Κεφάλαιο 7 Εξίσωση μεταφοράς Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, την εξίσωση μεταφοράς, στη μια διάσταση ως προς τον χώρο και ως προς τον χρόνο. Θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων διαφορών για το αντίστοιχο πρόβλημα αρχικών τιμών και συνοριακών τιμών, καθώς και θα θεωρήσουμε κατάλληλες συνθήκες για να είναι μέθοδοι ευσταθείς και να συγκλίνουν στην ακριβή λύση. 7. Μέθοδοι pwnd και downwnd Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα: Ζητείται μια συνάρτηση C ([a, b] [,T]), τέτοια ώστε t (x, t)+α x (x, t) =, x [a, b], t [,T], (x, ) = g(x), x [a, b], (a, t) =φ (t), t [,T], (7.) όπου α, L, T > και g μια δοσμένη συνάρτηση. Σύμφωνα με την Παράγραφο..3 η ακριβής λύση του (7.), προσδιορίζεται από τις αντίστοιχες αρχικές και συνοριακές συνθήκες. Επομένως, φαίνεται ότι μια αριθμητική μέθοδος δεν είναι απαραίτητη για την προσέγγιση της ακριβούς λύσης. Όμως, η μελέτη αριθμητικών μεθόδων για αυτά τα απλά προβλήματα φανερώνει ιδιότητες και συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται για τη σύγκλιση των προσεγγίσεων στην ακριβή λύση και οδηγεί στην καλύτερη κατανόηση των μεθόδων αυτών αλλά και σε αντίστοιχες ιδιότητες για μη γραμμικά προβλήματα πρώτης τάξεως, όπως π.χ. το (.8).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 7.. Μέθοδος pwnd Θεωρούμε έναν διαμερισμό του [a, b] [,T] ανάλογα όπως στο Κεφάλαιο 5. Συμβολίζουμε, λοιπόν, x, =,...,N +, τα N +ισαπέχοντα σημεία, όπου x = a + h, με h =(b a)/(n + ) και t j, j =,...,M, τα M +ισαπέχοντα σημεία, όπου t j = jk, με k = T /M. Σε κάθε σημείο (x,t j ) του διαμερισμού του [a, b] [,T] θα ισχύει t (x,t j )+α x (x,t j )=, =,...,N +,j=,...,m, (7.) και, στη συνέχεια, θα κατασκευάσουμε και πάλι προσεγγίσεις U j της (x,t j ) προσεγγίζοντας τις παραγώγους της στην (7.) χρησιμοποιώντας πεπερασμένες διαφορές που θεωρήσαμε στο Κεφάλαιο. Λόγω των αρχικών και συνοριακών συνθηκών στην (7.) θέτουμε U = g(x ), =,...,N+, και U j = φ (t j ), j =,...,M. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τις δ + k (x,t j ) και δ h (x,t j ) που θεωρήσαμε στην (.) για να προσεγγίσουμε τις t (x,t j ) και x (x,t j ), αντίστοιχα, έχουμε για =,...,N +, και j =,...,M, (x,t j+ ) (x,t j ) k + α (x,t j ) (x,t j ) h όπου, αν tt, xx C([a, b] [,T]), λόγω της (.3), = η j, (7.3) η j k max t [,T ] tt(x, t) + h max x [a,b] xx(x, t). (7.4) Συνεπώς, ισχύει το ακόλουθο λήμμα. Λήμμα 7.. Έστω η λύση του (7.) με tt, xx C([a, b] [,T]). Τότε, για την η j που δίνεται στην (7.3) έχουμε ότι υπάρχει σταθερά C ανεξάρτητη των k και h, τέτοια ώστε max max C(k + h). (7.5) j M N+ ηj Κατασκευάζουμε λοιπόν προσεγγίσεις U j των τιμών (x,t j ), σύμφωνα με την ακόλουθη μέθοδο, την οποία καλούμε pwnd, U j+ U j k + α U j U j =, =,...,N +,j=,...,m, h U (7.6) = g(x ), =,...,N +, U j = φ (t j ), j =,...,M.
7.. ΜΕΘΟΔΟΙ UPWIND ΚΑΙ DOWNWIND 3 Αν συμβολίσουμε τώρα με λ τον λόγο αk,η(7.6) μπορεί να γραφεί h U j+ =( λ)u j + λu j, =,...,N +,j=,...,m, U = g(x ), =,...,N +, U j = φ (t j ), j =,...,M. (7.7) Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι ξεκινώντας από το χρονικό επίπεδο t =, χρησιμοποιώντας την (7.7), μπορούμε να βρούμε με άμεσο τρόπο την προσέγγιση U, =,...,N +, στο επόμενο χρονικό επίπεδο t = k και να συνεχίσουμε με αυτό τον τρόπο, ώστε να βρούμε τις προσεγγίσεις και σε όλα τα επόμενα χρονικά επίπεδα t j, j =,...,M. t j+ t j x x + Σχήμα 7.: Σημεία ενός πλέγματος για τον υπολογισμό της λύσης με τη μέθοδο pwnd. Με άσπρο σημειώνουμε τα σημεία που αντιστοιχούν σε άγνωστες τιμές της προσέγγισης και με μαύρο αυτά που αντιστοιχούν σε γνωστές τιμές. Παράδειγμα 7.. Θεωρούμε το πρόβλημα (7.) στο διάστημα [, 9], με g όπως στο Παράδειγμα., φ (t) = g(x αt) και α =. Επειδή γνωρίζουμε ότι (a, t) =, για t [, 7], μπορούμε να θέσουμε U j =, j =,...,M. Επίσης, διαμερίζουμε το [, 9] σε N +σημεία, με N = 99 και το [, 7] σε M +, με M = 63, 77, 98. Στο Σχήμα 7. βλέπουμε την ακριβή λύση και τις προσεγγίσεις με τη μέθοδο pwnd για t =,, 5, 7. Παρατηρούμε ότι αν λ = 7/63 >, για M = 63, τότε το σφάλμα της προσεγγιστικής λύσης είναι μεγάλο, ενώ για λ = 7/77 <, για M = 77, προκύπτει το μικρότερο σφάλμα. Επίσης, βλέπουμε ότι για το μικρότερο λ, το οποίο προκύπτει για M = 98, η προσέγγιση χειροτερεύει.
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ t = g t = =63 =77 M =98 4 6 8 4 6 8 t =5 =63 =77 M =98 M =63 M =77 M =98 t =7 4 6 8 4 6 8 Σχήμα 7.: Η ακριβής λύση (x, t) του Παραδείγματος 7. και οι προσεγγίσεις της για N = 99 και M = 63, 77, 98, με τη μέθοδο pwnd για t =,, 5 και 7. 7.. Μέθοδος downwnd Αν για την προσέγγιση της x (x,t j ) στην (7.) χρησιμοποιήσουμε την δ + h (x,t j ) αντί για την δ h (x,t j ), προκύπτει για =,...,N,και j =,...,M, η εξίσωση (x,t j+ ) (x,t j ) k + α (x +,t j ) (x,t j ) h όπου, αν tt, xx C([a, b] [,T]), λόγω της (.3), = η j, (7.8) η j k max t [,T ] tt(x, t) + h max x [a,b] xx(x, t). (7.9) Όπως και στη μέθοδο pwnd, εύκολα βλέπουμε ότι το σφάλμα η j στην (7.8) θα ικανοποιεί το Λήμμα 7.. Στη συνέχεια, θεωρούμε την ακόλουθη μέθοδο για
7.. ΜΕΘΟΔΟΙ UPWIND ΚΑΙ DOWNWIND 5 τον υπολογισμό των U j, την οποία καλούμε downwnd, U j+ U j k + α U j + U j =, =,...,N, j =,...,M, h U = g(x ), =,...,N +, U j = φ (t j ), j =,...,M. (7.) Αν συμβολίσουμε και πάλι λ τον λόγο αk, τότε η (7.) μπορεί να γραφεί h U j+ =(+λ)u j λu j +, =,...,N, j =,...,M, U = g(x ), =,...,N +, U j = φ (t j ), j =,...,M. (7.) t j+ t j x x + Σχήμα 7.3: Σημεία ενός πλέγματος για τον υπολογισμό της λύσης με τη μέθοδο downwnd. Με άσπρο σημειώνουμε τα σημεία που αντιστοιχούν σε άγνωστες τιμές της προσέγγισης και με μαύρο αυτά που αντιστοιχούν σε γνωστές τιμές. Αν και οι δύο παραπάνω μέθοδοι pwnd και downwnd μοιάζουν, έχουν πολύ διαφορετική συμπεριφορά και δεν δίνουν παρόμοια αποτελέσματα. Πράγματι, ξεκινώντας από το χρονικό επίπεδο t =όπου γνωρίζουμε ότι U = g(x ), =,...,N +, και χρησιμοποιώντας την (7.), μπορούμε να βρούμε με άμεσο τρόπο την προσέγγιση U, =,...,N, στο επόμενο χρονικό επίπεδο t = k, όμως παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την UN+. Επομένως, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο (7.), όπως την έχουμε θεωρήσει, για να βρούμε όλες τις τιμές U j στα επόμενα χρονικά επίπεδα t j, j =,...,M. Μια λύση αυτού του προβλήματος είναι να θεωρήσουμε γνωστές τις τιμές U j N+,
6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ j =,...,M. Έτσι, αν γνωρίζουμε ότι (b, t) =φ (t), t [,T], για μια δοσμένη συνάρτηση φ, θέτουμε τότε U N+ = φ(tj ), j =,...,M. Έτσι, η μέθοδος (7.) γίνεται U j+ =(+λ)u j λu j +, =,...,N, j =,...,M, U = g(x ), =,...,N +, U j N+ = φ (t j ), j =,...,M. (7.) Τώρα χρησιμοποιώντας την (7.), μπορούμε να βρούμε με άμεσο τρόπο τις προσέγγισεις U j, σε όλα τα χρονικά επίπεδα tj, j =,...,M. Παράδειγμα 7.. Ας θεωρήσουμε και πάλι το Παράδειγμα 7.. Είναι απλό να δούμε ότι (b, t) =, για t [, 7], επομένως μπορούμε να θέσουμε U j N+ =, j =,...,M. Για λόγο που θα φανεί από τα αριθμητικά αποτελέσματα, ας θεωρήσουμε ένα μεγαλύτερο διάστημα από αυτό του Παραδείγματος 7.. Έτσι διαμερίζουμε το διάστημα [, 9] σε N +σημεία, με N = 99, έτσι ώστε το βήμα h να είναι το ίδιο όπως στο Παράδειγμα 7.. Επίσης, διαμερίζουμε το [, 7] σε M +σημεία, με M = 63, 77, 98. Στο Σχήμα 7. βλέπουμε την ακριβή λύση για t =και τις προσεγγίσεις με τη μέθοδο downwnd για t =. Παρατηρούμε ότι η προσέγγιση με τη μέθοδο downwnd (7.) και στις τρεις περιπτώσεις δίνει εσφαλμένες προσεγγίσεις για την ακριβή λύση.
7.. ΜΕΘΟΔΟΙ UPWIND ΚΑΙ DOWNWIND 7 t = g t = M =63 4 6 8 5 5 t = M =77 t = M =98 5 5 5 5 Σχήμα 7.4: Η ακριβής λύση (x, t) του Παραδείγματος 7. και οι προσεγγίσεις της για N = 99 και M = 63, 77, 98, με τη μέθοδο downwnd για t =και. Θεωρούμε τώρα το ανάλογο πρόβλημα με το (7.) όπου τώρα α<, δηλαδή: Ζητείται μια συνάρτηση C ([a, b] [,T]), τέτοια ώστε t (x, t)+α x (x, t) =, (x, ) = g(x), (b, t) =φ (t), x [a, b], t [,T], x [a, b], t [,T], (7.3) όπου T> και g, φ δοσμένες συναρτήσεις. Για αυτό το πρόβλημα θεωρούμε τη μέθοδο downwnd (7.) και, σύμφωνα με το επόμενο παράδειγμα, παρατηρούμε μια διαφορετική συμπεριφορά της μεθόδου από το Παράδειγμα 7.. Παράδειγμα 7.3. Θεωρούμε το πρόβλημα (7.3) στο διάστημα [, 9], με g όπως στο Παράδειγμα., φ (t) =g(x αt) και α =. Επίσης, διαμερίζουμε το διάστημα [, 9] σε N +σημεία, με N = 99 και το [, 7] σε M +σημεία, με M = 63, 77, 98, όπως και στο Παράδειγμα 7.. Επειδή γνωρίζουμε ότι (b, t) =, για t [, 7], μπορούμε να θέσουμε U j N+ =, j =,...,M. Στο Σχήμα 7.3
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ βλέπουμε την ακριβή λύση και τις προσεγγίσεις με τη μέθοδο downwnd για t =,, 5, 7. Παρατηρούμε ότι η μεθόδος downwnd σε αυτό το παράδειγμα έχει παρόμοια συμπεριφορά με τη μέθοδο pwnd στο Παράδειγμα 7.. t = g t = =63 =77 M =98 4 6 8 8 6 4 4 6 8 t =5 =63 =77 M =98 t =7 =63 =77 M =98 8 6 4 4 6 8 8 6 4 4 6 8 Σχήμα 7.5: Η ακριβής λύση (x, t) του Παραδείγματος 7.3 και οι προσεγγίσεις της για N = 99 και M = 63, 77, 98, με τη μέθοδο downwnd για t =,, 5 και 7. Παρατηρούμε λοιπόν ότι αν η σταθερά α είναι θετική, τότε η μέθοδος pwnd δίνει καλύτερα αποτελέσματα από τη μέθοδο downwnd. Ενώ αν η σταθερά α είναι αρνητική, τότε η downwnd δίνει καλύτερα αποτελέσματα από την pwnd. Στην επόμενη παράγραφο θα εξηγήσουμε αυτή τη συμπεριφορά. 7..3 Χωρίο υπολογιστικής εξάρτησης Ως πρώτο βήμα για την κατανόηση των αποτελεσμάτων των Παραδειγμάτων 7. 7.3, δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός 7.. Για κάθε σημείο (x,t j ) του πλέγματος στο οποίο προσεγγίζουμε τη λύση, μπορούμε να ορίσουμε τα σημεία (x l, ), τέτοια ώστε οι τιμές Ul καθορίζουν την τιμή της U j, σύμφωνα με το αριθμητικό σχήμα που χρησιμοποιούμε. Το
7.. ΜΕΘΟΔΟΙ UPWIND ΚΑΙ DOWNWIND 9 σύνολο αυτών των σημείων (x l, ), το ονομάζουμε χωρίο υπολογιστικής εξάρτησης του (x,t j ), για το σχήμα που χρησιμοποιούμε. Εύκολα παρατηρούμε ότι, χρησιμοποιώντας την μέθοδο pwnd, η τιμή της προσέγγισης στο σημείο (x,t j ), εξαρτάται τελικά από τις τιμές στα σημεία (x j, ),..., (x, ). Ανάλογα, το χωρίο εξάρτησης της προσέγγισης στο (x,t j ) με τη μέθοδο downwnd αποτελείται από τα σημεία (x, ),...,(x +j, ), βλ. Σχήματα 7.6 και 7.7, αντίστοιχα. Γνωρίζουμε ότι η ακριβής λύση στο σημείο (x,t j ) εξαρτάται μόνο από την τιμή της (x αt j, ) = g(x αt j ). Άρα, η τιμή της ακριβούς λύσης στο σημείο (x,t j ) καθορίζεται μοναδικά από την τιμή στο σημείο x = x αt j του άξονα των x. Για αυτόν ακριβώς τον λόγο, επιθυμούμε το x να περιέχεται στο χωρίο υπολογιστικής εξάρτησης της μεθόδου. Αυτή η ιδιότητα δίνεται από τον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός 7.. Συνθήκη CFL καλούμε την ιδιότητα που ικανοποιεί μια μέθοδος αν το διάστημα ή τα σημεία εξάρτησης της ακριβούς λύσης σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, περιέχονται στο χωρίο υπολογιστικής εξάρτησης αυτής της μεθόδου. Για να ικανοποείται η συνθήκη CFL, για την μέθοδο pwnd αρκεί το διάστημα [x j,x ], το οποίο περιέχει τα σημεία του χωρίου υπολογιστικής εξάρτησης {x j,...,x }, να περιέχει το x = x αt j. Επομένως, αρκεί α> και x jh x, το οποίο ισχύει αν λ = αk h. Στην περίπτωση τώρα της μεθόδου downwnd, μπορούμε να δούμε ότι το διάστημα [x,x +j ], το οποίο περιέχει το αντίστοιχο χωρίο υπολογιστικής εξάρτησης, δεν περιέχει το σημείο x, αν α>, και, άρα, η μέθοδος δεν ικανοποιεί τη συνθήκη CFL. Αντίθετα, αν α<, τότε x x + jh αν ισχύει λ = αk h. t j x j x x Σχήμα 7.6: Χωρίο εξάρτησης της προσεγγιστικής λύσης με τη μέθοδο pwnd.
3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ t j x x + x +j Σχήμα 7.7: Χωρίο εξάρτησης της προσεγγιστικής λύσης με τη μέθοδο downwnd. 7..4 Ευστάθεια και σύγκλιση Θα μελετήσουμε τώρα την ευστάθεια von Nemann των μεθόδων pwnd και downwnd που θεωρήσαμε στις προηγούμενες παραγράφους. Αν η αρχική συνάρτηση g είναι μια ημιτονοειδής συνάρτηση, π.χ. g(x) =sn(x), τότε η ακριβής λύση του προβλήματος (7.) θα έχει την ίδια μορφή και το ίδιο πλάτος ανεξάρτητα από το πρόσημο της σταθεράς α. Θεωρούμε, λοιπόν, ότι η προσεγγιστική λύση είναι της μορφής U j = w j sn(x ) και θα βρούμε συνθήκες, ώστε το πλάτος w j του ημιτονοειδούς κύματος να παραμένει φραγμένο. Στην περίπτωση της μεθόδου pwnd έχουμε, σύμφωνα με την (7.7), w j+ sn(x )=( λ)w j sn(x )+λw j sn(x ). Χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα (5.8), έχουμε w j+ sn(x )=( λ)w j sn(x )+λw j (sn(x ) cos(h) sn(h) cos(x )). Συνεπώς w j+ sn(x )=w j (( λ( cos(h)) sn(x ) λ sn(h) cos(x ))). Αν θέσουμε τώρα C = λ( cos(h)) και C = λ sn(h), τότε υπάρχουν σταθερές A και φ [, π), τέτοιες ώστε C sn(x )+C cos(x )=A sn(x + φ) όπου A = C + C και tan(φ) =C /C. Επομένως w j+ sn(x )=Aw j sn(x + φ).
7.. ΜΕΘΟΔΟΙ UPWIND ΚΑΙ DOWNWIND 3 Οπότε για να είναι φραγμένη η προσεγγιστική λύση U j πρέπει A. Έχουμε, λοιπόν, A = C + C =( λ( cos(h))) + λ sn(h) =( λ) + λ +λ( λ) cos(h) = λ( λ)( cos(h)) = 4λ( λ) sn (h/). (7.4) Είναι προφανές ότι, αν λ( λ), τότε η μέθοδος pwnd δίνει φραγμένες προσεγγίσεις αν λ> και λ. Οπότε αν η σταθερά α> και λ (, ], τότε η μέθοδος είναι von Nemann ευσταθής. Στο ίδιο συμπέρασμα μπορούμε να καταλήξουμε, αν θεωρήσουμε ότι οι U j = w je rx I, r R, με I = τη φανταστική μονάδα, ικανοποιούν την (7.7). Για να έχουμε ευστάθεια θα εξετάσουμε αν οι w j παραμένουν φραγμένες. Τότε έχουμε ότι Οπότε w j+ e rx I =( λ)w j e rx I + λw j e rx I =( λ)w j e rx I + λw j e rx I e rhi. w j+ =( λ)w j + λw j e rhi = w j ( λ + cos(rh) I sn(rh)). Επομένως, εύκολα βλέπουμε ότι w j = κ j w, με κ = λ + cos(rh) I sn(rh). Στη συνέχεια, θεωρώντας την απόλυτη τιμή κ, έχουμε κ =( λ + λ cos(rh)) + λ sn (rh) = λ( λ) + ( λ) cos(rh) = 4λ( λ) sn ( rh ). Για να παραμένουν φραγμένες οι w j, αρκεί κ, το οποίο είναι ισοδύναμο με λ( λ) sn ( rh ). Συνεπώς, για λ, και για κάθε r R, έχουμε ότι w j παραμένουν φραγμένες και, άρα, η μέθοδος pwnd είναι von Nemann ευσταθής. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε την ευστάθεια von Nemann της μεθόδου downwnd. Θεωρούμε λοιπόν ότι οι U j = w je rx I ικανοποιούν την (7.), οπότε w j+ e rx I =(+λ)w j e rx I λw j e rx +I,
3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Συνεπώς, έχουμε w j+ e rx I =(+λ)w j e rx I λw j e rx I e rhi. Επομένως, w j = κw, με κ =+λ λ cos(rh) Iλsn(rh). Οπότε για την απόλυτη τιμή του κ έχουμε κ =(+λ λ cos(rh)) + λ sn (rh) =+λ( + λ) ( + λ) cos(rh) =+4λ( + λ) sn ( rh ). Επομένως, αν λ( + λ), τότε η μέθοδος downwnd δίνει φραγμένες προσεγγίσεις αν λ< και λ. Οπότε αν α< και λ [, ), τότε η μέθοδος downwnd είναι von Nemann ευσταθής. Στη συνέχεια δείχνουμε τα ακόλουθα θεωρήματα για τη σύγκλιση των μεθόδων pwnd και downwnd. Θεώρημα 7.. Έστω ότι η λύση του προβλήματος (7.) είναι αρκετά ομαλή με α>, και U j, =,...,N, j =,...,M, η λύση της μεθόδου pwnd (7.6). Τότε, αν λ, υπάρχει μια σταθερά C, ανεξάρτητη των k, h, τέτοια ώστε max j M max U j (x,t j ) C(k + h). (7.5) N+ Απόδειξη. Θέτουμε E j = U j (x,t j ), =,...,N +, j =,...,M, όπου λόγω της σχέσης U j = (,tj )=έχουμε E j =. Αφαιρούμε τώρα κατά μέλη τις (7.3) και (7.6), οπότε παίρνουμε E j+ =( λ)e j + λej + kηj,=,...,n, j =,...,M. Θέτουμε, στη συνέχεια, Ēj = max N E j και η = max j M max N+ η j. Οπότε έχουμε Ē j+ ( λ)ēj + λēj + k η Ēj + k η Ē + jk η. Από εδώ, επειδή jk T και λόγω του Λήμματος 7., προκύπτει η ζητούμενη εκτίμηση. Θεώρημα 7.. Έστω ότι η λύση του προβλήματος (7.3) είναι αρκετά ομαλή με α<, και U j, =,...,N, j =,...,M, η λύση της μεθόδου downwnd (7.). Τότε, αν λ, υπάρχει μια σταθερά C, ανεξάρτητη των k, h, τέτοια ώστε max j M max U j (x,t j ) C(k + h). (7.6) N+
7.. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ LAX WENDROFF 33 Απόδειξη. Θέτουμε και πάλι E j = U j (x,t j ), =,...,N+, j =,...,M. Οπότε με ανάλογο τρόπο όπως στο Θεώρημα 7., παίρνουμε E j+ =(+λ)e j λej + kηj,=,...,n, j =,...,M. Θέτουμε, στη συνέχεια, Ēj = max N E j και η = max j M max N+ η j. Οπότε έχουμε Ē j+ ( λ )Ēj + λ Ēj + k η Ēj + k η Ē + jk η. Από εδώ, επειδή jk T και λόγω του γεγονός ότι το σφάλμα η j για τη μέθοδο downwnd ικανοποιεί το Λήμμα 7., προκύπτει η ζητούμενη εκτίμηση. 7. Μέθοδος των Lax Wendroff 7.. Μια μη ευσταθής μέθοδος Στη συνέχεια, θα θεωρήσουμε ένα αριθμητικό σχήμα που να προσεγγίζει με μεγαλύτερη ακρίβεια τη x, από τις δύο προηγούμενες μεθόδους pwnd και downwnd. Έτσι, αν στην (7.) θεωρήσουμε για την προσέγγιση της x (x,t j ) την δ c h (x,t j ) και για την t (x,t j ) την δ + k (x,t j ), τότε έχουμε για =,...,N, και j =,...,M, (x,t j+ ) (x,t j ) k + α (x +,t j ) (x,t j ) h όπου, αν tt, xxx C([a, b] [,T]), λόγω των (.3) και (.4), = η j, (7.7) η j k max t [,T ] tt(x, t) + h 6 max x [a,b] xxx(x, t). (7.8) Συνεπώς, ισχύει το ακόλουθο λήμμα. Λήμμα 7.. Έστω η λύση του (7.) με tt, xxx C([a, b] [,T]). Τότε για την η j που δίνεται στην (7.7), έχουμε ότι υπάρχει σταθερά C ανεξάρτητη των k και h, τέτοια ώστε max max j M N ηj C(k + h ). (7.9) Θεωρούμε, λοιπόν, την ακόλουθη μέθοδο για να κατασκευάσουμε προσεγγίσεις U j των τιμών (x,t j ), U j+ U j k + α U j + U j =, =,...,N, j =,...,M, h U = g(x ), =,...,N +, U j = φ (t j ), j =,...,M. (7.)
34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ t j+ t j x x x + Σχήμα 7.8: Σημεία ενός πλέγματος για τον υπολογισμό της λύσης με τη μέθοδο (7.). Με άσπρο σημειώνουμε τα σημεία που αντιστοιχούν σε άγνωστες τιμές της προσέγγισης και με μαύρο αυτά που αντιστοιχούν σε γνωστές τιμές. Ξεκινώντας από το χρονικό επίπεδο t =όπου γνωρίζουμε ότι U = g(x ), =,...,N +, και χρησιμοποιώντας την (7.), μπορούμε να βρούμε με άμεσο τρόπο την προσέγγιση U, =,...,N, στο επόμενο χρονικό επίπεδο t = k, όμως παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την UN+. Επομένως, όπως και στη μέθοδο (7.), για να βρούμε όλες τις τιμές U j στα επόμενα χρονικά επίπεδα t j, j =,...,M, χρειάζεται να γνωρίζουμε την (b, t), για t [,T]. Έτσι, υποθέτουμε ότι στο πρόβλημα (7.), η ακριβής λύση ικανοποιεί επιπλέον και τη συνοριακή συνθήκη (b, t) =φ (t), t [,T], οπότε θέτουμε U j N+ = φ (t j ), j =,...,M. Συνεπώς, αν συμβολίσουμε τώρα λ = αk, τότε η (7.) μπορεί να γραφεί h U j+ = λ U j + + U j + λ U j, =,...,N, j =,...,M, U = g(x ), =,...,N +, U j = φ (t j ) και U j N+ = φ (t j ), j =,...,M. (7.) Οπότε τώρα χρησιμοποιώντας την (7.), βρίσκουμε με άμεσο τρόπο όλες τις τιμές U j στα επόμενα χρονικά επίπεδα tj, j =,...,M. Εύκολα παρατηρούμε ότι χρησιμοποιώντας τη μέθοδο (7.), η τιμή της προσέγγισης στο σημείο (x,t j ), εξαρτάται τελικά από τις τιμές στα σημεία (x j, ),..., (x, ),..., (x +j, ), βλ. Σχήμα 7.9. Για να ικανοποείται τώρα η συνθήκη CFL αρκεί το διάστημα [x j,x +j ], το οποίο περιέχει τα σημεία του χωρίου υπολογιστικής εξάρτησης της μεθόδου, να περιέχει το x = x αt j, το οποίο ισχύει
7.. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ LAX WENDROFF 35 ανεξάρτητα από το πρόσημο της σταθεράς α, αν λ = αk h. Επίσης, ακολουθώντας τα βήματα για τη μέλετη της ευστάθιας von Nemann για τις μεθόδους pwnd και downwnd, έχουμε ότι, αν και πάλι θέσουμε U j = w je rxi, με r R, w j+ e rx I = λ w je rx +I + w j e rx I + λ w je rx I, Οπότε, εφαρμόζοντας την τριγωνομετρική ταυτότητα (5.8), παίρνουμε w j+ = w j ( λ w je rhi ++ λ w je rhi ) = w j ( Iλsn(rh)). Συνεπώς, w j = κ j w, με κ = Iλsn(rh), και κ =+λ sn (rh). Επομένως, η μέθοδος (7.) δεν είναι von Nemann ευσταθής, γιατί κ >. t j x j x x +j Σχήμα 7.9: Χωρίο εξάρτησης της προσεγγιστικής λύσης με τις μεθόδους (7.) και Lax Wendroff. 7.. Μέθοδος Lax Wendroff Στη συνέχεια, θα κατασκευάσουμε μια νέα μέθοδο για την προσέγγιση της (7.) η οποία θα χρησιμοποιεί τα ίδια σημεία του πλέγματος όπως η (7.), θα είναι von Nemann ευσταθής και θα έχει και αυτή τοπικό σφάλμα η j το οποίο θα τείνει στο μηδέν, καθώς k και h τείνουν στο μηδέν. Θέτουμε, λοιπόν, για =,...,N, j =,...,M, (x,t j+ )=A(x +,t j )+B(x,t j )+Γ(x,t j )+kη j, (7.)
36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ και θέλουμε να προσδιορίσουμε τα A, B και Γ, έτσι ώστε το τοπικό σφάλμα η j να είναι όσο το δυνατόν μικρότερο. Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι t = α x, tt = α xt = α( t ) x = α xx και ttt = α 3 xxx και αναπτύσσοντας σύμφωνα με το Θεώρημα Taylor, έχουμε (x,t j + k) =(x,t j )+k t (x,t j )+ k tt(x,t j )+ k3 6 ttt(x,t j ) +ˆη j = (x,t j ) αk x (x,t j )+ α k α3 k 3 6 xxx(x,t j )+ˆη j, xx(x,t j ) (7.3) με ˆη j k4 4 max t [,T ] t 4 (x,t), (7.4) και όμοια (x ± h, t j )=(x,t j ) ± h x (x,t j )+ h xx(x,t j ) ± h3 6 xxx(x,t j )+ η j ±, (7.5) με η j h4 ± 4 max x [a,b] x 4 (x, tj ). (7.6) Αν αντικαταστήσουμε τις (7.3) και (7.5) στην (7.), έχουμε kη j = (x,t j+ ) A(x +,t j ) B(x,t j ) Γ(x,t j ) = (x,t j ) αk x (x,t j )+ α k xx(x,t j )+ α3 k 3 6 xxx(x,t j )+ˆη j A((x,t j )+h x (x,t j )+ h xx(x,t j )+ h3 6 xxx(x,t j )+ η j ) + B(x,t j ) Γ((x,t j ) h x (x,t j )+ h xx(x,t j ) h3 6 xxx(x,t j )+ η j ).
7.. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ LAX WENDROFF 37 Επομένως kη j =( A B Γ)(x,t j ) (αk + Ah Γh) x (x,t j ) +( α k +( α3 k 3 6 (A + Γ) h ) xx(x,t j ) (A Γ) h3 6 ) xxx(x,t j ) +ˆη j A ηj + Γ η j =( A B Γ)(x,t j ) h(λ + A Γ) x (x,t j ) + h (λ (A + Γ)) xx (x,t j ) + h3 6 (λ3 A + Γ) xxx (x,t j ) +ˆη j A ηj + Γ η j. Στη συνέχεια, εξισώνοντας τους συντελεστές των, x, xx στην παραπάνω εξίσωση με το μηδέν, προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις A B Γ= λ + A Γ= λ (A + Γ) =. Επομένως, έχουμε A = λ( λ), B = λ και Γ= λ( + λ). Συνεπώς, για αυτήν την επιλογή των A, B και Γ έχουμε k η j h3 6 ( λ3 + λ ) xxx (x,t j ) + ˆη j + λ max( η j +, η j ) αk 6 (α k + h ) xxx (x,t j ) + ˆη j + α k h max( η j +, η j ). (7.7) Οπότε, λόγω των (7.4) και (7.6), έχουμε ότι υπάρχει σταθερά C ανεξάρτητη των k και h, τέτοια ώστε max N, j M ηj C(k + h ). Η μέθοδος που προκύπτει για την παραπάνω επιλογή των συντελεστών A, B και Γ ονομάζεται μέθοδος των Lax Wendroff και για να μπορέσουμε να βρούμε την προσέγγιση σε κάθε χρονικό επίπεδο t j, j =,...,M, χρειάζεται, όπως και στην
38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (7.) να θεωρήσουμε γνωστή την ακριβή λύση για x = a και x = b. Έτσι, η μέθοδος Lax Wendroff ορίζεται ως εξης U j+ = λ( λ)u j + +( λ )U j + λ( + λ)u j, =,...,N, j =,...,M, U = g(x ), =,...,N +, U j = φ (t j ), και U j N+ = φ (t j ), j =,...,M. (7.8) Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι το χωρίο υπολογιστικής εξάρτησης για το (x,t j ) είναι το ίδιο με τη μέθοδο (7.) και εξαρτάται από τα σημεία {x jh,...,x,...,x + jh}, βλέπε Σχήμα 7.9. Επίσης για να ικανοποείται η συνθήκη CFL πρέπει το σημείο x = x αt j να περιέχεται στο διάστημα [x j,x +j ], το οποίο ισχύει ανεξάρτητα από το πρόσημο της σταθεράς α, αν λ = αk h. Παράδειγμα 7.4. Θεωρούμε και πάλι το πρόβλημα των Παραδειγμάτων 7. και 7., στο διάστημα [, 9], με g όπως στο Παράδειγμα., φ (t) = φ (t) = g(x αt) και α =. Επειδή γνωρίζουμε ότι (a, t) =(b, t) =, για t [, 7], μπορούμε να θέσουμε U j = U j N+ =, j =,...,M. Επίσης, διαμερίζουμε το [, 9] σε N +σημεία, με N = 99 και το [, 7] σε M +, με M = 63, 77, 98. Στα Σχήματα 7. και 7. βλέπουμε την ακριβή λύση και τις προσεγγίσεις με τη μέθοδο των Lax Wendroff (7.8) για t =,, 5. Παρατηρούμε ότι η προσεγγιστική λύση έχει παρόμοια συμπεριφορά όπως και αυτή της μεθόδου pwnd στο Παράδειγμα 7.. Έτσι αν λ = 7/63 >, για M = 63, τότε το σφάλμα της προσεγγιστικής λύσης είναι μεγάλο, ενώ το μικρότερο σφάλμα προκύπτει αν λ< και είναι πιο κοντά στη μονάδα. 7..3 Ευστάθεια και σύγκλιση Για τη μελέτη της ευστάθειας von Nemann για τη μέθοδο των Lax Wendroff, θα θεωρήσουμε και πάλι ότι η προσεγγιστική λύση είναι της μορφής U j = w j e rx I, r R, οπότε σύμφωνα με την (7.8), έχουμε w j+ e rx I = λ( λ)w je rx +I +( λ )w j e rx I + λ( + λ)w je rx I. Χρησιμοποιώντας τώρα τις (5.3) και (5.8), παίρνουμε w j+ =( λ( λ)+ λ( + λ))w j cos(h)
7.. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ LAX WENDROFF 39 t = g t = M =63 4 6 8 4 6 8 t = M =77 t = M =98 4 6 8 4 6 8 Σχήμα 7.: Η ακριβής λύση (x, t) του Παραδείγματος 7.4 και οι προσεγγίσεις της για N = 99 και M = 63, 77, 98, με τη μέθοδο Lax-Wendroff για t =και. +( λ )w j I( λ( λ)+ λ( + λ))w j sn(h) = w j ( λ + λ cos(h) Iλsn(rh)). Συνεπώς, w j = κw, με κ = λ + λ cos(h) Iλsn(rh). Οπότε κ =( λ + λ cos(h)) + λ sn (h) =( λ ) + λ 4 cos (h)+λ ( λ ) cos(h)+λ sn (h) =( λ ) + λ 4 ( sn (h)) + λ ( λ ) cos(h)+λ sn (h) = λ ( λ )+λ ( λ ) sn (h)+λ ( λ ) cos(h) = λ ( λ )[ cos(h)] + λ ( λ ) sn (h) = 4λ ( λ ) sn (h/) + λ ( λ ) sn (h). Χρησιμοποιώντας τώρα την τριγωνομετρική ιδιότητα sn (h) = 4sn (h/) 4 sn 4 (h/4), η παραπάνω σχέση γίνεται κ = 4λ ( λ ) sn 4 (h/4).
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ t =5 M =63 t =5 M =77 4 6 8 4 6 8 t =5 M =98 4 6 8 Σχήμα 7.: Η ακριβής λύση (x, t) του Παραδείγματος 7.4 και οι προσεγγίσεις της για N = 99 και M = 63, 77, 98, με τη μέθοδο Lax-Wendroff για t =5. Είναι προφανές ότι, αν λ, τότε κ, και, άρα, η μέθοδος Lax Wendroff είναι von Nemann ευσταθής, αν λ [, ]. Για να δείξουμε τη σύγκλιση της μεθόδου Lax Wendroff χρειάζεται να εφαρμόσουμε παρόμοια επιχειρήματα όπως αυτά της μεθόδου ενέργειας στην Παράγραφο 3.4, βλ. παραδείγματος χάριν (Larsson & Thomée, 9, Παράγραφος.3), η απόδειξη του οποίου είναι πολύπλοκη και ξεφεύγει από τους σκοπούς αυτών των σημειώσεων. Διατυπώνουμε, επομένως, το επόμενο θεώρημα χωρίς απόδειξη. Θεώρημα 7.3. Έστω ότι η λύση του προβλήματος (7.) είναι αρκετά ομαλή, και U j, =,...,N, j =,...,M, η λύση της μεθόδου Lax Wendroff (7.8). Τότε, αν λ, υπάρχει μια σταθερά C, ανεξάρτητη των k, h, τέτοια ώστε max j M max U j (x,t j ) C(k + h ). (7.9) N+ Στο ακόλουθο παράδειγμα βλέπουμε και πειραματικά ότι το σφάλμα με τη μέθοδο Lax Wendroff έχει μεγαλύτερη τάξη προσέγγισης ως προς k και h από το σφάλμα της μεθόδου pwnd ή downwnd.
7.3. ΑΛΛΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 4 Upwnd Lax Wendroff k Ē pwnd p Ē lax p.5.483.965.5.35 74.96.34.5.8.64.43.6.63.7.73.5.456.3.73.785.45.743.6.4.85..848.8..96.3.99 Πίνακας 7.: Τα σφάλματα των μεθόδων pwnd και Lax Wendroff στο χρονικό επίπεδo t = T =7, Ēpwnd και Ēlax, αντίστοιχα, του Παραδείγματος 7.5, καθώς και η κατά προσέγγιση τάξη ακρίβειάς τους p, αν θεωρήσουμε διαμερίσεις όπου k/h =.9. Παράδειγμα 7.5. Βασική υπόθεση στα θεωρήματα σύγκλισης για τις μεθόδους που μελετήσαμε σε αυτό το κεφάλαιο είναι ότι η ακριβής λύση, και κατά επέκταση η συνάρτηση της αρχικής συνθήκης g, είναι αρκετά ομάλη. Είναι προφανές ότι η g που θεωρήσαμε στα προηγούμενα παραδείγματα δεν είναι ομαλή συνάρτηση, για αυτό τον λόγο τώρα θεωρούμε το πρόβλημα (7.3) στο διάστημα [, 9] [, 7], με {e x g(x) =, αν x, διαφορετικά. Επειδή η σταθερά α του (7.3) είναι θετική για να ικανοποιείται η συνθήκη CFL θα χρησιμοποιήσουμε τις μεθόδους pwnd και Lax Wendroff. Θεωρούμε τώρα διαμερίσεις του [, 7] με k =.5,.5,.5,.63,.3,.6,.8 και του [, 9], με αντίστοιχο βήμα h, τέτοιο ώστε k/h =.9. Θέτουμε Ēpwnd = max N+ U M (x,t M ), με t M = T =7το σφάλμα της προσεγγιστικής λύσης που προκύπτει με τη μεθόδο pwnd και με ανάλογο τρόπο ορίζουμε το σφάλμα Ē lax με τη μέθοδο των Lax Wendroff. Στον πίνακα 7. βλέπουμε τα σφάλματα αυτών των δύο μεθόδων και την προσεγγιστική τάξη ακρίβειας p. 7.3 Άλλες μέθοδοι και προβλήματα Στις παραγράφους 7. και 7. είδαμε τρεις άμεσες μεθόδους για την αριθμητική προσέγγιση της λύσης της εξίσωσης της μεταφοράς. Στη βιβλιογραφία, υπάρχουν και άλλες άμεσες ή πεπλεγμένες μέθοδοι, τις οποίες δεν θα μελετήσουμε εδώ. Για
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ την ανάλυση αυτών των αριθμητικών μεθόδων, καθώς και για μια πιο λεπτομερή παρουσίαση των αποτελεσμάτων αυτού του κεφαλαίου παραπέμπουμε τον αναγνώστη στα (Holmes, 7 Iserles, 9 Morton & Mayers, 5 Rchtmyer & Morton, 967 Strkwerda, 4 Thomas, 995). 7.4 Ταινίες γραφικών παραστάσεων Σε αυτή τη παράγραφο εμφανίζονται ταινίες με τις γραφικές παραστάσεις που παρουσιάστηκαν στα Παραδείγματα 7. 7.4 για τις μεθόδους pwnd, downwnd και Lax Wendroff. Η προβολή των ταινιών στην οθόνη του H/Y μπορεί να γίνει αν μετακινήσουμε τον κέρσορα (δείκτη) της οθόνης και επιλέξουμε, π.χ. με τη χρήση του ποντίκιου, το αντίστοιχο παράδειγμα και, στη συνέχεια, την επιλογή Play/Pase. Στην περίπτωση που η προβολή αυτού του βιβλίου στην οθόνη γίνεται μέσω του αντίστοιχου αρχείου μορφής pdf, συνίσταται η χρήση του πρόγραμματος Adobe Reader.
7.4. ΤΑΙΝΙΕΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 43 Σχήμα 7.: Ταινίες των γραφικών παραστάσεων του Παραδείγματος 7. με α> για τη μέθοδο pwnd.
44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Σχήμα 7.3: Ταινίες των γραφικών παραστάσεων του Παραδείγματος 7. με α> για τη μέθοδο downwnd.
7.4. ΤΑΙΝΙΕΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 45 Σχήμα 7.4: Ταινίες των γραφικών παραστάσεων του Παραδείγματος 7.3 με α< για τη μέθοδο downwnd.
46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Σχήμα 7.5: Ταινίες των γραφικών παραστάσεων του Παραδείγματος 7.4 με α> για τη μέθοδο των Lax Wendroff.
7.5. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47 7.5 Ασκήσεις 7. Δείξτε ότι οι μέθοδοι pwnd και Lax Wendroff δίνουν την ακριβή λύση για λ =. 7. Θεωρούμε τη μέθοδο ( + λ)u j+ +( λ)u j+ =( λ)u j +(+λ)u j, για την επίλυση του προβλήματος (7.), όπου με λ συμβολίζουμε τον λόγο αk h. (αʹ) Βρείτε το σφάλμα διακριτοποίησης αυτής της μεθόδου. (βʹ) Ποια είναι η συνθήκη CFL για αυτή τη μέθοδο; (γʹ) Αν για κάθε j η τιμή U j+ είναι γνωστή, δείξτε ότι το σχήμα είναι άμεσο. (δʹ) Είναι von Nemann ευσταθής; 7.3 Θεωρούμε τη μέθοδο U j+ = U j λ(u j + U j ), για την επίλυση του προβλήματος (7.), όπου με λ συμβολίζουμε τον λόγο αk h. (αʹ) Βρείτε το σφάλμα διακριτοποίησης αυτής της μεθόδου. (βʹ) Ποια είναι η συνθήκη CFL για αυτή τη μέθοδο; (γʹ) Αν για κάθε j η τιμή U j+ είναι γνωστή, δείξτε ότι το σχήμα είναι άμεσο. (δʹ) Δείξτε ότι είναι von Nemman ευσταθής για λ < και ασταθής για λ>; 7.4 Θεωρούμε τη μέθοδο U j+ = 4 λ(λ)u j + 4 λ(5 λ)u j 4 (λ)(λ+4)u j + 4 λ(λ)u j +. (αʹ) Βρείτε το σφάλμα διακριτοποίησης της μεθόδου. (βʹ) Ποια είναι η συνθήκη CFL για αυτή τη μέθοδο; (γʹ) Είναι η μέθοδος von Nemman ευσταθής; 7.5 Θεωρούμε ένα αριθμητικό σχήμα που χρησιμοποιεί τις τιμές U j+, U j, U j και U j, για την προσέγγιση της λύσης της εξίσωσης (.35). (αʹ) Βρείτε το σχήμα, ώστε η μέθοδος να είναι συνεπής και το τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης να είναι δεύτερης τάξης ως προς h και πρώτης ως προς k.
48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (βʹ) Είναι η μέθοδος άμεση ή πεπλεγμένη; (γʹ) Ποια είναι η συνθήκη CFL για αυτή τη μέθοδο; (δʹ) Είναι von Nemann ευσταθής; 7.6 Θεωρούμε ένα αριθμητικό σχήμα που χρησιμοποιεί τις τιμές U j+ +, U j+, U j+, U j +, U j και U j, για την προσέγγιση της λύσης της εξίσωσης (.35). (αʹ) Βρείτε το σχήμα, ώστε η μέθοδος να είναι συνεπής και το σφάλμα διακριτοποίησης να είναι δεύτερης τάξης ως προς h και k. (βʹ) Είναι η μέθοδος άμεση ή πεπλεγμένη; (γʹ) Ποια είναι η συνθήκη CFL για αυτή τη μέθοδο; (δʹ) Είναι von Nemann ευσταθής; Βιβλιογραφία Holmes, M. H. (7). Introdcton to nmercal methods n dfferental eqatons (Vol. 5). Sprnger, New York. Iserles, A. (9). A frst corse n the nmercal analyss of dfferental eqatons (Second ed.). Cambrdge Unversty Press, Cambrdge. Larsson, S., & Thomée, V. (9). Partal dfferental eqatons wth nmercal methods (Vol. 45). Sprnger-Verlag, Berln. Morton, K. W., & Mayers, D. F. (5). Nmercal solton of partal dfferental eqatons (Second ed.). Cambrdge Unversty Press, Cambrdge. Rchtmyer, R. D., & Morton, K. W. (967). Dfference methods for ntalvale problems. Interscence Pblshers John Wley & Sons, Inc., New York- London-Sydney. Strkwerda, J. C. (4). Fnte dfference schemes and partal dfferental eqatons (Second ed.). Socety for Indstral and Appled Mathematcs (SIAM), Phladelpha, PA. Thomas, J. W. (995). Nmercal partal dfferental eqatons: fnte dfference methods (Vol. ). Sprnger-Verlag, New York.