Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 6 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση 1: (α) Να προσεγγισθεί η τιµή του e µε ακρίβεια 0.001. (ϐ) Να προσεγγισθεί ο ln µε ακρίβεια 0.1. Λύση : Αν ξεκινήσουµε από τη συνάρτηση f(x) =e x και για f(1) = e για να υπολογίσουµε προσεγγιστικά το e µε ακρίβεια 0.001 ϑα πρέπει R n (1) = f n+1 (ξ) (n +1)! 1(n+1) 0.001 όπου 0 <ξ<1. Εφόσον το f n+1 (ξ) =e ξ και e< ϑα έχουµε e ξ <e 1 <, τότε αν n 6, R n (1) = (n +1)! 0.001 e =1+1+ 1! + 1! + 1 4! + 1 5! + 1 6!.71805556. (ϐ) Οµοια από τη συνάρτηση f(x) =ln(1+x) ϑα έχουµε για το υπόλοιπο R n (1) = f n+1 (ξ) (n +1)! = ( 1) n n! 1 (1 + ξ) n+1 (n +1)! = ( 1) n (1 + ξ) n+1 (n +1) επειδή το ξ>0ϑα έχουµε R n (1) < 1 n+1 και για να είναι το Rn (1) < 0.1 ϑα πρέπει το n>9 f(1) = 1 1 + 1 1 4 + 1 5 1 6 + 1 7 1 8 + 1 9 0.74564909 Άσκηση : (α) Χρησιµοποιήστε τη σειρά MacLaurin 1 1 x =1+x + x + x +... 1
όπου x<1, για να υπολογίσετε τη ϱητή συνάρτηση f(x) = r(x) που µπορεί να αναλυθεί p(x) στη σειρά kx k+1. (ϐ) Υπολογίστε το άθροισµα Λύση : (α) Θα ξεκινήσουµε από τη σειρά ή k k+1. kx k+1 = x +x +x 4 +4x 5 +... kx k+1 = x (1 + x +x +4x +...) το άθροισµα στη παρένθεση ( ) d 1 = d dx x 1 dx (1 + x + x + x + x 4 +...) ( ) d 1 =1+x +x +4x +... dx x 1 Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι kx k+1 = x (1 + x +x +4x +...) =x d ( ) 1 = dx x 1 (ϐ) Για x =1/ ηπαραπάνωσχέσηϑαδώσει k = k k+1 ( ) k+1 1 = ( 1 ) (1 1 =1. ) x (1 x) Άσκηση : Αναπτύξτε τη συνάρτηση f(x) = sin(x ) σε σειρά MacLaurin και µε τη ϐοήθεια της σειράς αυτής υπολογίστε την παράγωγο f (9). Λύση : Από το ανάπτυγµα sin x = x x! + x5 5! x7 7! +...
αν αντικαταστήσουµε x x ϑα έχουµε sin(x )=x x 6! + 5 x 10 5! 7 x 14 7! +... ο συντελεστής του όρου x 9 ϑα είναι f 9 9! παρατηρούµε όµως ότι η σειρά περιέχει µόνο άρτιες δυνάµεις του x και ο συντελεστής της x 9 ϑα είναι µηδέν (f 9 = 0). Άσκηση 4: Βρείτε τις σειρές MacLaurin των παρακάτω συναρτήσεων : (α) f(x) =x 5 +x 4 +5x +6x + (ϐ) f(x) =coshx sinh x Λύση : (α) Ξεκινάµε µε το να παραγωγίσουµε κατέξακολούθηση την συνάρτηση µας, και να εκτι- µήσουµε τις παραγώγους στο x =0.Εποµένως:f =, f = 5x 4 +1x +10x+6 = 6, f = 0x +6x +10 = 10, f = 60x +7x =0, f = 10x +7 = 7, f = 10. ΟγενικόςτύποςτωνσειρώνMacLaurinείναι: k=5 k=0 Εποµένως f (k) k! x k = f + f x + f x + f x + f x 4 + f!! 4! 5! +6x + 10 x + 7 4 x4 + 10 10 x5 =+6x +5x +x 4 + x 5 Άρα η σειρά MacLaurin της συνάρτησης f(x) είναι ο εαυτός της. (ϐ) Θα χρησιµοποιήσουµε την εκθετική µορφή των υπερβολικών συναρτήσεων : cosh x = ex + e x and sinh x = ex e x Από το ανάπτυγµα MacLaurin της εκθετικής συνάρτησης έχουµε : x 5 e x =1+(x)+ (x)! +... + (x)n n! Άρα e x =1+( x)+ ( x)! e x e x =0+(x)+ x! +... + ( x)n n! +... + n+1 x n+1 (n +1)! = n=0 n+ x n+1 (n +1)!
και τέλος : f(x) =coshx sinh x = ex e x = n=0 n x n+1 (n +1)! Άσκηση 5: Βρείτε την σειρά MacLaurin της συνάρτησης : f(x) = ln(1 + x a ) και το διάστηµα σύγλισης της. Ποια η προσεγγιστική τιµή της εάν χρησιµοποιήσουµε τους πρώτους όρους του αναπτύγµατος MacLaurin για x =0. και a =1. Η τιµή αυτή τουx είναι µέσα στο διάστηµα σύγκλισης; Εκτιµήστε και το σχετικό σφάλµα της προσέγγισης αυτής, δηλαδή το R (x). Λύση : Θα χρησιµοποιήσουµε το γνωστό ανάπτυγµα : ln(1 + y) =y y + y yn +... +( 1)n 1 n που έχει διάστηµα σύγλισης το 1 <y 1. Για την περίπτωση µας ϑέτοντας y =x a παίρνουµε ln(1 + x a )=x a x a + x a +... +( 1) n 1 n xan n που τώρα ϐέβαια το διάστηµα σύγκλισης είναι το 0 x a 1/. Θέλουµε να δούµε ποιό είναι το σφάλµα της προσέγγισης της συνάρτησης αυτής (για a =1)εάνχρησιµοποιησουµεµόνοτουςπρώτουςόρουςτουαναπτύγµατοςστοx =0.. Καταρχάς έχουµε ότι 0 <x< 1/ οπότε το σηµείο µας αυτό είναι µέσα στο διάστηµα σύγκλισης. Ογενικόςτύποςτηςαπόκλισηςµιαςπροσέγγισης στον νιοστό όρο δίδεται στην άσκηση 1(µετηνµόνηδιαφοράπουεδώαντίγιαx ηµεταβλητήµαςείναιx). Στην περίπτωση µας έχουµε λοιπόν : R n (x) = f (n+1) x n+1 (c) (n +1)! = ( 1) n n+1 n! x n+1 (1 + c) n+1 (n +1)! Οπότε το σφάλµα της προσέγγισης στο ανάπτυγµα µέχρι και ο όρο δίδεται από την : R (x) = f () (c) x! = 54 x (1 + c)! όπου το c παίρνει τιµή µεταξύ του 0 και του x =0.. R (0.) = 54 0. (1 + c)! 54 0.! =9 0. 0.4. Άρα η απόκλιση από την ορθή τιµή της συνάρτησης ϑα είναι κατά µέγιστο 0.4 µε µια προσέγγιση των πρώτων όρων. Πράγµατι εάνυπολογίσουµετηνσυνάρτησηµαςµε 4
την αριθµοµηχανή έχουµε : ln(1.9) = 0.64185 Με την δε προσέγγιση των πρώτων όρων έχουµε : 0. ( 0. )/ =0.495. Άραηαπόκλισηείναι: 0.1468 <R. Άσκηση 6: Υπολογίστε τα όρια lim x 0 f(x) των κάτωθι συναρτήσεων χρησιµοποιώντας αναπτύγµατα Taylor. (a) f(x) = arctan(x) sin(x) x cos x (b) f(x) = ln(1 + x ) x sin x x Λύση : (α) Από τα γνωστά αναπτύγµατα Taylor του ηµιτόνου, συνηµητόνου και τόξο εφαπτοµένης, προσαρµοσµένα στις µεταβλητές των συναρτήσεων που µας δίδονται στο πρόβληµα αυτό, έχουµε ότι : arctan(x) =x (x) + (x)5 5 sin x = x x! + x5 5!... cos x =1 x! + x4 4!... Οαριθµητήςτηςσυνάρτησηςδίνεταιαπό: arctan(x) sin x =x (x) + (x)5 5...... ) (x x! + x5 5!... = Και τελικά έχουµε : x 5x + 767x5 10... x 5x lim f(x) = lim + 767x5... 10 x 0 x 0 x x + x5...! 4! = 1 lim x 0(5x /) +... 1 lim x 0 (x /!) +... =1 (ϐ) Από τα γνωστά αναπτύγµατα Taylor του λογαρίθµου του 1+x και του ηµιτόνου, προσαρµοσµένα στις µεταβλητές των συναρτήσεων που µας δίδονται στο πρόβληµα αυτό, έχουµε ότι : ln(1 + x )=x x6 + x9... sin(x )=x x6! + x10... 5! 5
Εποµένως, ln(1 + x ) x lim f(x) = lim x 0 x 0 sin x x = lim x6 + x9 x 0 x6 + x10!...... = 5! 1 lim + x... x 0 1 + x4... = 1/ + limx 0(x9 /)... 1/6 + lim! 5! x 0 (x 4 /5!)... = 6