ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση εφαπτοµένης της y ( ο ( ο ο C στο ο D. Ορισµός Συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιµη σε σύνολο Α, όταν είναι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο A.. Ορισµός Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη σε σύνολο Α. R Κάθε Α το αντιστοιχίζουµε στον αριθµό. Έτσι ορίζεται νέα συνάρτηση : Α R που λέγεται παράγωγος (συνάρτηση της. 4. Η δεύτερη παράγωγος Η παράγωγος της παραγώγου συνάρτησης λέγεται η παράγωγος της και συµβολίζεται. ιαδοχικά µπορούµε να µιλάµε για ν-οστή παράγωγο της, που συµβολίζεται ν και είναι ν ( ( ν, ν.
5. Πίνακας παραγώγισης (c 0 ( στο R στο R (, ( 4, ( 4,..., ( ν ν ν στο R (, (,..., ( ν ν ν στο στο R R ( στο (0, ( α α α στο (0,, όπου α R σταθερός. Όταν α >, τότε ( α α α στο [0, (ηµ συν (συν ηµ (εφ συν (σφ ηµ στο R στο R στο R µε συν 0 στο R µε ηµ 0 ( e ( α e στο R α lnα στο R, όπου α > 0 (ln στο (0, (ln στο R Αν, g παραγωγίσιµες σε διάστηµα, τότε ( ± g ( ( ± g ( ( g ( ( g( ( g ( (c ( c (
g ( g g [ g ] g g µε g( 0 [ g ] µε g( 0 Αν g παραγωγίσιµη σε διάστηµα και παραγωγίσιµη στο g(, τότε ( (g( (g( g ( ΣΧΟΛΙΑ - ΜΕΘΟ ΟΙ. Τρόπος εργασίας Για να έχουµε την παράγωγο συνάρτησης σε σηµείο ο : Όταν δεν γνωρίζουµε αν η είναι παραγωγίσιµη, εφαρµόζουµε τον ορισµό ( ο ( ο ο Όταν γνωρίζουµε ότι η είναι παραγωγίσιµη, βρίσκουµε την και όπου θέτουµε ο,. Κάτι προφανές Αν, g παραγωγίσιµες συναρτήσεις σε σύνολο Α και ( g( για κάθε A, τότε ( g ( για κάθε A. Προσοχή, όχι αντίστροφα. Προσοχή, όχι για ανίσωση.. ιευκρίνιση Τα σύµβολα ( και ( ( είναι ταυτόσηµα. Και τα δύο συµβολίζουν την παράγωγο συνάρτηση της. Όµως, δε συµβαίνει το ίδιο για τα σύµβολα ( ο και ( ( ο. Το ( ο συµβολίζει την τιµή της παραγώγου της στο σηµείο ο Το ( ( ο είναι 0, αφού πρόκειται για την παράγωγο του σταθερού αριθµού ( ο.
4 4. ιευκρίνιση Μη µπερδεύουµε την παράγωγο συνάρτηση ( συνάρτησης, µε την παράγωγο ( της σε κάποιο σηµείο. Η πρώτη είναι συνάρτηση και η δεύτερη είναι αριθµός. Απλά, έχουν ίδιο συµβολισµό (. Για τη διάκρισή τους, µπορούµε την πρώτη να τη συµβολίζουµε ( ( 5. Προσοχή Αν παραγωγίσιµη σε σύνολο Α, δεν συµπεραίνεται ότι η είναι παραγωγίσιµη στο Α. Πρώτα απαλλασσόµαστε από το απόλυτο 6. Προσοχή Αν παραγωγίσιµη σε σύνολο Α, δεν συµπεραίνεται ότι η παραγωγίσιµη στο Α. είναι 7. Θυµίζουµε ότι Η συνάρτηση ( έχει πεδίο ορισµού το [0, Αλλά παραγωγίζεται στο (0,
5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Στους κανόνες παραγώγισης. ίνεται συνάρτηση άρτια και παραγωγίσιµη στο R. Αν (0 και g( ( ( συν, R, δείξτε ότι g (0 Η συνάρτηση g προκύπτει από πράξεις παραγωγίσιµων συναρτήσεων στο R, άρα είναι παραγωγίσιµη στο R. g ( ( ( ( ( ηµ g (0 ( 0 (0 ( 0 0 (0 ηµ0 g (0 (0 (0 g (0 (0 ( άρτια ( ( για κάθε R ( ( ( ( ( ( ( ( ( Για 0 έχουµε (0 ( (0 (0 (0 0 (0 ( g (0 (0 0
6. Αν η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο (0, και για κάθε (0, ισχύει (ln e ln, να αποδείξετε ότι e ( ( e (ln e ln ( (ln (e ln ( ln( ln e e e ( ln e ( ln e ( ( ln ( e ( ln ( ln e e ( ln e e Για e ( ln e ( ln e ( παίρνουµε ( ln e ( e e e ( e e e e e e e ( e e ( e
7. Συνάρτηση ω είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R µε ω(. Για συνάρτηση δίνεται ( ( ω( 5 για κάθε R. Να δείξετε ότι η είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R και να βρείτε την (. Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, σα γινόµενο δύο φορές παραγωγίσιµων συναρτήσεων. Είναι δε ( [( ] ω( 5 ( [ ω( 5] ( ω( 5 ( ω ( 5 [( ω( 5 ( ω ( 5 ] ( [[( ω( 5] [( ω ( 5] ] ( [ ω( 5 ( ω ( 5 ( ω ( 5 ( ω ( 5 ] Άρα ( [ω( 0 0 0 ] 6 4. Αν η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R και για κάθε R ισχύει ( 7, να υπολογίσετε την (8. ( 7 [ ( ] ( 7 ( 6 και αν 0 ( 7 4 [ ( ] [7 4 ] ( 8 ( 8 Για παίρνουµε ( 8 (8 56
8 5. Αν η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R µε (0 και για κάθε R ισχύουν g( (, h( ( 4, να υπολογίσετε τη διαφορά g ( h (. g ( [ ( ] ( ( ( ( g ( [ ( ] [ ( [ ( ] ] [ ( ( ( ] [ ( ( ] Για παίρνουµε g ( [ ( ( ] [ (0 (0 ] [ (0 ( ] (0 4 ( h ( [( 4 ] ( 4 ( h ( [ ( 4 ( ] 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( [ [ ( 4 ] ( ( 4 ( ] 4 ] 4 ] [ ( 4 ( 4 ( ( [ ( 4 ( 4 ( ( Για, h ( [ ( 4 ( 4 ( ( 4 ] [ (0 (0] [ ( (0] 4 (0 ( Από τις (, ( g ( h ( 0
9 6. Αν η συνάρτηση : R (0, έχει παράγωγο 4 ης τάξης και για κάθε R ισχύει [ ( ] [ ( ], να αποδείξετε ότι, για κάθε R είναι (4 ( ( [ ( ] [ ( ] [[ ( ] [ ( ] ] 0 ( ( ( ( 0 ( ( ( ( ( ( ( ( ( Είναι ( 0 διότι, αν για κάποιο ήταν ( 0, η υπόθεση [ ( ] [ ( ] θα έδινε [ ( ] ( ή ( που είναι άτοπο αφού ( (0,. ( ( ( ( ( ( ( (4 ( ( ( ( ( (
0 7. Θεωρούµε συνάρτηση παραγωγίσιµη στο (0, τέτοια, ώστε ( ( για κάθε > 0. i Να αποδείξετε ότι ( για κάθε > 0 ii Θεωρούµε συνάρτηση g τέτοια, ώστε g( ( (, > 0. Να αποδείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιµη στο (0, και ότι g ( 0 για κάθε > 0 i Στην ισότητα ( ( ( u ( u u 0 ( u 0 και Τέλος, όπου u θέτουµε, οπότε ( ii H συνάρτηση ω( (, όπου θέτουµε u. u u (u ( είναι παραγωγίσιµη στο (0, και η είναι παραγωγίσιµη στο D ω (0,, άρα και η ( D ω (0,, άρα και το γινόµενο ( (, δηλαδή η g. Θα είναι δε g ( ( ( ( ( ( ( ( ( Αλλά ( ( ( και από την ( έχουµε ( ( ( ( ( ( ( Οπότε η ( g ( 0 είναι παραγωγίσιµη στο (
8. ( Για παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση δίνεται ότι e ( για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R και ότι ( e e παραγωγίσιµη ( e ( ( e ( ( e παραγωγίσιµη ( ( ( e ( ( e ( ( ( ( e ( ( e ( e παραγωγίσιµη ( ( ( παραγωγίσιµη e e e ( e e ( e ( παραγωγίσιµη e ( e
9. Συνάρτηση ω είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R. Για συνάρτηση δίνεται ( ( ω( για κάθε R. Αν ω( 5 και ω ( 4, να δείξετε ότι η είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R και να βρείτε την τιµή (. Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, σα γινόµενο δύο φορές παραγωγίσιµων συναρτήσεων. Είναι δε ( ω( ( ω ( ( [ ω(] [( ω (] [ω( ω (] ω ( ( ω ( ω( ω ( ω ( ( ω ( ω( 4 ω ( ( ω ( Άρα ( ω( 4 ω ( ( ω ( ( 5 4 ω ( ω ( ( Θα υπολογίσουµε τις ω ( και ω ( ω ( ίνεται ότι 4 ( Θέτουµε g( Τότε ω (. g( 4 και g(( ω ( Οπότε ω ( g(( ω ( ω ( [ g(( ] g( ( ω ( 4 0 ( Επειδή, όµως, η συνάρτηση ω είναι παραγωγίσιµη, είναι και συνεχής, άρα ( ω ( ω ( ω ( ( ω ( ω ( 4 ω ( 4 ( ( 0 4 4 0 8 8 6
0. Έστω το πολυώνυµο ( διαφορετικές µεταξύ τους. Να αποδείξετε ότι : i ii ( ρ ρ ρ ρ ρ α β γ µε ρίζες ρ, ρ, ρ R ρ ρ ρ ( ρ 0 για κάθε ρ, ρ, ρ i Το πολυώνυµο γράφεται ( ( ρ ( ρ ( ρ (. Άρα ( ( ρ ( ρ ( ρ ( ρ ( ρ ( ρ ( ρ ( ρ ( ρ ( ( ρ ( ρ ( ρ ( ρ ( ρ ( ρ ( Για κάθε ρ, ρ, ρ η ( ( ( ( ( ρ ( ρ ρ ρ ρ ρ ii Για ρ, η ( ( ρ ( ρ ρ ( ρ ρ ρ ρ ρ ( ρ ρ ρ ρ Γράφουµε κυκλικά και προσθέτουµε, οπότε ( ρ ρ ρ ( ρ ρ ρ ρ ρ ρ ( ρ ρ ρ ( ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρρ ρρ ( ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ( ρ 0
4. Έστω το πολυώνυµο ( Να αποδείξετε ότι : i ρ ρ (0 0 ii ρ ρ i ρ ρ ( 0 ( 0 α β γ µε ρίζες ρ, ρ, ρ β γ 0 0 Το πολυώνυµο γράφεται ( ( ρ ( ρ ( ρ (. Άρα R ( ( ρ ( ρ ( ρ ( ρ ( ρ ( ρ ( ρ ( ρ ( ρ ( ( ρ ( ρ ( ρ ( ρ ( ρ ( ( Για κάθε ρ, ρ, ρ η ( ( ρ ( ρ ( ρ Για 0, η (4 Είναι (0 (0 0 ρ 0 α 0 β 0 γ γ ( ρ ρ ρ ρ (0 0 ρ ρ ( ρ ρ ρ ( (4 Άρα Εποµένως ( ( α β γ α β (0 0 α 0 β β (0 0 β γ ii (( ρ ( ( ( ( ρ (0( ρ (0 (0 ρ (0 (0 ρ (0 ρ (( ρ ( ( ρ (0( ρ (0 ρ (0 ρ (0 ρ (( ρ ( ( ρ (0( ρ (0 ρ (0 ρ (0 ρ (0 (0 ρ ρ ρ ρ ρ ρ (0 (i
5 (0 (0 (0 (0 (0 ρ ρ ρ (0 ρ ρ ρ ρ ρ [ (0] [ 0 ] ρ [ (0] 0 (0 0 0. i Αν ( είναι πολυώνυµο βαθµού ν, να αποδείξετε ότι, το ( ρ είναι παράγοντας του ( όταν και µόνο όταν ισχύει (ρ (ρ 0 ii Να αποδείξετε ότι, το ( είναι παράγοντας του Ρ( ν (ν ν, για κάθε ν N. i Ευθύ Με υπόθεση ( ρ παράγοντας του (, θα αποδείξουµε (ρ (ρ 0. ( ρ παράγοντας του ( ( ( ρ Π( ( Για ρ, η ( (ρ (ρ ρ Π(ρ 0 ( ( [( ρ ] Π( ( ρ Π ( ( ( ρ Π( ( ρ Π ( ( Για ρ, η ( (ρ (ρ ρ Π(ρ (ρ ρ Π (ρ 0 Αντίστροφο Με υπόθεση (ρ (ρ 0, θα αποδείξουµε ( ρ παράγοντας του (. Είναι ( ( ρ Π( α β ( Για ρ, η ( (ρ (ρ ρ Π(ρ αρ β 0 αρ β (4 ( ( [( ρ ] Π( ( ρ Π ( (α β ( ( ρ.π( ( ρ Π ( α (5 Για ρ, η (5 (ρ (ρ ρ Π(ρ (ρ ρ Π (ρ α 0 α. Η (4 0 β. Η ( ( ( ρ Π(, δηλαδή ( ρ παράγοντας του (. ii Ρ( ν (ν ν ν ν 0 Ρ ( (ν ν (ν Ρ ( (ν ν (ν 0 Άρα, κατά το (i, το ( είναι παράγοντας του Ρ(
6. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ( D [0, Παράγωγος στο τυχαίο > 0. ( Παράγωγος στο 0. 0 ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0
7 Στην εφαπτοµένη 4. ίνεται η συνάρτηση ( εφαπτόµενες της C που άγονται από το Κ. Έστω ε : y ( ο Είναι ( ο και το σηµείο Κ(0,. Να βρείτε τις (, οπότε η ζητούµενη εφαπτοµένη, όπου Α(, Άρα ε : y ( ( ( y ( y ( ( ο το σηµείο επαφής. H (ε διέρχεται από το Κ, άρα η εξίσωσή της επαληθεύεται από αυτό. Άρα ( 0 4 ή Για Για, η εξίσωση ( της εφαπτοµένης γίνεται y 5, η εξίσωση ( της εφαπτοµένης γίνεται y
8 5. Να βρείτε τις κοινές εφαπτόµενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων ( 4, g(. 4 Έστω ε : y ( ( ( η εφαπτοµένη της C στο τυχαίο σηµείο της Α(, ( y ( 4 ( 4 ( y ( 4 4 y ( 4 ( Έστω η : y g( g ( 4 g ( ( η εφαπτοµένη της C στο τυχαίο g σηµείο της Β(, g( y ( ( y y ( Για να έχουµε κοινή εφαπτοµένη, πρέπει οι ευθείες (ε και (η να συµπίπτουν. Άρα 4 και και ( και 4 4 και 4 0 0 και 5 0 4 60 64, ± 8 Για, η ( y 0 4 κοινή εφαπτοµένη Για 5, η ( y 6 8 κοινή εφαπτοµένη ή 5
9 6. Θεωρούµε παραγωγίσιµη συνάρτηση :R R και συνάρτηση g τέτοια, ώστε g( ( για κάθε R. Αν η ευθεία ε : y εφάπτεται της C στο σηµείο Α (, (, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της στο σηµείο Β(, g(. Επειδή το Α (, ( ανήκει στην (ε, θα είναι ( 9 και Η ζητούµενη εφαπτοµένη θα έχει εξίσωση y g( g (( ( Η υπόθεση g( ( για δίνει g( ( 9 Η υπόθεση g( ( g ( ( ( για παίρνουµε g ( ( 6 ( y 9 6( y 6 C g
0 7. Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση :R R η g( Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενες των C, C g στα σηµεία Α( ο, Β( ο, g( ο αντίστοιχα, τέµνουν τον άξονα y y στο ίδιο σηµείο. ( ο η εφαπτοµένη της (0 ο ε : y ( ο ( ο Για 0 βρίσκουµε y ( ο ( ο y ο Άρα η (ε τέµνει τον άξονα y y ο ο η : y g( ο g ( ο Για 0 βρίσκουµε y g( ο (0 ο g ( ο y ο g ( ο g( ο Άρα η (η τέµνει τον άξονα y y για κάθε R. ο, C στο σηµείο Α( ο, στο σηµείο Κ(0, ο ( ο η εφαπτοµένη της g ο ο ο C στο σηµείο Β( ο, στο σηµείο Λ(0, ο Για να αποδείξουµε ότι Κ Λ, αρκεί να αποδείξουµε ότι ο ( ο ( ο ο g ( ο g( ο g ο Από την υπόθεση g( (, παίρνουµε g( ο ( ο ο και g ( άρα και g ( ο Οπότε, αρκεί να αποδείξουµε ότι ο ( ο ( ο ο [ ( ο ] ο ( ο ο ο ο ο ο g ο ο ο ο ο που ισχύει. g ο
8. Για την παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση δίνεται ότι [ ] [ ] 4 4 για κάθε R. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C στο σηµείο Α(, ( Η ζητούµενη εφαπτοµένη θα είναι y ( ( Θα υπολογίσουµε τις τιµές (,. Η υπόθεση [ ] [ ] 4 4 [ ] [ ] 4 [ ] [ ] 4 4 για µας δίνει [ ] [ ] 0 Θέτουµε ( µ µ µ (µ ( (µ ( µ 0 µ 0 µ 0 ή µ Η υπόθεση [ Άρα ( ( [ [ µ µ (µ (µ 0 µ µ µ 0 ] [ ] [ ] µ µ 0 ( 4 8 4 < 0 [ ] 4 4 ] (4 4 ] 6 6 Για παίρνουµε [ ] [ ] ( 6 6 6 6 5 9 Άρα 9 5 Η εφαπτοµένη στο Α(, έχει εξίσωση y 9 5 ( y 9 5 4 5
9. Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση :R R τέτοια, ώστε [ ] ( για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε : y εφάπτεται στη C. Τα κοινά σηµεία των (ε, Η υπόθεση C προκύπτουν από τη λύση του συστήµατος [ ] ( γίνεται y y ( ( ( ( 4 0 4 ( 0 Από την εξίσωση y, για βρίσκουµε y Εποµένως, κοινό σηµείο των (ε, C είναι το Α(, Η εφαπτοµένη της Χρειαζόµαστε την Η υπόθεση C στο σηµείο Α θα είναι: y [ ] ( [ [ [ ( ] ] [ ( ] ] για παίρνουµε Η ( γίνεται y ( y y y y ( ( 4 4 4
0. ίνεται η συνάρτηση ( Να βρείτε το σηµείο της εξίσωση y D R 4 4. C, στο οποίο η εφαπτοµένη της ευθεία έχει Έστω Α( ο, ( ο το ζητούµενο σηµείο. Η εφαπτοµένη στο Α θα είναι y ( ο ο ( ο ο y ( 4 ο ( ο 4 ( ο y ( ο 4 4 ο y ( ο 4 ο ο ( Για να συµπίπτει η ευθεία ( µε τη δοσµένη y πρέπει ο 4 και ο ο και ο ο και Άρα ο ο ( ο 4 0 Εποµένως Α(, 0 4 ο ο
4. Έστω η συνάρτηση ( α µε α > 0 και. Να βρείτε το α, ώστε η ευθεία ε : y να εφάπτεται της D R α lnα η : y ( ο y ο α ο ο ( ο η εφαπτοµένη της ο α lnα ( 0 ο y ( α lnα ( α lnα ο ο α C. C σε σηµείο της Α( ο, Για να συµπίπτει η ευθεία (η µε την ευθεία (ε, πρέπει να υπάρχει ο ώστε α ο lnα και ο α lnα ο και lnα ο 0 και lnα ο ο α 0 ο και lnα ο α ο ο και lnα ο ο α ο και lnα ο ο lnα ln ο και lnα ο ο lnα ln ο και lnα ο ο ο ln ο και lnα ο ln ο και lnα ο ο e και lnα e ο e και α e e
5. Για την παραγωγίσιµη συνάρτηση : R R δίνεται ότι ( ( για κάθε R. Αν < 0, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C στο σηµείο Α(, (. Η ζητούµενη εφαπτοµένη θα είναι y ( ( ( Στην υπόθεση ( ( ( (, όπου θέτουµε ( Στην υπόθεση ( (, όπου θέτουµε ( ( ( ( [ (] ( όπου θέτουµε ( ( ( [ ( ] ( αλλά, από τη ( Η υπόθεση ( ( [ ( (] ( ( (, οπότε ( [ ( ] ( [ ( ] ( 0 [ ( ] 0 άρα ( ( ( (. (, ( ( ( ( ( για παίρνουµε ( [ ( ] και επειδή < 0, θα είναι ( y ( y