Τεχνολογικό Eκπαιδευτικό Ίδρυμα Kρήτης Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής" Βιομηχανική Ρομποτική «Κινηματική στερεών σωμάτων» Τα ρομπότ στην βιομηχανία 2 Στόχος: Παροχή και κατανόηση βασικών γνώσεων που σχετίζονται με την κινηματική στερεών σωμάτων Εισαγωγή στη θεωρία μετασχηματισμών
Περιεχόμενα Παρουσίασης ΘΕΣΗ & ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ Ανύσματα θέσης Πίνακες Στροφής Πλαίσια συντεταγμένων ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΣΤΡΟΦΗΣ Γωνίες Euler Γωνίες γύρω από σταθερούς άξονες Equivlent ngle- is 4 Περιγραφή στερεού σώματος στον χώρο Θέση αντικειμένων: - Ρομποτικών Συνδέσμων, κομματιών, Εργαλείων Προσδιορίζονται από: - Συστήματα Συντεταγμένων Το ρομπότ απαιτεί την γνώση εσωτερικής και εξωτερικής πληροφορίας (που βρίσκεται αυτό, καθώς και τα αντικείμενα γύρω του). Για να προσδιορίσουμε τη θέση και τον προσανατολισμό αντικειμένων επισυνάπτουμε σε αυτά ένα πλαίσιο συντεταγμένων 5 Δεξιόστροφα και ορθομοναδιαία συστήματα συντεταγμένων.8.6.4.2.5.5 6 2
7 Βασικά Συστήματα (πλαίσια) Συντεταγμένων ΣΣ Κάμερας ΣΣ Εργαλείου ΣΣ Συνδέσμου Βασικό ΣΣ ΣΣ Στόχου Δεξιόστροφα ΣΣ 8 Ένα απλό πρόβλημα ρομποτικής και οι γνώσεις που απαιτούνται για την επίλυσή του Στο σχήμα παρουσιάζεται ένα ρομπότ και ο πάγκος εργασίας πάνω στον οποίο υπάρχει ένας κύβος. Επίσης έχουν ορισθεί τα πλαίσια {Β} στη βάση του ρομπότ, {Τ} στο άκρο της αρπάγης του ρομπότ, {S} στην άκρη από το πάγκο εργασίας, {G} του κύβου. Έστω ότι γνωρίζουμε την θέση και τον προσανατολισμό του άκρου της αρπάγης ως προς τη βάση του ρομπότ, του πάγκου εργασίας ως προς τη βάση του ρομπότ, και του κύβου ως προς τον πάγκο εργασίας. Να υπολογιστεί η θέση και ο προσανατολισμός του κύβου ως προς το εργαλείο του βραχίονα. {B} {S} {G} {} 9
Περιγραφή θέσης Σημείο Άνυσμα θέσης Συντεταγμένες σημείου p pb p p p b B MALAB VRML A Μέτρο ανύσματος p b 2 2 2 pb ( p ) + ( p ) + ( p ) g Εκφράζει την απόσταση b του σημείου p b από την αρχή του {Α} {Α}, {Β}: Δεξιόστροφα σύστηματα συντεταγμένων ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια είναι η θέση του πλαισίου {B} ως προς το πλαίσιο {A}; X Z {A} Y X {B} Y 5 Z Επιλέξτε απάντηση A: PAB 5 B: PAB 5 C: PAB D: PAB 5 ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια είναι η απόσταση της αρχής του πλαισίου {B} από το πλαίσιο {A}; X Z {A} {B} X Y Y 5 Επιλέξτε απάντηση Z A: 5.96 B:.72 C: 4.2426 D: 5.8 2 4
Εσωτερικό γινόμενο ανύσματος με μοναδιαίο άνυσμα e,i,, i Εσωτερικό γινόμενο e e e e ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ Εκφράζει την προβολή του πάνω στο μοναδιαίο άνυσμα e i i i? e e i e i e i ei > ei < ei Υπολογισμός εσωτερικού γινομένου!e i e,i,, i e e e e e e e!e " #$ % &' e ei ei cos(,e i) 4 Περιγραφή προσανατολισμού Πίνακας στροφής Εκφράζει τις διευθύνσεις R b R του {B}: X B, Y B και Z B στο πλαίσιο {A}. p b B X B, Y B και Z B τα μοναδιαία ανύσματα του {Β} A g b VRML 5 5
Περιγραφή προσανατολισμού.8.8.6.6.4.2.2.4.6.8 {Α}.5 Για να περιγράψουμε τον προσανατολισμό του {Β} ως προς το {Α} πρέπει να βρούμε τον πίνακα στροφής R AB.4.2 -.5.5 {Β} {Α}.5 R AB ΠΡΟΣΟΧΗ Τα σημεία δεν έχουν προσανατολισμό 6.8.6 Περιγραφή προσανατολισμού Η πρώτη στήλη του R AB εκφράζει πως προβάλλεται το μοναδιαίο άνυσμα e B του πλαισίου {Β} στους μοναδιαίους άξονες e A, e A, e A του {Α}.4.2 -.5 {Α}.5 r r2 r RAB r2 r22 r 2 r r2 r {Β}.5 Η δεύτερη στήλη του R AB εκφράζει πως προβάλλεται το μοναδιαίο άνυσμα e B του πλαισίου {Β} στους μοναδιαίους άξονες e A, e A, e A του {Α} Η τρίτη στήλη του R AB εκφράζει πως προβάλλεται το μοναδιαίο άνυσμα e B του πλαισίου {Β} στους μοναδιαίους άξονες e A, e A, e A του {Α} Οι τρις στήλες αποτελούν μοναδιαία ανύσματα και συνθέτουν έναν () πίνακα στροφής Τελικά ο πίνακα στροφής R AB περιγράφει τον προσανατολισμό του {Β} ως προς το {Α} 7 Κατασκευή του πίνακα στροφής b {A} b Rb [ b b b ] b {B}. b. b b. b b. b.. b b. b b. b. b R b Στήλες : μοναδιαία ανύσματα του {B} εκφρασμένα στο {A} R b Γραμμές : μοναδιαία ανύσματα του {Α} εκφρασμένα στο {Β} R R b b 8 6
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ι Περιγραφή προσανατολισμού Πίνακας στροφής που συσχετίζει δύο πλαίσια συντεταγμένων με παράλληλους άξονες.5 R AB?.5 -.5 A 2 B -.5.5 Όταν ο πίνακας στροφής είναι ο μοναδιαίος πίνακας Ι τότε τα πλαίσια συντεταγμένων που συσχετίζει έχουν τον ίδιο προσανατολισμό.5 RAB I 9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΙΙ Περιγραφή προσανατολισμού Πίνακας στροφής που συσχετίζει δύο πλαίσια συντεταγμένων με παράλληλους άξονες.5.5 R AB? A -.5 2 B - RAB 2 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΙΙΙ Περιγραφή προσανατολισμού Πίνακας στροφής που συσχετίζει δύο πλαίσια συντεταγμένων με παράλληλους άξονες.5 R AB? -.5 - A 2 B - RAB 2 7
Ιδιότητες του πίνακα στροφής r r2 r RAB r2 r22 r 2 r r2 r A A A RAB eb eb e B Πίνακας στροφής Ορθογώνιος Ορίζουσα πίνακα στροφής + Στήλες Ορθομοναδιαία Ανύσματα A A A B B B e e e A A ( B ) ( B ) A A ( B ) ( B ) A A ( B ) ( B ) e e e e e e R R RR I R R R R R R + AB BA AB 22 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ι Ιδιότητες του πίνακα στροφής ΕΡΩΤΗΣΗ Ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα για τους πίνακες στροφής; Δηλαδή, RABRCD RCDRAB Όπου R AB,RCD αποτελούν πίνακες στροφής Επιλέξτε απάντηση A: Ναι B: Όχι 2 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΙI Ιδιότητες του πίνακα στροφής ΕΡΩΤΗΣΗ Ποιος από τους παρακάτω πίνακες είναι ένας πίνακας στροφής 2 A: RAB 2 2 B: RAB.2.2 C: RAB D: RAB 24 8
Βασικές Στροφές Rot(, θ) cθ sθ sθ cθ {A} θ {Β} {B} cθ cos( θ) sθ sin( θ) cθ sθ Rot(,θ) sθ cθ cθ sθ Rot(, θ) sθ cθ Rot( i, θ) Rot( i, θ) i,, VRML 25 Στροφή ανύσματος θέσης με τη βοήθεια του πίνακα στροφής {A} cθ sθ R rot(, θ ) sθ cθ θ p q p Rq q [ ] MALAB 26 Παράδειγμα 27 9
Πίνακας στροφής για τον μετασχηματισμό συντεταγμένων {A} q q [ ] b b b b {B} {Β} [ ] q? q R q b b 28 Παράδειγμα 29 Σύνθεση πινάκων στροφής {Α} R b {B} R bc {C} Rc RbRbc
Παράδειγμα Κανόνες Σύνθεσης στροφών R*R2 δεν είναι το ίδιο με R2*R Στροφή γύρω από το σταθερό πλαίσιο: Πολλαπλασιασμός από αριστερά Στροφή γύρω από το στρεφόμενο πλαίσιο Πολλαπλασιασμός από δεξιά 2 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ι Σύνθεση στροφών Θεωρήστε την παρακάτω ακολουθία στροφών :. Στροφή κατά γωνία φ γύρο από τον άξονα- του πλαισίου βάσης. 2. Στροφή κατά γωνία ψ γύρο από τον άξονα- του πλαισίου βάσης.. Στροφή κατά γωνία θ γύρο από τον τρέχον άξονα-. Ποιο γινόμενο πινάκων αντιστοιχεί στον τελικό πίνακα στροφής των παραπάνω διαδοχικών στροφών; Επιλέξτε απάντηση A: C: Rot(,θ) Rot(,φ) Rot(,ψ) Rot(,φ) Rot(,ψ) Rot(,θ) B: D: Rot(,ψ) Rot(,φ) Rot(,θ) Rot(,θ) Rot(,ψ) Rot(,φ)
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΙΙ Σύνθεση στροφών Θεωρήστε την παρακάτω ακολουθία στροφών :. Στροφή κατά γωνία φ γύρο από τον άξονα- του πλαισίου βάσης. 2. Στροφή κατά γωνία θ γύρο από τον τρέχον άξονα-.. Στροφή κατά γωνία ψ γύρο από τον τρέχον άξονα-. 4. Στροφή κατά γωνία α γύρο από τον άξονα- του πλαισίου βάσης. Ποιο γινόμενο πινάκων αντιστοιχεί στον τελικό πίνακα στροφής των παραπάνω διαδοχικών στροφών; A: B: C: D: Επιλέξτε απάντηση Rot(,φ) Rot(,α) Rot(,θ) Rot(,ψ) Rot(,α) Rot(,φ) Rot(,θ) Rot(,ψ) Rot(,ψ) Rot(,φ) Rot(,θ) Rot(,α) Rot(,θ) Rot(,φ) Rot(,α) Rot(,ψ) 4 Συνδυάζει την πληροφορία της θέσης (διάνυσμα μετατόπισης) και του προσανατολισμού (πίνακας στροφής) σε μία ενιαία αναπαράσταση, εφόσον αυτά εκφράζονται ως προς κοινό σύστημα αναφοράς {B} ( p, R ) b b {Α} {Β} 5 {B} ( p, R ) b b {Α} {Β} πίνακας στροφής r r2 r r4 r5 r6 μεταφορά r7 r8 r9 προοπτική κλίμακα Ομογενής μετασχηματισμός 6 2
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΡΩΤΗΣΗ Ποιος από τους παρακάτω πίνακες είναι ένας ομογενής μετασχηματισμός Επιλέξτε απάντηση 2.5 2.4 2.5 2 2.54 2.2 2.54 A: B: C: 6 5 6 7 για τον μετασχηματισμό συντεταγμένων [ ] qb b b b [ ] q {A} q q b {Β} {B} q pb + Rbqb Η πρόσθεση ανυσμάτων πρέπει να γίνεται στο ίδιο ΣΣ Αντικαθίσταται από την περισσότερο παραστατική εξίσωση: q Rb pb qb q p b R b q, q R 4 g b q b b Rb pb gb 8 Ο ως τελεστής [ ] q Προκαλεί πρώτα στροφή του q όπως περιγράφει ο πίνακας στροφής R και έπειτα μεταφορά όπως περιγράφει το άνυσμα p q p Rq q! " # $ {A} p R p g p gq 9
Ομογενείς μετασχηματισμοί μεταφοράς και στροφής Γενική μορφή ομογενούς μετασχηματισμού! R g # # " p $ & & %! I g p # # " g g p g r p $ & & % Ο.Μ. καθαρής Μεταφοράς! R g r # # " $ & & % Ο.Μ. καθαρής Στροφής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ομογενείς μετασχηματισμοί καθαρής μετατόπισης Ένα σετ οµογενών µετασχηµατισµών για µετατόπιση δίνεται από: rns, α α b rnsb, rns c, c 4 Ομογενείς μετασχηματισμοί καθαρής στροφής Ένα σετ οµογενών µετασχηµατισµών για περιστροφές δίνεται από: Cα Sα Rot, α Sα Cα Cφ Sφ Rot, φ Sφ Cφ Rot, θ Cθ Sθ Sθ Cθ 42 4
Αντίστροφος Αν g b R p τότε g b R R p g b g b 4 Σύνθεση Ομογενών Μετασχηματισμών g g {Α} {B} {C} b bc g gc gbgbc R R R p + p b bc b bc b c gbgbc 44 ΑΣΚΗΣΗ Στο σχήμα παρουσιάζεται ένα ρομπότ και ο πάγκος εργασίας πάνω στον οποίο υπάρχει ένας κύβος. Επίσης έχουν ορισθεί τα πλαίσια {Β} στη βάση του ρομπότ, {Τ} στο άκρο της αρπάγης του ρομπότ, {S} στην άκρη από το πάγκο εργασίας και {G} του κύβου. Έστω ότι γνωρίζουμε την θέση και τον προσανατολισμό του άκρου της αρπάγης ως προς τη βάση του ρομπότ, δηλαδή τον g bt, του πάγκου εργασίας ως προς τη βάση του ρομπότ g bs, και του κύβου ως προς τον πάγκο εργασίας g sg. Να υπολογιστεί η θέση και ο προσανατολισμός του κύβου ως προς το εργαλείο του βραχίονα. {B} {S} {G} {} ΛΥΣΗ Μπορούμε να εκφράσουμε την θέση και τον προσανατολισμό του κύβου ως προς τη βάση του ρομπότ από δύο δρόμους, μέσω του ρομπότ και μέσω τού πάγκου εργασίας. Έτσι δημιουργούμε μία εξίσωση ομογενών μετασχηματισμών την οποία λύνουμε για τον άγνωστο μετασχηματισμό: 45 5
Σύνθεση Ομογενών Μετασχηματισμών g*g2 δεν είναι το ίδιο με g2*g Στροφή ή μετακίνηση γύρω από το σταθερό πλαίσιο: Πολλαπλασιασμός από αριστερά Στροφή ή μετακίνηση γύρω από το κινούμενο πλαίσιο: Πολλαπλασιασμός από δεξιά 46 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Παράδειγμα Ο πίνακας οµογενούς µετασχηµατισµού Η, αναπαριστά µια περιστροφή γύρω από τον -άξονα κατά α µοίρες, µια µετατόπιση κατά b µονάδες κατά µήκος του τρέχοντος -άξονα, µια µετατόπιση κατά d µονάδες κατά µήκος του τρέχοντος -άξονα και µια περιστροφή γύρω από τον τρέχων -άξονα κατά θ µοίρες H Rot rns rns Rot, α, b, d, θ b Cθ Sθ Cα Sα Sθ Cθ Sα Cα d Cθ Sθ b CαSθ CαCθ Sα Sαd SαSθ SαCθ Cα Cαd 47 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν οι ομογενείς μετασχηματισμοί g, g 2, g 2 ανάμεσα στα πλαίσια συντεταγμένων που δίνονται και αποδείξτε ότι g 2 g g 2 48 6
Μετασχηματισμός βίδας: Μια ειδική περίπτωση 49 Ομογενείς μετασχηματισμοί μεταφοράς και στροφής Γενική μορφή ομογενούς μετασχηματισμού R p g g g p g r I g p R g r p Μεταφορά Στροφή Είναι ο g r g p ομογενής μετασχηματισμός στερεού σώματος; r p R Rp g g Είναι ο g r g p - g p g r ομογενής μετασχηματισμός; g * g 2 δεν είναι το ίδιο με g 2 *g??g g r p 5 7