ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Εότητα Βασικά Θεωρήματα του κεφ.1.8 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Α μία συάρτηση f είαι ορισμέη σε έα κλειστό διάστημα [α,β] και επιπλέο η f είαι συεχής στο [α,β] f( α ) f( β< ) 0 (δηλ. οι τιμές f(α), f( β ) είαι ετερόσημες) τότε υπάρχει τουλάχιστο έα ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ) = 0. Με άλλα λόγια η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστο μία πραγματική ρίζα στο αοικτό διάστημα (α,β). (Δηλαδή η C f τέμει το άξοα xx σε έα τουλάχιστο σημείο με τετμημέη x 0 αβ (, )). Γεωμετρική ερμηεία του Θεωρήματος Bolzano Γεωμετρικά μπορούμε α ερμηεύσουμε το παραπάω θεώρημα ως εξής: Το τμήμα της γραφικής παράστασης της f που περιέχεται μεταξύ τω ευθειώ x = α και x = β τέμει το xx τουλάχιστο μία φορά. 1
Σηματικές παρατηρήσεις 1. Το θεώρημα Bolzano εξασφαλίζει τη ύπαρξη τουλάχιστο μίας πραγματικής ρίζας της εξίσωσης f(x) = 0 στο (α,β).ωστόσο δε αποκλείεται η ύπαρξη περισσότερω ριζώ στο (α,β).αυτό που κυρίως μας εξασφαλίζει είαι «το ΑΔΥΝΑΤΟΝ ΤΗΣ ΜΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΡΙΖΑΣ στο (α,β)» 2. Το ατίστροφο του θεωρήματος Bolzano δε ισχύει. Αυτό σημαίει ότι α για μία πραγματική συάρτηση f :[ αβ, ] υπάρχει τουλάχιστο έα ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ) = 0 δε συεπάγεται ααγκαία ότι η f είαι συεχής ή ότι οι τιμές f(α), f( β ) είαι ετερόσημες δηλαδή f( α ) f( β< ) 0. 2
3. Α μία συάρτηση f είαι συεχής σε έα διάστημα Δ και ισχύει f(x) 0 για όλα τα x τότε συάγουμε ότι f(x) < 0 ή f(x) > 0 για κάθε x. Αυτό σημαίει ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ. Απόδειξη: Α η f δε διατηρούσε σταθερό πρόσημο τότε θα υπήρχα α, β,με α<β τέτοια ώστε f( α ) > 0 και f( β ) < 0 ή f( α ) < 0και f( β ) > 0 δηλαδή f( α ) f( β< ) 0, που σύμφωα με το Θεώρημα Bolzano, θα υπήρχε μία τουλάχιστο ρίζα στο ( αβ, ) που είαι άτοπο λόγω της υπόθεσης μας, άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ. 4. Μία συεχής συάρτηση f διατηρεί το πρόσημο της σε καθέα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της. (Από τη έκφραση «διαδοχικές ρίζες» συμπεραίουμε ότι f(x) 0 για κάθε x ρ ( 1, ρ 2) όπου ρ1, ρ 2 είαι δύο διαδοχικές ρίζες της f ). 5. Α η f είαι συεχής και γησίως μοότοη στο [α,β] και επί πλέο ισχύει f( α ) f( β< ) 0, τότε η f έχει ακριβώς μία ρίζα στο (α,β). 6. Α η f είαι συεχής στο Δ και ισχύει: 3
f(x) 0 για κάθε x f(ξ) > 0 με ξ Δ τότε f(x) > 0 για κάθε x. 7. Α η f είαι συεχής στο Δ και ισχύει: f(x) 0 για κάθε x f(ξ) < 0 με ξ Δ τότε f(x) < 0 για κάθε x. 8. Κάθε πολυώυμο περιττού βαθμού με πραγματικούς συτελεστές έχει τουλάχιστο μία πραγματική ρίζα. Απόδειξη: 1 * Έστω P(x) =α x +α 1x +... +α 1x +α 0 με α 0,, x έα πολυώυμο περιττού βαθμού με πραγματικούς συτελεστές. Διακρίουμε δύο περιπτώσεις: i. Έστω α > 0, τότε έχουμε: lim P(x) = lim ( α x ) = x x οπότε υπάρχει α< 0 τέτοιο ώστε α ισχύει P( α ) < 0 και lim P(x) = lim ( α x ) = + x + x + οπότε υπάρχει β> 0 τέτοιο ώστε α ισχύει P( β ) > 0 Συεπώς για τη πολυωυμική συάρτηση P(x), με πεδίο ορισμού το, ισχύου: 1. Είαι συεχής ως πολυωυμική στο διάστημα [ αβ, ]. 2. P( α)p( β ) < 0. Άρα σύμφωα με το Θεώρημα Bolzano η εξίσωση P(x) = 0 έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο ( αβ, ), συεπώς και στο. ii. Oμοίως εργαζόμαστε α α < 0. 4
Θα μας απασχολήσει τώρα έα θεώρημα το οποίο θεωρείται «γείκευση» του θεωρήματος Bolzano. ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Α μία συάρτηση f είαι ορισμέη σε έα κλειστό διάστημα [α,β]και επιπλέο η f είαι συεχής στο [α,β] f(α) f (β) τότε για κάθε αριθμό κ που βρίσκεται μεταξύ τω f(α) και f( β ) υπάρχει τουλάχιστο έας αριθμός ξ (α,β) έτσι ώστε f( ξ ) =κ. Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι f( α ) < f( β ).Τότε θα ισχύει f( α ) <κ< f( β ). Α θεωρήσουμε τη συάρτηση g(x) = f(x) κ, x αβ, [, ] παρατηρούμε ότι: H g είαι συεχής στο [ αβ, ] και g( α)g( β ) < 0 Αφού g( α ) = f( α) κ< 0 και g( β ) = f( β) κ> 0 Επομέως, σύμφωα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει έα τουλάχιστο ξ ( α, β ) τέτοιο, ώστε g( ξ ) = f( ξ) κ= 0, οπότε f( ξ ) =κ Γεωμετρική ερμηεία του Θεωρήματος Εδιάμεσω Τιμώ 5
1. Η παράλληλη ευθεία y = κ προς το xx θα τέμει τη C f τουλάχιστο σε έα σημείο (στο συγκεκριμέο παράδειγμα στα σημεία ξ 1, ξ 2, ξ 3 ). 2. Κάθε σημείο του άξοα yy που βρίσκεται αάμεσα στα f( α ) και f( β ) θα είαι τιμή της συάρτησης f. Σηματικές παρατηρήσεις 1. Α η συεχής συάρτηση f ορίζεται στο διάστημα Δ, τότε η εικόα του Δ μέσω της f (δηλαδή η f(δ) ) θα είαι διάστημα, δηλαδή δε είαι έωση διαστημάτω, με τη προϋπόθεση ότι η f δε είαι σταθερή. 2. Α η f είαι σταθερή συάρτηση τότε το f( ) είαι έα σημείο (μοοσύολο) (εκφυλισμέο διάστημα της μορφής [ λλ)., ] 6
3. Το ατίστροφο του Θεωρήματος εδιαμέσω τιμώ δε ισχύει κατ αάγκη, δηλαδή α μία συάρτηση f ορισμέη στο [ αβ, ], παίρει κάθε τιμή μεταξύ του f( α ) και του f( β ), δε σημαίει ότι αυτή είαι συεχής στο [ αβ, ]. 4. Η γραφική παράσταση μιας συεχούς συάρτησης σε διάστημα Δ είαι μία συεχής γραμμή. 5. Α η f ΔΕΝ είαι συεχής στο κλειστό διάστημα [ αβ, ] τότε δε παίρει υποχρεωτικά όλες τις εδιάμεσες τιμές. 6. Αποδεικύεται ότι η συάρτηση f είαι συεχής και γησίως μοότοη στο διάστημα Δ, 1 τότε η ατίστροφη της, δηλαδή η f :f( ) είαι συεχής στο f( ) και έχει το ίδιο είδος μοοτοίας. 7. Α το σύολο τιμώ μιας συεχούς συάρτησης περιέχει το μηδέ τότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστο μία ρίζα. 7
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ Έστω f συεχής συάρτηση στο κλειστό διάστημα [α,β], τότε υπάρχου x 1,x 2 αβ [, ] για τα οποία ισχύει f(x 1) f(x) f(x 2) για κάθε x αβ [, ]. Δηλαδή η f έχει στο [α,β] ελάχιστη τιμή τη f(x 1) τη οποία τη συμβολίζουμε m και μέγιστη τιμή τη f(x 2) τη οποία συμβολίζουμε με Μ. Δηλαδή m f(x) Μ f(x) [m, Μ ] Σηματικές παρατηρήσεις 1. Από το Θεώρημα εδιάμεσω τιμώ και το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής μιας συεχούς συάρτησης f με πεδίο ορισμού το κλειστό διάστημα [α,β], μπορούμε α συμπεράουμε ότι το σύολό τιμώ της f είαι το κλειστό διάστημα [m,μ]. Δηλαδή μπορούμε πλέο α έχουμε μία πρώτη εικόα για το πώς μπορούμε α βρίσκουμε το σύολο τιμώ μίας συάρτησης. 2. Α έχουμε μία συάρτηση f συεχή και γησίως μοότοη σε έα διάστημα Δ, τότε μπορούμε α βρούμε το σύολο τιμώ της f αάλογα με το είδος της μοοτοίας της και τη μορφή του Δ. Δηλαδή: Α μια συάρτηση f είαι γησίως αύξουσα και συεχής σε έα αοικτό διάστημα ( αβ, ), τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημα αυτό είαι το διάστημα (Α,Β),όπου A = lim f (x) και B = lim f (x) + Α, όμως η f είαι γησίως φθίουσα και συεχής στο (, ) αβ, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημα αυτό είαι το διάστημα (Β,Α) 8
[α,β] (α,β) [α,β) ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ [f ( α),f ( β )] ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ [f ( β),f ( α )] ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ( lim f (x), lim f (x)) + ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ ( lim f (x), lim f (x)) + ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ [f ( α ), lim f (x)) ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ ( lim f (x),f ( α )] (α,β] ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ( lim f (x),f ( β )] + ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ [f ( β ), lim f (x)) + Πρέπει α προσέξουμε ότι στις περιπτώσεις που έχουμε αοιχτά διαστήματα ατί για άκρο πραγματικό αριθμό μπορούμε α έχουμε το ±. Σε αυτή τη περίπτωση ισχύου αάλογα συμπεράσματα. 9