Συναρτήσεις <Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι Στις περιπτώσεις που είναι, να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει : 2 A Έστω ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα χ χ στο σημείο και τον άξονα ψ ψ στο 2 Να βρείτε : i) τα ii) το σημείο της που έχει τεταγμένη 3 B Έστω οι συναρτήσεις, για τις οποίες ισχύει : Να βρείτε τη σχετική θέση των 3 A Έστω οι συναρτήσεις i) να βρείτε τα σημεία τομής της με τον χ χ ii) να βρείτε τη σχετική θέση της ως προς τον άξονα χ χ B Έστω η συνάρτηση για την οποία ισχύουν :
Να βρείτε το και στη συνέχεια να δείξετε ότι 4 A Έστω η συνάρτηση για την οποία ισχύει : Να δείξετε ότι και στη συνέχεια να υπολογίσετε το Β Δίνονται οι συναρτήσεις Να βρείτε τις συναρτήσεις : 5 Α Να βρείτε τη συνάρτηση για την οποία ισχύει : και Β Να βρείτε τη συνάρτηση για την οποία ισχύει : και Γ Να βρείτε τη συνάρτηση για την οποία ισχύει : και Δ Να βρείτε τη συνάρτηση για την οποία ισχύει : 6 α) Να βρείτε τη συνάρτηση για την οποία ισχύει : β) Να βρείτε μία τουλάχιστον συνάρτηση, για την οποία ισχύει : 7 Έστω η συνάρτηση για την οποία ισχύει Να δείξετε ότι :, Η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα
8 Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει : Να βρείτε τη συνάρτηση < Μονοτονία Ακρότατα Άρτιες / Περιττές συναρτήσεις > 9 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις :, και 10 Α Έστω οι συναρτήσεις Αν η είναι γνησίως φθίνουσα και η γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα Β Έστω συνάρτηση για την οποία ισχύει Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα Γ Έστω η συνάρτηση έτσι ώστε : Να δείξετε ότι η δεν είναι γνησίως αύξουσα στο 11 Έστω η συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα Δ για την οποία ισχύει : Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ 12 Δίνονται οι συναρτήσεις, όπου η είναι γνησίως φθίνουσα και η γνησίως αύξουσα Έστω ότι οι τέμνονται στην αρχή των αξόνων α) Να βρείτε τη σχετική θέση των β) Αν για τη συνάρτηση είναι να δείξετε ότι η είναι κάτω από τον άξονα των 13 Α Έστω η συνάρτηση με η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και η συνάρτηση Να δείξετε ότι Β Έστω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Να δείξετε ότι :
α) η είναι γνησίως φθίνουσα β) η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση 14 Έστω η συνάρτηση με γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο Να λύσετε τις εξισώσεις : 15 Έστω οι συναρτήσεις Αν η είναι γνησίως αύξουσα και η είναι κάτω από τη, να δείξετε ότι, 16 Έστω οι συναρτήσεις Να δείξετε ότι : Αν η είναι άρτια τότε και η είναι άρτια Αν η είναι περιττή και η άρτια τότε η είναι άρτια Αν οι και είναι περιττές, τότε και είναι περιττή < Συναρτήσεις 1-1, Αντίστροφες συναρτήσεις > 17 Α Έστω οι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει :, η Να δείξετε ότι η είναι 1 1 Β Έστω η συνάρτηση για την οποία ισχύει : Να βρείτε την Να δείξετε ότι η δεν είναι 1 1 Να δείξετε ότι η 18 Α Έστω οι συναρτήσεις Αν η συνάρτηση είναι 1 1 να δείξετε ότι και η είναι 1 1 Β Έστω η συνάρτηση για την οποία ισχύει :
και η συνάρτηση, που είναι 1 1 Να δείξετε ότι η είναι 1 1 Να δείξετε ότι Να βρείτε τη συνάρτηση 19 Έστω οι συναρτήσεις Η είναι γνησίως αύξουσα και η είναι γνησίως φθίνουσα Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα Να λύσετε την ανίσωση Να λύσετε την εξίσωση 20 Να δείξετε ότι καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφή της,, 21 Έστω μια συνάρτηση με Να βρείτε το σύνολο τιμών της και να δείξετε ότι η αντιστρέφεται Να βρείτε την αντίστροφη της Να δείξετε ότι υπάρχει συνάρτηση τέτοια ώστε 22 Έστω μια συνάρτηση με η οποία είναι γνησίως φθίνουσα Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να εξετάσετε την ως προς τη μονοτονία Αν να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της Αν, να λύσετε την ανίσωση : 23 Δίνεται η συνάρτηση με και για κάθε Να δείξετε ότι :
Η είναι γνησίως αύξουσα Η αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της 24 Έστω μια συνάρτηση για την οποία ισχύει : Αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το, να δείξετε ότι Η έχει σύνολο τιμών το Η αντιστρέφεται 25 Α Έστω η συνάρτηση για την οποία ισχύει Να δείξετε ότι δεν ορίζεται η αντίστροφη της Β Έστω η συνάρτηση για την οποία ισχύει Να δείξετε ότι : Η είναι 1 1, έχει σύνολο τιμών το αντιστρέφεται Η δεν έχει κοινά σημεία με τη διχοτόμο της γωνίας 26 Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει Να δείξετε ότι Υπάρχει η αντίστροφη της Αν, τότε, και 27 Έστω η συνάρτηση για την οποία ισχύουν και, Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται
Αν η έχει σύνολο τιμών το, να δείξετε ότι 28 Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει: 3 f ( x) 2 f ( x) x 1 0, x Α) Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται Β) Να βρεθεί η 1 f 29 Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(-1,5) και Β(2,4) Α) Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται 1 2 Β) Να λυθεί η εξίσωση f f x 1 x Γ) Να λυθεί η ανίσωση f f e 3 5 3 3 5 30 Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει *, x f f x ax Να αποδειχθεί ότι : Α) η f είναι 1-1 Β) η f έχει σύνολο τιμών το Γ) f ax af x, x Δ) x f f x, x a 31 Δίνεται η συνάρτηση 5 Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται f x ln x 3x 2, με x>0 Να βρεθούν τα κοινά σημεία των C και 1 f C f x 32 Δίνεται η συνάρτηση f x 3e x 3, με x Α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί το f 1 0
1 Β) Να λυθεί η εξίσωση f x f x Γ) Να λυθεί η ανίσωση f 1 1 f x x 1