ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ. 0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Πολλπλσισμός-Διίρεση ρητών πρστάσεν Πολλπλσισμός Γι ν πολλπλσιάσουμε ένν κέριο ριθμό με έν κλάσμ ή ι ν πολλπλσιάσουμε δύο κλάσμτ, χρησιμοποιούμε τους εξής κνόνες.. κι. δ δ Οι ίδιες ενέρειες ίνοντι κι ότν έχουμε ν πολλπλσιάσουμε μι κέρι με μι ρητή πράστση ή δύο ρητές πρστάσεις. 6 ( ) Γι πράδειμ,. κι. 5 5 5 5 5( ) 5 Διίρεση Γι ν διιρέσουμε δύο κλάσμτ χρησιμοποιούμε τον πρκάτ κνόν : δ δ. δ Με τον ίδιο τρόπο διιρούμε κι δύο ρητές πρστάσεις. Γι πράδειμ, ( )( ) :. ( ) ( ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτ ισότητες με (Σ),ν είνι σστές ή με ( Λ ), ν είνι λνθσμένες ) ) ) : δ) :
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ε) 5 5 στ) ζ) 0 η) : ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η είνι λάθος (Λ) ιτί δεν πολλπλσιάζουμε το με τον προνομστή.. Η είνι σστή (Σ) ιτί εφρμόζουμε την ιδιότητ. Η είνι λάθος (Λ) ιτί :. Η δ είνι σστή (Σ) ιτί. Η ε είνι σστή (Σ) ιτί πλοποιείτι το - πό τον ριθμητή κι τον προνομστή. ( - ) - Η στ είνι λάθος (Λ) ιτί... ( ) Η ζ είνι λάθος (Λ) ιτί. ( ) ( ) Η η είνι σστή (Σ) ιτί :. ( ). Ν συμπληρώσετε τις ισότητες... 6 ) )... ) δ)...... ε) : στ)...... ΑΠΑΝΤΗΣΗ... : :...
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 5 6 ) ) ) : δ) - ε) : στ) : ) Γι ν προκύψει ριθμητής το 6 πρέπει το ν πολλπλσιστεί με το. ) Πρέπει τυτόχρον ν πλοποιηθεί το κι το ν ίνει άρ πρέπει ν άλουμε.. ) Μεττρέπουμε την διίρεση σε πολλπλσισμό κι πρτηρούμε ότι πρέπει ν πλοποιηθεί το το οποίο κι άζουμε. δ) Γι ν προκύψει μονάδ πρέπει ν πολλπλσιάσουμε με το ντίστροφο κλάσμ. ε) Γι ν προκύψει μονάδ πρέπει επειδή η διίρεση ντιστρέφει το κλάσμ ν διιρέσουμε με την ίδι κλσμτική πράστση. στ) Επειδή με την διίρεση ντιστρέφετι το κλάσμ πρέπει ν άλουμε στον προνομστή ώστε με την ντιστροφή ν πλοποιήσει το.. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Ν υπολοίσετε τ ινόμεν ) ) 9 ) 9 6 δ) ε) ( ) 5 0 στ) ) 9 ) ) 9 6 δ) 5 ε) ( 5 ) 0 0 6 στ) ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητ. δ δ ) Ομοίς κι πλοποιούμε.. ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητ.. δ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητ.. δ δ ε) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητ.. στ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητ. δ δ
6 ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ Ν κάνετε τις διιρέσεις 6 ) 8 : ) : ) : δ) : 6 ) 8 : 8 6 : ) ) : δ) : ΑΣΚΗΣΗ Ν υπολοίσετε τ ινόμεν 6 5 ) ) 5 5 6 δ) ε) 6 ) Μεττρέπουμε την διίρεση σε πολλπλσισμό κι κτόπιν εφρμόζουμε την ιδιότητ.. ) Μεττρέπουμε την διίρεση σε πολλπλσισμό κι κτόπιν εφρμόζουμε την ιδιότητ.. δ δ ) Ομοίς δ) Ομοίς. ).. 9 στ) 9 6 ) ( ) 8( ) 8 ( ) 5 5 ) ( ) 5-5 ). ) Προντοποιούμε τον ριθμητή του πρώτου κλάσμτος κι κτόπιν χρησιμοποιούμε την ιδιότητ. κι πλοποιούμε. δ δ ) Αλλάζουμε το πρόσημο στο δεύτερο κλάσμ κι κτόπιν χρησιμοποιούμε την ιδιότητ. κι πλοποιούμε. δ δ
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 7 ( - )( ) ( ) χ ( - )( ) ( δ) 6 ( )( - ) ( )( - ) ( ) ) 5 6 ε) ( ) ( )( ) ( )( - ) ( ) - 9 στ) 9 ( )( - ) ( ) ( - ) ( ) ) Προντοποιούμε τον προνομστή του δεύτερου κλάσμτος κι χρησιμοποιούμε την ιδιότητ. κι πλοποιούμε. δ δ δ) Προντοποιούμε τους όρους τν κλσμάτν κι κτόπιν χρησιμοποιούμε την ιδιότητ. κι πλοποιούμε. δ δ ε) Προντοποιούμε τους όρους τν κλσμάτν κι κτόπιν χρησιμοποιούμε την ιδιότητ. κι πλοποιούμε δ δ στ) Προντοποιούμε τους ό- ρους τν κλσμάτν κι κτόπιν χρησιμοποιούμε την ιδιότητ. κι πλοποιούμε δ δ ΑΣΚΗΣΗ Ν κάνετε τις διιρέσεις ) : ) 5 5 δ) : ( ) ε) : : ) : ( ) στ) : 8 5 ) : 5 5 5 ) : : (- ) - ) : ( ) ) Μεττρέπουμε την διίρεση σε πολλπλσισμό κι κτόπιν χρησιμοποιούμε την ιδιότητ κι πλοποιούμε ) Ομοίς ) Ομοίς δ) Ομοίς ε) Μεττρέπουμε την διίρεση σε πολλπλσισμό τυτόχρον προντοποιούμε τον προνομστή του πρώτου κλάσμτος κι τον προνομστή του δεύτερου κτόπιν
8 ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ δ) : ( ) ε) : ( ) ( ) - ( ) ( ) στ) : 8 ( )( - ) ( )( ) - ΑΣΚΗΣΗ 5 Ν υπολοίσετε τις πρστάσεις 8 8 6 ) : ) : 6 ) : 8 8 ) : ( ) 8( -) ( ) 6 ) : ( ) ( ) : : ( ) 6 ) : 6 ( ) ( ) ( ) χρησιμοποιούμε την ιδιότητ. κι πλοποιούμε δ δ στ) Μεττρέπουμε την διίρεση σε πολλπλσισμό τυτόχρον προντοποιώντς τους όρους τν κλσμάτν κτόπιν κάνουμε τον πολλπλσισμό κι πλοποιούμε ) Μεττρέπουμε την διίρεση σε πολλπλσισμό. Τυτόχρον προντοποιούμε τον ριθμητή του δεύτερου κλάσμτος κι τον προνομστή του τρίτου κλάσμτος κι πλοποιούμε. ) Πολλπλσιάζουμε πρώτ τ κλάσμτ μέσ στην πρένθεση προντοποιώντς τυτόχρον τον ριθμητή του πρώτου κλάσμτος.κτόπιν μεττρέπουμε την διίρεση σε πολλπλσισμό. Κάνουμε τον πολλπλσισμό κι μετά πλοποιούμε. ) Μεττρέπουμε την διίρεση σε πολλπλσισμό μέσ στην πρένθεση. Κτόπιν κάνουμε τους πολλπλσισμούς εφρμόζοντς την ιδιότητ ε..ε.. δ ζ.δ.ζ
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 9 Πρόσθεση- Αφίρεση ρητών πρστάσεν Γι ν προσθέσουμε ή ν φιρέσουμε κλσμτικές λερικές πρστάσεις κολουθούμε την ίδι διδικσί με υτήν της πρόσθεσης κι της - φίρεσης ομνύμν ή ετερνύμν κλσμάτν δηλδή: Έστ ότι έχουμε τις λερικές πρστάσεις κι κι. τότε : Ότν οι λερικές πρστάσεις έχουν διφορετικό προνομστή δηλδή: κι τότε τις μεττρέπουμε σε κλσμτικές λερικές πρστάσεις δ με τον ίδιο προνομστή όπς κριώς κι στ κλάσμτ δ δ δ δ κι δ δ δ δ δ δ δ δ Γι ν μεττρπούν οι κλσμτικές λερικές πρστάσεις σε πρστάσεις με τον ίδιο προνομστή πρέπει ν ρούμε το Ε.Κ.Π τν προνομστών κολουθώντς την εξής διδικσί: Προντοποιούμε τους προνομστές νλύοντς τους ριθμητικούς συντελεστές κι τ πολυώνυμ σε ινόμεν πρώτν πρόντν. Σχημτίζουμε το ινόμενο πό τους κοινούς κι μη κοινούς πράοντες πίρνοντς τον κθένν π υτούς με τον μελύτερο εκθέτη. Διιρούμε το Ε.Κ.Π τν προνομστών(το ινόμενο που ρήκμε πιο πάν) με κάθε προνομστή. Πολλπλσιάζουμε τους όρους κάθε κλσμτικής πράστσης με το ντίστοιχο πηλίκο. Οι κλσμτικές λερικές πρστάσεις τώρ έχουν μεττρπεί σε κλσμτικές λερικές πρστάσεις με τον ίδιο προνομστή κι τις προσθέτουμε ή τις φιρούμε κτά περίπτση. π. χ 6
0 ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Προντοποιούμε τους πρνομστές,, 6 ( ) ( ) ( ) Σχημτίζουμε το ινόμενο πό τους κοινούς κι μη κοινούς πράοντες πίρνοντς τον κθένν π υτούς με τον μελύτερο εκθέτη. (Το οποίο είνι το Ε.Κ.Π τν προνομστών) Βρίσκουμε τ πηλίκ του Ε.Κ.Π με κάθε προνομστή ( ) ( ) 6, ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) Πολλπλσιάζουμε τους όρους κάθε κλσμτικής λερικής πράστσης με το ντίστοιχο πηλίκο κι έχουμε διδοχικά:. ( ) ( ) 6 ( )( ) ( ) 6( ) 6( ) 6( ) 6 ( )( ) ( ) 6( ) 6 6 ( ) ( ) 6 6 ( ) 6 6 7 ( ) 6( ) Προντοποιούμε τους προνομστές. Το Ε.Κ.Π[(),(),6]6(). Πολλπλσιάζουμε τους όρους με τ πηλίκ του Ε.Κ.Π με κάθε προνομστή. Προσθέτουμε τις πρστάσεις. Κάνουμε πράξεις στον ριθμητή. Κάνουμε πράξεις στον ριθμητή. Κάνουμε νή ομοίν όρν στον ριθμητή. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτ ισότητες με (Σ),ν είνι σστές ή με
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ( Λ ), ν είνι λνθσμένες ) ) ) δ) 0 ε) στ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η είνι σστή (Σ) ιτί επειδή οι πρστάσεις έχουν κοινό προνομστή προσθέτουμε τους ριθμητές κι προνομστή φήνουμε τον ίδιο οπότε προκύπτει κλάσμ με ίδιο ριθμητή κι προνομστή. Η είνι λάθος (Λ) ιτί Η είνι σστή (Σ) ιτί Η δ είνι σστή (Σ) ιτί 0 0 Η ε είνι λάθος (Λ) ιτί. Η στ είνι λάθος (Λ) ιτί. Ένς μθητής έρψε τις πρκάτ ισότητες κι ο κηητής τού είπε ότι σε κάποιο σημείο έκνε έν λάθος. Μπορείτε ν εντοπίσετε το λάθος υτό; ) ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ. Ν συμπληρώσετε τις ισότητες )... 0 )... 6 6.. 5 δ)... ε)... ΑΠΑΝΤΗΣΗ ) 0 6 6 6 ) 6 6 ) 6 5 δ) ε) 8 8 στ) Το λάθος έινε στο ερώτημ. ιτί δεν άλλξε το πρόσημο στον δεύτερο όρο του ριθμητή,δηλδή -(-) )... 8 στ)... ) Γι ν προκύψει το μηδέν πρέπει ν προσθέσουμε το ντίθετο κλάσμ. ) Γι ν προκύψει μονάδ πρέπει ν προσθέσουμε έν κλάσμ με ριθμητή που ν συμπληρώνει τον προνομστή κι ν έχει τον ίδιο προνομστή. ) Γι ν προκύψει κλάσμ με ίδιο προνομστή κι διπλάσιο ριθμητή πρέπει ν προσθέσου το ίδιο κλάσμ. δ) Γι ν προκύψει κλάσμ με ίδιο προνομστή κι ριθμητή μονάδ εφόσον ο ριθμητής του δεύτερου κλάσμτος είνι 5 το πρώτο κλάσμ θ έχει ίδιο προνομστή κι - ριθμητή 6. ε) Προσθέτουμε έν κλάσμ με ριθμητή την μονάδ ι ν φύει το - κι προνομστή τον ίδιο στ) Αφιρούμε έν κλάσμ με ριθμητή το 8 ι ν φύει το 8 κι προνομστή τον ίδιο ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Ν υπολοίσετε τις πρστάσεις ) ) ) δ)
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) δ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Το Ε.Κ.Π. είνι το Μεττρέπουμε τ κλάσμτ σε ομώνυμ Εκτελούμε τις πράξεις κι κάνουμε τις πλοποιήσεις ) Το Ε.Κ.Π. είνι το () κι έχουμε: Μεττρέπουμε τ κλάσμτ σε ομώνυμ Εκτελούμε τις πράξεις κι κάνουμε τις πλοποιήσεις ) Το Ε.Κ.Π. είνι το Μεττρέπουμε τ κλάσμτ σε ομώνυμ Εκτελούμε τις πράξεις κι κάνουμε τις πλοποιήσεις δ) Το Ε.Κ.Π. είνι το ( ) Μεττρέπουμε τ κλάσμτ σε ομώνυμ Εκτελούμε τις πράξεις κι κάνουμε τις πλοποιήσεις ΑΣΚΗΣΗ Ν υπολοίσετε τις πρστάσεις 6 ) ) 6 9 δ) ε) 6 ) 6 ( ) 6 6 ) ( ) 6 6 ( ) ( ) ( ) 6 ) 7 στ) ) Προντοποιούμε τον προνομστή του πρώτου κλάσμτος κι κάνουμε πλοποίηση κι κτόπιν τις πράξεις. ) Προντοποιούμε τον προνομστή : () Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π τν προνομστών, που είνι: () Κάνουμε ομώνυμ τ κλάσμτ κι τις πράξεις :
( ) - 6 ( ) ( ) ) 6 ( ) ( )( ) ( ) 6( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 6( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 6 ( ) ( )( ) ( ) δ) 6 6 ( 6) ( 6)( 6) 6 ( 6)( 6) ( 6)( 6) 6 6 ( 6)( 6) ( 6)( 6) ( 6) ( 6)( 6) ( 6) ( 6) 9 9 ε) - 9 ( ) ( - ) 9 6 7 στ) 7 ( )( ) ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ( ) ( ) 9 7 - ( )( ) ( ) ( )( ) ) Προντοποιούμε τους προνομστές : ()() () Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, τν προνομστών που είνι: ()() Κάνουμε ομώνυμ τ κλάσμτ κι τις πράξεις : Σε υτήν την άσκηση θ μπορούσμε ν ερσθούμε κι ς εξής κάνοντς πλοποιήσεις : δ) Αλλάζουμε το πρόσημο του δεύτερου κλάσμτος. Προντοποιούμε τους προνομστές : (6) 6 (6)(6) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, τν προνομστών που είνι: (6)(6) Κάνουμε ομώνυμ τ κλάσμτ κι τις πράξεις. Τροποποιούμε τον ριθμητή έτσι ώστε ν πλοποιηθεί το κλάσμ. ε) Προντοποιούμε τους προνομστές Αλλάζουμε το πρόσημο του δεύτερου κλάσμτος. Απλοποιούμε τ κλάσμτ. Προσθέτουμε τ ομώνυμ κλάσμτ. στ) Προντοποιούμε τον πρώτο προνομστή. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, τν προνομστών που είνι: ()() Κάνουμε ομώνυμ τ κλάσμτ κι τις πράξεις.
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 5 7 9 ( )( ) ( )( ) Προντοποιούμε τον ριθμητή που προκύπτει κι κάνουμε την πλοποίηση. ΑΣΚΗΣΗ Ν πλοποιήσετε τ κλάσμτ ) ) ) δ) ) : : : ( )( ) ) : ( ) : : ( ) ( )( ) ( ) : ( )( ) ) : ) Κάνουμε τις πράξεις στον ριθμητή κι τον προνομστή του κλάσμτος ώστε ν έχουμε ομώνυμ κλάσμτ. Μεττρέπουμε την διίρεση σε πολλπλσισμό κάνοντς τυτόχρον προντοποίηση κι τέλος πλοποιούμε ) Κάνουμε τις πράξεις στον ριθμητή κι τον προνομστή του κλάσμτος ώστε ν έχουμε ομώνυμ κλάσμτ. Μεττρέπουμε την διίρεση σε πολλπλσισμό κάνοντς τυτόχρον προντοποίηση κι τέλος πλοποιούμε. ) Κάνουμε τις πράξεις στον ριθμητή κι τον προνομστή του κλάσμτος ώστε ν έχουμε ομώνυμ κλάσμτ. Μεττρέπουμε την διίρεση σε πολλπλσισμό κάνοντς τυτόχρον προντοποίηση κι
6 ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ( ) : : ( )( ) : ( )( ) δ) : : : ( )( ) : ( )( ) ΑΣΚΗΣΗ Ν υπολοίσετε τις πρστάσεις 8 ) 6 ) 5 6 τέλος πλοποιούμε. δ) Ομοίς 6 ) δ) ) 8 8 ( ) ( ) 8 ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ) 6 ) Προντοποιούμε τον προνομστή : () Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, τν προνομστών που είνι: () Κάνουμε ομώνυμ τ κλάσμτ κι τις πράξεις
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 7 6 ( )( ) ( ) ( ) 6 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 6 ( )( ) 6 6 6 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ) 6 5 6 6 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 6 6 6 ( )( ) ( )( ) 6 6 6 6 ( )( ) ( )( ) δ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Προντοποιούμε τον προνομστή : ( )() Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, τν προνομστών που είνι: ()() Κάνουμε ομώνυμ τ κλάσμτ κι τις πράξεις ) Προντοποιούμε τον προνομστή : 5 6 () 끸 ) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, τν προνομστών που είνι: ()() Κάνουμε ομώνυμ τ κλάσμτ κι τις πράξεις δ) Προντοποιούμε τον προνομστή : ()() Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, τν προνομστών που είνι : ()() Κάνουμε ομώνυμ τ κλάσμτ κι τις πράξεις :
8 ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 5 Ν υπολοίσετε τις πρστάσεις ) ) : ( ) ( ) ) δ) : ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 6 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ) : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ) Κάνουμε ομώνυμ τ κλάσμτ μέσ στις πρενθέσεις κι προσθέτουμε. Κάνουμε τις πράξεις κι τις νές ομοίν όρν. Τέλος μετά τον πολλπλσισμό τν τελευτίν κλσμάτν πλοποιούμε. Κάνουμε ο- μώνυμ τ κλάσμτ μέσ στις πρενθέσεις φού προντοποιήσουμε τους προνομστές κι προσθέτουμε. Κάνουμε τις πράξεις κι τις νές ομοίν όρν. Τέλος μετά τον πολλπλσισμό τν τελευτίν κλσμάτν πλοποιούμε.
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 9 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ) : : : ( )( ) ) Ομοίς δ) Ομοίς ΑΣΚΗΣΗ 6 ) Ν ποδείξετε ότι ( ).. 56 ) Ν υπολοίσετε την πράστση 56 ( )( ) ) () 56 ) 56 (56) 00 0000 ) Χρησιμοποιούμε την τυτότητ της διφοράς κύν οπότε πλοποιείτι το πρώτο κλάσμ. Κτόπιν κάνουμε νή ομοίν όρν κι προκύπτει νάπτυμ τετρώνου. ) Χρησιμοποιούμε την τυτότητ που ποδείξμε ι 56 κι
50 ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 7 ) Αν Α κι Β, ν ποδείξετε ότι Α Β. 00 9999 ) Ν ποδείξετε ότι οι ριθμοί,, ποτελούν μήκη πλευρών ορθονίου 0.00 0.00 τριώνου. ) Είνι :Α Β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Επειδή : 00 00 00 9999 0000 00, 0.00 000 00 0.00 000 00 Με άση την περίπτση είνι: 00 00 00 00 Επομένς οι ριθμοί υτοί είνι πλευρές ορθονίου τριώνου με κάθετες πλευρές 00 9999 τις, κι υποτείνουσ 000 000 ) Αντικθιστούμε τις πρστάσεις Α κι Β. Εφρμόζουμε τις ιδιότητες τν δυνάμεν κι τις τυτότητες. Μετά πό πράξεις προκύπτει μονάδ. ) Φέρνουμε τ δύο κλάσμτ στην μορφή τν πρστάσεν Α κι Β κι χρησιμοποιούμε το συμπέρσμ του προηουμένου ερτήμτος
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Ν ρείτε την τιμή της πράστσης 00 Κ ( ) 00,ν είνι κι (Δινισμός «Θλής» Ε.Μ.Ε.00) Είνι : Κ ( ) 00 0 00 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) 8 9 7 () 6 7 6 7-8 9 8 9 8 9 7 6 9 65 7-8 9 7 7. Γι κάθε θετικό κέριο ν ν ποδείξετε ότι ) ( ) ν ( ) ν 0 ) ( ) ν ( ) ν 0. Επειδή ι κάθε θετικό κέριο ν ο ριθμός ν είνι περιττός κι ο ν άρτιος έχουμε : ) ( ) ν ( ) ν ( ) ν [()] ν ( ) ν () ν 0 ) ( ) ν ( ) ν ( ) ν [( )] ν ( ) ν ( ) ν 0
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 5. Αν ισχύει, ν ρείτε την ριθμητική τιμή τν πρστάσεν Α 6 Β. Γνρίζουμε ότι ν διιρέσουμε τους όρους ενός κλάσμτος δι του ίδιου ριθμού το κλάσμ δεν μετάλλετι. Επομένς έχουμε: Α 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 0 Β 8 5 5 5 0 60. Δίνετι το πολυώνυμο Ρ() 800. ) Ν ποδείξετε ότι Ρ( ) Ρ(). ) Ν ρείτε την ριθμητική τιμή Ρ(00) κι Ρ( 99).
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 5 ) Αντικθιστούμε το με το κι έχουμε : P () ( ) ( ) 800 ( ) ( ) 800 800 800 ) Επειδή Ρ( 99) P( 00) P(00) ρκεί ν ρούμε την μί πό τις ζητούμενες τιμές. P (00) 00 00 800 0000 00 800 9000. 5. ) Ν ποδείξετε ότι: ( ) ( ). (Τυτότητ του Εuler) ) Αν 0, ν ποδείξετε ότι. ) Ν προντοποιήσετε την πράστση ( ) ( ) ( ). ) Θερούμε το ο μέλος της πρπάν τυτότητς κι φού κάνουμε τις πράξεις έχουμε : ( ) ( ). ) Εάν 0, τότε το ο μέλος της τυτότητς ισούτι με το μηδέν. Επομένς 0 ή ) Επειδή ( ) ( ) ( ) 0 πό τ πρπάν έχουμε : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 6. Αν ) 9 κι 7, τότε ν ποδείξετε ότι ) ( ) ( ) 9 ( ) 0. ) Είνι : ( ) 7 9 9 9 9 ) Είνι : ( ) ( ) 9 ( ) 9 6 9 699 9( ) 5()
5 ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 7 9 5 5 0 9 7. Αν ι τους ριθμούς, ισχύει μι πό τις πρκάτ ισότητες ν ποδείξετε ότι οι ριθμοί, είνι ίσοι ή ντίθετοι. ) ( ) ). ) Εάν είνι ( ) τότε : ή 0 ή ( )( ) 0 ή ( )( ) 0 ή ( )( ) 0 Επειδή η ποσότητ ι κάθε τιμή του είνι θετικός ριθμός η ισότητ ( )( ) 0 ισχύει μόνο ν 0 ή. Η σχέση υτή όμς ισχύει εάν οι ριθμοί, είνι ίσοι ή ντίθετοι. ) Εάν είνι ή 0 ή ( )( ) 0 ή ( ) ( ) 0 ή ( )( ) 0 ή ( )( )() 0 ή ( ) () 0. Γι ν είνι το ινόμενο υτό μηδέν πρέπει ο ένς τουλάχιστον πό τους όρους ν είνι μηδέν.εάν ( ) τότε 0 οπότε. Εάν 0 τότε 8. ) Ν προντοποιήσετε τ τριώνυμ,. ) Ν υπολοίσετε την πράστση Α. ) Είνι ()() κι ()() ) Α ( )( ) ( )( -) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( -) ( )( )( )
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 55 ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 9. Δίνοντι οι πρστάσεις Α ( ) κι B ( )( ). ) Ν ποδείξετε ότι Β Α κι Α Β (Α ). ) Ν προντοποιήσετε την πράστση ()()(). ) Είνι Α ( ) ( )( ) B Έχουμε λοιπόν Β Α πολλπλσιάζοντς τ μέλη της ισότητς υτής επί Α έχουμε : ΑΒ Α(Α) ή ΑΒ Α Α ή ΑΒ Α Α (Α ) ) Πρτηρούμε ότι ()()() [()][ ()()] ΑΒ (Α ) [ ( ) ] ( ). 0. ) Το εμδόν ενός κύκλου είνι 6π 8π π. Ν ρείτε την - κτίν του. ) Ν ρείτε την κτίν ενός κύκλου που έχει εμδόν ίσο με το ά- θροισμ τν εμδών δυο κύκλν με κτίνες κι ) Είνι Ε 6π 8π π π(6 8 ) π( ) Άρ η κτίν είνι: ρ ) Εάν Ε κι Ε είνι τ εμδά τν δύο κύκλν με κτίνες κι ντίστοιχ τότε : Ε Ε π() π( ) π(6 ) π(6 8 ) π(6 6 8 ) π(6 8 ) π( ) Ε. Η ζητούμενη κτίν είνι η ρ. ) Αν ο ριθμός κ είνι κέριος, ν ποδείξετε ότι ο ριθμός κ κ είνι άρτιος. ) Ν ποδείξετε ότι η διφορά κύν δύο διδοχικών κέριν, ν διιρεθεί με το 6, δίνει υπόλοιπο. ) Ν ποδείξετε ότι η διφορά τετρώνν δύο περιττών κέριν είνι πολλπλάσιο του 8. ) Θερούμε τον ριθμό κ κ ο οποίος προντοποιούμενος ράφετι : κ κ κ(κ). Οι κέριοι όμς ριθμοί κ κι κ είνι διδοχικοί κι ο ένς πό υτούς υποχρετικά άρτιος. Άρ κι το ινόμενό
56 ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ τους κ(κ) κ κ είνι άρτιος ριθμός, κι ράφετι κ κ κ(κ), σν άρτιος ) Θερούμε τους διδοχικούς κερίους κ κι κ οπότε η διφορά τν κύν τους είνι : (κ) κ [(κ) κ] [(κ) (κ)κ κ ] (κκ)(κ κκ κκ ) κ κ κ(κ). Τότε με άση τ πρπάν (κ) κ κ(κ) 6. Από την τελευτί ισότητ διπιστώνουμε ότι διιρούμενος ο ριθμός (κ) κ δι του 6 δίνει υπόλοιπο. ) Κάθε περιττός έχει τη μορφή λ. Έστ κ κι λ οι δύο περιττοί ριθμοί, όπου κ, λ είνι κέριοι. Τότε θ είνι: Διφορά(κ) -(λ) (κ κ)- (λ λ) κ κ- λ -λ-κ κ-λ λκ(κ)-λ(λ) Όμς οι ριθμοί κ(κ), λ(λ) είνι άρτιοι, δηλδή κ(κ) κι λ(λ), όπου κι κέριοι. Άρ Διφοράκ(κ)-λ(λ).-.8-88(-)8ρ όπου ρ ο κέριος - επομένς η διφορά είνι πολλπλάσιο του 8.. ) Ν κάνετε την διίρεση ( 6 -)(-) κι χρησιμοποιώντς την τυτότητ της Ευκλείδεις διίρεσης ν ποδείξετε ότι ο ριθμός 7 6 - είνι πολλπλάσιο του 6. ) Ν κάνετε την διίρεση ( 5 )() κι χρησιμοποιώντς την τυτότητ της Ευκλείδεις διίρεσης ν ποδείξετε ότι ο ριθμός 5 είνι πολλπλάσιο του 9. ) 6 0. 5 0 0. 0 0. - - - 6 5 5 5 0 0 0 0 - - 5 0 0 0 0 - - 0 0 - - 0 - - - - 0 Η τυτότητ της Ευκλείδεις διίρεσης είνι:
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 57 6 - ( -) ( 5 ) (Διιρετέος ) (διιρέτης) (πηλίκο) οπότε 7 6 - (7 -) (7 5 7 7 7 7 )6. (7 5 7 7 7 7 ) άρ είνι φνερό ότι είνι πολλπλάσιο του 6. ) 5 0 0. 0 0. - 5 - - - 5-0. 0 0. - 0 0 - - - 0 - - 0 Η τυτότητ της Ευκλείδεις διίρεσης είνι: 5 ( ) ( - - ) (Διιρετέος ) (διιρέτης) (πηλίκο) οπότε 5 ( ) 5 ( ) [( ) -( ) ( ) - ) 9. [( ) -( ) ( ) - ) άρ είνι φνερό ότι είνι πολλπλάσιο του 9.. ) Ν ποδείξετε ότι. ( ) ) Στην προηούμενη ισότητ ν ντικτστήσετε το διδοχικά με τις τιμές,,,,005 κι ν ποδείξετε ότι 00.... 00 005 005 ) Θερούμε την διφορά τν κλσμάτν : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άρ : ( ) ) Αντικθιστώντς διδοχικά έχουμε : (. )
58 ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Πρτηρούμε ότι ο δεύτερος όρος κάθε κλσμτικής διφοράς είνι ντίθετος του πρώτου της επόμενης διφοράς. Εάν θροίσουμε τις ισότητες κτά μέλη θ έχουμε στο ο μέλος τον ο όρο της ης διφοράς πό τον οποίο θ φιρείτι ο ος της τελευτίς 005 00 00 00 00 00 005 00 005 Αθροίζοντς λοιπόν κτά μέλη τις ισότητες έχουμε : 005 00... 00 005 005 005 005 005 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Ν χρκτηρίσετε κάθε μι πό τις πρκάτ ισότητες με (Σ) ν είνι σστή ή με (Λ) ν είνι λνθσμένη. )..,. δ) :,. ). 7 ). ) ( ) 7 ( ) 7 ). 5 ε) 7 ( ) 7, 5,,, ) στ) : άρ είνι (Σ) άρ είνι (Λ) άρ είνι (Λ),,
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 59 άρ είνι (Σ),. : στ) άρ είνι (Λ), 5 5 ε) άρ είνι (Λ),. : δ). Αν μετξύ τν πλευρών,, τριώνου ΑΒΓ ισχύει 0, ν ποδείξετε ότι το τρίνο είνι ισοσκελές. ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 0 0. Ν ποδείξετε ότι:. ( )
60 ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ( ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ) ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Ν ίνουν οι πράξεις:. (- ) ( ) ( )-( ) (-). ( -) -( ) -()(-). Ν προντοποιηθούν οι πρστάσεις. - -. _. Εάν ο ένς πράοντς του πολυνύμου 0 7 606 είνι ο () ν ρείτε τον άλλο πράοντ κι ν προντοποιήσετε το πολυώνυμο υτό. δ. Ν ίνουν οι πράξεις:.. 5 6 ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Ν ίνουν οι πράξεις:. (- 5 ) ( 5 ) ( 5)-( -) (). ( ) -( ) -(5-)(5). Ν προντοποιηθούν οι πρστάσεις. - - --. _ 9. Εάν ο ένς πράοντς του πολυνύμου - -9 είνι ο () ν ρείτε τον άλλο πράοντ κι ν προντοποιήσετε το πολυώνυμο υτό. δ. Ν ίνουν οι πράξεις:. : ( ). 5 6
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 6 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: ο Κεφάλιο Α Μέρους ΤΕΣΤ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ. Οι κέριες λερικές πρστάσεις, στις οποίες μετξύ τν μετλητών σημειώνετι μόνο η πράξη του.. λέοντι.. Κλείτι θμός ενός μοννύμου ς προς... μετλητή ο... εκθέτης της μετλητής υτής. Το ινόμενο δύο μοννύμν έχει συντελεστή.. τν.. τν μοννύμν υτών.. Κάθε μονώνυμο που περιέχετι σε έν πολυώνυμο λέετι του πολυνύμου. 5. Γι ν πολλπλσιάσουμε μονώνυμο επί πολυώνυμο. το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυνύμου κι τ ινόμεν που προκύπτουν. 6. Βθμός ενός πολυνύμου ς προς μί ή περισσότερες μετλητές του, είνι ο.. πό τους θμούς τν όρν του. 7. Τυτότητ λέετι κάθε.. που περιέχει που ληθεύουν ι όλες τις τιμές τν μετλητών της. 8. Ν συμπληρώσετε τις ισότητες : ( ). ( ) -... ( )( ) ( ).. ( ). (.)( ) ( )( ) 9. Έν πολυώνυμο δ είνι.. ή πράοντς ενός πολυνύμου Δ ν η διίρεση Δ:δ είνι..,δηλδή ν υπάρχει.. τέτοιο ώστε :Δδ π 0. Μί λερική πράστση που είνι κλάσμ κι οι.. της είνι λέετι.. ρητή λερική πράστση ή πλώς ρητή πράστση.
6 ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: ο Κεφάλιο Α Μέρους ΤΕΣΤ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ. Ποιος πό τους πρκάτ ριθμούς είνι ο θμός του μοννύμου - 5 z ς προς όλες τις μετλητές του;,,, 5, 6, 7, 9. Ποιο πό τ πρκάτ μονώνυμ είνι το ινόμενο τν μοννύμν z κι - z ; 6 6 z, 7 z, -6 7 z, -6 7 z 0. Ποιος πό τους πρκάτ ριθμούς είνι ο θμός του πολυνύμου : 5-6.,,,. Ποιο είνι το ποτέλεσμ τν πράξεν : () -(-) -,, 0, 8, -8 5. Ποιος πό τους πρκάτ ριθμούς, είνι ο θμός του πηλίκου Π, εάν ο θμός του διιρετέου Δ είνι 5 κι ο θμός του διιρέτη είνι ; 7, 5,,, 6. Το νάπτυμ του ( ) είνι το : ), ), ) ΤΕΣΤ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ ή ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Στις πρκάτ προτάσεις άλλες είνι σστές κι άλλες λάθος. Βάλτε σε κύκλο το Σ ι τις σστές κι το Λ ι τις λάθος.. Το άθροισμ δύο μοννύμν είνι πάντ όμοιο μ υτά. Σ Λ. Το άθροισμ δύο ντιθέτν μοννύμν είνι μη μηδενικό μονώνυμο Σ Λ. Το πηλίκο δύο μοννύμν είνι πάντ μονώνυμο Σ Λ. Εάν P() κι Q() είνι πολυώνυμ με μετλητή τότε ισχύει πάντοτε Σ Λ : θμός [P() Q()] θμός[p()]θμός[q()] 5. Εάν () τότε τουλάχιστον ένς πό τους, είνι μηδέν Σ Λ 6. Εάν () τότε τουλάχιστον ένς πό τους, είνι μηδέν Σ Λ είτε οι κι είνι ντίθετοι. 7. Εάν ο θμός του υπολοίπου υ() της διίρεσης Δ() δ() π()υ() Σ Λ είνι είνι μηδέν τότε η διίρεση είνι τέλει. 8. Εάν ο θμός του υπολοίπου υ() της διίρεσης Δ() δ() π()υ() είνι είνι τότε κι ο θμός του διιρέτη δ() είνι Σ Λ