HMY 22: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Αναπαράσταση περιοδικών σημάτων με μιγαδικά εκθετικά σήματα: Οι σειρές Fourier Υπολογισμός συντελεστών Fourier
Ανάλυση σημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Είδαμε ότι τα μιγαδικά εκθετικά σήματα είναι ιδιοσυναρτήσεις ΓΧΑ συστημάτων N () x t ae st ΓΧΑ σύστημα Στη συνέχεια θα δούμε πότε και πως μπορούμε να εκφράσουμε σήματα συνεχούς χρόνου σε συνάρτηση με αυτά τα μιγαδικά εκθετικά σήματα Περιοδικά σήματα: Σειρές Fourier (Fourier series) Απεριοδικά σήματα με πεπερασμένη ενέργεια: Μετασχηματισμός Fourier (Fourier transform) Κεντρική ιδέα σειρών Fourier: Οποιοδήποτε περιοδικό σήμα μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα αρμονικά σχετιζόμενων συνημιτονοειδών ή μιγαδικών εκθετικών σημάτων N y() t H( s) ae st
Σειρές Fourier L. Euler 748: Κίνηση παλλόμενης χορδής J.B.J. Fourier 87: Κάθε περιοδικό σήμα μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα αρμονικά σχετιζόμενων συνημιτονοειδών σημάτων εφαρμογή: κατανομή θερμότητας σε ένα σώμα P.L. Dirichlet 829: Ακριβείς μαθηματικές συνθήκες για την αναπαράσταση ενός σήματος με σειρές Fourier (συνθήκες Dirichlet)
Αρμονικά Σχετιζόμενα Περιοδικά Σήματα > : xt () xt ( + ), t Η ελάχιστη τιμή του Τ λέγεται θεμελιώδης περίοδος το (±, ±2, ) είναι επίσης περίοδος του σήματος cos(ω t), sin(ω t), e jω t : θεμελιώδης περίοδος Τ2π/ω j ( 2π ) t ϕ t e e jωt Τ ( ),, ±, ± 2,... Αρμονικά σχετιζόμενα μιγαδικά εκθετικά σήματα: Κάθε ένα από αυτά έχει θεμελιώδη συχνότητα ω, άρα περίοδο /
Σειρές Fourier O παρακάτω γραμμικός συνδυασμός τους είναι επίσης περιοδικό σήμα με περίοδο Τ: () jωt xt () ae ae j( 2π ) t Τ και θεμελιώδη συχνότητα ω : Σταθερά ±: Θεμελιώδεις συνιστώσες ή πρώτες αρμονικές συνιστώσες ±N: N oστή αρμονική συνιστώσα H αναπαράσταση ενός περιοδικού σήματος με αυτή τη μορφή ονομάζεται αναπαράσταση με σειρές Fourier x() t cos( ωt) ( e + e ) 2 θεμελιώδης συχνότητα ω a, ± 2, ± () sin(2 ) ( ) 2 j θεμελιώδης συχνότητα 2ω jω t jωt j 2 ωt j 2 ωt xt ωt e e a ±, ± 2 j, ±
Παράδειγμα 2 xt ( ) + cos(2 πt) + cos(4 πt) + cos(6 πt) 2 3 j 2π t j 2π t j 4π t j 4π t + ( e + e ) + ( e + e ) 4 2 ( j6πt j6πt + e + e ) 3,, ± 4 a, ± 2 2, 3 3 ± ω?
Παράδειγμα xt ( ) + 2sin( ωt) + 3cos(2 ωt+ π ) 3 3 jπ j 2 a jπ j ω t j ω t 2 2 ( ) ( 3 j ω t 3 j ω t + e e + e e + e e ) + 3 3 3 + + + 2 2 2 2 2, j, ± 3 3 3 ± j, ± 2 4 4,, ±, ± 2 jωt jωt j2ωt j2ωt je je [( j ) e ( j ) e )]
Σειρές Fourier
Εναλλακτικές μορφές σειρών Fourier Στα προηγούμενα παραδείγματα παρατηρούμε ότι * a a Η σχέση αυτή ισχύει για κάθε πραγματικό σήμα x(t) καθώς j t ω xt () ae () * * a a a a * * jωt * jωt x () t a e a e x () t Άρα μπορούμε να γράψουμε την () ως: jωt jωt jωt * jωt j t 2Re[ ae ω ] + + + + xt () a [ ae a e ] a [ ae ae ] a +
Εναλλακτικές μορφές σειρών Fourier Εκφράζοντας τους συντελεστές σε πολική μορφή: a jθ a e κ j ( ωt+ θκ xt () a + 2Re[ a e ) ] a + 2 a cos( ω t + θκ ) Εκφράζοντας τους συντελεστές σε καρτεσιανή μορφή: a B + jc x () t a + 2 [ B cos( ω t) C sin( ω t)] Οι τρεις αναπαραστάσεις αυτές είναι ισοδύναμες. Θα χρησιμοποιήσουμε κυρίως την πρώτη αναπαράσταση.
Υπολογισμός συντελεστών Fourier Πως υπολογίζουμε τους συντελεστές στη γενική περίπτωση? a jnωt jnωt jωt e x () t e a e jnωt jωt jnωt e x() t dt a e e dt jnωt j( n) ωt e x() t dt a e dt ( ) ω, e dt cos[( n) ωt] dt+ j sin[( n) ωt] dt j n t n, n Άρα: jωt jωt a x () t e dt x () t e dt
Υπολογισμός συντελεστών Fourier Η αναπαράσταση ενός περιοδικού σήματος σε σειρές Fourier ορίζεται από το ακόλουθο ζεύγος εξισώσεων: 2π j ω j ( ) t t xt () ae ae 2π jω j ( ) t t a x() t e dt x() t e dt Εξίσωση σύνθεσης (synthesis equation) Εξίσωση ανάλυσης (analysis equation) a x() t dt DC component (μέση τιμή του σήματος) a { } Φασματικοί (Spectral) συντελεστές ή συντελεστές Fourier του x(t): αντιστοιχούν στο κλάσμα του σήματος που βρίσκεται σε κάθε αρμονική συνιστώσα τάξης
Παράδειγμα xt () + sin( ωt) + 2cos( ωt) + cos(2 ωt+ π ) 4 jπ j t j t j t j t 4 j2 jπ ω ω ω ω ωt 4 j2ωt + ( e e ) + ( e + e ) + ( e e + e e ) 2 j 2 + ( + ) e + ( ) e + e e + e e 2 j 2 j 2 2 ( j ) ± 2 a ± j 2 4 e π ( ± j ) ± 2 2 4 > 2 jπ 2 jπ jω t jω t 4 j ωt 4 j2ωt
/2 /2 Παράδειγμα Τετραγωνικός περιοδικός παλμός 2 a x() t dt dt jω jω jω t jω t e e 2 a e dt e jω ω 2 j 2sin( ω ) 2sin( ω ) ω π Ορίζοντας τη συνάρτηση sinc ως: sin cx ( ) sin x x 2sin( ω ) 2 a c ω ω sin ( ) Για x, ορίζουμε sinc() (κανόνας l Hospital)
Παράδειγμα Τετραγωνικός περιοδικός παλμός Π.χ. για Τ4Τ : a 2 sin( π / 2) a π a a π a3 a 3 3π a5 a 5 5π 4 8 6