ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : 8-9-, :-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΟΝΟΜΑ :...... ΑΡ. ΜΗΤΡ :....... ΕΤΟΣ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΡΟΣΟΧΗ: Το φύλλο των θεμάτων καθώς και όλες οι κόλλες που χρησιμοποιήσατε (συμπεριλαμβανομένων και των πρόχειρων σελίδων) θα παραδίδονται. Η εξέταση είναι με κλειστά βιβλία. Δέσμευση: Ολες οι ασκήσεις να επιλυθούν με τη μέθοδο της άμεσης δυσκαμψίας. Τυπολόγιο: Τα απαραίτητα μητρώα για την επίλυση όλων των ασκήσεων καθώς και οι αντιδράσεις αμφίπακτης δοκού δίνονται στην επόμενη σελίδα. ΘΕΜΑ ο ( μον.) Η μοναδική φόρτιση του δικτυώματος του σχήματος είναι μία επιβαλλόμενη μετακίνηση Δ στον ελεύθερο κόμβο του, δρώσα υπό γωνία θ π/ ως προς την οριζόντια ράβδο. Ζητούνται: (α) μον.: Ο υπολογισμός των αξονικών δυνάμεων των ράβδων. (β) μον.: Η τιμή της γωνίας θ για την οποία οι αξονικές δυνάμεις των ράβδων θα είναι ίσες μεταξύ τους. ΘΕΜΑ ο ( μον.) Η παρακάτω συνεχής δοκός δύο ανοιγμάτων φέρει ως μοναδική φόρτιση τα συγκεντρωμένα φορτία με τις φορές που φαίνονται στο σχήμα. Ζητούνται: (α) μον.: Ο υπολογισμός των τιμών των αγνώστων μετακινήσεων. (β) μον.: Ο υπολογισμός των τιμών των αντιδράσεων. (γ) μον.: Ο σχεδιασμός των διαγραμμάτων των εσωτερικών εντατικών μεγεθών. ΘΕΜΑ ο ( μον.) Η μοναδική φόρτιση της πλαισιακής κατασκευής του σχήματος είναι η επιβαλλόμενη οριζόντια μετακίνηση Δ στον ελεύθερο κόμβο του. Ζητούνται: (α) μον.: Ο υπολογισμός των τιμών των αντιδράσεων. (β) μον.: Ο σχεδιασμός των διαγραμμάτων των εσωτερικών εντατικών μεγεθών.
Μητρώο δυσκαμψίας στοιχείου τύπου δοκού Απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ +Y j m +θ i +Χ Χρήσιμες τριγωνομετρικές ταυτότητες Αντιδράσεις αμφίπακτης δοκού Καλή σας Επιτυχία!
ΘΕΜΑ ο - ΛΥΣΗ (α) (β) (α) ερώτημα Καθ όσον πρόκειται για δικτύωμα, από το δοθέν μητρώο Κ διαγράφονται οι η και η γραμμές και στείλες και τίθεται ΕΙ =. Ετσι προκύπτει η ακόλουθη γενική μορφή του μητρώου Κ για δικτύωμα σε απόλυτο σύστημα συντεταγμένων. AE cs s cs s K= c cs c cs cs s cs s c cs c cs Θέτοντας στη μορφή αυτή c = και s = οι η και η γραμμές και στήλες της μηδενίζονται, οπότε κατόπιν διαγραφής τους προκύπτει η ακόλουθη γενική μορφή του μητρώου δικτυώματος K σε τοπικό σύστημα συντεταγμένων. K= AE Εφ όσον η μετακίνηση του κόμβου είναι γνωστή, ίση με Δ και άρα κοινή για τα άκρα των ράβδων και, είναι απλούστερο να επιλυθεί κάθε ράβδος ξεχωριστά στο τοπικό της σύστημα συντεταγμένων, κατά το σχήμα (α), με χρήση του μητρώου της (). Εναλλακτικά, μπορεί να γίνει θεώρηση της κατασκευής ως σύνολο και η επίλυση να γίνει κατά τα γνωστά, βάσει του σχήματος (β) και χρήση του μητρώου της (). Λύση (α) Ράβδος : Το άκρο της ράβδου μετατίθεται κατά την αξονική διεύθυνση της ράβδου κατά u = Δcosθ. Είναι δε u =. Επομένως, η θεμελιώδης σχέση P= K Uδίνει τις αξονικές δυνάμεις των άκρων της ράβδου ως: () ()
P EA u = P EA cosθ P= K U = P = u cosθ P cosθ () = Ράβδος : Το άκρο της ράβδου μετατίθεται κατά την αξονική διεύθυνση της ράβδου κατά u = Δcos(θ-φ). Είναι δε u =. Οπότε αντίστοιχα προκύπτει: ( θ ϕ) ( θ ϕ) P EA u = P EA cos P= K U = P = () u = cos( θ ϕ) P cos όπου: ϕ = cos () Περαιτέρω, ο όρος cos( θ ϕ) της (), λαμβάνοντας υπ όψη και την (), μπορεί να γραφεί στη μορφή: ( θ ϕ) θ ϕ θ ϕ θ θ ( θ θ) cos = cos cos + sin sin = cos + sin = cos + sin () Λόγω της () η () μπορεί να ξαναγραφεί στην ακόλουθη μορφή. ( cosθ sinθ) ( cosθ sinθ) P + EA = P + (7) Λύση (β) Αναφορικά με το σχήμα (β), οι γωνίες των αξόνων των ράβδων και ως προς τον απόλυτο άξονα Χ είναι ίσες με και π-φ = -φ, αντίστοιχα. Ετσι, για τη ράβδο είναι c = και s =, ενώ για τη είναι c = cos(-φ) = cosφ και s = sin(-φ)=-sinφ. Με τις τιμές αυτές τα μητρώα Κ και Κ των δύο ράβδων, με χρήση της (), διαμορφώνονται ως: 7 8 7 8 AE K= 7 8, cos ϕ sinϕ cosϕ cos ϕ sinϕ cosϕ sin cos si = AE ϕ ϕ K n ϕ sinϕ cosϕ sin ϕ cos ϕ sinϕ cosϕ cos ϕ sinϕ cosϕ sinϕ cosϕ sin ϕ sinϕ cosϕ sin ϕ 7 8 (8) Η σύνθεση των μητρώων των (8) δίνει το παρακάτω μητρώο δυστένειας της κατασκευής στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ.
7 8 cos ϕ sinϕ cosϕ cos ϕ sinϕ cosϕ K= AE sinϕ cosϕ sin ϕ sinϕ cosϕ sin ϕ cos ϕ sinϕ cosϕ cos ϕ sinϕ cosϕ + sinϕ cosϕ sin ϕ sinϕ cosϕ sin ϕ 7 8 I = K ss (9) Σημειώνεται ότι Κff = Kfs = Ksf = καθ όσον η επιβολή μετακίνησης στον κόμβο ισοδυναμεί με θεώρηση άρθρωσης και πάκτωσης έναντι μετακινήσεων του κόμβου αυτού, ο οποίος στη συνέχεια εξαναγκάζεται σε λοξή μετακίνηση Δ με οριζόντια και κάθετη συνιστώσα ίσες με u7 = Δcosθ και u8 = -Δsinθ, αντίστοιχα. Κατά συνέπεια θα είναι: 7 8 Pf =, Ps = [ 7 8 ] T, Uf =, Us = [ u7 u8 ] T = [ Δcosθ -Δsinθ ] T Κατόπιν των ανωτέρω, η θεμελιώδης σχέση P = K U εκφυλίζεται στη μορφή Ps = Kss Us από την οποία προκύπτουν οι αντιδράσεις. P K U ss = ss s = AE 7 8 I cos ϕ sinϕ cosϕ cos ϕ sinϕ cosϕ = sinϕ cosϕ sin ϕ sinϕ cosϕ sin ϕ 7 cosθ 7 8 cos ϕ sinϕ cosϕ cos ϕ sinϕ cosϕ sinθ 8 + 7 sinϕ cosϕ sin ϕ sinϕ cosϕ sin ϕ 8 cos θ cos θ ( cos ϕ cos θ + sin ϕ cos ϕ sin θ) cos ϕ( cos ϕ cos θ + sin ϕ sin θ) = AE = AE ( sin ϕ cos ϕ cos θ + sin ϕ sin θ) sin ϕ( cos ϕ cos θ + sin ϕ sin θ) 7 8 cosθ cos ϕ cosθ sinϕ cosϕ sinθ cosθ + + + cos ϕ( cos ϕ cos θ + sin ϕ sin θ) ( sin ϕ cos ϕ cos θ + sin ϕ sin θ) sin ϕ( cos ϕ cos θ + sin ϕ sin θ)
cos θ cos cos ϕ θ ϕ = AE sin cos ϕ θ ϕ 7 cosθ 8 + cos ϕ cos ( θ ϕ) sin ϕ cos ( θ ϕ) () Το τοπικό και το απόλυτο σύστημα της ράβδου ταυτίζονται, οπότε ταυτίζονται και τα αντίστοιχα εντατικά μεγέθη. Ετσι, η αντίδραση της ράβδου ισούται με την αξονική της δύναμη Pστο τοπικό σύστημα. Οπότε είναι: AE AE P = = cosθ P = = cosθ () Η κάθετη αντίδραση προέκυψε μηδενική, όπως και έπρεπε. Στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων x y της ράβδου οι αντιδράσεις P (κατά τη διεύθυνση της ράβδου) και η κάθετη στη διεύθυνση αυτή P (προφανώς μηδενική) μπορούν να προκύψουν από το μετασχηματισμό των και του απόλυτου συστήματος συντεταγμένων ΧΥ στο τοπικό x y ως ακολούθως. P cos ϕ sin ϕ cosϕ sinϕ AE cosϕ cos θ ϕ = P sin ϕ cos ϕ = sinϕ cosϕ sinϕ cos θ ϕ ( θ ϕ) P AE cos AE = P = P = cos P ( θ ϕ) () Για λόγους επαλήθευσης και μόνο, ελέγχεται εάν το αλγεβρικό άθροισμα των εσωτερικών δυνάμεων P του κόμβου των δύο ράβδων (κατόπιν κατάλληλων μετασχηματισμών) ισούται με τις αντιδράσεις 7 και 8. Ετσι, είναι: Για τη ράβδο στον κόμβο : ( ) ( ) () P cos ϕ sin ϕ P cos sin X ϕ ϕ AE cos θ ϕ () = = P sin ϕ cos ϕ sin cos Y P ϕ ϕ ( ) P AE cosϕ cos θ ϕ = () X () P sinϕ cos θ ϕ Y
Αρα προκύπτει: cosθ + () () cos ϕ cos θ ϕ 7 P + P X AE () = = 8 P Y sin ϕ cos ( θ ϕ), όπως και έπρεπε. Σημειώνεται ότι οι αντιδράσεις-δυνάμεις 7 και 8 εκφράζουν την ισοδύναμη εξωτερική φόρτιση η οποία θα προκαλούσε τη λοξή μετακίνηση Δ υπό γωνία θ. (β) ερώτημα Πρέπει να ισχύει: P ( ) AE AE cos θ ϕ cosθ cosϕ+ sinθ sinϕ () () = P cosθ = cos θ ϕ = = = (),() ή (),() cosϕ cosθ cosθ cos ϕ sin ϕ = cosϕ+ sinϕ tanθ tanθ = cosϕ = = = tanϕ cosϕ sinϕ cosϕ sinϕ cosϕ sinϕ cosϕ θ = ϕ = cos Αρα, προκειμένου οι αξονικές δυνάμεις των δύο ράβδων να είναι ίσες μεταξύ τους (σε μέτρο), η μετακίνηση Δ πρέπει να επιβληθεί κατά τη διεύθυνση της ράβδου (θ = φ).
ΘΕΜΑ ο - ΛΥΣΗ (α) ερώτημα Λόγω πλήρους γεωμετρικής συμμετρίας αλλά και αντισυμμετρικής φόρτισης, επιλέγεται η επίλυση του αριστερού μισού της συνεχούς δοκού. Επομένως πρόκειται για ένα στοιχείο δοκού. Επιλέγεται ταύτιση απόλυτου και τοπικού συστήματος συντεταγμένων (άρα η αρίθμηση των βαθμών ελευθερίας στα δύο συστήματα θα είναι κοινή). Κατά συνέπεια θα είναι: s = θ = c = Επί πλέον, δεν υφίστανται αξονικές παραμορφώσεις, ελλείψει σχετικής φόρτισης, οπότε από το δοθέν μητρώο Κ διαγράφονται οι η και η γραμμές και στήλες. Ο κόμβος είναι πλήρως πακτωμένος. Ο κόμβος είναι πακτωμένος έναντι μετακινήσεων και ελεύθερος σε στροφή λόγω της άρθρωσης. Η εν λόγω στροφή (βαθμός ελευθερίας ) είναι η μοναδική άγνωστη μετακίνηση. Κατόπιν τούτων το προς επίλυση σύστημα θα είναι διαστάσεων (μία εξίσωση). Ετσι, τα μητρώα Κ, P, P F και U διαμορφώνονται ως: K ss EI = K = K K fs K sf K ff u U U U u = = f = [ u ], s= u u u P P P F = = P Pf = [ ], P s= [ P ] P F P / P P / P P /8 P = = P = /8, P = P /8 F F F f s F P P / P / F P P /8 Υπολογισμός αγνώστων μετακινήσεων Uf F Με χρήση της γενικευμένης σχέσης P = K U + K U + P, προκύπτει: f ff f fs s f F EI P Pf = K ff U f + K fs U s + Pf [ ] = k = [ u ] + [ P /8] u = EI = (β) ερώτημα Υπολογισμός αγνώστων αντιδράσεων Ps F Με χρήση της γενικευμένης σχέσης P = K U + K U + P, προκύπτει: s sf f ss s s
k = P/ F EI P Ps = Ksf U f + Kss U s + P s k u P / ( EI) P / 8 = = = + = = k = P/ Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνονται οι φορές των προκυπτουσών αντιδράσεων για την επιλυθείσα δοκό. Εάν η δοκός επιλυόταν ξεχωριστά (εννοείται στο ίδιο απόλυτο ή τοπικό σύστημα συντεταγμένων) τότε λόγω της συμμετρίας/αντισυμμετρίας (αντίστοιχα γεωμετρικής/φόρτισης) οι φορές των αντιδράσεων θα ήταν όπως φαίνεται παρακάτω. Από την επαλληλία των αποτελεσμάτων των δύο δοκών προκύπτουν οι τελικές φορές των αντιδράσεων. Σημειώνεται ότι στον κόμβο η κατακόρυφη αντίδραση προκύπτει μηδενική, όπως και έπρεπε. (γ) ερώτημα Υπολογισμός διαγραμμάτων εσωτερικών εντατικών μεγεθών Q( x) = = P/, x / Q ( x) = Q( x= /) ( P) = P/ + P= P/, / x / Q ( x) = Q P= P/ P= P/, / x ( x= /) Συνοψίζοντας: P/, x / Qx = P/, / x / P/, / x x M ( x) = + x = P / + Px / = P x /, x / M( x) = M( x= /) + Q( = /) + P x / = P/ + P/ P x / = P( x) / ( x= /) ( x= /), / x / M ( x) = M + Q + P x / = P/ + P/ + P x / = P(9 x) /, / x Συνοψίζοντας: P x /, x / M( x) = P ( x) /, / x / P(9 x) /, / x Πρακτικά, από τις παραπάνω σχέσεις απαιτούνται μόνο αυτές που δίνουν τα διαγράμματα έως x =, δηλ. με αναφορά στη δοκό. Τα διαγράμματα της δοκού θα είναι συμμετρικά/αντισυμμετρικά (αντίστοιχα Q/M) με αυτά της. Απλά, εδώ παρατίθεται το σύνολο των σχέσεων, δηλ. έως x =, για λόγους πληρότητας και μόνο. Στο σχήμα που ακολουθεί παρατίθενται τα πλήρη διαγράμματα τεμνουσών δυνάμεων και καμπτικών ροπών.
[Q] P P P [Μ] P P P P
ΘΕΜΑ ο - ΛΥΣΗ (α) ερώτημα Η μετακίνηση Δ του κόμβου στον οποίο συμβάλουν τα στοιχεία είναι κοινή για τα στοιχεία αυτά. Επί πλέον, πρόκειται για τη μοναδική φόρτιση της κατασκευής. Επομένως η επίλυση μπορεί να γίνει για κάθε στοιχείο ξεχωριστά και μάλιστα απ ευθείας στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων του (βλ. παραπάνω σχήμα). Αυτό σημαίνει για όλα τα στοιχεία: s = θ = () c = Το στοιχείο παρουσιάζει μόνο αξονικές παραμορφώσεις και καθόλου διατμητικές και καμπτικές λόγω της καθαρά αξονικής έντασης στην οποία υποβάλεται. Τα στοιχεία και θα παρουσιάζουν μόνο διατμητικές και καμπτικές παραμορφώσεις και καθόλου αξονικές, λόγω της καθετότητας της φόρτισης στους άξονές τους. Τέλος, τα στοιχεία και έχουν γεωμετρική συμμετρία και αντισυμμετρία έντασης η οποία προκύπτει από το συσχετισμό της φοράς της μετακίνησης Δ με τις θετικές φορές των τοπικών αξόνων y και y. Λόγω των () το δοθέν μητρώο Κ λαμβάνει την ακόλουθη μορφή για το τοπικό σύστημα συντεταγμένων του κάθε στοιχείου. AE AE EI EI EI EI K= AE AE EI EI EI EI ()
Κατόπιν των παραπάνω, για το μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου διαγράφονται οι γραμμές και στήλες,, και, ενώ για αυτό των στοιχείων και διαγράφονται οι και. Ετσι προκύπτουν: K= AE K EI = K = Ράβδος : Το άκρο της ράβδου μετατίθεται κατά την αξονική διεύθυνση της ράβδου κατά u = Δ. Είναι δε u =. Επομένως, η αντίδραση θα προκύψει ως ακολούθως, βάσει και του σχετικού ορισμού των στοιχείων kij του μητρώου K. EA EA = k u = = Αντίστοιχα είναι και EA EA P = k u = P = Ράβδος : Αντίστοιχα είναι u = Δ και u = u = u =, οπότε (από μητρώο K ): EI EI = k u = =, = k u = = EI EI P = k u = P =, P = k u = P = Ράβδος : Το μόνο που αλλάζει σε σχέση με τη ράβδο είναι ότι u = -Δ αντί u = Δ. Επομένως τα εντατικά μεγέθη στο τοπικό σύστημα x y (όλα ανάλογα της τιμής Δ), θα έχουν αντίθετες φορές αυτών στο σύστημα x y της ράβδου. Ετσι θα είναι: EI EI =, =, P =, P = Ισοδύναμη εξωτερική δύναμη πρόκλησης μετακίνησης Δ Απόλυτο σύστημα ΧΥ (δεν ζητείται) () () () EA EI EI EA EI F = P + P + P = + + F = + με διεύθυνση και φορά αυτή της Δ. () () M = P + P = (ίσες σε μέτρο αλλά αντιθέτου φοράς), όπως και έπρεπε. (β) ερώτημα Υπολογισμός διαγραμμάτων εσωτερικών εντατικών μεγεθών EA Ράβδος : N( x) = N( x) =, x EI Ράβδος : Qx = Qx =, x EI x M( x) = + x= x M( x) =, x
Ράβδος : Κατ αντιστοιχία με τα προαναφερθέντα περί αντιθέτου προσήμου των εντατικών μεγεθών, οι τιμές των διαγραμμάτων τις ράβδου θα είναι αντίθετες αυτών της ράβδου. Δηλαδή: EI Qx, x = και x M( x) =, x Η πλήρης σειρά διαγραμμάτων φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. EI EA EI [Ν] [Q] [Μ]