln για κάθε Μονάδες Μονάδες ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ β) 4 ln, f ()=, = Μονάδες 7 Αν η καμπύλη του παρακάτω σχήματος είναι η γραφική παράστασης της f στο διάστημα [-,], τότε: Δ3 α) Να βρείτε τα ακρότατα της f στο κλειστό διάστημα [-,] (μονάδες 4) β) Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού k, να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης k ln = που ανήκουν στο διάστημα [-, ] (μονάδες 3) Μονάδες 7 Δ4 α) Αφού δικαιολογήσετε ότι η f είναι άρτια, να αποδείξετε ότι: α f ()d α α f ()d, α > Μονάδες 3 β) Να αποδείξετε ότι, αν F είναι μια παράγουσα της f στο IR, τότε για κάθε β > ισχύει: F(β) F( ) f ()d ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους) Στο τετράδιό σας να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα) Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων α- μέσως μόλις σας παραδοθούν Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα 3 Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα 4 Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες 5 Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή 6 Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων 7 Χρόνος δυνατής αποχώρησης: :3 ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΕΣ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία σελ 5 Α Θεωρία σελ 73 Α3 Θεωρία σελ 334 Α4 Σ, Λ, Λ, Λ, Σ ΘΕΜΑ Β B) α) Είναι g (), οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα και β) Η Επίσης πεδίο ορισμού της g είναι το και σύνολο τιμών το lim g(), lim g(), Άρα η g αντιστρέφεται και η πεδίο ορισμού το και τύπο που βρίσκεται ως εξής : y y Άρα g () g h g έχει, έχει πεδίο ορισμού το * :h() * και τύπο 4 4 4 g h () g h() g 4 4 B) Είναι f (), (,) (, ) με f () Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα : f () + + + f () B3) Είναι α, άρα α, οπότε f(α) 5 f (α) Είναι α, οπότε f (α) 5 Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει f (α) f (α) 5 f (α) f (α) 5, 3 Όμως lim f () και lim f () 5 ΤΜ ΤΕ 3 5 f (, ) lim f (), lim f () (5, ), f (α) f (α) Επειδή f (, ) θα υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε να ισχύει: 3 f (α) f (α) f ( ) 3 Το είναι μοναδικό γιατί η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,) (Αποδεικνύεται και με τα θεωρήματα Bolzano και ενδιάμεσων τιμών) B4) Επειδή η f είναι συνεχής στο (,) (, ) και lim f () συμπεραίνουμε ότι η ευθεία είναι η μοναδική κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf
f () Επειδή lim και lim f (), η ευθεία ασύμπτωτη στο + και στο y B5) Είναι : ΘΕΜΑ Γ Γ) Είναι Γ) Γ3) α) Γ4) Είναι είναι πλάγια e e e e 4 4 4 e E d d d 4 d 4 ln 4 f() g () e () g() g() g () d f () e d f () d e d d e e d g() g() g() g() Όμως από το ΘΜΤ για τη g στο [,] έχουμε ότι g() g() υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε g (ξ) g (ξ) Το ξ είναι μοναδικό γιατί η g είναι γνησίως αύξουσα (Αποδεικνύεται και με θεώρημα Rolle) Επομένως : g ξ g () g (ξ) f () e f () e g ξ g () g (ξ) f () e f () e β) Σύμφωνα με το προηγούμενο ερώτημα (α) έχουμε : ξ ξ f () e d f () e d f () e d f () e d ξ ξ ξ g () d g () d g () d ξ ΕρΓ g() g() g() που ισχύει Η ευθεία ξ χωρίζει το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (), και τις ευθείες και σε δυο ισοδύναμα χωρία ημ ημ ημ, οπότε f () g () e e e f () g () e κριτήριο παρεμβολής και το όριο είναι ίσο με ΘΕΜΑ Δ Δ) Είναι f () f () f () στο (,), εσωτερικό σημείο του διαστήματος (,), f παραγωγίσιμη στο (θ Fermat) Δ) α) Για έχουμε ln ln ln ) f () f () 4 ln για, έχουμε β) Από τη σχέση f () f () f () 4 ln 4 ln, για κάθε e
Δ3) α) Για,, f () 4 ln c, (,) Επομένως f () 4 ln c, (, ) f () f () Όμως lim lim f () και ln DLH lim ln lim ln lim Άρα Άρα, επειδή και f (), προκύπτει η ζητούμενη σχέση έχουμε f () 4 ln c c Για έχουμε f () και e f () ln ή e e Η μονοτονία της συνάρτησης φαίνεται στον παρακάτω πίνακα : f () + + + + f () k β) ln f () k και () Η εξίσωση (): ΤΕ ΤΜ ΤΕ ΤΜ ΤΕ Είναι αδύνατη στο [-,] ανν «αν και μόνο αν» k < ή k > Έχει δυο ακριβώς λύσεις στο [-,] ανν k = ή k = e e (Στην περίπτωση που k= οι λύσεις είναι οι = - και =, «το απορρίπτεται») Έχει τέσσερις ακριβώς λύσεις στο [-,] ανν < k < e Δ4) α) Η f προφανώς είναι άρτια γιατί αν, τότε και f ( ) f () Είναι: Άρα: α α f ()d f ()d f ()d α α α u α f ()d f ( )d f ()d α α f ()d f ()d α α β) ος τρόπος 3
F(β) F( ) β β f ()d f ()d f ()d f ()d f ()d β β β f ()d f ()d f ()d f ()d f ()d, που ισχύει, γιατί f () για > ος τρόπος F(β) F( ) f ()d F(β) F( ) f ()d F(β) F( ) F() F( ) F(β) F() F(β) F() β f ()d, που ισχύει 3 ος τρόπος F(β) F( ) f ()d F(β) F( ) f ()d F(β) F( ) F() F( ) F(β) F() που ισχύει γιατί F γνησίως φθίνουσα, αφού F ()=f()< για > 4