Άσκηση 6 Μέθοδος των υνάμεων ΑΣΚΗΣΗ 6 ΕΟΜΕΝΑ: Για τη δοκό του σχήματος με ίσα ανοίγματα και ροπές αδρανείας σταθερές αλλά όχι ίδιες σε κάθε άνοιγμα, ζητείται να μορφωθεί το διάγραμμα ροπών κάμψεως. 6 mm 6 mm m, q KN / m KN / m ΕΠΙΛΥΣΗ: Α ΤΡΟΠΟΣ: Εύρεση στατικής αοριστίας εξωτερική υπερστατικότητα (6 άγνωστες αντιδράσεις εξισώσεις ισορροπίας) εσωτερική υπερστατικότητα συνολικά: φορές υπερστατικός φορέας ιαλέγουμε ως υπερστατικά μεγέθη τις κατακόρυφες αντιδράσεις στις τρεις αριστερές στηρίξεις. Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, έχουμε: X ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum
Άσκηση 6 Μέθοδος των υνάμεων X X Επίλυση του πλαισίου μόνο με εξωτερικά φορτία και για Χ Χ Χ x y H Γ 6 KN 6KN Μόρφωση διαγράμματος ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum
Άσκηση 6 Μέθοδος των υνάμεων Επίλυση του πλαισίου χωρίς εξωτερικά φορτία και για Χ (Χ Χ ) H y x KN KN Μόρφωση διαγράμματος Επίλυση του πλαισίου χωρίς εξωτερικά φορτία και για Χ (Χ Χ ). H B y x KN KN Μόρφωση διαγράμματος ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum
Άσκηση 6 Μέθοδος των υνάμεων Επίλυση του πλαισίου χωρίς εξωτερικά φορτία και για Χ (Χ Χ ) x y H Γ KN KN Μόρφωση διαγράμματος ~ δ R ~ s ( L t ) X (s) a/a Πραγματική φόρτιση υνατή φόρτιση L X X X X X X X L X X X X X L X X X () ~ δ R ~ s, εφόσον δεν υπάρχει αρχική μετατόπιση κόμβου. t, εφόσον δεν έχουμε θερμοκρασιακή μεταβολή. L dx {[ [( 9,7) 7,]} 6 { [( 7,) 8,7( ) 7, ]} 6 { [ (,7)( ) 7, ]} ' 6 { [( 9,7) 7,]},68 ' 6 ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum
Άσκηση 6 Μέθοδος των υνάμεων dx,8,6 dx,7 dx,7 dx,68 dx, dx,7 dx,99 dx L L Άρα έχουμε να λύσουμε το σύστημα: L X X X L X X X L X X X,68,8X,6X,7X X,88KN, 7,6X,68X,X X 7,7KN,7,7,,99,89KN X X X X Εφαρμόζοντας την αρχή της επαλληλίας, έχω: X X X 7, X X X 8,ΚΝm 8,KNm B X Χ Χ,KNm,6KNm 7, Χ Χ Χ 8,KNm 8,KNm Γ Ε X Χ Χ Μόρφωση διαγράμματος ροπών κάμψεως. ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum
Άσκηση 6 Μέθοδος των υνάμεων Β ΤΡΟΠΟΣ: Να μορφωθεί το.ρ.κ. του φορέα με την εξίσωση τριών ροπών. Εύρεση στατικής αοριστίας εξωτερική υπερστατικότητα (6 άγνωστες αντιδράσεις εξισώσεις ισορροπίας) εσωτερική υπερστατικότητα συνολικά: φορές υπερστατικός φορέας Επιλέγω ως υπερστατικά μεγέθη ροπές στις τρεις ενδιάμεσες κυλίσεις. Άρα θα έχoυμε: X X X ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 6
Άσκηση 6 Μέθοδος των υνάμεων Εξισώσεις ελαστικότητας: (s) L ( ) X X ( ) X ή (s) L () ( ) X ( δ δ 6 ( δ ) δ ) 6 L x ΚΒ, L x ΚΒ, Όπου δ -,δ,δ οι δεδομένες υποχωρήσεις των υποστηριγμάτων (-),(),() αντίστοιχα, -, τα μεταξύ των μήκη, Α το εμβαδόν του δ.ρ.κ., και x κβ η οριζόντια απόσταση του κ.β. φόρτισης από διπλανές στηρίξεις. Για, η παραπάνω σχέση γίνεται: x ( ) Ι ( ), 9,7 Όπου Μ και δ δ δ. κβ, x κβ, 6,, 6,, () Για,έχω: (, ) x Ι ( ) 7,, 7, κβ, x Ι κβ, 6,, 6,, () Για,έχω: (, Όπου Μ. ) ( 6,87 x Ι ) κβ, x Ι κβ, 6,, 6,, () Επίσης, Α q /, και x x /,, για ομοιόμορφο κατανεμημένο κβ, κβ, φορτίο. Από (),(),() έχω: -8,KNm, -,6KNm, -8,KNm ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 7
Άσκηση 6 Μέθοδος των υνάμεων Μόρφωση διαγράμματος ροπών κάμψεως Σύγκριση τιμών των διαγραμμάτων ροπών από τις δύο πορείες επίλυσης: Τα αποτελέσματα διαφέρουν ελάχιστα. Σε περίπτωση όμως που η δοκός είχε περισσότερα ανοίγματα η διαφορά θα ήταν μεγαλύτερη. αυτό συμβαίνει γιατί με τη γνωστή διαδικασία επίλυσης απαιτείται μεγάλη υπολογιστική διαδικασία και η ακρίβεια της λύσης μειώνεται. Έτσι, είναι προτιμότερη η εφαρμογή της εξίσωσης των τριών ροπών, αφού είναι πιο ακριβής και σύντομη. Το ίδιο ισχύει αν εφαρμόσουμε και την εξίσωση των πέντε ροπών (ελαστικές στηρίξεις). ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΩΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΡΑΒΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 8