Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu

Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului. In discursul inaugural de la Universitatea Erlangen (1872) - Tendinte recente in cercetarea geometrica - Klein spune: ind data o varietate si in ea un grup de transformari, sarcina noastra este sa investigam acele proprietati ale unei guri din varietate care nu se schimba prin transformarile grupului. Se da o multime M si S M grupul permutarilor lui M. Orice subgrup G al lui S M este un grup de transformari ale lui M. Se studiaza acele proprietati ale gurilor care sunt invariate de toate elementele lui G. Deci, apriori, M nu are proprietati geometrice, acestea sunt dictate de grupul G. O geometrie este notata prin (M, G).

Geometria euclidiana (plana) Geometria euclidiana se ocupa de acele proprietati pastrate de izometrii: lungimea segmentelor si congruenta lor, masura unghiurilor si congruenta acestora, coliniaritatea, raportul simplu al punctelor. Fie P un plan euclidian, inzestrat cu o functie distanta d : P P R : d(a, B) 0, A, B P; d(a, B) = 0 A = B; d(a, B) = d(b, A); d(a, B) d(a, C) + d(c, A), A, B, C P; d(a, B) = d(a, C) + d(c, A) A C B. Denition Se numeste izometrie a planului P o aplicatie f proprietatea : P P cu d (f (A), f (B)) = d(a, B), A, B P. Se poate demonstra ca orice izometrie a planului este o aplicatie bijectiva.

Grupul izometriilor Theorem Multimea izometriilor planului formeaza un grup in raport cu compunerea functiilor. Grupul izometriilor cu un punct x este izomorf cu grupul ortogonal O(2). O(2) = { A M 2 (R) AA t = A t A = I 2 } = { A Gl(2, R) A 1 = A t} Clasicare Izometrii de specia I: translatia, rotatia Izometrii de specia a II-a: simetria ortogonala axiala, compunerea dintre o simetrie axiala si o translatie de vector paralel cu axa simetriei

Izometriile planului

Simetriile unei guri Odata xata o geometrie cu un grup de automorsme G, se poate studia subgrupul automorsmelor care invariaza o gura xata F. Aceste automorsme se numesc simetrii ale gurii respective. Denition Fie F P o gura xata a planului P. Se numeste simetrie a lui F o izometrie a planului, f : P P, care invariaza gura F: f (F) = F. Theorem Multimea simetriilor gurii F P este un subgrup al grupului izometriilor planului P.

Grupurile de simetrii ale unor poligoane: grupul lui Klein: grupul simetriilor unui dreptunghi diferit de patrat grupurile diedrale: grupul simetriilor unui poligon regulat subgrupurile acestora formate din rotatii Reciproc: dat un grup de simetrii, sa determinam un poligon care sa aiba drept grup de simetrii pe cel initial Determinarea tuturor grupurilor nite de simetrii: teorema lui Leonardo

Grupul lui Klein V 4 = {Id, σ a, σ b, σ O } = < σ a, σ O = ρ O,π > Id σ a σ b σ O Id Id σ a σ b σ O σ a σ a Id σ O σ b σ b σ b σ O Id σ a σ O σ O σ b σ a Id

Grupul simetriilor patratului Notatii: ρ rotatia de centru O si unghi π 2 σ simetria axiala in raport cu axa orizontala h Sunt exact opt simetrii Putem genera toate simetriile pornind de la ρ si σ

Grupul diedral D 4 { Id, σ h, σ r, σ v, σ l, ρ O, π 2, ρ O, 2π 2 = σ O, ρ O, 3π 2 D 4 = { ρ, ρ 2, ρ 3, ρ 4 = Id, ρσ, ρ 2 σ, ρ 3 σ, σ } } σ 2 = ρ 4 = Id σ 1 = σ ρ 1 = ρ 3 ρ 2 = ρ 2 ρ 3 = ρ σ r = ρσ σ v = ρ 2 σ σ l = ρ 3 σ σ v σ = ρ 2 σ l σ = ρ 3

Grupul diedral D 4 Compunerea dintre o simetrie axiala fata de dreapta d si o rotatie cu centrul apartinand dreptei d este o simetrie fata de o dreapta ce trece prin centrul rotatiei. Deci σρ, σρ 2, σρ 3 sunt simetrii fata de drepte ce trec prin O, deci sunt aplicatii involutive. σρ = (σρ) 1 = ρ 1 σ 1 = ρ 3 σ, σρ 2 = (σρ 2 ) 1 = ρ 2 σ 1 = ρ 2 σ, σρ 3 = (σρ 3 ) 1 = ρ 3 σ 1 = ρσ.

Grupul diedral D 4 Id ρ ρ 2 ρ 3 σ ρσ ρ 2 σ ρ 3 σ Id Id ρ ρ 2 ρ 3 σ ρσ ρ 2 σ ρ 3 σ ρ ρ ρ 2 ρ 3 Id ρσ ρ 2 σ ρ 3 σ σ ρ 2 ρ 2 ρ 3 Id ρ ρ 2 σ ρ 3 σ σ ρσ ρ 3 ρ 3 Id ρ ρ 2 ρ 3 σ σ ρσ ρ 2 σ σ σ ρ 3 σ ρ 2 σ ρσ Id ρ 3 ρ 2 ρ ρσ ρσ σ ρ 3 σ ρ 2 σ ρ Id ρ 3 ρ 2 ρ 2 σ ρ 2 σ ρσ σ ρ 3 σ ρ 2 ρ Id ρ 3 ρ 3 σ ρ 3 σ ρ 2 σ ρσ σ ρ 3 ρ 2 ρ Id C 4 = { Id, ρ, ρ 2, ρ 3} =< ρ > subgrupul rotatiilor

Poligoane care au ca grup de simetrii C 4

Grupul diedral D 3 σ = σ h ρ = ρ O, 2π 3 σ 2 = ρ 3 = Id D 3 = { Id, ρ, ρ 2, σ, ρσ, ρ 2 σ } σρ = (σρ) 1 = ρ 1 σ 1 = ρ 2 σ σρ 2 = (σρ 2 ) 1 = ρ 2 σ 1 = ρσ

Grupul diedral D 3 Id ρ ρ 2 σ ρσ ρ 2 σ Id Id ρ ρ 2 σ ρσ ρ 2 σ ρ ρ ρ 2 Id ρσ ρ 2 σ σ ρ 2 ρ 2 Id ρ ρ 2 σ σ ρσ σ σ ρ 2 σ ρσ Id ρ 2 ρ ρσ ρσ σ ρ 2 σ ρ Id ρ 2 ρ 2 σ ρ 2 σ ρσ σ ρ 2 ρ Id C 3 = { Id, ρ, ρ 2}

Poligoane cu C 3 drept grup de simetrii

Grupul diedral D 6 D 6 = { Id, ρ 2, ρ 3, ρ 4, ρ 5, σ, ρσ, ρ 2 σ, ρ 3 σ, ρ 4 σ, ρ 5 σ }, ρ = ρ O, π3

Poligon cu grup de simetrii C 6 C 6 = {Id, ρ 2, ρ 3, ρ 4, ρ 5 }

Grupul diedral D n si subgrupul rotatiilor C n Avand un poligon regulat cu n laturi, ecare varf V i poate dus printr-o simetrie intr-unul din cele n varfuri ale poligonului, de exemplu V k. Atunci un varf vecin lui V i poate dus prin acea simetrie intr-unul din varfurile vecine ale lui V k. Deci in total avem 2n posibilitati. Cum imaginea poligonului regulat printr-o simetrie este determinata atunci cand se cunosc imaginile a doua varfuri vecine prin acea simetrie, rezulta ca exista cel mult 2n simetrii pentru poligonul respectiv. Fie h una din axele de simetrie ale poligonului regulat. Notam cu σ simetria axiala in raport cu h si cu ρ rotatia de centru O (centrul de simetrie al poligonului, situat la intersectia axelor sale de simetrie) si unghi orientat 2π n. { Id, ρ, ρ 2,, ρ n 1, ρσ, ρ 2 σ,, ρ n 1 σ } sunt 2n simetrii ale poligonului, deci acestea sunt toate simetriile posibile. In consecinta D n =< ρ, σ > si subgrupul rotatiilor sale este grupul ciclic C n =< ρ > de ordin n.

D n Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru primele n linii folosim ρ n = σ 2 = Id si ecare linie se obtine practic din precedenta prin compunere la stanga cu ρ. Pentru linia corespunzatoare lui σ folosim faptul ca orice compunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel, (σρ k ) 1 = σρ k, k 1, n 1. Deci σρ k = ρ n k σ, k 1, n 1. Dupa completarea acestei linii, ultimele n 1 linii se obtin ecare din precedenta prin compunere la stanga cu ρ. D 1 =< σ > e grupul simetriilor unui triunghi isoscel neechilateral, iar C 1 = {Id}. D 2 =< σ, ρ O,π = σ O >= V 4, iar C 2 = {Id, ρ O,π } e grupul simetriilor unui paralelogram diferit de romb.

Teorema lui Leonardo Pana in acest moment am reusit sa demonstram urmatorul rezultat: Theorem Pentru orice n N, exista cate un poligon care are ca grup de simetrii pe D n si respectiv pe C n. Ne intereseaza rezultatul reciproc: orice grup nit de simetrii al unei guri plane este de tipul D n sau C n? Hermann Weyl (1885-1955) arma in cartea Symmetry, Princeton University Press, 1951, ca Leonardo da Vinci (1452-1519) era preocupat de aceasta problema. Mai exact acesta determina in mod sistematic simetriile unei cladiri centrale si studia cum sa ataseze capele, nise, etc, fara a strica simetria nucleului.

Teorema lui Leonardo Theorem Singurele grupuri nite de izometrii sunt C n si D n. Corollary (Leonardo) Dat un poligon oarecare, grupul sau de simetrii este D n sau C n.

Theorem Singurele grupuri nite de izometrii sunt C n si D n. Demonstratie Fie G un grup nit de izometrii ale planului P. Rezulta ca acesta nu poate contine translatii sau compuneri de translatii cu simetrii axiale, deoarece acestea ar genera un subgrup innit. In consecinta G contine doar rotatii si simetrii axiale. Caz I Presupunem ca G contine doar rotatii: G = C 1 = {Id} ρ A,α G, ρ A,α Id. In aceasta situatie demonstram ca toate rotatiile sunt de centru A. Pp prin reducere la absurd ca ρ B,β G cu A B. Atunci ρ 1 B,β ρ 1 A,α ρ B,βρ A,α G. Dar aceasta compunere de rotatii este o translatie diferita de Id caci suma unghiurilor orientate ale acestor rotatii este 0. Se contrazice astfel ipoteza ca G e grup nit.

Deci n N : ρ n A,α = ρ A,nα G si ρ 1 A,α = ρ A, α G. Astfel, toate elementele grupului pot scrise sub forma ρ A,α cu 0 α 2π. Fie α 0 valoarea minima (pozitiva) pe care o poate lua unghiul unei rotatii din G. Se demonstreaza prin reducere la absurd ca ρ A,β G, k N astfel incat β = kα 0. Deci orice rotatie a grupului este de tipul ρ A,kα0 = ρ k A,α 0, pentru un anumit k natural, deci este generata de ρ A,α0. In concluzie G =< ρ A,α0 >= C m, ρ m A,α 0 = Id. Caz II Presupunem ca G contine cel putin o simetrie axiala σ. Deoarece o izometrie si inversa ei sunt de aceeasi specie, iar compunerea a doua izometrii de specia I este o izometrie de specia I, rezulta ca multimea izometriilor de specia I ale lui G formeaza un subgrup al acestuia, ce contine doar rotatii. Conform primului caz, rezulta ca acest subgrup e de tipul C n = {Id, ρ,, ρ n 1 }. Am presupus ca numarul izometriilor de specia I ale lui G este n.

Presupunem ca G contine m 1 izometrii de specia a II-a. Deoarece σ, ρσ, ρ 2 σ,, ρ n 1 σ sunt izometrii de specia a II-a, rezulta ca m n. Dar cele m izometrii de specia a doua, compuse la dreapta cu σ, dau m izometrii de specia I, deci m n. In concluzie m = n OrdG = 2n si G = { Id, ρ,, ρ n 1, σ, ρσ, ρ 2 σ,, ρ n 1 σ }. Pentru n = 1 avem G =< σ >= D 1, iar pentru n > 1, ρ k σ, k 1, n 1 este o simetrie fata de o dreapta ce trece prin centrul A al rotatiei ρ. Deci G = D n.

Bibliograe 1 Mircea Ganga, Manual Algebra clasa a XII-a, Mathpress, Ploiesti, 2003 2 George E. Martin, Transformation Geometry, An Introduction to Symmetry, Springer, 1982 3 Liviu Ornea, Adriana Turtoi, O introducere in geometrie, Theta, Bucuresti 2011 4 Ioan Pop, Geometrie ana, euclidiana si proiectiva, Editura Universitatii Al.I.Cuza, Iasi, 1999