ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης 1 Θεωρούμε τις συναρτήσεις f, g με f() = 3e + 10 + 1 και g() = 015 + 015 196 α) Να προσδιορίσετε το είδος μονοτονίας των f, g β) Να βρείτε τα σύνολα τιμών των f, g γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο τομής των C f, C g Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο f () e 1 015 και τη συνάρτηση g με τύπο g() = ln() α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των f, g β) Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων f, g γ) Να ορίσετε την f 1 δ) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση h=fog ε) Θεωρούμε τη συνάρτηση q με τύπο q () lnh() 016 εξίσωση q()=1 1 3 7 Να λύσετε την 3 Δίνεται η συνάρτηση f () e ln 3 α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία της β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()= 1 έχει μοναδική λύση 1 γ) Να βρείτε το όριο f 3
Θεωρούμε τις συνεχείς συναρτήσεις f,g:ir IR για τις οποίες ισχύουν: f() 0 f () συν 1 IR οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται στο σημείο Α(, f()) α) Να δείξετε ότι f()= β) Να προσδιορίσετε το όριο f 015 015 g γ) Να εξετάσετε αν η εξίσωση 015 5 1 5 1 015 g( ) 0 f έχει λύση στο IR 5 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z=α+βi, με α, β IR και η συνεχής συνάρτηση f με τύπο ημ( -1)- β α f () 1 9, β, 1 1 α) Να προσδιορίσετε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z β) Αν β>0, να υπολογίσετε το όριο L= α α 3 γ) Αν για το μιγαδικό αριθμό w ισχύει ότι f w i εικόνων του w 1 9, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των δ) Να δείξετε ότι για οποιουσδήποτε μιγαδικούς w w του γεωμετρικού τόπου του γ ερωτήματος, ισχύει: w 1 w 6 Θεωρούμε τις συνεχείς συναρτήσεις f, g : IR IR για τις οποίες γνωρίζουμε ότι 0 < f(0) < και f () g() 1 g() e f () 1 για κάθε IR α) Να δείξετε ότι 1 e f () 1 e β) Να προσδιορίσετε τα όρια f () και g() γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση () f 0 λύση στο διάστημα (0, ) g έχει μια τουλάχιστον
7 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f () ln 3 1 α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης β) Να προσδιορίσετε τη μονοτονία της f γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f δ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f 1 ε) Να λύσετε την εξίσωση f 1 ()=1 στ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της C f με την ευθεία y= 8 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : IR IR με f() = και g() = 5 λ λ - 3 α) Να ορίσετε τη συνάρτηση h για την οποία γνωρίζουμε ότι h = g o f β) Για τις διάφορες τιμές του λ IR, να προσδιορίσετε το h() γ) Αν h() IR να προσδιορίσετε τα όρια: (i) h(), (ii) ημ h() 015 9 Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : IR IR με f(α)=α, f(β)=β (με 0<α<β) και f() <015 για κάθε IR α) Αν η f είναι γνησίως μονότονη, να δείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f () ημ α β ημ α β λύση στο [α, β] γ) Να υπολογίσετε το έχει μια τουλάχιστον f ()ημ 015 1 10 Δίνονται οι 11 συναρτήσεις f, g: IR IR με f(ir ) = g(ir ) = IR για τις οποίες ισχύει: f g() f () και 3 gg() f () 10 1 α) Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις f, g f για κάθε IR 1 β) Θεωρούμε τη συνάρτηση h: IR IR με hf g e 6 3 (i) Nα προσδιορίσετε τον τύπο της h (ii) Να δείξετε ότι η h είναι 11, για κάθε IR
g() (iii) Να λύσετε την ανίσωση: e 3 e 3g() γ) Να εξετάσετε αν η εξίσωση 1 h() ln έχει λύσεις 11 Θεωρούμε τη συνάρτηση f: [, ] IR η οποία είναι συνεχής και γνησίως μονότονη Αν f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 5 τότε: α) Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της f β) Αν α, β, γ(, ), να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ(, ) τέτοιο ώστε να ισχύει 15 f (ξ) 3f(α) 5f(β) 7f(γ) 1 γ) Να λυθεί η ανίσωση: f 3 3 f δ) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z=f()+if(), [, ] (i) Να προσδιορίσετε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z (ii) Να βρείτε το όριο: ξ 3 5 z f (α) 5f(β) 7f(γ) ημ ξ - ξ 1 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: IR IR για την οποία ισχύει f () 1 για κάθε IR α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία y= σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη 0 (0, 1) β) Αν επιπλέον η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι: 1 1 (i) η g () 1, IR είναι γνησίως φθίνουσα f () e (ii) η εξίσωση e f () e f () έχει μοναδική ρίζα στο (0, ) 1 γ) Να βρείτε το f ln 0 (Πηγή: wwwmathematicagr)
13 Θεωρούμε τη συνάρτηση f με f () 5 α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία της 1 β) Να προσδιορίσετε τα όρια: f () και f () γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = α, έχει μοναδική λύση στο IR για κάθε α IR δ) Να προσδιορίσετε το f () 0 ημ 1 Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό z και τη συνάρτηση f με τύπο ημ 1 z 3i e, 1 1 f () z 1 i z 1 i 1 8, 1 1 Αν υπάρχει το f () τότε: 1 α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z β) Να προσδιορίσετε το μιγαδικό z με το ελάχιστο μέτρο γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(0, 1] τέτοιο ώστε e ξ = z ξ 15 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: IR IR για την οποία ισχύουν οι συνθήκες: ημ 015 f () και f () f ( 1) 6 01 α) Να προσδιορίσετε το όριο f () β) Να βρείτε το f(1) 0 γ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει σε τουλάχιστον ένα σημείο την ευθεία y = 1
16 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z i f () Re(z) 1 Im(z) ημ με IR και η συνάρτηση f: IR IR με τύπο i α) Να δείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει τουλάχιστον μία λύση 0 (, 0) β) Αν για τη συνεχή συνάρτηση g: IR IR γνωρίζουμε ότι ισχύει η σχέση να προσδιορίσετε το g( 0 ) 8 9 3 g( 0 ) 10 3 3 γ) Αν α < 1 < < β με g(β) = g(α) =, να δείξετε ότι υπάρχει ξ(α, β) έτσι ώστε να ισχύει η g(ξ) g(1) g( g( ) 0 δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f() g() ( 0, 0) 0 g( ) 0 ) έχει μια τουλάχιστον λύση στο