ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (4-6-000) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο : Α.1. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο ( x, ) K 0 y 0 και ακτίνα ρ. Μονάδες Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0 παριστάνει κύκλο; Ποιο είναι το κέντρο του και ποια η ακτίνα του; Α.3. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου έχει εξίσωση x x1 + y y 1 ρ C :x + y ρ σε ένα σημείο του Α ( x1, y 1 ) Μονάδες 6 Β.1. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Δίνεται ο κύκλος x y 10 σημείο Μ έχει εξίσωση: + και το σημείο του ( 1, 3) M. Η εφαπτομένη του κύκλου στο Α. x + 3y 10 Β. x y 8 Γ. x 3y 10 Δ. 3 x + y 3 1 Ε. x + y Μονάδες 4 Β. Στη Στήλη Α δίνονται οι εξισώσεις που παριστάνουν κύκλους και στη Στήλη Β τα κέντρα των κύκλων και οι ακτίνες τους. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της Στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή εξίσωση του κύκλου. Στήλη Α Στήλη Β α. x y 6x + 4y 3 0 K 0, 1, ρ + 1. ( ) β. x + ( y + 1) 4. K ( 3, ), ρ 1. K ( 3, ), ρ 4 Μονάδες 4 Β.3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1 ανήκει στον κύκλο x + y β. Ο κύκλος x + y 4 και η ευθεία y x εφάπτονται γ. Η εξίσωση x + y + λ 0, όπου λ πραγματικός αριθμός, είναι εξίσωση κύκλου. α. Το σημείο (, 1) Α1. Θεωρία Α. Θεωρία
Α.3. Θεωρία Β.1. Σωστό το Γ. Β.. α 3 β 1 Β.3. α σωστό β λά θος γ λά θος ΘΕΜΑ ο : Θεωρούμε τους ακεραίους της μορφής Να δείξετε ότι: α 6 k + υ με 0 υ < 6 και k ακέραιος. α) Οι παραπάνω ακέραιοι α που δεν είναι πολλαπλάσια του ή του 3 παίρνουν τη μορφή α 6 k + 1 ή τη μορφή 6 k +, όπου k ακέραιος. β) το τετράγωνο κάθε ακεραίου αριθμού της μορφής του ερωτήματος (α) μπορεί να πάρει τη μορφή: α 3µ + 1, όπου μ ακέραιος. γ) η διαφορά των τετραγώνων δύο ακεραίων του ερωτήματος (α) είναι πολλαπλάσιο του 3. Μονάδες Είναι α 6 k + υ με 0 υ < 6 οπότε: α 6k ή α 6 k + 1 ή α 6 k + ή α 6 k + 3 ή α 6 k + 4 ή α 6 k + α) Επειδή οι ακέραιοι α δεν είναι πολλαπλάσια του ή του 3, θα είναι: α 6k, α 6 k +, α 6 k + 3, α 6 k + 4 οπότε θα είναι: α 6 k + 1 ή α 6 k +. β) Αν α 6 k + 1 τότε: α 6k + 1 36 k + 1k + 1 3 1k + 4k + 1 3µ + ( ) ( ) 1 Αν α 6 k + τότε: α 6k + 36 k + 60k + 36k + 60k + 4 + 1 3 1k + 0k + 8 + 1 3µ + ( ) ( ) 1 α β γ) Είναι: 3 1 ( 3 1) 3 3 3( ) 3 µ + λ + µ λ µ λ πολ ΘΕΜΑ 3 ο : Για τα διανύσματα, ισχύουν οι σχέσεις α + 3β ( 4, ) και α 3β ( 7,8) α β α) Να δείξετε ότι α ( 1, ) και (, ) β Μονάδες 7.
β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός k, ώστε τα διανύσματα k α + β και α + 3β να είναι κάθετα. Μονάδες 8 γ) Να αναλυθεί το διάνυσμα γ ( 3, 1) σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα α. α + 3β ( 4, ) (1) α) Έχουμε το σύστημα: α 3β ( 7,8) () 1 3 Αντικαθιστώντας στην () έχουμε: 1 1, 3β 7,8 3β 7,8 1, 3β 6, 6 β 6, 6 β 3, Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και () και έχουμε: 3α ( 3, 6) α ( 3, 6) α ( 1, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kα 3 k 3 0 3 3 0 k α + 3k + α β + 3 β (3) β) Είναι: ( + β) ( α + β) ( α + β)( α + β) κα + κ α β + α β + β ( ) 0 Αλλά: α ( 1) + β + ( ) 8 ( ) ( ) 6 α β 1 + k 3k 6 3 8 0 10k 18k 1 4 0 8k 1 0 1 3 k 8 Η (3) λοιπόν γίνεται: + ( + )( ) + + + γ) Έστω γ 1, γ οι δύο κάθετες συνιστώσες με γ1 // α, στις οποίες αναλύθηκε το διάνυσμα γ Επειδή γ // * 1 α, υπάρχει λ R, ώστε γ1 λα (4) Επίσης: γ1 γ γ1γ 0 () και γ γ1 + γ γ γ γ1 (6) Η (6) λόγω της (4) γίνεται: γ γ λ α (7) Η () λόγω των (4) και (7) γράφεται: λ 0 λ α ( γ λ α) 0 λ ( αγ λα ) 0 α γ αγ λα 0 λ α ( 1) 3 + ( 1) λ λ 1 Η (4) για 1 1 1 1 λ δίνει: γ ( )( 1, ) γ ( 1, ) 3 Η (6) δίνει: γ (, 1) ( 1, ) γ (,1) γ γ α γ 1
ΘΕΜΑ 4 ο : Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy, η εξίσωση ευθείας ( ) x ( 1) y 3 0 λ 1 + λ + λ, όπου λ πραγματικός αριθμός, περιγράφει τη φωτεινή ακτίνα που εκπέμπει ένας περιστρεφόμενος φάρος Φ. α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του φάρου Φ. Μονάδες 8 β. Τρία πλοία βρίσκονται στα σημεία K (, ), Λ ( 1,) και Μ ( 1, 3) φωτεινών ακτίνων που διέρχονται από τα πλοία Κ, Λ, Μ.. Να βρείτε τις εξισώσεις των γ. Να υπολογίσετε ποιο από τα πλοία Κ και Λ βρίσκεται πλησιέστερα στη φωτεινή ακτίνα που διέρχεται από το πλοίο Μ. δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της θαλάσσιας περιοχής που ορίζεται από το φάρο Φ και τα πλοία Λ και Μ. Μονάδες 6, α. Η εξίσωση ( 1 ) x + ( λ + 1) y λ 3 0 λ (1) παριστάνει οικογένεια ευθειών η οποία περνάει από σταθερό σημείο (τον φάρο). Η (1) για λ 0 δίνει: x + y 3 0 () Η (1) για λ 1 δίνει: y 4 0 (3) Η (3) δίνει y, ενώ η () δίνει x 1 Άρα οι ευθείες () και (3) διέρχονται από το σημείο ( 1, ) Για x 1 και y η (1) γίνεται: λ + 1 + λ + λ 3 0 0 0 Δηλαδή επαληθεύεται η (1) που σημαίνει ότι όλες οι ευθείες που έχουν εξίσωση την (1) περνούν Φ 1, (είναι ο φάρος). από το σταθερό σημείο ( ) β. Οι φωτεινές ακτίνες που διέρχονται από τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι οι ευθείες ΦΚ, ΦΛ, ΦΜ. Είναι λ ΦΚ 0 + 1 Η εξίσωση της ΦΚ είναι: y 0( x ) y ΦΚ : Τα σημεία Φ και Λ έχουν ίδια τετμημένη, άρα ΦΛ // y y, οπότε η εξίσωση της ΦΛ είναι x 1 3 1 λ ΦΜ 1+ 1 1 ΦΜ : + + + ( ε 1 ) Η εξίσωση της ΦΜ είναι: y ( x 1) y 4 x 1 x y 0 γ. Είναι d ( K, ε ) + 3 3 1 1 + ( )
1 + d ( Λ, ε 1 ) 1 ( ) + Άρα d ( K, ε ) < d ( Λ ε ) 6 6 1, 1, δηλαδή το πλοίο Κ βρίσκεται πιο κοντά από το πλοίο Λ στην φωτεινή ακτίνα που διέρχεται από το πλοίο Μ. δ. Είναι ΦΛ ( 1 + 1, ) ( 0, 3) ΦΜ ( 1 + 1, 3 ) (,1) 0 3 det ( ΦΛ, ΦΜ ) 6 1 1 1 Το εμβαδόν του τριγώνου ΦΛΜ είναι: Ε det ( ΦΛ, ΦΜ) 6 3