Kεφάλαιο 7 Σχεδιασμός IIR Φίλτρων Φίλτρα «άπειρης» κρουστικής απόκρισης IIR - Infinite impule repone filter Recurive filter / 77 / 78
Περιεχόμενα Εισαγωγικά χαρακτηριστικά των IIR φίλτρων, σχεδιασμός στο πεδίο-z Συναρτήσεις αναλογικών φίλτρων- Butterworth, Chebyhev, Elliptic. Τα βήματα υλοποίησης ψηφιακών φίλτρων από αναλογικά Μέθοδος κρουστικής αμεταβλητότητας Διγραμμικός μετασχηματισμός Μετατροπή αναλογικού βαθυπερατού σε κάθε μορφής ψηφιακό φίλτρο, εύρεση των προδιαγραφών του αναλογικού βαθυπερατού. Σχεδιασμός ψηφιακών φίλτρων ας τάξεως / 78
Εισαγωγικά χαρακτηριστικά των IIR φίλτρων, σχεδιασμός στο πεδίο-z Συναρτήσεις αναλογικών φίλτρων- Butterworth, Chebyhev, Elliptic. Τα βήματα υλοποίησης ψηφιακών από αναλογικά Μέθοδος κρουστικής αμεταβλητότητας Διγραμμικός μετασχηματισμός Μετατροπή αναλογικού βαθυπερατού σε κάθε μορφής ψηφιακό φίλτρο, εύρεση των προδιαγραφών του αναλογικού βαθυπερατού Σχεδιασμός ψηφιακών φίλτρων ας τάξεως 3 / 78
Εισαγωγικά Η έξοδος y(n), εξαρτάται από την είσοδο x(n) και από προηγούμενες τιμές της εξόδου Εξίσωση διαφορών : a o y(n)+a y(n-)+... +a N y(n-n)b o x(n)+b x(n-)+... +b M x(n-m) Συνάρτηση μεταφοράς : H(z) M k 0 N k 0 b a k k z z k k 4 / 78
Εισαγωγικά (συνέχεια) Απαιτούν μικρό αριθμό συντελεστών (συγκριτικά με αντίστοιχα FIR φίλτρα) x(n) Z - b o y(n) x(n) Z - Z - Z - h o h h h h 0 0.546 0 - h h -0.450 0 - h 0 H(z) -a -a Z - b b 0.498 + 0.975z + 0.498z 0.6745z 0.3633z H(z) k 0 Αριθμός πολλαπλασιασμών προσθέσεις Θέσεις αποθήκευσης FIR 4 h k z k y(n) IIR 5 4 8 h -0.554 0 - h 9 h 3-0.553 0 - h 8 h 4-0.634 0 - h 7 h 5 0.5789h 6 5 / 78
Εισαγωγικά (συνέχεια) Η(ω) db 0 Δεν έχουν γραμμική φάση - 500 0 Φάση (Βαθμοί) 0.8z Καθυστέρηση φάσεως n-θ/ω - 500 0 0.5 Συχνότητα 0-0 5 0 5 0 5 x(n)co(π/8n) y(n).5co(π/8n-π/3) Καθυστέρηση φάσεως n3 0-0 5 0 5 0 5 6 / 78
Εισαγωγικά (συνέχεια) σχεδιασμός στο πεδίο-z Από τους πόλους και μηδενισμούς Παράδειγμα. Να σχεδιασθεί ΙΙR φίλτρο με τις εξής προδιαγραφές: πλήρης απόρριψη για f0 και f50 Hz (f /) κεντρική συχνότητα f ο 5 Hz 3dB εύρος ζώνης διέλευσης Δf 0 Ηz συχνότητα δειγματοληψίας f 500Hz Δω(-R) Im 0.937 Re μηδενισμοί: z,, - πόλοι: ω ο π5/500π/ R - Δf/f π-0/500 π 0.937 (z )(z + ) H(z) (z 0.937j)(z + 0.937j) z z + 0.8779 7 / 78
Εισαγωγικά χαρακτηριστικά των IIR φίλτρων, σχεδιασμός στο πεδίο-z Συναρτήσεις αναλογικών φίλτρων- προσέγγιση Τα βήματα υλοποίησης ψηφιακών φίλτρων από αναλογικά Μέθοδος κρουστικής αμεταβλητότητας. Διγραμμικός μετασχηματισμός Μετατροπή αναλογικού βαθυπερατού σε κάθε μορφής ψηφιακό φίλτρο, εύρεση των προδιαγραφών του αναλογικού βαθυπερατού. Σχεδιασμός ψηφιακών φίλτρων ας τάξεως 8 / 78
Πώς θα εκμεταλλευτούμε τις αναλογικές «προσεγγίσεις» τάξη 3 4 5 είναι 5 4 Συνάρτηση H() 3 + +.63 + 3.36 ποιό 3 + + το + + + πρόβλημα 4 + 3.44 +.63 + 3 + 5.36 + 5.36 + 3.36 + 9 / 78
Συναρτήσεις- προσέγγιση Butterworth, Chebyhev (I,II), Elliptic Προδιαγραφές Α p, p A, - δ p ή + ή Α p ε p H() δ ή + ε ή Α 0 p rad/ 0 / 78
Συναρτήσεις Butterworth H() + C N /.4. H() 0.8 0.707 0.6 0.4 0. Butterworth Filter N N30 N Για 0 H() για όλα τα Ν Για C H() / ή 3dB Για Ν πλησιάζουν το ιδανικό Βαθυπερατό (lowpa) φίλτρο. Είναι «maximally flat» 0 0 0.5.5 Συναρτήσεις Butterworth τάξεως: Ν, Ν, Ν30. / C / 78
Συναρτήσεις Butterworth Η()Η() j H() + C N / Τάξη N Συνάρτηση H() 3 3 + + + + + + Για Ν H() 4 { + } / 4 5 5 4 +.63 + 3.36 4 3 + 3.44 +.63 + 3 + 5.36 + 5.36 + 3.36 + / 78
Συναρτήσεις Butterworth- υπολογισμοί H() + C N / για p -0log 0 H(j) A p 0 log p + C 0 A / p N Προδιαγραφές Α p, p A, για -0log 0 H(j) A 0 log + C 0 A / N H() N30 Butterworth Filter N N N C log 0... A / 0 p [( 0 log 0 ) /( 0 ( / p A / 0 ) )] 0 0.5.5 / C 3 / 78
Συναρτήσεις Butterworth Παράδειγμα H() + C N / Να σχεδιασθεί ένα βαθυπερατό αναλογικό Butterworth φίλτρο με τις εξής προδιαγραφές: γωνιακή συχνότητα στη ζώνη διέλευσης p 0.π και εξασθένηση 7dB γωνιακή συχνότητα στη ζώνη αποκοπής 0.3π και εξασθένηση 6dB 0log H( 0log H( 0 log{ + N.79 3 Για ) 7 0log ) 6 0log ( ) 0.π Ν 0.3π ( ) } 7 0 log{ + ( ) C p και Ν ακέραιος 3 C 0.4985 + + C p C C C N N 7 6 Ν } 6 0.5 0 Η() db -5-7 -0-5 -6-0 0 0. 0.4 0.6 0.8 0.683 0.945 4 / 78
Συναρτήσεις Chebyhev H(j) + ε Τ N C / T N (x) co(n co coh (x)) 0 x όπου x ( coh (x)) < x < C + ε p 0.8 CHEBYSHEV 0.7 H(j) H() 0.6 0.5 + ε Τ N C / 0.4 + 0.3 0. Α N N3 N5 ε 0 0 0.5.5.5 3 3.5 4 C 4.5 5 5 / 78
Συναρτήσεις Chebyhev- υπολογισμοί 6 / 78
Συναρτήσεις Chebyhev - ιδιότητες Οι συναρτήσεις Chebyhev που προσεγγίζουν βαθυπερατά φίλτρα έχουν κυμάτωση είτε στη ζώνη διέλευσης (ChebyhevΙ) είτε στη ζώνη αποκοπής (ChebyhevΙΙ ή invere Chebyhev). Τα φίλτρα Chebyhev έχουν για τις ίδιες προδιαγραφές μικρότερη τάξη Ν από τα αντίστοιχα Butterworth για / C μεταξύ 0 και εμφανίζoυν την κυμάτωση-ταλάντωση μεταξύ και +ε +ε Για / C, Η() Ενώ για / C μεγαλύτερο του τείνουν μονότονα στο. Υπάρχουν δύο βασικά σχήματα για την απόκριση: ένα για άρτια Ν και ένα για περιττά. 7 / 78
Συναρτήσεις Chebyhev- μορφές H(j) + ε Τ N C / Ν είναι η τάξη του φίλτρου, ε ο συντελεστής κυμάτωσης που σχετίζεται με την εξασθένηση Α p και Τ Ν (x) είναι το πολυώνυμο Chebyhev Ν ης τάξεως τάξη Συνάρτησεις Chebyhev με κυμάτωση 0.5dB και C 3 4 5.868 /(+.868).434/( +.456+.56) 0.757 / 3 +.59 +.5349+ 0.757) 0.3578/( 4 +.974 3 +.769 +.055+0.379) 0.789 /( 5 +.75 4 +.9374 3 +.3096 +0.755+0.789) 8 / 78
Η τάξη Ν των Chebyhev φίλτρων H(j) + ε Τ N C / + H() + ε p 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. ε Α p N3 Α CHEBYSHEV 0 0 0.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 p Δίνεται από τον τύπο: N ln( e + ln( w + όπου : και coh coh e w e w e w ε ε ) p ) p Εδώ pc 9 / 78
Συναρτήσεις ChebyhevΙΙ (invere Chebyhev) CHEBYSHEV II 0.8 0.6 H(j) 0.4 0. N3 N 0 0 / C 3 4 5 0 / 78
Ελλειπτικές Συναρτήσεις (Elliptic - Cauer) H(j) + ε U N C / Η(). 0.8 Ελλειπτικό φίλτρο Α p ή + ε 0.6 U N (W) Jacobian elliptic function Α 0.4 N 0. N5 N3 0 0 3 4 5 / 78
Ελλειπτικές Συναρτήσεις (Παράδειγμα) Ελλειπτικό φίλτρο 5ης τάξεως με 0.5dB κυμάτωση στη ζώνη διέλευσης και 30 db εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής Η(). 0.8 0.6 Ελλειπτικό φίλτρο Α p ή + ε Α 0.4 N 0. N5 N3 0 0 3 4 5 4 0.6 + 0.4740 + 0.4077 H() 5 4 3 +.478 +.330 +.574 +.078 + 0.4077 / 78
Εισαγωγικά χαρακτηριστικά των IIR φίλτρων, σχεδιασμός στο πεδίο-z Συναρτήσεις αναλογικών φίλτρων- Butterworth, Chebyhev, Elliptic. Τα βήματα υλοποίησης ψηφιακών φίλτρων από αναλογικά Μέθοδος κρουστικής αμεταβλητότητας. Διγραμμικός μετασχηματισμός Μετατροπή αναλογικού βαθυπερατού σε κάθε μορφής ψηφιακό φίλτρο, εύρεση των προδιαγραφών του αναλογικού βαθυπερατού. Σχεδιασμός ψηφιακών φίλτρων ας τάξεως 3 / 78
Ποιές είναι οι βασικές μέθοδοι Α μέθοδος Σχεδιασμός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Τ() Εφαρμογή μετασχηματισμού Εφαρμογή μετασχηματισμού z Ψηφιακό Φίλτρο H(z) Β μέθοδος Σχεδιασμός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Τ() Εφαρμογή μετασχηματισμού z Εφαρμογή μετασχηματισμού z z Ψηφιακό Φίλτρο H(z) 4 / 78
Σχεδιασμός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Τ() Εφαρμογή μετασχηματισμού Εφαρμογή μετασχηματισμού z Ψηφιακό Φίλτρο H(z) Δηλαδή: Υποθέτουμε ότι είναι γνωστό το αναλογικό (συνεχούς χρόνου) βαθυπερατό φίλτρο Στην πραγματικότητα οι προδιαγραφές των φίλτρων δίνονται στον ψηφιακό χώρο και επομένως πρέπει να βρούμε με κατάλληλο μετασχηματισμό το αναλογικό βαθυπερατό φίλτρο για να «ξεκινήσουμε» την διαδικασία υλοποίησης. 5 / 78
Σχεδιασμός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Τ() Εφαρμογή μετασχηματισμού Εφαρμογή μετασχηματισμού z Ψηφιακό Φίλτρο H(z) Μετασχηματισμός Μετασχηματισμός Βαθυπερατό βαθυπερατό Βαθυπερατό υψιπερατό Βαθυπερατό ζωνοπερατό Βαθυπερατό απόρριψης ζώνης L L L L L BP L H Η + BP BR BR + B B 0 0 6 / 78
Σχεδιασμός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Τ() Εφαρμογή μετασχηματισμού Εφαρμογή μετασχηματισμού z Ψηφιακό Φίλτρο H(z) Μετασχηματισμός Πιο απλά ( p ) Ο μετασχηματισμός μετακινεί την συχνότητα αποκοπής από το στο C C C Αντίστοιχα: μετατρέπει το βαθυπερατό σε υψιπερατό με συχν. Αποκοπής C +. Ομοίως: μετατρέπει το βαθυπερατό σε ζωνοπερατό.( - ) κλπ 7 / 78
Βαθυπερατό βαθυπερατό A H LP () A H LP (') p ' p p ' ' p ' p ' p 8 / 78
Παράδειγμα: βαθυπερατό βαθυπερατό Δίνεται η αναλογική συνάρτηση Η()/( + +) Nα βρεθεί η αντίστοιχη αναλογική συνάρτηση με συχνότητα αποκοπής p 0.3858 H() + + 0.3858 + 0.3858 0.488 + 0.3858 + 0.3858 + 0.488 p Η() db 0 Α p 0 p 9 / 78
Βαθυπερατό υψιπερατό Η() σε db 0 Α p 0 p 0 p p ' p ' p ' p 30 / 78
Παράδειγμα: - βαθυπερατό υψιπερατό Δίνεται η βαθυπερατή αναλογική συνάρτηση ης τάξεως H()/(+) Ζητείται ο σχεδιασμός του υψιπερατού αναλογικού φίλτρου με συχνότητα αποκοπής C.7 H () + +.7. 7 Η() σε db 0 Α p 0.7 3 / 78
Βαθυπερατό Ζωνοπερατό A H LP () A H P (') Β p 0 p p p ( + p p p p ) 3 / 78
Βαθυπερατό Ζωνοπερατό Συχνότητα Βαθυπερατού 4 0 - -4-6 0 0.5.5.5 3 Συχνότητα Ζωνοδιαβατού -6 0 0.5.5.5 3 Συχνότητα Βαθυπερατού -4 ο Συχνότητα Βαθυπερατού - ο -6-4 - 0 4 0 0 0.5 4 Συχνότητα Ζωνοδιαβατού.5 ο Συχνότητα Ζωνοδιαβατού.5 3 33 / 78
Βαθυπερατό Ζωνοπερατό Συχνότητα Βαθυπερατού -6-4 - 0 0.5.5.5 3 ο Συχνότητα Ζωνοδιαβατού 0 4 p ( + p p p p ) 34 / 78
Παράδειγμα: - βαθυπερατό ζωνοπερατό H Δίνεται η βαθυπερατή αναλογική συνάρτηση ης τάξεως H() + Ζητείται ο σχεδιασμός του ζωνοπερατού αναλογικού φίλτρου με συχνότητες αποκοπής 3.5 και 4.5. A Εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό βαθυπερατό ζωνοπερατό: Εδώ p, 4.5 και 3.5. Αρα BP p () + + 5. 75 + + 5. 75 H LP () + + 5. 75 A H P () 0 +3. 5 4. 5 +5. 75 LP ( 4. 5 3. 5) Β LP p + ( Παρατήρηση: Η τάξη του φίλτρου διπλασιάζεται ) 35 / 78
- συνέχεια Η() 0.7 H() 0.8 0.7 0.6 0 rad/ec 0.4 0. Δω 3.9686 0 0 4 6 8 0 rad/ec H() + + 5.75 + + 5.75 36 / 78
Σχεδιασμός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Τ() Εφαρμογή μετασχηματισμού Εφαρμογή μετασχηματισμού z Ψηφιακό Φίλτρο H(z) Μετασχηματισμοί z Μέθοδος κρουστικής αμεταβλητότητας (Impule Invariance Method) Διγραμμικός μετασχηματισμός (bilinear tranformation) 37 / 78
Εισαγωγικά χαρακτηριστικά των IIR φίλτρων, σχεδιασμός στο πεδίο-z Συναρτήσεις αναλογικών φίλτρων- Butterworth, Chebyhev, Elliptic. Τα βήματα υλοποίησης ψηφιακών από αναλογικά Μέθοδος κρουστικής αμεταβλητότητας Διγραμμικός μετασχηματισμός Μετατροπή αναλογικού βαθυπερατού σε κάθε μορφής ψηφιακό φίλτρο, εύρεση των προδιαγραφών του αναλογικού βαθυπερατού. Σχεδιασμός ψηφιακών φίλτρων ας τάξεως 38 / 78
Σχεδιασμός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Τ() Εφαρμογή μετασχηματισμού Εφαρμογή μετασχηματισμού z Ψηφιακό Φίλτρο H(z) Μέθοδος κρουστικής αμεταβλητότητας (Impule Invariance Method) h a (t) (α) h(n)h a (nt ) h(n) h(n) (β) (γ) Πεδίο συχνότητας Η κρουστική απόκριση (α) δειγματοληπτείται με διαφορετικές συχνότητες (β και γ). 39 / 78
40 / 78 Μέθοδος κρουστικής αμεταβλητότητας t p i i i i i K e (t) h p K... p K p K H() + + np i T i i e K (n) h T p i n 0 n T p i 0 n n T np i i z e K ) z K (e z K e H (z) i i pt i pt i i e z K z z e K p K e T z
Μέθοδος κρουστικής αμεταβλητότητας απεικόνηση z j j π Τ z e πτ j Τ e jτ Im(z) j 3π/Τ Μοναδιαίος κύκλος: zre iω π/τ -π/τ σ Re(z) επίπεδο - -3π/Τ επίπεδο -z 4 / 78
Μέθοδος κρουστικής αμεταβλητότητας Διαδικασία σχεδιασμού Ο σχεδιασμός αρχίζει με τις προδιαγραφές του ψηφιακού φίλτρου ω p, R p, ω, A. Από τις προδιαγραφές αυτές υπολογίζεται το αντίστοιχο αναλογικό φίλτρο και στη συνέχεια γίνεται ο μετασχηματισμός z. Τα βήματα που ακολουθούνται συνήθως είναι τα εξής:. Εύρεση των αντίστοιχων αναλογικών συχνοτήτων (σε rad/ec) p ω p /Τ και ω /Τ όπου Τ η περίοδος δειγματοληψίας.. Σχεδιασμός του αντίστοιχου αναλογικού φίλτρου Η a () με επιλογή μίας από τις συναρτήσεις Butterworth, Chebyhev, Elliptic. N Ki 3. Ανάλυση της Η a () σε μερικά κλάσματα: Ha() p 4. Μετασχηματισμός των πόλων p i στους αντίστοιχους ψηφιακούς και δημιουργία του ψηφιακού φίλτρου Η(z): N Ki H(z) pit e z k k i 4 / 78
Δίνεται η αναλογική συνάρτηση Η()/( + +) η οποία αντιστοιχεί σε βαθυπερατό φίλτρο με συχνότητα αποκοπής (3dB) C. Zητείται η αντίστοιχη ψηφιακή συνάρτηση Η(z) με συχνότητα αποκοπής f p 50Hz. H συχνότητα δειγματοληψίας f S.8 KHz υπολογίζουμε την αναλογική συχνότητα αποκοπής p π5094.48 και αποκανονικοποιούμε: p Ĥ() H() + p + p 666.4j 666.4j αναλύουμε σε μερικά κλάσματα: Ĥ() + ( + 666.4 666.4j) ( + 666.4 + 666.4j) K i K iz Εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό p i T p z e i p και έχουμε: Παρατήρηση H(z) 666.4j z z e H(z) ( 666.4+ 666.4 j) / 80 666.4j z + z e 393.9z.03z + 0.353z ( 666.4 666.4 j) / 80 Η ψηφιακή συχνότητα ω δίνεται ως γνωστό σε rad/δείγμα και η αναλογική σε rad/ec και συνδέονται με την απλή σχέση ω/τ. 43 / 78
.4. απόκριση 0.8 0.6 0.4 0. f 640Hz H(ω) H() 0 0 00 400 600 800 000 00 400 Συχνότητα Hz Η απόκριση του ψηφιακού φίλτρου Η(ω) και η αντίστοιχη του αναλογικού Η() για συχνότητες μέχρι f 80Hz. Διακρίνεται η απόκλιση όσο η συχνότητα πλησιάζει την f / 44 / 78
Να μετασχηματισθεί η συνάρτηση : σε ψηφιακή χρησιμοποιώντας την μέθοδο κρουστικής αμεταβλητότητας και περίοδο δειγματοληψίας Τ 0.ec Ha () + + 5 + 6 Επειδή δεν δίνονται άλλες προδιαγραφές όπως συχνότητα αποκοπής, προχωράμε στη διαδικασία μετασχηματισμού H a () + + 5 + 6 + 3 + z... 3 0. 0. e z e z H(z) H(z) 0.8966z.5595z + 0.6065z 45 / 78
Εισαγωγικά χαρακτηριστικά των IIR φίλτρων, σχεδιασμός στο πεδίο-z Συναρτήσεις αναλογικών φίλτρων- Butterworth, Chebyhev, Elliptic. Τα βήματα υλοποίησης ψηφιακών από αναλογικά Μέθοδος κρουστικής αμεταβλητότητας Διγραμμικός μετασχηματισμός Μετατροπή αναλογικού βαθυπερατού σε κάθε μορφής ψηφιακό φίλτρο, εύρεση των προδιαγραφών του αναλογικού βαθυπερατού. Σχεδιασμός ψηφιακών φίλτρων ας τάξεως 46 / 78
Σχεδιασμός αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Τ() Εφαρμογή μετασχηματισμού Εφαρμογή μετασχηματισμού z Ψηφιακό Φίλτρο H(z) Διγραμμικός μετασχηματισμός Ορισμός: z f(z) k + z για j και ze jω ω z k z + ω k tan k ή kf π Δω Η απεικόνιση των «αναλογικών» συχνοτήτων στις «ψηφιακές» ω. Δ Είναι φανερή η συμπίεση (στρέβλωση) της περιοχής Δ στην αντίστοιχη Δω -π 47 / 78
Διγραμμικός μετασχηματισμός π ω ω π ω c ω a ω arctan T H(e jω ) ( j) H a c ωc tan T a ωc tan T c a 48 / 78
Διγραμμικός μετασχηματισμός - z To αριστερό ημιεπίπεδο απεικονίζεται στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου στο επίπεδο z συναρτήσεις Η() ευσταθείς στο επίπεδο αντιστοιχούν σε επίσης ευσταθείς συναρτήσεις Η(z) στο επίπεδο z. O άξονας j απεικονίζεται στη περιφέρεια του μοναδιαίου κύκλου δηλ. ze jω ω k tan επίπεδο-z Im ze jω Im επίπεδο- j Re Re μοναδιαίος κύκλος αριστερό ημιεπίπεδο - 49 / 78
Διγραμμικός μετασχηματισμός διαδικασία σχεδιασμού Προδιαγραφές Ψηφιακού φίλτρου Μετασχηματισμός g(ω) Προδιαγραφές Αναλογικού φίλτρου Ψηφιακό φίλτρο Η(z) Μετασχηματισμός f(z) Αναλογικό φίλτρο Η() Ψηφιακός χώρος: προδιαγραφές των φίλτρων (ω p,a p ) και (ω,a ) Μετατροπή στις αντίστοιχες αναλογικές p (prewarping) Εύρεση της αναλογικής συνάρτησης Η() Eφαρμογή του διγραμμικού μετασχηματισμού και εύρεση της Η(z) 50 / 78
Η απλή περίπτωση. Αναλογικό φίλτρο Η() Μετασχηματισμός f(z) Ψηφιακό φίλτρο Η(z) Δίνεται Ζητείται Η ψηφιακή συνάρτηση Η(z) βρίσκεται άμεσα: H(z) H() f z + z 5 / 78
Δίδεται η συνάρτηση 000 (). H + 000 Ζητείται η αντίστοιχη ψηφιακή Η(z) για συχνότητα δειγματοληψίας f 500Hz H(z) H() z 500 + z 000 + 000 z 500 + z 000 z 500 + z + 000 0.4(+ z 0.z ) 5 / 78
Δίνεται η αναλογική συνάρτηση(butterworth) Η()/( + +) Με χρήση του διγραμμικού μετασχηματισμού να βρεθεί η αντίστοιχη ψηφιακή συνάρτηση Η(z) που αντιστοιχεί σε (βαθυπερατό)φίλτρο με συχνότητα αποκοπής f C 50Hz και συχνότητα δειγματοληψίας f S.8 ΚHz. Η κανονικοποιημένη (ψηφιακή) συχνότητα είναι: ω C π50/800.344π Η αντίστοιχη αναλογική συχνότητα είναι : C tan(ω/) 0.3858 Αποκανονικοποιούμε και έχουμε : H 0.3858 () 0.3858 + 0.3858 + 0.3858 0.488 + 0.3858 + 0.488 Εφαρμόζουμε διγραμμικό μετασχηματισμό: H(z) H() z + z 0.488(+ z ( z ) + 0.5456( z ) + 0.488( + z ) (+ z ) 0.488-0.603z -.704z + z + z 0.0878-0.3560 z -.0047z ) - - +.6944 + 0.8 0.6 0.4 0. Απόκριση Η(ω) 50 συχνότητα Hz 0 0 00 00 300 400 500 600 700 53 / 78
Η «κανονική» περίπτωση Προδιαγραφές Ψηφιακού φίλτρου Μετασχηματισμός g(ω) Προδιαγραφές Αναλογικού φίλτρου 54 / 78
Πλήρης σχεδιασμός βαθυπερατού φίλτρου με το Διγραμμικό μετασχηματισμό Προδιαγραφές Ψηφιακού φίλτρου Μετασχηματισμός g(ω) Προδιαγραφές Αναλογικού φίλτρου Συνοπτικά: Από τις προδιαγραφές του ψηφιακού βρίσκουμε τις αντίστοιχες προδιαγραφές του αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου και στη συνέχεια την συνάρτηση Η() Μετατρέπουμε το αναλογικό βαθυπερατό στο αντίστοιχο αναλογικό υψιπερατό ή ζωνοπερατό ή απόρριψης ζώνης. Εφαρμόζουμε τον διγραμμικό μετασχηματισμό 55 / 78
Βαθυπερατά φίλτρα 56 / 78
tan(ω/) Να βρεθεί η τάξη Ν του βαθυπερατού Butterworth φίλτρου με τις εξής προδιαγραφές (στον ψηφιακό χώρο) ζώνη διέλευσης ω p 0.π, εξασθένηση A p 3dB ζώνη αποκοπής ω 0.4π, εξασθένηση A 30dB H() + C N / H(0.4π) + tan0.π tan0.π Ν / Ν ) / (.36 + Επειδή 0log 0 H(0.4π) -30 log0 Ν / (+.36 ) 30 / 0 0. (+.36 ) 036 Ν 4.6 5 Ν / Η( db 0 Α p A 0 p H() 5 4 3 + 3.36 + 5.36 + 5.36 + 3.36 + 57 / 78
Να σχεδιασθεί βαθυπερατό ψηφιακό Βutterworth φίλτρο με τις εξής προδιαγραφές: ζώνη διέλευσης 0-60Ηz (εξασθένηση 3dB) ζώνη αποκοπής >85 Hz εξασθένηση>5db συχνότητα δειγματοληψίας f 56Hz βρίσκουμε τις ψηφιακές (κανονικοποιημένες) συχνότητες : ω π60/56 π 0.344 και ω π85/56π 0.330 βρίσκουμε τις αποστρεβλωμένες (prewarped) αναλογικές συχνότητες: tan(ω /)0.906 και tan(ω /).758 N.758 βρίσκουμε την τάξη του φίλτρου 0log + 5 N.468 N 3 0.906 Δηλ η ζητούμενη κανονικοποιημένη () συνάρτηση Butterworth είναι: Η()/{ 3 + ++} Aποκανονικοποιούμε την Η() ώστε c Δηλ Η'()H(/0.906) και εφαρμόζουμε τον διγραμμικό μετασχηματισμό: Τα δύο τελευταία στάδια γίνονται (σε ένα βήμα) ως ακολούθως: H(z) H'() H() + 3z z z.03 0.80z + 0.349z + z + z z + z + 3z 3 + z 0.065z H() + 3 C N / 58 / 78
Να σχεδιασθεί βαθυπερατό ψηφιακό Βutterworth φίλτρο με συχνότητα δειγματοληψίας f 0kHz και προδιαγραφές: ζώνη διέλευσης 0-4kHz εξασθένηση 0.5dB ζώνη αποκοπής >5 khz εξασθένηση>0db ψηφιακές συχνότητες: ω π4/00.4π και ω π5/00.5π Αναλογικές συχνότητες : p tan(0.4π/)0.765 tan(0.5π/) Από την σχέση: H() N [ + ( ) ] / c έχουμε: για για + + p 0.765 N ( ) 0 c N 0 / 0 ( ) 0 H( H( p ) ) + p ( ) c N N [ ( ) ] + c / / 0log H( 0log H( p ) 0log + ) 0log 0.5 / 0 0.5 / 0 N 6.73 7 c 0.765 N 0 0 και c 0.8443 N p ( ) 0. 5 c [ ( ) ] N + 0 c 59 / 78
http://en.wikipedia.org/wiki/butterworth_filter T() ( + )( + 0.445 + )( +.47 + )( +.809 + ) Αποκανονικοποιούμε για c 0.8443 και με εφαρμογή του διγραμμικού μετασχηματισμού λαμβάνουμε για τον ο όρο: 0.8443 + 0.8443 H(z) + 0.8443 z + z 0.8443 0.4578( z 0.0844z + + 0.8443 ) Επαναλαμβάνοντας και για τούς υπόλοιπους όρους λαμαβάνουμε: H H H 3 4 (z) (z) (z) 0.34( + z ) 0.749z + 0.640z 0.578(+ z ) 0.076z + 0.386z 0.04(+ z ) 0.775z + 0.059z Η() db 0 Α p A 0 p H(z)H (z)h (z)h 3 (z)h 4 (z) 60 / 78
Υψιπερατά φίλτρα 6 / 78
Δοθείσης της βαθυπερατής συνάρτησης Η()/(+) να σχεδιασθεί ψηφιακό υψιπερατό φίλτρο με συχνότητα αποκοπής f c 30 Hz Συχνότητα δειγματοληψίας f 50 Hz Για την συχνότητα ω C και την αντίστοιχη αναλογική C έχουμε Προδιαγραφές π30 C tan 0.765 Ψηφιακού 50 φίλτρου H () H(z) H() H () 0.765 Ψηφιακό φίλτρο Η(z) z z+ + 0.765 z z+ Μετασχηματισμός g(ω) z z+ + 0.765 Μετασχηματισμός f(z) Προδιαγραφές Αναλογικού φίλτρου Αναλογικό φίλτρο Η() z 0.579 + 0.584z Παρατήρηση Εδώ δίνεται η βαθυπερατή συνάρτηση και επομένως τα στάδια σχεδιασμού και που περιγράφονται στο διάγραμμα δεν χρειάζονται 6 / 78
Να γίνει σχεδιασμός ηψιπερατού φίλτρου με τις εξής προδιαγραφές : συχνότητα δειγματοληψίας f0khz ζώνη διέλευσης: f p 5kHz, εξασθένηση A p 0.5dB ζώνης αποκοπής: f 4kHz, εξασθένηση A 0dB Συχνότητες ψηφιακού: ω p π5/00.5π, ω 0.4π Αποστρεβλωμένες συχνότητες αναλογικού : 0.765, p Συχνότητες αντίστοιχου βαθυπερατού: p, /0.765.3764 Τελειώσαμε! Ap / 0 A / 0 log0[ ( 0 ) /( 0 ) ] N... log0( p / ) p Βρίσκουμε την τάξη Ν (Butterworth) : Και την συχνότητα (κανονικοποίησης) : H() + 4. 494 +0. 0978 C N A / 0 0 +4. 598 Αποκανονικοποιούμε : p Η() db....6 +4. 598 7 6 5 4 3 H () 0 Α p A +0. 0978 Μετασχηματίζουμε σε υψιπερατό και εφαρμόζουμε τον διγραμμικό μετασχηματισμό: Η(z) H () z+ z H() 0 0.765.3764. 6 6.73 7 + 4. 4940 + 63 / 78
Β τρόπος: Mπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και άμεσα την σχέση για το ηψιπερατό φίλτρο: Για p Η() 0dB και για 0.765 Η() 0.5dB Ν6.737, C.6 Και συνεχίζουμε όπως προηγουμένως 64 / 78
Ζωνοπερατά φίλτρα 65 / 78
Σχεδιασμός Ζωνοπερατού φίλτρου Τα βήματα:. Από τις προδιαγραφές του ψηφιακού φίλτρου Η D (z) βρίσκουμε τις αντίστοιχες του αναλογικού ζωνοπερατού φίλτρου Η D () Προδιαγραφές Ψηφιακού φίλτρου. Μετατρέπουμε στις αντίστοιχες προδιαγραφές του αναλογικού βαθυπερατού φίλτρου Η LP () 3. Βρίσκουμε την συνάρτηση Η LP () τού αναλογικού βαθυπερατού Ψηφιακό φίλτρο Η(z) Μετασχηματισμός g(ω) Μετασχηματισμός f(z) Προδιαγραφές Αναλογικού φίλτρου Αναλογικό φίλτρο Η() 4. Μετατρέπουμε το φίλτρο Η LP () στο αντίστοιχο αναλογικό ζωνοπερατό Η D() 5. Εφαρμόζουμε τον διγραμμικό μετασχηματισμό στο Η D() 66 / 78
Από τις ψηφιακές συχνότητες βρίσκουμε τις αντίστοιχες αναλογικές,, p, p Η() H() Α p A 0 p ο p 0 p Ισχύει: ο p p και p B p p Αλλά: ο Επιλέγω :, p p L BP + B BP 0 L BP BP B 0 για ή βρίσκουμε την συχνότητα του βαθυπερατού φίλτρου ( p ) B 0 ή + B 0 67 / 78
Σχεδιασμός Ζωνοπερατού φίλτρου Να σχεδιασθεί με τον διγραμμικό μετασχηματισμό ένα ψηφιακό ζωνοπερατό φίλτρο τύπου Butterworth με τις εξής προδιαγραφές: συχνότητα δειγματοληψίας f 0 khz, ζώνη διέλευσης έως 4kHz με μέγιστη εξασθένηση 0.5dB, ζώνες αποκοπής 0-.5 khz και 4.5kHz έως 0kHz με ελάχιστη εξασθένηση 0dB Ψηφιακό ζωνοπερατό Αναλογικό ζωνοπερατό Αναλογικό βαθυπερατό Η() Η() H() Α p A 0 f f p f p f f 0 p ο p 0 p 68 / 78
λύση Βρίσκουμε: ω p π /00. π p tan(0.π/)0.349 ω p π 4/00.4 π p tan(0.4π/)0.765 ω π.5/00.5 π tan(0.5π/)0.40 ω π 4.5/00.45 π tan(0.45π/)0.854 επίσης: ΒW p p 0.765-0.3490.406 ο p * p 0.360 Για 0.40 0.40 + 0.36 0.854 0.36.850 Για 0.40 0.406 0.854.438 0.854 0.406 Επιλέγουμε.438 (<.850). Χρησιμοποιώντας το Matlab για τους υπόλοιπους υπολογισμούς έχουμε: [N, Wn] BUTTORD(,.4389, 0.5, 0, '') N 6 Wn.98 [B,A] BUTTER(N,Wn, ) [NUMT,DENT] LPBP(B,A,qrt(0.360),0.406) [num, den] bilinear(numt, DENT, 0.5) 69 / 78
Θεωρούμε τις εξής προδιαγραφές του ζωνοδιαβατού φίλτρου ω p 0.44π ω p 0.66π α p db ω 0.33π ω 0.77π α 30dB prewarping p p tan(0.44π/) 0.873 tan(0.66π/).6909 tan(0.33π/) 0.5704 tan(0.77π/).6464 B p p 0. 8636. 3988 ο p p Για 0. 5704.3988 0.5704. 79 0.8636 * 0.5704 Για. 6464. 3988. 6464 0. 8636*. 6464. 453 επιλέγουμε:.79 Τελικές προδιαγραφές βαθυπερατού: p,.793, α p db, α 30dB 70 / 78
Στη συνέχεια (απο το Matlab) λαμβάνουμε: [N,Wn]buttord(,.793,, 30, '') N 6, Wn.56 [b,a]butter(n,wn,'') [bb,ab]lpbp(b,a,qrt(.3988),(wp-wp)) [n,d]bilinear(bb,ab,0.5) 0 Magnitude (db) -0-0 -30-40 -50 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Normalized Frequency ( π rad/ample) 7 / 78
Εισαγωγικά χαρακτηριστικά των IIR φίλτρων, σχεδιασμός στο πεδίο-z Συναρτήσεις αναλογικών φίλτρων- Butterworth, Chebyhev, Elliptic. Τα βήματα υλοποίησης ψηφιακών φίλτρων από αναλογικά Μέθοδος κρουστικής αμεταβλητότητας Διγραμμικός μετασχηματισμός Μετατροπή αναλογικού βαθυπερατού σε κάθε μορφής ψηφιακό φίλτρο, εύρεση των προδιαγραφών του αναλογικού βαθυπερατού. Σχεδιασμός ψηφιακών φίλτρων ας τάξεως 7 / 78
Ψηφιακά ζωνοπερατά φίλτρα ας τάξεως Η αναλογική συνάρτηση έχει την μορφή: Η απόκριση H a () χαρακτηρίζεται: από τη μέγιστη τιμή που λαμβάνει στη συχνότητα ο και από τις δύο συχνότητες αποκοπής και που ορίζονται σαν οι συχνότητες που η απόκριση "πέφτει" στο / του μεγίστου Αποδεικνύεται ότι : ο και α Δ - H a Η() () α + α + ο 0 ο 73 / 78
Ψηφιακά ζωνοπερατά φίλτρα ας τάξεως Εύρεση της συνάρτησης Η(z). Δοθέντων των ω,ω βρίσκονται τα, : Κtan(ω/). Από αυτά βρίσκονται τα αδ και ο και από αυτά η Η() και η Η(z): Η() H(z) H() z z+ + α α + ο z z+ 0 ο 74 / 78
Η() Εάν δίνονται τα Δω και ω ο Υπολογίζουμε αδ ως εξής: 0 ο tan Δω ω ω tan(ω / ) tan(ω / ) Δ tan + tan(ω / )tan(ω / ) + + ο α Δ (+ ο )tan Δω 75 / 78
Ψηφιακά ζωνοπερατά φίλτρα ας τάξεως Να σχεδιασθεί ψηφιακό φίλτρο ας τάξεως με: ζώνη διέλευσης 00-300Hz και συχνότητα δειγματοληψίας f khz Η() 0 ο ω 00 π ω 300 π tan tan 0.349 tan tan 0. 5095 000 000 ο 0.349 x 0.50950.655 και α - 0.846 H() H(z) H α 0.846 και + 0.846 + 0.655 ()... z z.36z + z+ 0.765z 76 / 78
Ψηφιακά ζωνοπερατά φίλτρα ας τάξεως Η() 0 ο Να σχεδιασθεί ψηφιακό ζωνοπερατό φίλτρο ας τάξεως με: συχνότητα δειγματοληψίας f 0kHz κεντρική συχνότητα f o.75 khz και εύρος ζώνης Δf 500 Hz Ψηφιακές συχνότητες: ω ο π.75/00.35π, Δωπ0.5/00.π Αναλογικές συχνότητες: ο tan (ω ο /)0.6, H(z) Δ(+ ο )tan(δω/)...0.76 0.76 + 0.76 + 0.6 0.367( z ) 0.7838z 0.765z z + + z 77 / 78
GUI for Filter Deign, Analyi, and Viualization http://www.mathwork.com/product/ignal/decription6.html Andrea Antoniou http://www.d-filter.ece.uvic.ca/supportmaterial.html 78 / 78