41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime, kad funkcija f apibrėžta aibėje X R Tarkime, be to, kad x 0 X, bet x 0 nebūtinai priklauso aibei D(f), tačiau šio taško bet kokioje aplinkoje yra aibės D(f) tašku Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiai realiu skaičiu sekai {x n }, konverguojančiai i taška x 0, šia seka atitinkanti funkcijos reikšmiu seka {f(x n )} konverguoja i skaičiu b Jei funkcijos y = f(x) riba, taške x 0, yra skaičius b, tai Trumpai ši fakta žymėsime f(x n ) = b x n,x n x 0 x x 0 f(x) = b Ateityje naudosime ir kitais terminais pateiktta funkcijos ribos apibrėžima, kuris ekvivalentus pateikta jam Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam, laisvai parinktam skaičiui ɛ > 0 egzistuoja teigiamas skaičius δ = δ(ɛ) toks, kad f(x) b < ɛ, kai x x 0 < δ ( x V δ (x 0 ) ) Kitaip tariant, skaičius x 0 yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei argumento reikšmėms artėjant prie taško x 0, atitinkamos funkcijos reikšmės artėja prie b Siūlome skaitytojui pačiam i sitikinti, kad šie ribos apibrėžimai yra ekvivalentūs Jei riba apibrėšime naudodami paskutini apibrėžima, tai sakysime, kad funkcijos riba apibrėžta ɛ, δ terminais Kadangi funkcijos ribos apibrėžimas pateiktas sekos ribos terminais, tai natūralu naudoti analogiškas sa vokas kaip ir seku atveju Pavyzdžiui, jei funkcija y = f(x) turi riba taške x 0, tai tada teisingas sa ryšis: f(x) = b + α(x), čia α(x) yra nykstamas dydis, kai x x 0 ( n x n = x 0 ) Aišku, kad jei funkcija turi riba taške x 0, tai tada riba yra vienintelė I rodykite! Apibrėžimas Skaičiu b vadinsime funkcijos y = f(x) riba, taške x 0 iš kairės, jei bet kokiai sekai {x n } konverguojančiai i x 0, kai visi sekos nariai x n < x 0, funkcijos reikšmiu seka {f(x n )} konverguoja i skaičiu b Apibrėžimas Skaičiu b + vadinsime funkcijos y = f(x) riba, taške x 0 iš dešinės, jei bet kokiai sekai {x n } konverguojančiai i x 0, kai visi sekos nariai x n > x 0, funkcijos reikšmiu seka {f(x n )} konverguoja i skaičiu b + Kairioji (dešinioji) funkcijos riba yra žymima Pavyzdys f(x) = b ( f(x) = b +) x x 0 x x 0 + x 0 arctg 1 x = π 2, arctg 1 x 0+ x = π 2 46
Pastarieji ribiniai sa ryšiai išplaukia iš arktangeto elgsenos, kai argumentas artėja i ±, kadangi 1 x 0 x =, 1 x 0+ x = Skaitytojui siūlome i sidėmėti toki rezultata 41 Teorema Tam, kad seka turėtu riba taške x 0 būtina ir pakanka, kad riba iš kairės ir dešinės sutaptu Tarkime, kad x x 0 f(x) = b egzistuoja Taigi, bet kokiam ɛ > 0, egzistuoja δ > 0 toks, kad f(x) b < ɛ, kai x V δ (x 0 ) x x 0, ty visiems x V δ (x 0 ) ir nesvarbu ar x > x 0 ar x < x 0 f(x) b < ɛ Bet tuomet f(x) = b ir x x 0 f(x) = b x x 0 + I rodykime atvirkštini teigini Tarkime, kad b = b + = b Vadinasi, visiems ɛ > 0, egzistuoja skaičiai δ 1 > 0, δ 2 > 0 tokie, kad f(x) b < ɛ, kai x x 0 < δ 1 ir x 0 x < δ 2 Pažymėkime δ = min {δ 1, δ 2 } Aišku, kad tuomet f(x) b < ɛ, kai x x 0 < δ Iš paskutiniu sa ryšiu išplaukia, kad x x 0 f(x) = b Apibrėžimas Skaičiu b vadinsime funkcijos f(x) riba, kai x neaprėžtai didėja, jei kiekviena neaprėžtai didėjančia (mažėjančia ) argumento reikšmiu seka atitinkanti funkcijos reikšmiu seka konverguoja i skaičiu b, ty f(x) = b x Apibrėžimas Skaičiu b vadinsime funkcijos f(x) riba, kai x neaprėžtai mažėja, jei kiekviena neaprėžtai mažėjančia argumento reikšmiu seka atitinkanti funkcijos reikšmiu seka konverguoja i skaičiu b, ty f(x) = b x 42 Teorema Tarkime, kad Tada x x 0 (f(x) + g(x)) = b + c, f(x) = b, x x 0 (f(x) g(x)) = b c, x x 0 g(x) = c x x 0 (f(x) g(x)) = b c, x x 0 (f(x)/g(x)) = b/c (c 0) x x 0 Tarkime, kad {x n } kokia nors laisvai pasirinkta realiu skaičiu seka, kurios riba yra skaičius x 0 Tada ir sekos {f(x n )}, {g(x n )} konverguoja, be to ribos lygios skaičiams b, c atitinkamai Remdamiesi seku ribu teoremomis gauname, kad ir sekos {f(x n ) + g(x n )}, {f(x n ) g(x n )}, {f(x n ) g(x n )}, {f(x n )/g(x n )} 47
konverguoja, be to šiu seku ribos yra skaičiai b + c, b c, b c, b/c(c 0), atitinkamai Kadangi seka {x n } buvo pasirinkta laisvai, todėl gauname teoremos i rodyma (žr apibrėžima ) Apibrėžimas Sakysime, kad funkcija yra neapibrėžta taške x 0, jei bent viena riba iš kairės arba dešinės šiame taške lygi ± ; f(x) =, arba + x x 0 arba f(x) =, arba + x x 0 + 42 Funkcijos tolydumas Klasikinės ribos Apibrėžimas Sakysime, kad funkcija f(x) yra tolydi taške x 0, jei f(x) = f(x 0 ) = f( x) x x 0 x x 0 Kitais žodžiais tariant, jei funkcija yra tolydi, tai riba gae perkelti po funkcijos ženklu Skaitytojui siūlome pastara ji apibrėžima perrašyti ɛ, δ terminais 43 Teorema Sakykime, kad funkcijos f(x) ir g(x) apibrėžtos toje pat aibėje ir tolydžios taške x 0 Tada funkcijos f(x) + g(x), f(x) g(x), f(x) g(x) yra tolydžios taške x 0 Be to, jei funkcija g(x 0 ) 0, tai ir funkcija f(x)/g(x) yra tolydi taške x 0 Žinome, kad tolydžios taške x0 funkcijos f(x) ir g(x) šiame taške turi ribines reikšmes, kurios atitinkamai yra lygios f(a) ir g(a) Tuomet teoremos teiginio teisingumas išplaukia iš seku ribu savybiu Pateiksime, be i rodymo, keleta svarbiu teiginiu 44 Teorema Jei intervale [a, b] funkcija y = f(x) yra griežtai monotoninė ir tolydi, tai egzistuoja šiai funkcijai atvirkštinė funkcija, apibrėžta intervale [f(a), f(b)] arba ([f(b), f(a)] ), kuri taip pat tolydi ir griežtai monotoninė Pastebėsime, kad šiuo atveju funkcija yra bijekcija 45 Teorema Tarkime, kad funkcija x = ψ(t) yra tolydi taške a, o funkcija y = f(x) tolydi taške b = ψ(a) Tada sudėtinė funkcija y = f(ψ(t)) yra tolydi taške a Apibrėžimas Sakysime, kad funkcija f(x) yra tolydi taške x 0 iš dešinės, jei f(x) = f(x 0) x x 0 + Apibrėžimas Sakysime, kad funkcija f(x) yra tolydi taške x 0 iš kairės, jei f(x) = f(x 0) x x 0 Taigi, funkcija tolydi taške tada ir tik tada, kai ji tolydi iš kairės ir dešinės šiame taške 48
Jei funkcija tolydi visuose aibės A taškuose, tai sakysime, kad funkcija yra tolydi aibėje A Taškai, kuriuose funkcija nėra tolydi, vadinami funkcijos trūkio taškais Suformuluokime kelias tolydžiu teoremas 46 Teorema Tarkime, kad funkcija y = f(x) yra griežtai monotoninė intervale [a, b] Tada y = f(x) yra tolydi šiame intervale tada ir tik tada, kai bet kokiam γ [f(a), f(b)], egzistuoja c [a, b], kad f(c) = γ Kitais žodžiais kalbant, tolydi funkcija intervala atvaizduoja i intervala Pastaru teoremu nei rodysime Besidominčiam siūlome i rodymus susirasti bet kokiame matematinės analizės, vadovėlyje Panagrinėkime funkcija f(x) = sin x/x Parodysime, kad minėtoji funkcija turi riba taške x 0 = 0, nors pati funkcija ir neapibrėžta šiame taške Visu pirma i rodysime keleta svarbiu nelygybiu Tarkime, kad duotas vienetinis apskritimas, kurio centras taške O (žr 48 pav) Taškas M yra apskritimo taškas, pirma jame ketvirtyje, o x lanko AM ilgis Beje, kampo AOM radianinis matas yra lygus x Nesunku suprasti, kad MN = sin x, ON = cos x, AB = tgx Beje, trikampio OMA, skritulio OMA ir trikampio OAB plotai, atitinkamai lygūs: 05 sin x, 05x, 05tgx Vadinasi teisingos nelygybės: 0 < sin x < x < tgx, 0 < x < 05π (1) 41 Lema x 0 cos x = 1 Remdamiesi lygybe cos x = 1 2 sin 2 x 2, (1) nelygybe ir gerai žinomu sa ryšiu cos x 1 gauname, kad 1 2 x cos x 1, kai 0 < x < 1 2 (2) Pastebėsime, kad kai x arti nulio, tai ir (2) nelygybės kairioji pusė artima vienetui Perėje prie ribos, (2) nelygybėje, kai x artėja i nuli, gauname (1 2x) cos x 1 x 0 x 0 x 0 Lemos i rodymas išplaukia iš teoremu apie ribinius sa ryšius nelygybėse (policininku principo) 47 Teorema Teisingas ribinis sa ryšis: sin x x 0 x = 1 49
48 pav Mes nagrinėsime ribini sa ryši, kai x artėja i nuli laikydami, kad x (0, 1 2 ) Iš (1) nelygybiu gauname, kad cos x < sin x x < 1 Perėje prie ribos, kai x 0, ir naudodamiesi 41 Lema bei ribu nelygybiu savybėmis, gauname teoremos i rodyma, tuo atveju, kai x artėja prie nulio iš dešinės Antra ja teoremos dali, kai x artėja prie nulio iš kairės, siūlome i rodyti skaitytojui Be i rodymo pateiksime dar viena teorema apie svarbios ribos egzistavima 48 Teorema Funkcijos ( 1 ) x 1 + x ribinė reikšmė, kai x egzistuoja, ir lygi skaičiui e Šio teiginio teisingumu jau esame i sitikine, kai x N Tarkime, kad f(x) = 0 ir g(x) = ± x 0 x Tada 47 ir 48 Teoremas gae perrašyti tokiu būdu: sin f(x) ( 1 ) g(x) ( ) 1 = 1 ir 1 + = e, 1 + f(x) f(x) = e x 0 f(x) x g(x) x 0 Šie ribiniai sa ryšiai plačiai naudojami skaičiuojant ribas 43 Trūkio tašku klasifikavimas Tolydumo tyrimas 1 Pašalinamas trūkio taškas Taška a vadinsime funkcijos y = f(x) pašalinamu trūkio tašku, jeigu šiame taške egzistuoja funkcijos riba, o pati funkcija taške a arba neapibrėžta, arba jos reikšmė taške nesutampa su funkcijos riba šiame taške Pavyzdžiui, taškas x = 0 yra funkcijos y = sin x x 50
pašalinamas trūkio taškas Arba taškas x = 1 yra funkcijos { x 2 1 y = x 1, x 1 3, x = 1, pašalinamas trūkio taškas Patikrinkite! 2 Pirmos rūšies trūkio taškas Taškas a yra vadinamas funkcijos y = f(x) pirmos rūšies trūkio tašku, jeigu egzistuoja skirtingos baigtinės ribos iš kairės ir dešinės, šiame taške Panagrinėkime funkcija { 1, x > 0, f(x) = sgnx = 0, x = 0, 1, x < 0 Šios funkcijos grafikas pateiktas 49 pav Ši funkcija turi pirmos rūšies trūkio taška x = 0, kadangi f(0) = 0, o f(x) = 1, x 0 f(x) = 1 x 0+ Taigi, funkcijos reikšmė iš kairės ir dešinės yra skirtingi baigtiniai skaičiai 49 pav Funkcija f(x) = [x] = k, k x < k + 1, k Z vadinsime sveika ja dai Jos grafikas pateiktas 410 pav 410 pav Visi sveiki skaičiai yra funkcijos y = [x] pirmos rūšies trūkio taškai, kadangi f(k) = k, f(x) = k 1, x k f(x) = k, x k+ kiekvienam k Z 3 Antros rūšies trūkio taškai Taškas a yra vadinamas funkcijos y = f(x) antros rūšies trūkio tašku, jeigu riba iš kairės arba dešinės neegzistuoja, arba bent viena riba (iš kairės arba dešinės) lygi begalybei 51
411 pav 411 pav pateiktas funkcijos y = sin(1/x) grafikas, kuri taške x = 0 turi antros rūšies trūkio taška Beje, šiame taške ribinė reikšmė neegzistuoja 412 pav pateiktas funkcijos y = 1/x, kuri taške x = 0 turi antros rūšies trūki, be to, šiame taške ribinė reikšmė yra ±, priklausomai nuo artėjimo, prie šio taško, krypties Panagrinėkime funkcija f(x) = 412 pav { x 2 + 1, x 0, 1 x, x > 0 Ši funkcija turi antros rūšies trūkio taška x = 0, kadangi riba iš dešinės yra lygi, o f(0) = 1 Apibrėžimas Tarkime, kad duotas taškas x 0, o koks nors skaičius Tada suma x 0 + vadinsime argumento pokyčiu taške x 0 Ateityje skaičiu vadinsime pokyčiu Tarkime, kad x 0 ir x du taškai Tada pokyti gae apibrėžti taip: = x x 0 Apibrėžimas Funkcijos f(x) pokyčiu taške x 0, atitinkančiu argumento pokyti, vadinsime toki skirtuma : f(x 0 + ) f(x 0 ) =: f(x 0 ) 49 Teorema Funkcija f(x) yra tolydi taške x 0 tada ir tik tada, jei funkcijos pokyčio taške x 0 riba, kai artėja i nuli, yra lygi nuliui Tarkime, kad funkcija y = f(x) yra tolydi taške x 0 Vadinasi x x 0 f(x) = f(x 0 ) 52
Tada pastara ja riba gae perrašyti taip: f(x) = f(x 0 ) + α(), čia α() yra nykstamas dydis, kai 0 Pažymėje x = x 0 + gauname, kad f(x 0 + ) f(x 0 ) = α(), 0 Paskutinioji lygybė reiškia, kad funkcijos pokytis taške x 0 yra nykstamas dydis, kai 0 Tarkime, kad funkcijos pokytis taške x 0 yra nykstamas dydis Parodysime, kad tuomet funkcija yra tolydi taške x 0 Turime, kad f(x 0 + ) f(x 0 ) = α(), 0 Pažymėje x = x 0 + gauname, kad x x 0 tada ir tik tada, kai 0 Vadinasi teisingas sa ryšis: x x 0 f(x) = f(x 0 ) Taigi, funkcija yra tolydi 44 Elementariu tolydumas Šiame skyrelyje i rodysime kai kuriu, skaitytojui gerai žinomu, tolyduma 410 Teorema Funkcijos, y = x n (n N ), y = a x, y = sin x, y = tgx, y = ctgx yra tolydžios apibrėžimo srityse Funkcijos f(x) = a x tolydumas i rodomas gana sudėtingai, todėl jo nepateiksime Jei skaitytojas domėtu si, siūlome apie tai paskaityti A Kabailos, vadovėlyje, Matematinės analizė, Id Nagrinėsime funkcija f(x) = x n Užrašykime šios funkcijos pokyti, taške x, atitinkanti argumento pokyti Turime, f(x) = (x + ) n x n = x n + C 1 nx n 1 + C 2 nx n 2 () 2 + + ( ) n x n = C 1 nx n 1 + C 2 nx n 2 () 2 + () n Iš paskutiniosios lygybės matyti, kad šios funkcijos pokyčio riba, kai 0, yra lygi nuliui, bet kokiam x R Taigi, remdamiesi 49 Teorema gae tvirtinti, kad funkcija x n yra tolydi realiu skaičiu aibėje Užrašykime funkcijos f(x) = sin x pokyti taške x R Turime, kad Iš paskutiniosios lygybės gauname, visoje realiu skaičiu aibėje f(x) = sin(x + ) sin x = 2 cos(x + 2 ) sin( 2 ) = 2 cos(x + 2 ) 2 sin( 2 ) 2 f(x) = 0, taigi (9 Teorema), funkcija sin x yra tolydi 0 53
Funkcijos cos x tolydumas i rodomas visiškai analogiškai Remdamiesi 43 Teorema gae tvirtinti, kad funkcija tgx = sin x cos x yra tolydi aibėje R \ { π 2 + πk, k N }, kadangi šioje aibėje funkcijos sin x ir cos x yra tolydžios, be to funkcija cos x 0 Analogiškai samprotaudami gae pagri sti ir funkcijos ctg x tolyduma, jos apibrėžimo srityje 411 Teorema Funkcijos arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x, ln x ir x α yra tolydžios apibrėžimo srityse Trigonometriniu atvirkštiniu ir funkcijos f(x) = log a x tolydumas išplaukia iš 44 teoremos Remdamiesi 45 teorema i rodysime funkcijos x α tolyduma Priminsime, kad funkcija y = x α apibrėžta, kai x > 0 Tarkime, kad α R Laipsnine funkcija perrašykime taip: y = x α = e α ln x Matome, kad jei α > 0, tai laipsninė funkcija didėja, jei α < 0, tai ši funkcija mažėja Taigi, remdamiesi sudėtinės funkcijos tolydumo 47 teorema gauname, kad funkcija x α yra tolydi, nagrinėjamoje srityje I rodykime, kad ln(1 + x) = 1 x 0 x Naudodamiesi logaritmo savybėmis, paskutiniojo reiškinio kaire puse perrašome tokiu būdu: ln(1 + x) 1 x x 0 Naudodamiesi logaritminės funkcijos tolydumu, riba perkeliame po logaritmo ženklu Pasinaudoje tuo, kad (1 + x) 1 x = e gauname, kad x 0 Skaitytojui siūlome i rodyti, kad a x 1 x 0 x ln(1 + x) = ln e = 1 x 0 x (1 + x) α 1 = ln a, ir x 0 x Pastebėsime, kad šias ribas gaa apibendrinti posekiams Aptarkime tai Sakykime, kad f(x) = 0 Tada teisingi ribiniai sa x x 0 ryšiai: = α ln(1 + f(x)) a f(x) 1 (1 + f(x)) α 1 = 1; = ln a, ir = α x x 0 f(x) x x 0 f(x) x x 0 f(x) Remiantis paskutiniais ribiniais sa ryšiais gauname, kad ln(1 + (x 2 + x 2)) (1 + 2 sin 2 x) 3 1 (1 + 2 sin 2 x) 3 1 x 1 x 2 = 1; arba + x 2 x 0 sin 2 = 2 x x 0 2 sin 2 = 2 3 = 6 x 54
Uždaviniai 1 Naudodami funkcijos ribos apibrėžima (ɛ δ terminais) i rodykite, kad: funkcijos y = x 3 2 riba, taške x 0 = 1, lygi 1, o funkcijos y = 1 x 2 +1 riba, kai x, lygi 0 2 Suformuluokite (ɛ δ terminais) pateiktus teiginius a f(x) =, b f(x) =, a f(x) = +, a f(x) = + x a x a x a 0 x 3 Naudodami tolydumo apibrėžima i rodykite, kad pateiktos funkcijos yra tolydžios nurodytuose taškuose: y = cos x 2 taške π; y = ln 2 (2x + 1) taške 3; y = 3 x2, taške 0 4 I rodykite, kad (1 + x) 1/n 1 = 1 x 0 x n, ln(1 + x) = 1, x 0 x e x 1 = 1 x 0 x 5 Apskaičiuokite pateiktu ribines reikšmes: (1 + x) 4 (1 + 4x) (2x 1) 10 (4x + 3) 15 a) ; b) x 0 x x (16x + 1) 25 ; 6 Apskaičiuokite ribines reikšmes: x 3 2x 1 x m 1 c) x 1 x 5 ; d) 2x 1 x 0 x n 1 (1 + x) 1/n 1 a) x 0 x ; b) x 2 (x 6) 1/3 + 2 x 2 ; + 8 (2x + 9) 1/2 5 (1 + 2x) 1/m (1 + 3x) 1/n c) ; d) x 8 x 1/3 2 x 0 x 7 Apskaičiuokite trigonometrines ribas: 8 Apskaičiuokite ribas: 1 cos x a) ; b) (1 x)tg πx x 0 x x 1 2 ; 1 ctg 3 1 x cos x cos c) x 0 x ; d) 2 ctgx ctg x 0 sin 2 x ( x + 2 ) x 2 ( x 2 + 2 ) x 2 a) ; b) x 2x 1 x x 2 ; 1 c) (cos x) 1/x ; d) x 0 x + ln(2 + e 3x ) ln(3 + e 2 x) 2 x 1 ( e) ; e) x + e x ) 1/x x 0 x x 0 55 3 x
9 Raskite nurodytas vienpuses ribas: a) ln ( 1 + e x ) ; b) x x ln ( 1 + e x ) x + x c) x 2x ; d) 1 + x x + 2x 1 + x Raskite pateiktu trūkio taškus (jei egzistuoja) ir juos klasifikuokite: 10 a) f(x) = sin x x ; b) f(x) = sin 1 x 11 12 51 Išvestinė a) f(x) = sgn(sin π x ) b) f(x) = x2 1 x 2 3x + 2 a) f(x) = 1 x 2, x < 1,, b) f(x) = x + 2, 2 x 4 1 2 x2 x 1 4 sin πx 4, x > 4 V DIFERENCIALINIS SKAIČIAVIMAS Tarkime, kad funkcija y = f(x) yra apibrėžta kokiame nors intervale [a, b] ir tolydi intervale (a, b) Kaip paprastai, f(x) vadinsime funkcijos pokyčiu taške x, atitinkančiu argumento pokyti Laikysime, kad argumento pokytis 0 Apibrėžimas Funkcijos y = f(x) išvestine (žymėsime f (x)), taške x, vadinsime tokia santykio riba : f (x) = 0 f(x + ) f(x), jeigu ši riba egzistuoja Jei funkcija turi išvestine, bet kokiame intervalo (a, b) taške, tai išvestinė bus kintamojo x funkcija Pastebėsime, kad jei funkcija turi išvestine taške x, tai ši funkcija yra tolydi šiame taške (kodėl?) Išvestinės samprata istoriškai susiformavo ieškant ryšio tarp materialaus taško nueito kelio ir greičio Tarkime, kad materialus taškas juda pagal toki dėsni : s(t) = t 2 + 2t, čia t yra laikas Tuomet santykis s(t)/ t reiškia vidutini taško greiti, per laiko momenta t Perėje prie ribos, kai t 0, gauname materialaus taško greiti, laiko momentu t Kitaip tariant, taško judėjimo funkcijos išvestinė nusako greičio, bet kuriuo laiko momentu, formule Pateiksime keleta ekonominiu interpretaci Tarkime, kad x yra planuojamas produkcijos kiekis, o y = f(x) gamybos kaštai Tada pokytis f(x) = f(x + ) f(x) žymi kaštu pokyti, atitinkanti gamybos pokyti Tuo tarpu santykis f/ reiškia vidutini kaštu kitimo greiti esant gamybos lygiui x Ribiniais gamybos kaštais yra vadinama funkcija f (x) = 0 f(x + ) f(x) 56
Tarkime, kad funkcija y = g(x) reiškia pajamas, kurias gauna gamintojas, pagamine s produkcijos kieki x Paprastai ši funkcija vadinama pajamu (revenue) funkcija Santykis g(x) g(x + ) g(x) = yra vidutinis naudingumo kitimo greitis, atitinkantis gamybos prieaugi Ribinėmis pajamomis (marginal revenue) vadinsime tokia santykio riba : g (x) = 0 g(x + ) g(x) Tarkime, kad x reiškia nacionalines pajamas Funkcija v = h(x) siejančia nacionalines pajamas x su bendru vidaus vartojimu v, vadinsime vartojimo funkcija Tada ribiniu vartojimu (the marginal propensity to consume) vadinsime tokia santykio riba : h (x) = 0 h(x + ) h(x) Skirtuma s = x v, s vadinsime kaupimo funkcija Tada ribiniu kaupimu vadinsime tokia funkcija s = 1 dv dx Pastarosios funkcijos dėka gae nustatyti, kaip keičiasi kaupimas, priklausomai nuo vartojimo lygio Skaitytojui siūlome i sitikinti, kad funkcijos y = f(x) išvestinė, taške x 0, yra lygi tiesės, liečiančios funkcijos y = f(x) grafika taške (x 0, f(x 0 )), krypties koeficientui Taigi, jei žinome funkcijos išvestine, tai gae nurodyti liestinės, bet kokiame taške, lygti Prisiminkime, kaip užrašoma tiesės lygtis, kai žinomas taškas ir krypties koeficientas Turime: y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Analogiškai, kaip ir apibrėžėme funkcijos ribas iš dešinės ir kairės, apibrėšime funkcijos išvestines iš kairės ir dešinės Apibrėžimas Funkcijos y = f(x) dešinia ja išvestine, taške x, vadinsime santykio riba : f +(x) = 0+ f(x + ) f(x), jei ši riba egzistuoja Apibrėžimas Funkcijos y = f(x) kairia ja išvestine, taške x, vadinsime santykio riba : f (x) = 0 f(x + ) f(x), jeigu ši riba egzistuoja Kadangi išvestinė apibrėžiama ribos terminais, tai funkcijos y = f(x) išvestinė taške x egzistuoja tada ir tik tada, kai f +(x) = f (x) Pavyzdžiui, funkcijos y = sin x išvestinė taške 0 neegzistuoja, kadangi f +(0) = sin(0 + ) sin 0 = 1, 0+ 57
f (0) sin(0 + ) sin 0 = = 1 0 51 Teorema Tarkime, kad funkcija y = f(x) yra tolydi taško x 0 aplinkoje ir be to griežtai monotoninė taško x 0 aplinkoje Jei funkcija y = f(x) turi išvestine šio taško aplinkoje, su sa lyga f (x) 0, tai taško y 0 = f(x 0 ) aplinkoje egzistuoja funkcija f 1 (y), turinti išvestine taške y 0, kuria gae skaičiuoti tokiu būdu: ( f 1 ) (y0 ) = 1 f (x 0 ) Funkcija y = f(x) yra tolydi ir griežtai monotoninė taško x 0 aplinkoje, taigi funkcija bijekcija šioje aplinkoje todėl, remdamiesi 46 Teorema gauname, kad egzistuoja funkcijos y = f(x) atvirkštinė, kuri tolydi taško y 0 = f(x 0 ) aplinkoje Suteikime taškui y 0 argumento pokyti y Ši pokyti atitinkantis atvirkštinės funkcijos pokytis 0, nes funkcija griežtai monotoniška, be to pokytis 0, kai y 0, nes funkcija x = f 1 (y) yra tolydi Taigi, gae užrašyti: ( f 1 ) (y 0 ) (y0 ) = = 0 y 0 1 y (y 0 ) = 1 f (x 0 ) 52 Teorema Tarkime, kad egzistuoja funkcijos x = ψ(t) išvestinė taške t 0 ir funkcijos y = f(x) išvestinė taške x 0 = ψ(t 0 ) Tada egzistuoja ir sudėtinės funkcijos f(ψ(t)) išvestinė taške t 0, kuri skaičiuojama taip: ( f(ψ(t))) = f (x 0 ) ψ (t 0 ) Argumentui t suteikime pokyti t 0 Ji atitinkantis argumento pokytis = ψ(t 0 ) Antra vertus, pokytis indukuoja funkcijos pokyti y = f(x 0 ) Funkcijos išvestinė taške x 0 egzistuoja, todėl teisingas sa ryšis Padalije panariui šia lygybe iš t gauname y = f (x 0 ) + α, α 0, kai 0 y t = f (x 0 ) t + α (1) t Tarkime, kad t 0, o kadangi funkcija x = ψ(t) tolydi nagrinėjamame taške, tai tada ir 0 Bet tuomet ir α 0, kai t 0 Tada 0 t = ψ (t 0 ) Iš (1) ir paskutiniojo sa ryšio išplaukia teoremos tvirtinimas 58
52 Išvestinės skaičiavimo taisyklės 53 Teorema Tarkime, kad egzistuoja f(x) ir g(x) išvestinės taške x Tada egzistuoja ir šiu sumos, skirtumos, sandaugos ir dalmens (jei daliklis nelygus nuliui) išvestinės Be to šias išvestines gae skaičiuoti tokiu būdu: [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x), [f(x)g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x) ir f(x) g(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g 2, (g(x) 0) (x) 1 I rodykime pirma ja išvestinės skaičiavimo formule Pažymėkime h(x) = f(x) + g(x) h h(x + ) h(x) (x) = = 0 (f(x + ) + g(x + ) (f(x) + g(x)) 0 ) = ( f(x + ) f(x) + 0 g(x) g(x + ) ) = f (x) + g (x) 2 Suskaičiuokime dvie sandaugos išvestine Pažymėkime v(x) = f(x)g(x) Tada ( f(x + ) g(x + ) f(x) g(x) ) v (x) = = 0 ( (f(x + ) f(x))g(x) + 0 f (x) g(x) + f(x) g (x) (g(x + ) g(x))f(x) ) = 3 Rasime santykio išvestinės skaičiavimo formule Pažymėkime u(x) = f(x)/g(x) Tada ( f(x+) u g(x+) (x) = f(x) ) g(x) = 0 ( (f(x + ) f(x))g(x) 0 g(x + )g(x) f (x) g(x) f(x) g (x) g 2 (x) (g(x + ) g(x))f(x) g(x)g(x + ) ) = 53 Elementariu išvestinės Naudodamiesi išvestinės apibrėžimu suskaičiuosime elementariu išvestines 59
Visu pirma pastebėsime, kad konstantos išvestinė yra lygi nuliui Turime, y = c Skaičiuokime y 0 = c c 0 = 0 0 = 0 Apskaičiuokime funkcijos y = sin x išvestine y 0 = sin(x + ) sin x = 0 0 cos(x + 2 )sin ( 2 ) = cos x Skaitytojui siūlome i rodyti, kad (cos x) = sin x Beje, i rodymas analogiškas paskutinia jam Panagrinėkime funkcija y = tgx = sin x/ cos x Šios funkcijos išvestine (apibrėžimo srityje) skaičiuosime remdamiesi santykio išvestinės formule Turime: 2 (tgx) = (sin x) cos x (cos x) sin x cos 2 x = 1 cos 2 x Visiškai analogiškai skaičiuojant nesunku parodyti, kad (ctgx) = 1/( sin 2 x) Nagrinėsime funkcija y = log a x Turime, kad y 0 = log a (x + ) log a x = 0 0 1 x log a ( ) x/ 1 1 + = x x log a e 1 x log a ( ) 1 + Tuo atveju, kai a = e gauname, kad (ln x) = 1/x Rasime arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg c ir a x išvestines, remdamiesi 51 Teorema Apskaičiuokime funkcijos y = arccosx išvestine Ši funkcija apibrėžta intervale [ 1, 1] ir šiame intervale ji turi atvirkštine funkcija x = sin y Intervale ( π/2, π/2) funkcija sin y tenkina visas 51 teoremos sa lygas, todėl jos atvirkštinė funkcija y = arccos x taip pat turi išvestine, bet kokiame intervalo ( 1, 1) taške, kuri skaičiuojama taip: (arcsin x) = x 1 (sin y) = 1 cos y = 1 1 sin 2 y = 1 1 x 2 Skaitytojas, samprotaudamas analogiškai, nesunkiai i rodys, kad (arccos x) = 1 1 x 2 x Apskaičiuokime funkcijos y = arctg x išvestine Ši funkcija apibrėžta aibėje R yra atvirkštinė funkcijai x = tgy, apibrėžtai intervale y ( π/2, π/2) Kadangi funkcija x = tg y tenkina visas 51 teoremos sa lygas, tai (arctg x) = 1 (tg y) = cos2 y = 60 1 1 + tg 2 y = 1 1 + x 2
Skaitytojui paliekame i rodyti, kad (arcctg x) = 1 1 + x 2 Apskaičiuokime funkcijos y = a x išvestine Žinome, kad rodiklinė funkcija y = ax yra apibrėžta realiu skaičiu aibėje ir atvirkštinė funkcijai x = log a y, apibrėžtai ir tolydžiai aibėje y > 0 Vadinasi funkcija y = a x tenkina 51 teoremos sa lygas, todėl jos išvestine skaičiuojame taip: (a x ) = 1 (log a y) = 1 1 y log a e = y log a e = ax ln a Jei a = e, tai (e x ) = e x Naudodamiesi 52 teorema apskaičiuokime funkcijos y = x α išvestine, kai α R Jei nekeliame papildomu apribojimu laipsniui α, tai tada šios funkcijos apibrėžimo aibė yra x > 0 Todėl ( x α ) = ( e α ln x ) = α 1 x xα = αx α 1 Pateiksime elementariu išvestiniu lentele 1 (x α ) = αx α 1 2 (log a x) = 1 x ln a 3 (a x ) = a x ln a 4 (sin x) = cos x 5 (cos x) = sin x 6 (tgx) = 1 cos 2 x 7 (ctgx) = 1 sin 2 x 8 (arcsinx) = 1 1 x 2 9 (arccosx) = 1 1 x 2 10 (arctgx) = 1 1+x 2 11 (arcctgx) = 1 1+x 2 Užrašykime, tuo pačiu, apibendrinta lentele, kai funkcija yra sudėtinė; 1 ((f(x)) α ) = α(f(x)) α 1 f (x) 2 (log a f(x)) 1 = f(x) ln a f (x) 3 (a f(x) ) = a f(x) ln af (x) 4 (sin f(x)) = f (x) cos f(x) 5 (cos f(x)) = f (x) sin f(x) 6 (tgf(x)) = f (x) cos 2 f(x) 7 (ctgf(x)) = f (x) sin 2 f(x) f (x) 8 (arcsinf(x)) = 1 (f(x)) 2 9 (arccosf(x)) = f (x) 1 (f(x)) 2 10 (arctgf(x)) = f (x) 1+(f(x)) 2 11 (arcctgf(x)) = f (x) 1+(f(x)) 2 61
Pastaba Aptarkime, kaip rasti sudėtinės funkcijos y = ( ) g(x) f(x) išvestine Visu pirma logaritmuojame šia funkcija Gauname ( ln y = g(x) ln ( f(x) )) Skaičiuojame abie reiškinio pusiu išvestine Turime, kad Raskime funkcijos y ( y = g (x) ln ( f(x) )) ( + g(x) ln ( f(x) )) y = ( ) x ln x išvestine Logaritmuodami abi šio reiškinio lygybės puses ir skaičiuodami abie lygybės pusiu išvestines gauname Tada ln y = x ln ln x, y = y (ln ln x + ir y y = x ln ln x + x(ln ln x) x x ln x ), arba y = ( ln x ) ( x ln ln x + 1 ) ln x 54 Aukštesniu eiliu išvestinės Tarkime, kad funkcija y = f(x) yra tolydi ir be to turi išvestine taške x Jei funkcija y = f (x) turi išvestine taške x, tai šia išvestine vadinsime funkcijos y = f(x) antra ja išvestine ir žymėsime y = y (2) = ( f (x) ) Tarkime, kad egzistuoja funkcijos y = f(x) n 1 oji išvestinė taške x Tada funkcijos ( f (n 1) (x) ) išvestine vadinsime funkcijos y = f(x) n a ja išvestine ir žymėsime y (n) = f (n) (x) Kai kuriu n os eilės išvestines gaa skaičiuoti naudojant rekurentines formules Panagrinėkime funkcija y = x α Turime, kad f (x) = (x α ) = αx α 1 Tada f (2) (x) = (α 1)αx α 2 Nesunku suprasti, kad f (n) (x) = (α n + 1) (α 1)x α n Suskaičiuokime funkcijos y = sin x n a ja išvestine Turime, kad y = cos x išvestines paeiliui gauname: Skaičiuodami y (2) = sin x, y (3) = cos x, y (4) = sin x Tada, y (5) = cos x, ir tt Matome, kad 4 oji išvestinė yra lygi pradinei funkcijai ir tt Tad apibendrindami gae rašyti: y (n) = sin(x + π 2 n) 62
Samprotaudami visiškai analogiškai gae parodyti, kad y (n) = cos(x + π 2 n) Suskaičiuokime funkcijos y = ln x n a ja išvestine Turime, kad Nesunku suprasti, kad y = 1/x Tada y (2) = 1/x 2 y (n) = ( 1) n 1 (n 1)! 1 x n Nagrinėsime funkcija y = e x Šios funkcijos pirmoji išvestinė lygi pradinei funkcijai Todėl ir bet kuri aukštesnės eilės išvestinė lygi pradinei funkcijai Taigi, y (n) = e x Tarkime, kad f(x) = u(x) + v(x) Aišku, kad f (n) (x) = u (n) (x) + v (n) (x) Tegu g(x) = u(x) v(x) Tada teisinga Leibnico formulė sumos n a jai išvestinei skaičiuoti Būtent: g (n) (x) = (uv) (n) = u (n) v + C 1 nu n 1 v (1) + C 2 nu (n 2) v (2) + uv (n) Pastebėsime, kad Leibnico formulės dešinioji pusė sutampa su reiškinio (u+v) n binominiu dėstiniu, tik Leibnico formulėje vietoje u ir v laipsniu parašytos atitinkamu eiliu išvestinės I rodymas irgi analogiškas binomo formulės i rodymui, ty i rodydami naudojame indukcijos metoda Tai atlikti siūlome pačiam skaitytojui Pateikėme keliu klasikiniu, aukštesniu išvestiniu skaičiavimo, rekurentines formules Deja, paprastai norint rasti aukštesniu eiliu išvestines, tenka iš eilės skaičiuoti visas išvestines 55 Funkcijos diferencialas Apibrėžimas Sakysime, kad funkcija y = f(x) yra diferencijuojama taške x, jei funkcijos pokyti y, taške x, atitinkanti argumento pokyti, gaa išreikšti šitaip: y = A + α, čia A koks nors skaičius, nepriklausantis nuo, o α nykstanti funkcija, kai 0 54 Teorema Funkcija y = f(x) yra diferencijuojama taške x tada ir tik tada, kai funkcija šiame taške turi baigtine išvestine Tarkime, kad funkcija y = f(x) yra diferencijuojama taške x Laikome, kad pokytis 0 Tada, remdamiesi diferencijuojamumo apibrėžimu gae užrašyti, kad Iš paskutiniosios lygybės išplaukia, kad y = A + α y 0 = A = f (x) I rodykime atvirkštini teigini Ty, tarkime, kad funkcija y = f(x) taške x turi išvestine, ty egzistuoja ribinė reikšmė y 0 = f (x) 63
Remdamiesi ribos apibrėžimu, pastara ja ribine lygybe gae perrašyti taip: y = f (x) + α, čia α yra nykstamas dydis, kai 0 Pažymėje f (x) = A(x), pastebėsime, kad f (x) nepriklauso nuo, taigi, funkcija yra diferencijuojama Remdamiesi pastara ja teorema gae tvirtinti, kad diferencijuojamumas ir išvestinės egzistavimas yra ekvivalenčios sa vokos Taigi, gae tvirtinti, kad diferencijuojama, taške x, funkcija yra tolydi Tarkime, kad funkcija yra diferencijuojama Pastebėkime, kad jei funkcija diferencijuojama taške x, tai ja gae išreikšti dvie dėmenu suma: pirmasis dėmuo A, kai A 0, yra argumento pokyčio funkcija, kuri yra tiesinė atžvilgiu (pirmojo laipsnio atžvilgiu), nes A nepriklauso nuo taigi, yra tos pat eilės nykstama funkcija kaip ir Tuo tarpu antrasis diferencijuojamos funkcijos pokyčio narys yra aukštesnės eilės, negu, nykstama funkcija, ty α()/ 0, kai 0 Funkcijos pokyčio, taške x, tiesine dali, atžvilgiu, vadinsime funkcijos diferencialu taške x, atitinkančiu argumento pokyti Funkcijos diferenciala žymėsime 51 pav dy = A Tuo atveju, kai A = 0, tai laikysime, kad funkcijos diferencialas yra lygus 0 Turėdami omenyje, kad A = f (x) ir pažymėje argumento pokyti dx =, funkcijos diferenciala gae perrašyti taip: dy = f (x)dx Bet tada f (x) = dy dx Kokia diferencialo geometrinė prasmė? Panagrinėkime funkcijos y = f(x) grafika (žr 51 pav) Tarkime, kad taško M abscisė x, o taško P abscisė yra lygi x + Be to, laikome, kad liestinei priklauso taškai M, S Tarkime, kad atkarpa MN yra lygiagreti abscisiu ašiai, o atkarpa P N lygiagreti ordinačiu ašiai Brėžinyje matyti, kad taškas Q, yra liestinės MS susikirtimo su atkarpa P N taškas Tuo tarpu pokytis y yra lygus atkarpos N P ilgiui Be to, diferencialas dy lygus atkarpos N Q ilgiui Beje, matome, kad diferencialas skiriasi nuo funkcijos pokyčio Atkarpa P Q yra nykstamas dydis, priklausantis nuo 56 Diferencialo formos invariantiškumas Parodysime, kad diferencialo forma dy = f (x)dx 64
yra universali Ty, ji nepriklauso nuo to ar argumentas nepriklausomas kintamasis ar yra kokio nors kintamojo, tarkime t, funkcija Tarkime, kad funkcija y = f(x) yra diferencijuojama taške x funkcija, kurios argumentas, kintamojo t funkcija, x = ψ(t) Remdamiesi sudėtinės funkcijos išvestinės teorema turime, kad y = f (x)ψ (t) t laikykime nepriklausomu kintamuoju Tada x = ψ(t) ir y = f(ψ(t)) išvestinės, t atžvilgiu, yra tokios ψ (t) = dx dt, y = ( f(ψ(t)) ) dy = dt Bet tuomet iš paskutiniu lygybiu išplaukia, kad Pastara ja lygybe padaugine iš dt gauname, kad dy dt = f (x) dx dt dy = f (x)dx Taigi, gauname, kad nepriklausomai nuo to ar funkcija sudėtinė ar ne, diferencialo forma yra ta pati 57 Diferencialu skaičiavimo taisyklės Aukštesniu eiliu diferencialai Tarkime, kad u = u(x), v = v(x) Tada ( u ) vdu udv d(u ± v) = du ± dv, d(uv) = vdu + udv, d = v v 2 I rodykime antra ja lygybe Remdamiesi diferencialo apibrėžimu, randame d(uv) = (uv) dx = (u v + uv )dx = u dxv + uv dx = vdu + udv Likusias diferencialo skaičiavimo taisykles siūlome skaitytojui i rodyti pačiam Naudodamiesi elementariu išvestiniu lentele, sudarykime šiu diferencialu lentele 1 d(x α ) = αx α 1 dx 2 d(log a x) = 1 x ln a dx 3 d(a x ) = a x ln adx 4 d(sin x) = cos xdx 5 d(cos x) = sin xdx 6 d(tgx) = dx cos 2 x 7 d(ctgx) = dx sin 2 x 1 x 2 8 d(arcsinx) = dx 9 d(arccosx) = dx 1 x 2 10 d(arctgx) = dx 1+x 2 11 d(arcctgx) = dx 1+x 2 65
Tarkime, kad funkcija y = f(x) yra diferencijuojama taško x 0 aplinkoje Tada šios funkcijos diferencialas lygus: dy = y dx Taigi, diferencialas yra dvie dydžiu y ir dx funkcija Tarkime, kad visuose taško x 0 aplinkos taškuose pokytis dx yra tas pat Kitaip tariant, fiksuokime argumento pokyti Esant šioms sa lygoms apibrėžkime šio diferencialo diferenciala : d(dy) = (y dx) dx = y (2) dxdx = f (2) (x 0 )dx 2 Pažymėje d 2 y = d(dy) ir dx 2 = dxdx Paskutinia ja lygybe perrašome taip: d 2 y = f (2) (x 0 )dx 2 Rekurentiniu būdu apibrėžkime ir bet kokios eilės diferenciala Ty y = f(x) n os eilės diferencialu, vadinsime n 1 os eilės diferencialo, diferenciala Trumpai d(d (n 1) y) = d n y = f (n) (x 0 )dx n Paskutiniosios formulės teisinguma skaitytojui siūlome pasitikrinti naudojant indukcijos metoda Papildomas skyrius Tarkime, kad i monėje dirba m darbuoto, kurie per tam tikra laikotarpi pagamina q vienetu produkcijos Suprantama, kad gae laikyti, kad q = q(m) Tarkime, kad r yra pajamos, kurias gauna i monė pardavusi q produkcijos vienetu Tada r = f(m) Tada santykis dr/dm reiškia pajamu kitimo greiti, priklausomai nuo darbuoto skaičiaus Antra vertus, r = pq, čia p produkto vieneto kaina Be to p yra q funkcija p = t(q) Vadinasi, pajamu kitimo greiti gae užrašyti taip: Be to Tokiu būdu arba perraše kitaip turime, kad dr dm = (pq) = p dq dm + q dp dm dp dm = dp dq dq dm dr dm = p dq dm + q dp dq dq dm dr dm = dq ( dp) p + q dm dq Paskutinioji išvestinė yra vadinama ribiniu pajamu produktu (marginal revenue product) Elastingumas Tarkime, kad funkcija y = f(x) yra apibrėžta intervale (a, b) Tarkime, kad taške x funkcija y = f(x) turi išvestine Tada funkcijos y = f(x) elastingumu, kintamojo x atžvilgiu, vadinsime tokia santykio riba : ( y x ) E x (y) = = x 0 y y f (x) Elastinguma gae interpretuoti kaip procentini funkcijos pokyti, argumento reikšmei pakitus vienu procentu Paprastai elastingumui nustatyti naudojami procentiniai skaičiavimai 66
Tarkime, kad y = f(x) yra bendrieji kaštai, atitinkantys produkcijos kieki x Tada kaštu elastingumas E x (y) reiškia bendru kaštu procentini kitima, padidėjus gaminamos produkcijos kiekiui vienu procentu Kadangi f (x) yra ribiniai kaštai, o f(x)/x yra vidutiniai gamybos kaštai, tai elastinguma gae interpretuoti taip: elastingumas yra ribiniu ir vidutiniu kaštu santykis Dažnai, modeliuojant rinkos elgsena svarbu žinoti, kaip reaguoja paklausa i kainos pokyčius Tarkime, kad p yra produkto kaina, o q = f(p) paklausa, kuri yra kainos funkcija Suskaičiave šios funkcijos elastingumo koeficienta gauname, kad E p (q) = p f(p) f (p) Žinome, kad jei funkcija mažėja kokiame nors intervale, tai šiame intervale funkcijos išvestinė yra neigiama Kad išvengti neigiamu skaičiu, paprastai vietoje šio elastingumo koeficiento dažnai yra naudojamas modulis, ty η := E p (q) Šis koeficientas reiškia paklausos procentini kitima, produkto kainai pakitus vienu procentu Laikoma, kad paklausa yra elastinga, jeigu η 1, neelastinga, jeigu η < 1 Uždaviniai 1 Naudodamiesi funkcijos išvestinės apibrėžimu apskaičiuokite nurodytu išvestines: a) y = sin 2 (2x) b) y = x ln(x + 2); c) y = x 2 + 3x + 4; d) e x2 +1 2 Apskaičiuokite pateiktu išvestines: a) y = x + x + x; b) y = sin3 cos 5 (2x + 1) ; c) y = ln 3 (ctg 5 (2x + 1)) (arcctg x); 2 tg (arcos x) d) y = e x + log a sin 2 x + x 4 + 2; e) y = cossin x (2x + 1) ctg (arcos x) f) y = ln (ctg 5 (2x+1)) x (arcctg x) x2 ; g) y = sin cos x x; h) y = ; x ln x (x 2 + 1) ex 3 Apskaičiuokite pateiktu išvestines, nurodydami taškus, kuriuose išvestinės neegzistuoja Taškuose kuriuose išvestinė neegzistuoja, nustatykite ar egzistuoja išvestinės iš kairės arba dešinės a) y = cos x ; b) y = x 2 + 4x 12 ; c) y = arctg x ; x 2, x < 1, d) f(x) = x + 2, 2 x 4 ; e) f(x) = 4 sin πx 4 4 Raskite f (3) (1), kai { 1 x, x < 1, 2x 2 3x + 1, 1 x 4, 25 x, x > 4 a) f(x) = e x2, b) f(x) = (1 + x 2 )arctgx 5 Tarkime, kad duota funkcija f(x) = x 3 2x + 1 Raskite 1) f(1); 2) df(1); ir palyginkite šiuos dydžius, kai argumento pokytis a) = 01, b) = 0001 6 Raskite nurodytu antros eilės diferencialus taške x = 1 : f(x) = ln(x + x 2 + 1); y = cos 2 x x + 1 ; y = ex sin x; y = ln u; y = arctg u, u = u(x), v = v(x) v 67