Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι - συνάρτηση κι ς θεωρήσουµε τις γρφικές πρστάσεις C κι C των κι - στο ίδιο σύστηµ ξόνων. Eπειδή y ( y ), ν έν σηµείο M(,) νήκει στη γρφική πράστση C της τότε το σηµείο M (,) θ νήκει στη γρφική πράστση C της - κι ντιστρόφως. T σηµεί όµως υτά είνι όµως συµµετρικά ως προς την ευθεί που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy. Eποµένως οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy. Ν ποδείξετε ότι γι οποιοδήποτε πολυώνυµο P() ισχύει ότι lim P P( ) Έστω το πολυώνυµο P ( ) v v + v- v- +...+ + κι R. Σύµφων µε ιδιότητες ορίων έχουµε: lim P lim ( v v + v- v- +...+ + ) lim ( v v )+ lim ( v- v- )+...+ lim ( )+ lim v lim ( v )+ v- lim ( v- )+...+ lim ()+ lim v v + v- v- +...+ + P ( ) Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 3. Ν ποδείξετε ότι γι οποιοδήποτε ρητή συνάρτηση ισχύει ότι P lim Q P Q Έστω η ρητή συνάρτηση κι R µε Q( ). Τότε lim lim P ( ), όπου P Q ( ( ), Q ( ) πολυώνυµ του ) P ( ) lim P ( ) P( ) Q ( ) Q( ) lim Q 4. Αν µι συνάρτηση, η οποί είνι ορισµένη κι συνεχής σε έν κλειστό διάστηµ [,] κι επιπλέον ισχύει, τότε ν ποδείξετε ότι γι κάθε ριθµό η µετξύ των κι τέτοιος ώστε ( ) η υπάρχει ένς, τουλάχιστον (,) (Θεώρηµ ενδιάµεσων τιµών) Ας υποθέσουµε ότι <. Τότε θ ισχύει η < θεωρήσουµε τη συνάρτηση η, [,], πρτηρούµε ότι: συνεχής στο [,] κι < φού η < κι η > Εποµένως σύµφων µε το θεώρηµ του Bolzano, υπάρχει (,) ώστε ( ) ( ) η, οπότε ( ) η <. Αν, τέτοιο 5. Αν µι συνάρτηση είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο, τότε ν ποδείξετε ότι είνι κι συνεχής στο σηµείο υτό lim Γι [ ( )] έχουµε ( ) lim ( ) ( ) οπότε ( ) ( ) lim lim ( ) Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ( ) ( ) φού η είνι πργωγίσιµη στο lim δηλδή η είνι συνεχής στο 6. Έστω η συνάρτηση c, πργωγίσιµη στο R κι ισχύει. Εποµένως c R. Ν ποδείξετε ότι η είνι Αν υποθέσουµε ότι είνι έν σηµείο του R τότε γι ισχύει ( ) c c ( ). Εποµένως lim δηλδή ( c ) 7. Έστω η συνάρτηση. Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει Αν υποθέσουµε ότι είνι έν σηµείο του R τότε γι ισχύει ( ) ( ). Εποµένως lim lim δηλδή ( ) ν 8. Έστω η συνάρτηση, ν Ν {,} ν- είνι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει. Ν ποδείξετε ότι η ν Αν υποθέσουµε ότι είνι έν σηµείο του R τότε γι ισχύει: ν ν ν ν ν ( ) ( )( + +... + ) ν ν- ν οπότε lim + +... + ν ν- ν ν ν ν ν- lim ( ν ν- δηλδή ν + +... + ) + +... + ν Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 3

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 4 9. Έστω η συνάρτηση, [ ),+ Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιµη στο,+ κι ισχύει Αν υποθέσουµε ότι είνι έν σηµείο του,+ τότε γι ισχύει: + + + + οπότε lim lim + δηλδή. Έστω οι συνρτήσεις, οι οποίες είνι πργωγίσιµες σε έν σηµείο. Ν ποδείξετε ότι κι η συνάρτηση + είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει + + Γι, ισχύει: + + + + Επειδή οι συνρτήσεις, είνι πργωγίσιµες στο, έχουµε lim lim lim + + + + δηλδή + +

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς. Έστω η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη στο,+, R Z. Ν ποδείξετε ότι η - κι ισχύει Πράγµτι ν y e ln κι θέσουµε u ln, τότε έχουµε y e u. Εποµένως y ( e ) u e u u e ln -. Έστω η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει, >. Ν ποδείξετε ότι η ( ) ln Πράγµτι ν y e ln κι θέσουµε u ln, τότε έχουµε y e u. Εποµένως y e u e u u e ln ln ln 3. Έστω η συνάρτηση ( ) ln, R *. Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιµη στο R * κι ισχύει ( ) Αν > τότε ( ln) ( ln) ενώ Αν < τότε ln ln οπότε ν θεσουµε y ln y lnu. Εποµένως y ( lnu) u u ( - ) κι άρ ln κι u έχουµε Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 5

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 4. Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Δ. Αν η είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ, τότε ν ποδείξετε ότι η είνι στθερή σε όλο το διάστηµ Δ. Αρκεί ν ποδείξουµε ότι γι οποιδήποτε Πράγµτι:, τότε προφνώς ( ) Αν Αν <, τότε στο διάστηµ [, ] θεωρήµτος µέσης τιµής. Εποµένως υπάρχει (, ) ( ξ), Δ ισχύει ( ). η ικνοποιεί τις υποθέσεις του ξ τέτοιο ώστε: ( ) ( ) () Επειδή το ξ είνι εσωτερικό σηµείο του Δ, ισχύει ( ξ) (), είνι ( ). Αν ( ). Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είνι ( ), οπότε λόγω της <, τότε οµοίως ποδεικνύετι ότι 5. Έστω δύο συνρτήσεις, ορισµένες σε έν διάστηµ Δ. Αν οι, είνι συνεχείς στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ, τότε ν ποδείξετε ότι υπάρχει στθερά c, τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ν ισχύει + c Η συνάρτηση είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σηµείο Δ ισχύει ( ). Εποµένως σύµφων µε το πρπάνω θεώρηµ, η συνάρτηση είνι στθερή στο Δ. Άρ υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε γι κάθε Δ ν ισχύει c, οπότε + c Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 6

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 6. Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Δ. Αν > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ, τότε ν ποδείξετε ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο Δ. Έστω, Δ µε <. Θ δείξουµε ότι ( ) < Πράγµτι στο διάστηµ [, ] θεωρήµτος µέσης τιµής. Εποµένως υπάρχει (, ) Επειδή ( ξ) η ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του ξ τέτοιο ώστε: ( ) ξ οπότε έχουµε ( ξ) ( ) ( ) ( ) > κι >, έχουµε ( ) ( ) οπότε ( ) > (Όµοι ποδεικνύουµε την περίπτωση που ισχύει είνι γνησίως φθίνουσ) <. < κι η 7. Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Δ κι έν εσωτερικό σηµείο του Δ. Αν η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό, τότε ν ποδείξετε πώς ισχύει ( ) (Θεώρηµ Fermat) Ας υποθέσουµε ότι η προυσιάζει στο τοπικό µέγιστο. Επειδή το είνι εσωτερικό σηµείο του Δ κι η προυσιάζει σε υτό τοπικό µέγιστο, υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε ( δ, + δ) Δ () γι κάθε ( δ, δ) + κι Επειδή επιπλέον η είνι πργωγίσιµη στο, ισχύει ( ) ( ) lim lim εποµένως + Αν ( δ, ) τότε λόγω της (), θ είνι έχουµε ( ) Αν (, δ) + lim ( ) τότε λόγω της (), θ είνι έχουµε ( ) lim+ ( ) Έτσι πό τις () κι (3) έχουµε ( ) () (3) ( ), οπότε θ, οπότε θ Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 7

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 8. Έστω µι συνάρτηση πργωγίσιµη σε έν διάστηµ (,), µε εξίρεση ίσως έν σηµείο του, στο οποίο όµως η είνι συνεχής. Ν ποδείξετε ότι:. Αν. Αν > στο, κι είνι τοπικό µέγιστο της < στο, κι είνι τοπικό ελάχιστο της < στο, > στο,, τότε το, τότε το γ. Αν η διτηρεί πρόσηµο στο (, ) (,) τότε το δεν είνι τοπικό κρόττο κι η είνι γνησίως µονότονη στο, > γι κάθε,. Επειδή γνησίως ύξουσ στο, " ( #. Έτσι έχουµε () Επειδή < γι κάθε, γνησίως φθίνουσ στο " #,). Έτσι έχουµε () κι η συνεχής στο, η είνι ( ) γι κάθε, ( # $ κι η συνεχής στο, η είνι ( ) γι κάθε #, $ ) Εποµένως λόγω των (), () ισχύει σηµίνει ότι το υτής ( ) είνι µέγιστο της στο, γι κάθε (,) που κι άρ τοπικό µέγιστο Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 8

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς < γι κάθε,. Επειδή γνησίως φθίνουσ στο, " ( #. Έτσι έχουµε () Επειδή > γι κάθε, γνησίως ύξουσ στο " #,). Έτσι έχουµε () Εποµένως λόγω των (), () ισχύει σηµίνει ότι το υτής κι η συνεχής στο, η είνι ( ) γι κάθε, ( # $ κι η συνεχής στο, η είνι ( ) γι κάθε #, ( ) είνι ελάχιστο της στο, $ ) γι κάθε (,) που κι άρ τοπικό ελάχιστο γ. Έστω ότι ( ) > γι κάθε (, ) (, ). Επειδή η είνι συνεχής στο, η είνι γνησίως ύξουσ σε κάθε έν πό τ διστήµτ, " ( # κι " #,). Εποµένως γι < < ισχύει < ( ) < ( ). Άρ το ( ) δεν είνι τοπικό κρόττο της. Θ δείξουµε τώρ ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο,. Πράγµτι, έστω,, µε < - Αν,, # ( $ επειδή η είνι γνησίως ύξουσ στο, " ( # θ ισχύει < ( ) - Αν, # $,) επειδή η είνι γνησίως ύξουσ στο " #, ) θ ισχύει < ( ) - Τέλος ν < <, τότε όπως είπµε < ( ) < ( ) Εποµένως σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει, οπότε η είνι γνησίως ύξουσ στο, Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 9

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 9. Aν είνι µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ Δ κι έν σηµείο του Δ τότε ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση ( t ) dt, Δ F είνι µι πράγουσ της στο Δ, δηλδή ότι ισχύει # % % $ dt t & ( ( ' ( ) γι κάθε Δ Eποπτικά το πρπάνω θέωρηµ προκύπτει ως εξής: +h F ( ) ( t ) F + h dt Eµδό του χωρίου Ω Άρ γι µικρά h> είνι F + h οπότε F lim h F( + h) F ( ) h h γι µικρά h> F ( ) ( ) ( ) h. Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Δ. Αν F είνι µι πράγουσ της στο Δ, τότε ν ποδείξετε ότι: Όλες οι συνρτήσεις της µορφής G F + c, c R πράγουσες της στο Δ κι είνι Κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρνει τη µορφή G F + c, c R Κάθε συνάρτηση της µορφής G F + c, c R της στο Δ, φού G ( F + c) F είνι µί πράγουσ γι κάθε Δ Έστω G είνι µί άλλη πράγουσ της στο Δ. Τότε γι κάθε Δ G, οπότε ισχύουν F κι F G, γι κάθε Δ Άρ, σύµφων µε το κριτήριο της ενότητς.6, υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε G F + c, c R γι κάθε Δ Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ [,]. Aν G είνι µί πράγουσ της στο[,], τότε ν ποδείξετε ότι ( t) dt G G Σύµφων µε γνωστό θεώρηµ η συνάρτηση ( t) dt πράγουσ της στο [,] [,], θ υπάρχει c R, τέτοιο ώστε G F + c () Από την () γι c G Εποµένως G F + G F είνι µι. Επειδή κι η G είνι µι πράγουσ της στο, έχουµε G F + c ( t) dt+ c c, οπότε Οπότε γι, έχουµε G F + G ( t) dt + G κι άρ ( t) dt G G. N ποδείξετε ότι το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις δύο συνεχών συνρτήσεων, κι τις ευθείες, ότν ισχύει $ & % ' δίνετι πό τον τύπο E Ω ( ( ) ( )) ( ) γι κάθε, Έστω δύο συνρτήσεις κι συνεχείς στο διάστηµ # $,% & µε ( ) γι κάθε $ %, d & ' κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των, κι τις ευθείες,. Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς Πρτηρούµε ότι: E ( Ω ) E( Ω ) E ( Ω ) ( ) d d ( ( ) ( )) d 3. N ποδείξετε ότι το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις δύο συνεχών συνρτήσεων, κι τις ευθείες, ότν ισχύει $ & % ' δίνετι πό τον τύπο E Ω Eπειδή οι συνρτήσεις, είνι συνεχείς στο # $,% & θ υπάρχει ριθµός c R τέτοιος ώστε ( ( ) ( )) d ( ) γι κάθε, + c ( ) + c γι κάθε $ %, & '. Είνι φνερό ότι το χωρίο Ω έχει το ίδιο εµδό µε το χωρίο Ω. Εποµένως σύµφων µε τον τύπο () έχουµε E ( Ω ) E( Ω ) #( ( ) + c ) ( ( ) + c ) & $% '( d ( ( )) d 4. N ποδείξετε ότι το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό την γρφική πράστση µις συνεχούς συνάρτησης, τον άξον κι τις ευθείες, ότν ισχύει $ & % ' δίνετι πό τον γι κάθε, τύπο E Ω ( ) d Mε τη οήθει του προηγούµενου τύπου µπορούµε ν υπολογίσουµε το εµδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τον άξον τη γρφική πράστση µις συνάρτησης µε $ & % ' κι τις ευθείες,. γι κάθε, Πράγµτι επειδή ο άξονς είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης έχουµε ( ( ) ( )) E Ω d ( ) d ( ) d Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 5. N ποδείξετε ότι το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις δύο συνρτήσεων, κι τις ευθείες, ότν η διφορά ()-() δε διτηρεί στθερό πρόσηµο δίνετι πό τον τύπο E Ω ( ) ( ) d Ότν η διφορά ( ) ( ) δε διτηρεί στθερό πρόσηµο στο # $,% & τότε το εµδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των, κι τις ευθείες κι είνι ίσο µε το άθροισµ των εµδών των χωρίων Ω, Ω, Ω 3. Δηλδή γ E ( Ω ) E( Ω ) + E ( Ω ) + E ( Ω 3) ( ( ) ( )) d + δ γ ( ( ) ( )) d + δ ( ( ) ( )) d γ δ ( ) ( ) d + ( ) ( ) d + ( ) ( ) d γ δ ( ) d Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 3

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΟΡΙΣΜΟΙ. Τι ονοµάζουµε πργµτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R. Ονοµάζουµε πργµτική συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α µι διδικσί (κνόν) µε την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν µόνο πργµτικό ριθµό y. Το y ονοµάζετι τιµή της στο κι συµολίζετι µε υτή, γράφουµε : A R κι ( ). Γι ν εκφράσουµε τη διδικσί. Τι ονοµάζουµε γρφική πράστση µις πργµτικής συνάρτησης; Έστω µι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α κι Oy έν σύστηµ συντετγµένων στο επίπεδο. Το σύνολο των σηµείων Μ(,y) γι τ οποί ισχύει y, δηλδή το σύνολο των σηµείων Μ (, ( )), A λέγετι γρφική πράστση της κι συµολίζετι συνήθως µε C 3. Πότε λέµε ότι δύο συνρτήσεις, είνι ίσες; Δύο συνρτήσεις, λέγοντι ίσες ότν: Έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού Α κι Γι κάθε A ισχύει 4. Τι ονοµάζουµε σύνθεση µις συνάρτησης µε µι άλλη συνάρτηση ; Αν, είνι δύο συνρτήσεις µε πεδίο ορισµού Α, Β ντιστοίχως τότε ονοµάζουµε σύνθεση της µε τη, κι τη συµολίζουµε µε o τη o συνάρτηση µε τύπο ( ) Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 4

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς Το πεδίο ορισµού της o ποτελείτι πό ολ τ στοιχεί του πεδίου ορισµού της γι τ οποί το είνι το σύνολο Α A Α δηλδή ότν A νήκει στο πεδίο ορισµού της. Δηλδή { B}. Είνι φνερό ότι η o ορίζετι ότν B 5. Πότε λέµε ότι µι συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ κι πότε γνησίως φθίνουσ; Μι συνάρτηση λέγετι: Γνησίως ύξουσ σε έν διάστηµ Δ του πεδίου ορισµού της, ότν γι οποιδήποτε, Δ µε < ισχύει < ( ) (σχήµ ) Γνησίως φθίνουσ σε έν διάστηµ Δ του πεδίου ορισµού της, ότν γι οποιδήποτε, Δ µε < ισχύει > ( ) (σχήµ ) 6. Πότε λέµε ότι µι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α προυσιάζει στο A ολικό µέγιστο κι πότε ολικό ελάχιστο; Μι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α θ λέµε ότι: Προυσιάζει στο A γι κάθε A (σχήµ ) (ολικό) µέγιστο το ότν Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 5

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς Προυσιάζει στο A γι κάθε A (σχήµ ) (ολικό) ελάχιστο το ότν 7. Πότε λέµε ότι µι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α είνι -; Μι συνάρτηση : Α R λέγετι συνάρτηση -, ότν γι οποιδήποτε, A ισχύει η συνεπγωγή: ισχύει ( ) ν µε πγωγή σε άτοπο ποδεικνύετι ότι: Μι συνάρτηση : Α R λέγετι συνάρτηση -, ότν γι οποιδήποτε, A ισχύει η συνεπγωγή: ν ( ) ισχύει 8. Πως ορίζετι η ντίστροφη συνάρτηση; Έστω µι συνάρτηση : A R. Aν υποθέσουµε ότι υτή είνι - τότε γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιµών A της υπάρχει µονδικό στοιχείο y. Eποµένως ορίζετι R µε την οποί κάθε y ( A ) ντιστοιχίζετι στο y. Από τον τρόπο που ορίστηκε η του πεδίου ορισµού της A γι το οποίο ισχύει µι συνάρτηση : A µονδικό A γι το οποίο ισχύει προκύπτει ότι: - έχει πεδίο ορισµού το σύνολο τιµών A της - έχει σύνολο τιµών το πεδίο ορισµού της Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 6

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς - κι ισχύει η ισοδυνµί ( ) y ( y ) Aυτό σηµίνει ότι ν η ντιστοιχίζει το στο y τότε η ντιστοιχίζει το y στο κι ντιστρόφως. Δηλδή η είνι η ντίστροφη διδικσί της κι γι το λόγο υτό η λέγετι ντίστροφη συνάρτηση της κι συµολίζετι µε 9. Τι ονοµάζετι κολουθί; Ακολουθί ονοµάζετι κάθε πργµτική συνάρτηση : Ν * R. Ν διτυπώσετε το κριτήριο πρεµολής κι ν δώσετε τη γεωµετρική του ερµηνεί Έστω οι συνάρτησεις,, h. Αν κοντά στο κι h lim h lim λ τότε κι lim λ Υποθέτουµε ότι κοντά στο µι συνάρτηση εγκλωίζετι νάµεσ σε δύο συνρτήσεις h κι. Αν, κθώς το τείνει στο, οι κι h έχουν κοινό όριο l τότε όπως φίνετι κι στο σχήµ η θ έχει το ίδιο όριο l Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 7

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς. Πότε λέµε ότι µι συνάρτηση είνι συνεχής σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της; Έστω µι συνάρτηση κι έν σηµείο του πεδίου ορισµού της. Θ λέµε ότι η είνι συνεχής στο, ότν lim ( ). Πότε λέµε ότι µι συνάρτηση είνι συνεχής σε έν διάστηµ της,, ; µορφής ( ) [ ] Μι συνάρτηση θ λέµε ότι είνι συνεχής σε έν νοικτό,, διάστηµ ( ), ότν είνι συνεχής σε κάθε σηµείο του Μι συνάρτηση θ λέµε ότι είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστηµ [,], ότν είνι συνεχής σε κάθε σηµείο του (,) κι lim lim επιπλέον + κι 3. Ν διτυπώσετε το Θεώρηµ Bolzano κι ν δώσετε τη γεωµετρική του ερµηνεί Έστω µι συνάρτηση, ορισµένη σε έν κλειστό διάστηµ [,] Η είνι συνεχής στο [,] κι επιπλέον ισχύει <. Αν: Τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε ( ). Δηλδή υπάρχει µί τουλάχιστον ρίζ της εξίσωσης στο νοικτό διάστηµ (,) Στο διπλνό σχήµ έχουµε τη γρφική πράστση µις συνεχούς συνάρτησης στο [,]. Eπειδή τ σηµεί A(,()) κι B(,()) ρίσκοντι εκτέρωθεν του άξον, η γρφική πράστση της τέµνει τον άξον σε έν τουλάχιστον σηµείο Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 8

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 4. Πότε λέµε ότι ορίζετι εφπτοµένη µις γρφικής πράστσης A, ; το συνάρτησης σε έν σηµείο της ( ) Έστω µι συνάρτηση κι (,( )) ( ) lim A έν σηµείο της C. Αν υπάρχει κι είνι ένς πργµτικός ριθµός λ, τότε ορίζουµε ως εφπτοµένη της C στο σηµείο της Α, την ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 5. Πότε λέµε ότι µι συνάρτηση είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της; Μι συνάρτηση λέµε ότι είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο ( ) του πεδίου ορισµού της, ν υπάρχει το lim κι είνι πργµτικός ριθµός. Το όριο υτό ονοµάζετι πράγωγος της στο κι συµολίζετι µε ( ). Δηλδή: ( ) lim 6. Πότε λέµε ότι µι συνάρτηση είνι πργωγίσιµη σε έν σύνολο Α,, ; κι σε έν διάστηµ της µορφής ( ) [ ] - Μι συνάρτηση θ λέµε ότι είνι πργωγίσιµη στο Α ή πλά πργωγίσιµη ότν είνι πργωγίσιµη σε κάθε σηµείο A Μι συνάρτηση θ λέµε ότι είνι πργωγίσιµη σε έν νοικτό,, ότν είνι πργωγίσιµη σε κάθε σηµείο του διάστηµ, Μι συνάρτηση θ λέµε ότι είνι πργωγίσιµη σε έν κλειστό διάστηµ [,], ότν είνι πργωγίσιµη σε κάθε σηµείο του (,) κι επιπλέον ισχύει ότι: ( ) lim + R κι lim - ( ) R Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 9

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 7. Τι ονοµάζουµε ρυθµό µετολής ενός µεγέθους y ως προς έν άλλο µέγεθος σε έν σηµείο ; Αν δύο µετλητά µεγέθη, y συνδέοντι µε τη σχέση y, ότν είνι µι συνάρτηση πργωγίσιµη στο, τότε ονοµάζουµε ρυθµό µετολής του y ως προς στο σηµείο την πράγωγο 8. Ν διτυπώσετε το Θεώρηµ Μέσης Τιµής του Διφορικού Λογισµού κι ν δώσετε τη γεωµετρική του ερµηνεί Αν µι συνάρτηση είνι: συνεχής στο κλειστό διάστηµ [,] πργωγίσιµη στο (,) τότε υπάρχει, έν τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε ( ξ ) ( ) Γεωµετρικά, το ΘΜΤ εκφράζει ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (,) ώστε η εφπτοµένη της C στο σηµείο M ( ξ, ( ξ) ) ν είνι πράλληλη της ευθείς ΑΒ Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 9. Ν διτυπώσετε το Θεώρηµ Rolle κι ν δώσετε τη γεωµετρική του ερµηνεί Αν µι συνάρτηση είνι: συνεχής στο κλειστό διάστηµ [,] πργωγίσιµη στο (,) κι τότε υπάρχει, έν τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε ( ξ) Γεωµετρικά, το θεώρηµ Rolle εκφράζει ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (,) ώστε η εφπτοµένη της C στο σηµείο M ( ξ, ( ξ) ) ν είνι πράλληλη στον άξον των. Πότε λέµε ότι µι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α προυσιάζει στο A τοπικό µέγιστο κι πότε τοπικό ελάχιστο; Μι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α θ λέµε ότι: Προυσιάζει στο A τοπικό µέγιστο ότν υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε ( ) γι κάθε A ( δ, + δ) ή σηµείο τοπικού µεγίστου, ενώ το. Το λέγετι θέση τοπικό µέγιστο της Προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο ότν υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε ( ) γι κάθε A ( δ, + δ) λέγετι θέση ή σηµείο τοπικού ελχίστου, ενώ το ελάχιστο της. Το τοπικό Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς. Ποιες είνι οι πιθνές θέσεις των τοπικών κροτάτων µις συνάρτησης σε έν διάστηµ Δ; Οι πιθνές θέσεις των τοπικών κροτάτων µις συνάρτησης σε έν διάστηµ Δ είνι:. Τ εσωτερικά σηµεί του Δ στ οποί η πράγωγος της µηδενίζετι. Τ εσωτερικά σηµεί του Δ στ οποί η δεν πργωγίζετι 3. Τ άκρ του Δ (ν νήκουν στο πεδίο ορισµού της) T εσωτερικά σηµεί του Δ στ οποί η δεν πργωγίζετι ή η πράγωγος της είνι ίση µε το µηδέν λέγοντι κρίσιµ σηµεί της στο διάστηµ Δ. Πότε λέµε ότι µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Δ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Δ, στρέφει τ κοίλ προς τ άνω κι πότε προς τ κάτω; Έστω µι συνάρτηση συνεχής σε έν διάστηµ Δ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Δ. Θ λέµε ότι: Η συνάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άνω ή είνι κυρτή στο Δ, ν η είνι γνησίως ύξουσ στο εσωτερικό του Δ Η συνάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είνι κοίλη στο Δ, ν η είνι γνησίως φθίνουσ στο εσωτερικό του Δ Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 3. Πότε λέµε ότι το σηµείο (,) A είνι σηµείο κµπής µις γρφικής πράστσης µις συνάρτησης ; Έστω µι συνάρτηση πργωγίσιµη σε έν διάστηµ (,), µε εξίρεση ίσως έν σηµείο του. Αν Η είνι κυρτή στο (, ) κι κοίλη στο (,) Η C έχει εφπτοµένη στο σηµείο A (,( )) Τότε το σηµείο (,) πράστσης της ή ντιστρόφως, κι A ονοµάζετι σηµείο κµπής της γρφικής 4. Ποιες είνι οι πιθνές θέσεις των σηµείων κµπής µις συνάρτησης σε έν διάστηµ Δ; Οι πιθνές θέσεις των σηµείων κµπής µις συνάρτησης σε έν διάστηµ Δ είνι:. Τ εσωτερικά σηµεί του Δ στ οποί η δεύτερη πράγωγος της µηδενίζετι. Τ εσωτερικά σηµεί του Δ στ οποί δεν υπάρχει η 5. Πότε λέµε ότι η ευθεί είνι κτκόρυφη σύµπτωτη της γρφικής πράστσης µις συνάρτησης ; Αν έν τουλάχιστον πό τ όρι lim, lim + είνι + ή, τότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της 6. Πότε λέµε ότι η ευθεί y λ είνι οριζόντι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης µις συνάρτησης ; Αν lim λ + (ντιστοίχως lim λ ), τότε η ευθεί y λ λέγετι οριζόντι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της στο (ντιστοίχως στο ) + Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 3

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 7. Πότε λέµε ότι η ευθεί y λ + είνι πλάγι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης µις συνάρτησης ; Η ευθεί y λ + λέγετι πλάγι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της στο +, ντιστοίχως στο, ν ντιστοίχως lim + lim [ ( λ + ) ] [ ( λ + ) ] 8. Ποι συνάρτηση ονοµάζετι ρχική ή πράγουσ µις συνεχούς συνάρτησης ; Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Δ. Αρχική συνάρτηση ή πράγουσ της στο Δ ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F που F γι κάθε Δ είνι πργωγίσιµη στο Δ κι ισχύει 9. Tι ονοµάζουµε ορισµένο ολοκλήρωµ µις συνεχούς συνάρτησης ; Έστω µι συνάρτηση συνεχής στο # $,% &. Mε τ σηµεί < < <... v χωρίζουµε το διάστηµ # $,% & σε ν ισοµήκη διστήµτ µήκους Δ ν Στη συνέχει επιλέγουµε υθίρετ έν ξ κ $ κ-, & % κ ' γι κάθε κ {,,3,...,v} κι σχηµτίζουµε το άθροισµ Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 4

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς S v ( ξ ) Δ + ( ξ ) Δ +... ( ξ v) Δ το οποίο συµολίζετι, σύντοµ, ως εξής S v v k ξ Δ κ Aποδεικνύετι ότι Tο όριο του θροίσµτος S v, δηλδή το lim ξ v ( κ Δ) υπάρχει στο R κι v κ είνι νεξάρτητο πό την επιλογή των ενδιάµεσων σηµείων ξ κ Tο πρπάνω όριο ονοµάζετι ορισµένο ολοκλήρωµ της συνεχούς συνάρτησης πό το στο, συµολίζετι µε ολοκλήρωµ της πό το εως το. Δηλδή d κι διάζετι v κ d lim ξ v ( Δ) κ Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 5

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ. Όριο κι διάτξη ΘΕΩΡΗΜΑ Ο Αν lim > Αν lim < ΘΕΩΡΗΜΑ Ο, τότε > κοντά στο, τότε < κοντά στο Αν οι συνρτήσεις, έχουν όριο στο lim lim, τότε. Όριο κι πράξεις κι ισχύει Αν υπάρχουν τ όρι των συνρτήσεων κι στο, τότε lim ( + ) lim + lim lim ( κ ) κ lim γι κάθε στθερά κ R lim ( ) lim lim lim lim εφόσον lim lim lim lim lim κ κ lim εφόσον 3. Κριτήριο πρεµολής Έστω οι συνάρτησεις,, h. Αν κοντά στο κι lim h lim lim h λ κοντά στο τότε κι λ κοντά στο Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 6

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 4. Πράξεις µε συνεχείς συνρτήσεις ΘΕΩΡΗΜΑ Ο Αν οι συνρτήσεις κι είνι συνεχείς στο, τότε είνι συνεχείς +, c όπου c R,, στο κι οι συνρτήσεις: όπου, κι v µε την προϋπόθεση ότι ορίζοντι σε έν διάστηµ που περιέχει το ΘΕΩΡΗΜΑ Ο Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο κι η συνάρτηση είνι συνεχής στο ( ), τότε η σύνθεση τους o είνι συνεχής στο 5. Θεώρηµ Bolzano Έστω µι συνάρτηση, ορισµένη σε έν κλειστό διάστηµ [,]. Αν: Η είνι συνεχής στο [,] κι επιπλέον ισχύει < Τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε ( ) υπάρχει µί τουλάχιστον ρίζ της εξίσωσης (,) 6. Θεώρηµ Ενδιάµεσων Τιµών. Δηλδή στο νοικτό διάστηµ Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι ορισµένη σε έν κλειστό,. Αν: διάστηµ [ ] η είνι συνεχής στο [,] κι, τότε γι κάθε ριθµό η µετξύ των κι (,) τέτοιος ώστε ( ) η 7. Θεώρηµ Μέγιστης κι Ελάχιστης Τιµής υπάρχει ένς, τουλάχιστον Αν είνι συνεχής συνάρτηση στο [,], τότε η πίρνει στο [,] µι µέγιστη τιµή Μ κι µι ελάχιστη τιµή m. Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 7

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 8. Πράγωγος κι συνέχει Αν µι συνάρτηση είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο, τότε είνι κι συνεχής στο σηµείο υτό 9. Πράγωγος θροίσµτος Αν οι συνρτήσεις, είνι πργωγίσιµες στο, τότε η συνάρτηση + είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει ( + ) ( ) ( ) + ( ). Πράγωγος γινοµένου Αν οι συνρτήσεις, είνι πργωγίσιµες στο, τότε η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ). Πράγωγος πηλίκου τότε η συνάρτηση Αν οι συνρτήσεις, είνι πργωγίσιµες στο ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Πράγωγος σύνθετης συνάρτησης κι ( ), είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει Αν η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη στο κι η είνι πργωγίσιµη στο ( ), τότε η συνάρτηση o είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει ( o) ( ) ( ( )) ( ) 3. Θεώρηµ Rolle Αν µι συνάρτηση είνι: συνεχής στο κλειστό διάστηµ [,] πργωγίσιµη στο (,) κι τότε υπάρχει, έν τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε ( ξ) Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 8

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 4. Θεώρηµ Μέσης Τιµής του Διφορικού Λογισµού Αν µι συνάρτηση είνι: συνεχής στο κλειστό διάστηµ [,] πργωγίσιµη στο (,) τότε υπάρχει, έν τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε ( ξ) 5. Συνέπειες του Θεωρήµτος της Μέσης Τιµής Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Δ. Αν: η είνι συνεχής στο Δ γι κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ τότε η στθερή σε όλο το διάστηµ Δ 6. Συνέπειες του Θεωρήµτος της Μέσης Τιµής Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Δ. Αν > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ, τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ Αν < σε κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ, τότε η είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ 7. Θεώρηµ Fermat Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Δ κι έν εσωτερικό σηµείο του Δ. Αν η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό, τότε: ( ) 8. Προσδιορισµός τοπικών κροτάτων Έστω µι συνάρτηση πργωγίσιµη σε έν διάστηµ (,), µε εξίρεση ίσως έν σηµείο, στο οποίο όµως η είνι συνεχής Αν > στο ( ) κι < στο (,), τότε το, τοπικό µέγιστο της, τοπικό ελάχιστο της Αν < στο ( ) κι > στο (,), τότε το είνι είνι Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 9

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς Αν η διτηρεί πρόσηµο στο (, ) (,), τότε το ( ) είνι τοπικό κρόττο κι η είνι γνησίως µονότονη στο (,) 9. Κοίλ κυρτά συνάρτησης δεν Έστω µι συνάρτηση συνεχής σε έν διάστηµ Δ κι δύο φορές πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Δ. Αν > γι κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ, τότε η είνι κυρτή στο Δ Αν < γι κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ, τότε η είνι κοίλη στο Δ. Σηµεί κµπής Αν το (,) A είνι σηµείο κµπής της γρφικής πράστσης της κι η είνι δύο φορές πργωγίσιµη, τότε ( ). Πλάγι σύµπτωτη στο Η ευθεί y λ + είνι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της +, ντιστοίχως στο, ν κι µόνο ν lim + λ R κι lim [ λ] R + ντιστοίχως lim λ R κι lim [ λ] R. Κνόνες de L Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ Ο (Μορφή ) lim Αν lim, lim, R {, + } (πεπερσµένο ή άπειρο), τότε: κι υπάρχει το lim lim Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 3

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΘΕΩΡΗΜΑ Ο (Μορφή lim + ) + Αν lim +, lim +, R {, + } (πεπερσµένο ή άπειρο), τότε: 3. Αρχική συνάρτηση κι υπάρχει το lim lim Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Δ. Αν F είνι µι πράγουσ της στο Δ, τότε: Όλες οι συνρτήσεις της µορφής G F + c, c R πράγουσες της στο Δ κι είνι Κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρνει τη µορφή G F + c, c R 4. Ορισµένο ολοκλήρωµ ΘΕΩΡΗΜΑ Ο Έστω, συνεχείς συνρτήσεις στο [,] λ d λ d [ + ] d d + κι γενικά [ λ + µ ] d λ d + µ ΘΕΩΡΗΜΑ Ο d κι λ,µ R. Τότε ισχύουν: d Αν η είνι συνεχής σε διάστηµ Δ κι d d + d γ γ,,γ Δ τότε ισχύει: ΘΕΩΡΗΜΑ 3 Ο Έστω µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ [,]. Αν γι κάθε [,] κι η συνάρτηση δεν είνι πντού µηδέν στο διάστηµ υτό, τότε d > Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 3

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 5. Η συνάρτηση F ( t) ΘΕΩΡΗΜΑ Ο dt Αν είνι µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ Δ κι είνι έν F t dt, Δ είνι µι πράγουσ σηµείο του Δ, τότε η συνάρτηση γι κάθε Δ της στο Δ. Δηλδή ισχύει: ( t) dt ΘΕΩΡΗΜΑ Ο (Θεµελιώδες θεώρηµ του ολοκληρωτικού λογισµού) Έστω µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ [,]. Aν G είνι µί πράγουσ της στο[,], τότε ( t) dt G G Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 3

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ. Τ υ π ο λ ό γ ι ο π ρ γ ώ γ ω ν σ ι κ ώ ν σ υ ν ρ τ ή σ ε ω ν ( c ), c R ( ηµ ) συν ( ) ( συν ) ηµ ln e e ν ν ( ) ν, ν R εφ συν ( ) ln σφ ηµ. Τ υ π ο λ ό γ ι ο π ρ γ ώ γ ω ν σ ύ ν θ ε τ ω ν σ υ ν ρ τ ή σ ε ω ν ν ν- [ ] ν, ν R εφ συν [ ] ( e ) e [ ηµ ] συν ( ln ) [ συν ] ηµ ( ) ln ( σφ ) ηµ ( ) Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 33

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 3. Τ υ π ο λ ό γ ι ο κ ν ό ν ω ν π ρ γ ώ γ ι σ η ς + ( ) + ( c ) c [ ( )] ( ) [ ] + 4. Τ υ π ο λ ό γ ι ο ό ρ ι σ τ ω ν ο λ ο κ λ η ρ ω µ ά τ ω ν d c ηµd συν + c d εφ + d + c συν c d ln + c + d + c, - + d σφ + c ηµ e d e + c συν d ηµ + c d + c ln 5. Τ υ π ο λ ό γ ι ο µ ε θ ό δ ω ν ο λ ο κ λ ή ρ ω σ η ς Κτά πράγοντες d d Με ντικτάστση ( ) d ( u)du, όπου ( ) du d u κι Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 34

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΟΥ ΧΡΗΖΟΥΝ Σ Άρτι - περιττή συνάρτηση Αρχικά γι ν είνι µι συνάρτηση άρτι ή περιττή πρέπει το πεδίο ορισµού της ν είνι συµµετρικό ως προς το. Τότε ν γι κάθε, D ισχύει ( ) τότε λέµε ότι η συνάρτηση είνι άρτι ενώ ν ισχύει ( ) λέµε ότι είνι περιττή. ότι Η γρφική πράστση µις άρτις συνάρτησης είνι συµµετρική ως προς τον άξον y y ενώ µις περιττής έχει κέντρο συµµετρίς την ρχή των ξόνων.. Αν ο ριθµός νήκει στο πεδίο ορισµού µις περιττής συνάρτησης τότε ισχύει ( ), δηλδή η γρφική της πράστση διέρχετι πό την ρχή των ξόνων. Απόδειξη: Αφού η είνι περιττή τότε γι κάθε, D ισχύει ότι ( ). Θέτοντς όπου το προκύπτει ότι ( ) ( ) ( ). Αν µι συνάρτηση είνι άρτι κι πργωγίσιµη τότε η είνι περιττή Απόδειξη: Αφού η είνι άρτι τότε γι κάθε, D ισχύει ότι ( ). Πργωγίζοντς τη τελευτί σχέση έχουµε: ( ) ( ( )) ( ) ( ) δηλδή η είνι περιττή 3. Αν µι συνάρτηση είνι περιττή κι πργωγίσιµη τότε η είνι άρτι Απόδειξη: Αφού η είνι περιττή τότε γι κάθε, D ισχύει ότι ( ). Πργωγίζοντς τη τελευτί σχέση έχουµε: ( ) ( ( )) ( ) ( ) δηλδή η είνι άρτι Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 35

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 4. Αν µι συνάρτηση είνι συνεχής κι περιττή τότε Απόδειξη: Έστω ότι I d d. Θέτουµε όπου το u οπότε γι προκύπτει ότι u κι γι προκύπτει ότι u. Τέλος ισχύει ότι d du οπότε το ολοκλήρωµ γράφετι ( u) I ( u) ( du ) ( u ) ( u ) du ( u ) du Προσθέτοντς κτά µέλη έχουµε ότι Ι + Ι Ι Ι ( ) d d + ( ) d 5. Αν µι συνάρτηση είνι συνεχής κι άρτι τότε d ( ) d Απόδειξη: Έστω ότι I Έστω ότι I ( ) d ( ) d + ( ) d ( ) d + d d. Θέτουµε όπου το -u οπότε γι προκύπτει ότι u κι γι προκύπτει ότιu. Τέλος ισχύει ότι ( u) το ολοκλήρωµ γράφετι I ( u) ( du ) ( u ) ( u ) du Τελικά λοιπόν I ( ) d + ( ) d ( ) d + ( ) d d du οπότε d Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 36

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς Αντίστροφη Συνάρτηση 6. Αν µι συνάρτηση είνι γνησίως µονότονη τότε κι η ντίστροφη συνάρτηση της διτηρεί το ίδιο είδος µονοτονίς Απόδειξη: Αρχικά εφόσον η συνάρτηση είνι γνησίως µονότονη είνι κι ντιστρέψιµη δηλδή ορίζετι η ντίστροφη συνάρτηση της, µε πεδίο ορισµού το σύνολο τιµών της συνάρτησης. Ας εξετάσουµε την περίπτωση που η είνι γνησίως ύξουσ. Πράγµτι, γι κάθε y,y A µε y < y ( ( y )) < ( ( y )) γνησίως ύξουσ στο D A γν.υξουσ ( y ) < ( y ) δηλδή η είνι Με όµοιο τρόπο ποδεικνύετι ότν η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ 7. Αν µι συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ τότε η εξίσωση ( ) είνι ισοδύνµη µε την ( ) Απόδειξη: Έστω µί ρίζ της εξίσωσης ( ) ( ) Άρ θ ισχύει ( ) ( ) οπότε κι ( ( ) ) ( ( )) ( ( ) ) () < τότε επειδή η είνι γνησίως ύξουσ θ ίσχυε κι ( ) < ( ) κι λόγω της σχέσης () θ κτλήγµε ότι < το Έστω ότι οποίο είνι άτοπο. Ανάλογ θ κτλήγµε σε άτοπο ν υποθέτµε ότι > Άρ τελικά ισχύει ότι Αντιστρόφως τώρ ν ο ριθµός είνι µί ρίζ της εξίσωσης ( ) ( ) θ ίσχυε είνι κι ρίζ της εξίσωσης κι τελικά τότε ( ) δηλδή το Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 37

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς Προτάσεις στ όρι 8. Αν ισχύει ότι ( ) ( ) κοντά σε έν κι lim είνι κι lim + Απόδειξη: Είνι lim σχέση ( ) στο έχουµε ( ) + τότε +, άρ κοντά στο ισχύει ότι ( ) >. Από τη προκύπτει ότι ισχύει κι ( ) > κοντά στο. Έτσι κοντά <. Όµως lim οπότε πό ( ) ( ) ( ) κριτήριο πρεµολής ισχύει ότι κι lim lim lim + ( ) (Με όµοιο τρόπο ποδεικνύουµε ότι ν κι lim τότε είνι κι lim ). Τελικά έχουµε ( ) κοντά σε έν 9. Ισχύουν γι τ πρκάτω ηµ όρι lim ± % lim ηµ ( ' * ± & ), lim ± συν, Απόδειξη: Γι κάθε R * ισχύει ότι ηµ ηµ ηµ οπότε ηµ % Όµως lim ( % ± ' & * lim ( ) ± ' & * οπότε πό κριτήριο πρεµολής θ ισχύει ) ηµ συν lim (Οµοίως ποδεικνύετι ότι κι lim ) ± ± ηµ συν Με όµοιο τρόπο µπορούµε ν ποδείξουµε ότι lim lim ± ν ± ν % Γι το όριο lim ηµ ( ± ' * & θέτουµε όπου το u οπότε ότν το ± τότε ) % το u κι το όριο γράφετι lim ηµ ( ± ' * & lim % u ) u ηµu ( ' * lim % ηµu( u ' * & ) & u ) Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 38

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς Σχέση µονοτονίς συνέχεις κι -. Αν µι συνάρτηση # $,% & R είνι συνεχής κι - τότε η είνι κι γνησίως µονότονη Απόδειξη: Έστω ότι η δεν είνι γνησίως µονότονη. Τότε θ υπάρχουν o,, $ %,& ' µε < < ώστε ( ) < ( ) κι ( ) > ( ). Θεωρούµε τώρ τη συνάρτηση h # % $ &. ( ) ( ) η οποί είνι συνεχής στο, ( ) ( ) > κι h( ) ( ) ( ) <. Άρ h( ) < κι πό θεώρηµ Bolzano υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε ( ξ ) ( ), που είνι άτοπο γιτί ξ κι η είνι -. Άρ η Επίσης ισχύει ότι h h h ξ είνι γνησίως µονότονη Ολοκληρώµτ κι διάτξη. Αν, # $,% & R είνι συνεχείς συνρτήσεις γι τις οποίες ισχύει ( ) ( ) γι κάθε $ %, Απόδειξη: Γι κάθε $ %,& ' συνάρτηση h ισχύει h ( ) ( ) µε $ %, γι κάθε $ %, & ' τότε ισχύει ότι ισχύει ότι & ', οπότε είνι h ( ) d d ( ). Θεωρούµε τη & '. Η h είνι συνεχής στο # $,% & κι ( ) d ( ( ) ( )) d ( ) d ( ) d ( ) d d. Αν γι µι συνεχή συνάρτηση ισχύει κι ( ) d τότε ( ) γι κάθε $ %, Απόδειξη: Έστω ότι υπάρχει έν τουλάχιστον $ %,& ' τέτοιο ώστε Τότε επειδή η είνι συνεχής στο # $,% & κι ισχύει θ είνι & ' > γι κάθε $ %,& ' ( ) d >, άτοπο. Άρ δεν υπάρχει $ %,& ' ώστε Εποµένως ισχύει ότι γι κάθε $ %, & ' >. Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 39

Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 3. Αν γι µι συνεχή συνάρτηση ισχύει ότι τότε Απόδειξη: Έστω ότι < κι ( ) d > άτοπο διότι $ %,& ' τότε > γι κάθε $ %, d κι ( ) d & '. Τότε θ ίσχυε κι. Επίσης ν > κι ( ) > γι κάθε ( ) d < που πάλι είνι άτοπο διότι κτλήγουµε ότι. (Οµοίως ποδεικνύουµε ότι ν d < ). Άρ Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 4