Η ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΤΗΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΠΕΡΙΗΛΙΟΥ ΤΟΥ ΠΛΑΝΗΤΗ ΕΡΜΗ Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΤΟΥ ΗΛΙΑΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Όως είνι γνωστό, όλ τ ουράνι σώµτ του Ηλικού συστµτος, λντες, στεροειδείς, κοµτες κλ. κθώς κι ο Ήλιος, εριστρέφοντι γύρω ό το κέντρο µάζς του Ηλικού µς συστµτος. Εειδ όµως, κάθε λντης P (1,,3,...), τοι κτά σειρά, Ερµς, Αφροδίτη, Γη, κ.λ.. έχει µι ερίοδο εριστροφς Τ γύρω ό τον Ήλιο, υτό σηµίνει ότι, θεωρητικώς κάοι χρονικ στιγµ t, όλοι οι λντες θ βρεθούν στην ίδι ηµιευθεί οχ ( ολύ λησίον υτς) τοι θ βρεθούν, σε µι ολικ γενικ σύνοδο, σχ. 1. Ας υοθέσουµε ότι, στην ερίτωση υτ C είνι το κέντρο µάζς του Ηλικού µς συστµτος. Όως είνι γνωστό, το κέντρο µάζς του Ηλικού µς συστµτος, ρµένει άντοτε στθερό στη θέση C εί της ευθείς χχ κι η θέση του υτ C είνι, νεξάρτητη ό την κίνηση των λνητών, γύρω ό υτό. Λµβάνοντς τώρ, ως ρχ µετρσεων τον Ήλιο η όστση d, ου έχει ο Ήλιος ό το κέντρο µάζς C του Ηλικού συστµτος, δίδετι (όως είνι γνωστό) ό τον τύο: d M1R1 + M M + M 1 R+ M 3R + M + M 3 3 +... + M R +... + M (1) όου, Μ 1, Μ, Μ 3,... Μ είνι οι µάζες των λνητών κι R 1, R, R 3,... R, οι ντίστοιχες οστάσεις τους ό τον Ήλιο. Μ, είνι η µάζ του Ηλίου.
Αντικθιστώντς τώρ, στον τύο (1) τις τιµές των Μ, Μ 1, Μ, Μ 3,... Μ κι R 1, R, R 3,... R όως υτές δίδοντι ό τον ίνκ 1 (Στοιχεί της NASA Solar system), ο τύος (1) µς δίδει: d,8 1 1,1 1 3 3 d 1,55 1 m ου είνι η όστση d, ου έχει ο Ήλιος ό το κέντρο µάζς C του Ηλικού µς συστµτος. Είσης, εειδ η κτίν r του Ηλίου είνι: r 6,55 1 8 m υτό σηµίνει ότι, το κέντρο µάζς του Ηλικού µς συστµτος, βρίσκετι εκτός του Ηλίου κι µάλιστ σε όστση d, τοι: d d r d 8 1,55 1 6,55 1 d 8,5 1 8 m ηλδ, το κέντρο µάζς του Ηλικού µς συστµτος βρίσκετι σε όστση ερισσότερο ό µί κτίν του Ηλίου, έξω ό την ειφάνειά του. Σηµείωση: Γι τον ράνω υολογισµό του κέντρου µάζς του Ηλικού µς συστµτος δεν ελφθησν υόψη οι δορυφόροι των λνητών, κθότι η µάζ τους είνι άρ ολύ µικρ, σχετικά µε τη συνολικ µάζ του Ηλικού µς συστµτος.
ΠΙΝΑΚΑΣ 1 (Στοιχεί της NASA, Solar system) ΠΛΑΝΗΤΗΣ P ΜΑΖΑ [kgr] M 1. Ερµς 3,3 1 3 57, 1. Αφροδίτη 4,868 1 4 18,8 1 3. Γη 5,73 1 4 14,57 1 4. Άρης 6,418 1 3 7,36 1 5. ίς 1,88 1 7 778,41 1 6. Κρόνος 5,685 1 6 1,46 1 1 7. Ουρνός 8,684 1 5,87 1 1 8. Ποσειδών 1,4 1 6 4,48 1 1. Πλούτων 1,3 1 5,6 1 1 ΗΛΙΟΣ 1,8 1 3 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟ ΤΟΝ ΗΛΙΟ [m] R Συνεώς, εειδ όως νφέρµε ράνω, όλ τ ουράνι σώµτ του Ηλικού µς συστµτος, εριστρέφοντι γύρω ό το κέντρο µάζς του Ηλικού συστµτος έτσι κι ο Ήλιος θ εριστρέφετι κι υτός, γύρω ό το κέντρο µάζς του Ηλικού συστµτος, σε µί ερίου κυκλικ τροχιά κτίνς d 1,55 1 m. Το γεγονός υτό, όως θ δούµε µέσως ρκάτω ίζει κθοριστικό ρόλο, σε ότι φορά κυρίως το φινόµενο της µετκίνησης του εριηλίου του λντη Ερµ, κθώς κι των άλλων λνητών του Ηλικού µς συστµτος.
Β. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΠΕΡΙΗΛΙΟΥ ΤΟΥ ΠΛΑΝΗΤΗ ΕΡΜΗ Ας υοθέσουµε σχ., ότι έχουµε έν σύστηµ νφοράς xoy του οοίου η ρχ o, είνι το κέντρο µάζς του Ηλικού µς συστµτος. Στο σύστηµ υτό νφοράς xoy, ο Ήλιος κινείτι σε κυκλικ τροχιά C, µε κέντρο το σηµείο ο κι κτίν d 1,55 1 m. Είσης, γι λόγους λότητς στο σύστηµ υτό νφοράς xoy θεωρούµε τις τροχιές C όλων των λνητών P κυκλικές, όου 1,,3,... είνι κτά σειράν οι λντες Ερµς, Αφροδίτη, Γη, Άρης, ίς, Κρόνος, Ουρνός, Ποσειδών κι Πλούτων.
Στο σύστηµ υτό νφοράς xoy, ως όστση R ενός λντη P ό τον Ήλιο θεωρούµε την όστση R µετξύ των δύο οµοκέντρων εριφερειών, τοι της εριφέρεις C του λντη P κι της εριφέρεις C του Ηλίου. Οι οστάσεις υτές R των λνητών P ό τον Ήλιο, είνι υτές ου νφέροντι στο ίνκ 1. Α. Ο ΠΛΑΝΗΤΗΣ ΕΡΜΗΣ Στο σύστηµ νφοράς xoy, ο Ήλιος εριστρεφόµενος εί της τροχιάς του C µε ερίοδο T κι ο λντης Ερµς εριστρεφόµενος εί της τροχιάς του C 1 µε ερίοδο Τ 1 (Τ << Τ 1 ), η όστση R 1 µετξύ Ηλίου κι λντη Ερµ συνεχώς µετβάλλετι (εριοδικώς), συνρτσει του χρόνου t, R 1 R 1(t). Η όστση R 1 µετβάλλετι ό R 1,mn R 1 (εριλιον), έως R 1,max R 1 +d (φλιον). Συνεώς, στην ερίτωση υτ (ισοδύνµη ερίτωση) είνι, σν λιος ν βρίσκετι στο σηµείο ο (τοι, στο κέντρο µάζς του Ηλικού συστµτος, οότε η όστση µετξύ Ηλίου κι λντη Ερµ θ είνι: R 1,mn + R 1,max R [ 1, εριλιον ] + ( R1 + d)[ φλιον ] R 1 + d (1) b. ΟΙ ΑΛΛΟΙ ΠΛΑΝΗΤΕΣ Γι τους άλλους λντες P (,3,...) τοι Αφροδίτη, Γη, Άρης,... κλ., εειδ η όστση d1,55 1 m είνι άρ ολύ µικρ σχετικά µε την όστσ τους R ό τον Ήλιο (d << R ), υτό έχει ως συνέει οι τροχιές τους C ν µην εηρεάζοντι ισθητά ό την εριστροφ του Ήλιου γύρω το κέντρο µάζς του Ηλικού συστµτος, όως.χ. συµβίνει στην ερίτωση του λντη Ερµ. Έτσι λοιόν, γι τους λντες υτούς P, δεχόµστε την κρίβει του ρώτου Νόµου του Kepler, όου στο Νόµο υτό (όως είνι γνωστό) δεχόµστε ότι, ο Ήλιος συµίτει µε το κέντρο µάζς του Ηλικού συστµτος. Συνεώς, στην ερίτωση υτ η οστάσεις R των λνητών P (,3,...) ό τον Ήλιο, είνι υτές ου νφέροντι στον ίνκ 1.
Μετά λοιόν ό υτά ου νφέρµε ράνω, ο υολογισµός της µετκίνησης του εριηλίου του λντη Ερµ, νάγετι στο ρκάτω ισοδύνµο ρόβληµ: ΤΟ ΙΣΟ ΥΝΑΜΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδετι έν Ηλιοκεντρικό σύστηµ νφοράς xoy, µε το Ήλιο κίνητο στη θέση ο, όου ο είνι το κέντρο µάζς του Ηλικού µς συστµτος. Ο λντης Ερµς, κινείτι σε κυκλικ τροχιά µε κέντρο το σηµείο ο κι κτίν, σύµφων µε τη σχέση (1), τοι: R 1 + d R1 +1,55 1 m () Όλοι οι υόλοιοι λντες P (,3,...) τοι, οι λντες Αφροδίτη, Γη, Άρης,...κλ. κινούντι σε κυκλικές τροχιές C, µε κέντρο το σηµείο ο κι µε κτίνες R (οστάσεις ό τον Ήλιο), όως υτές δίδοντι ό τον ίνκ 1. Σηµείωση: Στη σχέση () η κριβς όστση R 1, µετξύ Ηλίου κι λντη Ερµ θ υολογιστεί µέσως ρκάτω. ΑΠΟ ΕΙΞΗ 1. Η κλσικ ερίτωση Όως είνι γνωστό τον Le Verrere µέχρι κι σµερ γι τον υολογισµό της µετκίνησης του εριηλίου του λντη Ερµ εργζόµστν, θεωρώντς τον Ήλιο κίνητο κι ν συµίτει το κέντρο µάζς του Ηλίου µε το κέντρο µάζς του Ηλικού συστµτος, χωρίς ν λµβάνουµε υόψη µς την εριστροφ του γύρω ό το κέντρο µάζς του Ηλικού µς συστµτος. Έτσι λοιόν, στην κλσικ υτ ερίτωση η ελκτικ δύνµη ου σκεί ο Ή- λιος στον λντη Ερµ είνι: 1,318 Ν (3) 1 (Βλέε Chrs Pollock http://www.math.toronto.edu/~colland/46_3/papers3/c_pollock.pdf) Η δύνµη υτ (ως γνωστό) ντιστοιχεί σε µί όστση R 1, Ηλίου λντη Ερµ, η οοί δίδετι ό τον Νόµο του Νεύτων: m M G (4) R1
όου, G 6,67 1-11 η στθερά της γκόσµις έλξης. m 3,3 1 3 Kg η µάζ του λντη Ερµ M 1, 8 1 3 Kg η µάζ του Ηλίου, κι 1,318 1 Ν. } (5) Αντικθιστώντς τις ράνω τιµές (5) στη σχέση (4), έχουµε: R 1 57,651 1 m. (6) Αυτ είνι η κριβς όστση µετξύ Ηλίου λντη Ερµ, σε έν Ηλιοκεντρικό σύστηµ µε τον Ήλιο κίνητο στο κέντρο µάζς του Ηλικού συστµτος κι χωρίς ν λάβουµε υόψη µς την εριστροφ του Ήλιου γύρω ό υτό. (Είνι, η γνωστ µέχρι σµερ κλσικ ερίτωση). Σηµείωση: Στην κλσικ υτ ερίτωση η µετκίνηση του λντη Ερµ νέρχετι σε 531, / ιών. (βλέε, ράνω εργσί Chrs Pollock).. Η ερίτωση µε τ νέ δεδοµέν κι ο υολογισµός της µετκίνησης του εριηλίου του λντη Ερµ. Αντίθετ τώρ, σύµφων µε τ νέ δεδοµέν, τοι εάν λάβουµε υόψη µς κι την εριστροφ του Ήλιου γύρω το κέντρο µάζς του Ηλικού µς συστµτος, τότε µε βάση το ισοδύνµο ρόβληµ ου νφέρµε ράνω ό τις σχέσεις () κι (6), η όστση µετξύ Ηλίου λντη Ερµ θ είνι: R 1 + 1,55 1 m 57,651 1 m + 1,55 1 m 5,156 1 m (7) Μετά ό υτά ου νφέρµε ράνω µορούµε λέον τώρ ν εργστούµε γι τον υολογισµό της µετκίνησης του εριηλίου του Πλντη Ερµ. Σύµφων λοιόν, µε το ισοδύνµο ρόβληµ κι µε βάση την τιµ (7) η δύνµη ου σκεί ο Ήλιος Μ στο λντη Ερµ m, είνι: m M a G 6,67 1 11 3 3,3 1 1,8 1 (5,156 1 ) 3
Ν Είσης, όως είνι γνωστό κι µε βάση το ισοδύνµο ρόβληµ η µετκίνηση δφ του εριηλίου του λντη Ερµ, νά ερίοδο Τ του λντη Ερµ (βλέε ράνω εργσί Chrs Pollock), δίδετι ό τη σχέση (): όου, ψ είνι η γωνί της γρµµς των ψίδων του λντη Ερµ κι είνι η δύνµη ου σκούν όλοι µζί οι λντες P (,3,...) στον λντη Ερµ η οοί δύνµη, δίδετι ό τη σχέση: Αό τις σχέσεις (1) κι (11), έχουµε την τελικ σχέση: 1,5 1 (8) Τ + ψ δφ () + ) ( 1 R R a Gm λ ψ ι (1) R m G λ (11) + ) ( 1 R R Gm R m G λ λ ψ ι (1)
όου, στη σχέση (1), λ είνι οι γρµµικές µάζες των λνητών P (,3,...) τοι Αφροδίτης, Γης, Άρη, ί, Κρόνου, Ουρνού, Ποσειδών, κι Πλούτων. Εειδ ως γνωστόν η γρµµικ µάζ λ ενός λντη δίδετι ό τη σχέση: λ M (13) R όου, M είνι η µάζ του λντη P κι R είνι η όστσ του ό τον Ήλιο, τότε ό τη σχέση (13) κι µε βάση τον ίνκ 1 έχουµε τις ρκάτω τιµές γι τις γρµµικές µάζες λ των λνητών υτών, τοι: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΜΑΖΕΣ ΠΛΑΝΗΤΩΝ Αφροδίτη: λ 7,15 1 1 Γη : λ 3 6,354 1 1 Άρης : λ 4 4,481 1 11 ίς : λ 5 3,88 1 14 Κρόνος : λ 6 6,344 1 13 Ουρνός : λ 7 4,815 1 1 Ποσειδών: λ 8 3,63 1 1 (14) Πλούτων : λ 35.34.11 Είσης, στη σχέση (1) είνι: G 6,67 1-11, η στθερά της γκόσµις έλξης. m 3,3 1 3, η µάζ του λντη Ερµ. λ οι γρµµικές µάζες των λνητών P (,3,...) όως δίδοντι ό τις σχέσεις (14). R οι οστάσεις των λνητών P (,3,...) ό τον Ήλιο, όως δίδοντι ό τον ίνκ 1. 5,156 1 m η όστση Ηλίου λντη Ερµ όως δίδετι ό τη σχέση (7). 1,5 1 N η δύνµη ου σκεί ο Ήλιος στον λντη Ερµ, όως δίδετι ό τη σχέση (8), (15)
Σηµείωση: Το ρνητικό ρόσηµο της δύνµης, σηµίνει ότι η δύνµη ου σκεί ο Ήλιος στον λντη Ερµ είνι ντίθετη µε τη δύνµη, ου σκούν όλοι µζί οι άλλοι λντες στον λντη Ερµ. Αό τη σχέση (11) σύµφων µε τις τιµές (14) κι (15) ροκύτει ότι, η δύνµη, είνι: 7,75 1 15 Ν Αντικθιστώντς τώρ στην τελικ σχέση (1) τις τιµές ου δίδοντι ό τις σχέσεις (14) κι (15) έχουµε: ψ 7,75 1 1+ 1,5 1 1,333 1 +,54 1 15 16 ψ (1+ 6,1163 1 + 4,54763 1 7 7 ) ψ 3,141561 ψ 6,8314 (16) Είσης, είνι: 6,8318537 (17) Αό τις σχέσεις (16) κι (17) έχουµε: ψ 6,735 1 κτίνι 6 (18)
Οότε, ό τις σχέσεις (18) κι (), έχουµε: δφ+ 6,735 1 κτίνι νά ερίοδο Τ του λντη Ερµ. (Τ 87,6 ηµέρες) 6 δφ+1,381 νά ερίοδο Τ του λντη Ερµ ( κτίνι 1.6. ) δφ+5,767 / έτος (1 έτος 365,4 ηµέρες), τελικώς: δφ +576,7 / ιών (1) Αυτ είνι λοιόν, η ζητούµενη τιµ της µετκίνησης δφ του εριηλίου του λντη Ερµ, ότν λάβουµε υόψη µς κι την εριστροφ του Ήλιου, γύρω ό το κέντρο µάζς του Ηλικού µς συστµτος. Η τιµ υτ των 576,7 / ιών ου ροέκυψε συµφωνεί µε άρ ολύ µεγάλη κρίβει µε την τιµ των 574,8 / ιών ου µς δίδουν οι στρονοµικές ρτηρσεις γι την µετκίνηση του εριηλίου του Ερµ µε σφάλµ ε το οοίο είνι: τοι: ε 576,7 574,8 ε 3 ( τοις χιλίοις) / ι / ώιών 574,8 µε διφορά δ: τοι: δ 576,7 574, 8 δ 1, / ιών
Όως ρτηρούµε, η διφορά υτ δ 1, / ιών είνι άρ ολύ µικρ κι φνερώνει τ ργµτικά ίτι τις µετκίνησης του εριηλίου του λντη Ερµ τ οοί είνι κυρίως: a) Οι ρελκτικές δυνάµεις ό τους άλλους λντες ου σκούντι στον λντη Ερµ, κι b) Η εριστροφ του Ήλιου, γύρω ό το κέντρο µάζς του Ηλικού συστµτος, όως οδείξµε ράνω. Μετά λοιόν, ό όλ υτά ου νφέρµε στ ροηγούµεν, κτλγουµε τώρ στο ρκάτω βσικό συµέρσµ: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Τ 43 / ιών της µετκίνησης του εριηλίου του λντη Ερµ τ οοί υολείοντι των στρονοµικών ρτηρσεων δεν οφείλοντι στην κµύλωση του χωροχρόνου γύρω ό τον Ήλιο, όως λνθσµέν ισχυρίζετι η Θεωρί της Σχετικότητς. Τ 43 / ιών της µετκίνησης του εριηλίου του λντη Ερµ (όως οδείχτηκε ράνω) οφείλοντι στην εριστροφ του Ήλιου, γύρω το κέντρο µάζς του Ηλικού µς συστµτος, γεγονός το οοίο δεν ελφθη οτέ µέχρι σµερ υ- όψη γι τον υολογισµό της µετκίνησης του εριηλίου του λντη Ερµ. Τελικώς, µετά ό όλ υτά ου νφέρµε στη µελέτη υτ η Θεωρί της Σχετικότητς θ ρέει ν θεωρηθεί νµφισβτητ λνθσµένη. ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Με την ράνω εργσί, υολογίστηκε η µετκίνηση του εριηλίου του λντη Ερµ µε σφάλµ ε 3 (τοις χιλίοις) / ιών µε διφορά δ 1, / ιών.
Βεβίως, υάρχουν κι άλλες θεωρητικές µέθοδοι µε διφορετικό σκετικό µε βάση τις οοίες, µορεί ν υολογιστεί η µετκίνηση του εριηλίου του λντη Ερµ, ίσως µε κόµη µικρότερο σφάλµ ε κι διφορά δ. Οι υολογισµοί των θεωρητικών υτών µεθόδων εάν, ρουσιάζουν σφάλµ ε << 3 (τοις χιλίοις) / ιών κι διφορά δ << του 1, / ιών (συγκριτικά µε την ρούσ µελέτη) θ έχουν ολύ ενδιφέρον ν δηµοσιευθούν. Copyrght 6: Chrstos A. Tsolkas Χρστος Α. Τσόλκς Μάϊος 6