ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο ειγµατοληψία 6. Βαικές Έννοιες 6. Κατανοµή πιθανότητας ιακριτών τυχαίων 7 µεταβλητών.3 Κατανοµή Πιθανότητας Τυχαίων Συνεχών 8 Μεταβλητών.4 Η επιλογή ενός τυχαίου δείγµατος.4.. Η επιλογή τυχαίου δείγµατος από πεπεραµένο πληθυµό.4.. Η επιλογή ενός τυχαίου δείγµατος από άπειρο πληθυµό.5 Αξιοπιτία του τυχαίου δείγµατος Κεφάλαιο ο Θεωρητικές και Παράγωγες Κατανοµές την δειγµατοληψία 5. Γενικά 5. Κανονική Κατανοµή ή κατανοµή Gu 5.3 Η t - Κατανοµή. 9.4 Η Χ Κατανοµή.5 Η F - Κατανοµή 5 Κεφάλαιο 3 ο Κατανοµές τατιτικών δείγµατος 7 3. Κατανοµή µέης τιµής δείγµατος 7 3. Κατανοµή διαφοράς µέων τιµών δύο δειγµάτων 7 3.3 Κατανοµή διακύµανης δείγµατος 9 3.4 Κατανοµή λόγου διακυµάνεων δύο δειγµάτων 9 3.5 Κατανοµή ποοτού (αναλογίας) δείγµατος 9 3.6 Κατανοµή διαφοράς ποοτών (αναλογιών) δύο δειγµάτων 30

Κεφάλαιο 4 ο Εκτιµητική 3 4. Σηµειακή εκτίµηη µιας άγνωτης παραµέτρου ενός πληθυµού ως προς µια µεταβλητή 4. Σηµειακές εκτιµήτριες της µέης τιµής και της διακύµανης ενός πληθυµού ως προς µια µεταβλητή 4.3 ιάτηµα εµπιτούνης της παραµέτρου Θ ενός πληθυµού. 4.4 Εκτίµηη διατήµατος εµπιτούνης της µέης τιµής µ πληθυµού. 4.4. Μεγάλο ή µικρό δείγµα. Κανονικός πληθυµός. Γνωτή η διαπορά του πληθυµού 4.4. είγµα µεγάλο. Μη κανονικός πληθυµός. Η ιαπορά του πληθυµού γνωτή ή άγνωτη. 4.4.3 είγµα µικρό. Κανονικός πληθυµός. Η διαπορά του πληθυµού άγνωτη. 4.5 Εκτίµηη διατήµατος εµπιτούνης της διαφοράς των µέων τιµών δύο πληθυµών. 4.5. είγµατα ανεξάρτητα µεγάλα, πληθυµιακές διαπορές, γνωτές ή άγνωτες 4.5. είγµατα µικρά ανεξάρτητα, κανονικοί πληθυµοί µε άγνωτες αλλά ίες διαπορές = = 4.5.3 είγµατα µικρά ανεξάρτητα, κανονικοί πληθυµοί µε άγνωτες και διαφορετικές διαπορές. 4.5.4 είγµατα µικρά εξαρτηµένα (ζευγαρωτές παρατηρήεις), κανονικοί πληθυµοί. 4.6 Εκτίµηη διατήµατος εµπιτούνης για την διακύµανη του πληθυµού 4.7 Εκτίµηη διατήµατος εµπιτούνης για τον λόγο των διακυµάνεων δύο πληθυµών 4.8 Εκτίµηη διατήµατος εµπιτούνης αναλογίας ε πληθυµό. 4.9 Εκτίµηη διατήµατος εµπιτούνης για τη διαφορά των αναλογιών τοιχείων δύο πληθυµών Κεφάλαιο 5 ο Έλεγχοι υποθέεων 60 5. Γενικά 60 5. Σφάλµατα τάθµη ηµαντικότητας περιοχή 6 απόρριψης της Η 0 5.3 Έλεγχοι υποθέεων 64 5.3. Έλεγχος υπόθεης για τη µέη τιµή του πληθυµού 64 5.3.. Έλεγχος υπόθεης για τη µέη τιµή του πληθυµού (όταν 30 και η διαπορά του πληθυµού να είναι γνωτή ή άγνωτη). 64 3 3 34 35 35 39 40 45 45 46 47 5 54 55 57 58 3

5.3.. Έλεγχος υπόθεης για τη µέη τιµή του πληθυµού (όταν <30 και η διαπορά του πληθυµού να είναι άγνωτη) 5.3. Έλεγχος υπόθεης για τη διαφορά των µέων τιµών µ, µ δύο πληθυµών 5.3.. Έλεγχος υπόθεης για τη διαφορά των µέων τιµών δύο πληθυµών (δείγµατα µεγάλα ανεξάρτητα, διαπορές γνωτές ή άγνωτες) 5.3.. Έλεγχος υπόθεης για τη διαφορά των µέων τιµών δύο πληθυµών (δείγµατα µικρά ανεξάρτητα, διαπορές άγνωτες και ίες) 5.3..3 Έλεγχος υπόθεης για τη διαφορά των µέων τιµών δύο πληθυµών (δείγµατα µικρά ανεξάρτητα, διαπορές άγνωτες και διαφορετικές) 5.3..4 Έλεγχος υπόθεης για τη διαφορά των µέων τιµών δύο πληθυµών (δείγµατα µικρά εξαρτηµένα) 5.4 Έλεγχος υπόθεης για τη διαπορά ενός πληθυµού 5.5 Έλεγχος υπόθεης για το λόγο των διαπορών 80 δύο πληθυµών 5.6 Έλεγχος υπόθεης για το ποοτό των 83 τοιχείων ενός πληθυµού 5.7 Έλεγχος υπόθεης για τη διαφορά των 85 ποοτών των τοιχείων δύο πληθυµών 5.8 Έλεγχος υπόθεης και διάτηµα εµπιτούνης 87 Κεφάλαιο 6 ο Απλή Παλινδρόµηη 88 6. Παλινδρόµηη 88 6. Απλή ευθύγραµµη Παλινδρόµηη 89 6.3 Καµπυλόγραµµη Παλινδρόµηη 90 6.4 Άλλες µορφές µη γραµµικών εξιώεων 93 6.5 Πολυµεταβλητή Παλινδρόµηη 93 6.6 Πολυµεταβλητή καµπυλόγραµµη παλινδρόµηη 94 6.7 Ο βαθµός υχέτιης 94 6.8 Το φάλµα εκτίµηης της εξαρτηµένης µεταβλητής y 6.9 Ο υντελετής υχέτιης 98 65 68 68 7 73 76 78 96 4

6.0 Ο υντελετής προδιοριµού γραµµικής 00 παλινδρόµηης 6. Ο υντελετής παλινδρόµηης µη γραµµικής (καµπυλόγραµµης) παλινδρόµηης 6. Έλεγχος τατιτικής ηµαντικότητας του 00 0 υντελετή 6.3 Έλεγχος τατιτικής ηµαντικότητας της 0 διαφοράς µεταξύ των δύο υντελετών υχέτιης υχέτιης Ακήεις Γεωργικού Πειραµατιµού 03 Βιβλιογραφία 7 5

ειγµατοληψία Κεφάλαιο ο.. Βαικές Έννοιες είγµα: Ένα γνήιο υπούνολο των τοιχείων του πληθυµού ή των τιµών της µεταβλητής. ειγµατοληψία: Η διαδικαία λήψης ενός δείγµατος, δηλαδή ενός µέρους του υνόλου των πληροφοριών που µας ενδιαφέρουν. Η ευρεία χρήη των δειγµατοληψιών την µελέτη των πληθυµών αποδίδεται τους εξής λόγους: Η µεγάλη χρονική διάρκεια λήψης δεδοµένων από έναν πληθυµό καθιτά τα τοιχεία που έχουν ληφθεί να µην ανταποκρίνονται την πραγµατικότητα Τα φάλµατα µέτρηης και επεξεργαίας αυξάνουν µε τον αριθµό των παρατηρήεων µε αποτέλεµα οι επιπλέον πληροφορίες να µην δίνουν την πραγµατική εικόνα του πληθυµού. εν είναι δυνατή η χρήη της απογραφής όταν η παρατήρηη υνεπάγεται την κατατροφή της εξεταζόµενης µονάδας. 6

Το κότος παρατήρηης ε περίπτωη πληθυµών είναι ιδιαίτερα υψηλό. Η δειγµατοληψία παρέχει πολλές πληροφορίες και ε ιδιαίτερα χαµηλό κότος υπό τον όρο ότι το δείγµα είναι αντιπροωπευτικό. Ένα δείγµα είναι αντιπροωπευτικό όταν το κάθε τοιχείο του πληθυµού έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί ως τοιχείο του δείγµατος. Η εξαγωγή υµπεραµάτων για τα χαρακτηριτικά του δείγµατος µε δεδοµένη την γνώη των χαρακτηριτικών του πληθυµού και µέω µαθηµατικής υλλογιτικής αποτελεί την απαγωγική υµπεραµατική Η δε αντίτροφή διαδικαία δηλαδή η εξαγωγή υµπεραµάτων για το ύνολο µε δεδοµένη τη γνώη για το υπούνολο αποτελεί την επαγωγική τατιτική. Τυχαία µεταβλητή ορίζουµε µία υνάρτηη Χ έτι ώτε ε κάθε τοιχείο του δειγµατικού χώρου να αντιτοιχεί ένας πραγµατικός αριθµός Χ()... Κατανοµή πιθανότητας ιακριτών τυχαίων µεταβλητών Αν Χ είναι µία διακριτή τυχαία µεταβλητή τότε η υνάρτηη µάζας πιθανότητας ή η υνάρτηη πιθανότητας ή κατανοµή πιθανοτήτων της Χ είναι η υνάρτηη η οποία ε κάθε τιµή x i της X αντιτοιχεί 7

την πιθανότητα εµφάνιης της τιµής x i δηλαδή την P x ) P( X = x ) ( i i και ικανοποιεί τις υνθήκες: P( x ) 0 x i i P( x ) = i i Αθροιτική υνάρτηη πυκνότητας F της τυχαίας µεταβλητής Χ είναι η υνάρτηη που αντιτοιχεί ε κάθε τιµή x i της Χ την αθροιτική πιθανότητα: F( xi ) = P( X xi ) Βαικές ιδιότητες αυτής είναι οι εξής: Ι) 0 F( x i ) xi ΙΙ) Αν x < x τότε F( x F ( x ) ) xi.3. Κατανοµή Πιθανότητας Τυχαίων Συνεχών Μεταβλητών Αν X είναι µία τυχαία υνεχής µεταβλητή τότε η υνάρτηη f(x) ονοµάζεται υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας ή απλώς υνάρτηη πυκνότητας της Χ και ορίζουµε ότι: ιχύουν δε τα εξής: ι) f ( x) 0 x (, ) ιι) f ( x) dx = P( x < x < x ) = f ( x) dx x x 8

Η αθροιτική υνάρτηη πιθανότητας F(x) ή υνάρτηη κατανοµής µιας υνεχούς τυχαίας µεταβλητής χ ορίζεται ως: x F ( x) = P( X x) = f ( t) dt Βαικές ιδιότητες αυτής είναι οι εξής: lim F( x) = 0 x x f ( x) = και P( x d dx και lim F( x) = < x, F( x ) F( x ) F( x) αφούf( x) = x x ) = P( X x + x f ( t) x ) P( X x ) = F( x ) F( x ) Η κατανοµή πιθανοτήτων µιας τυχαίας µεταβλητής ονοµάζεται κατανοµή πληθυµού. Οι δε παράµετροι της Χ ονοµάζονται παράµετροι του πληθυµού. Αν Χ µία τυχαία µεταβλητή µε οριµένη κατανοµή πιθανοτήτων και Χ,Χ,Χ 3,.,Χ ν ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές κάθε µία από τις οποίες έχει την ίδια κατανοµή πιθανοτήτων µε την Χ τότε Χ,Χ,Χ 3,.,Χ ν ονοµάζονται τυχαίο δείγµα µεγέθους ν από την µεταβλητή Χ. Μία τιµή του δείγµατος υµβολίζεται µε Χ,Χ,Χ 3,..,Χ ν και ονοµάζεται δειγµατικό ηµείο αφού οι τιµές µπορούν να θεωρηθούν ως οι υντεταγµένες ενός ηµείου τον ν-διάτατο Ευκλείδειο χώρο. 9

Στην περίπτωη υνεχών µεταβλητών µε υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας την f x (x) η κοινή υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας θα δίνεται από την χέη: h ( x, x,... x ) = f x ( x) f x ( x ),... f ( x x Σε περίπτωη διακριτών µεταβλητών µε υνάρτηη µάζας πιθανότητας P x (x), τότε η κοινή υνάρτηη πιθανότητας θα δίνεται από την χέη: P ( X = x, X = x,... X = x ) = Px ( x ) Px ( x )... Px ( x ) Η κοινή υνάρτηη πιθανότητας παρέχει την πιθανότητα να προκύψουν οι τιµές του δείγµατος µε µία οριµένη ειρά. Για τον οριµό ενός τυχαίου δείγµατος απαιτείται µία τυχαία µεταβλητή Χ. Αν αυτό γίνει για ένα τυχαίο πείραµα το οποίο επαναλαµβάνεται άπειρες φορές τότε τατιτικό πληθυµό αποτελούν οι τιµές του Χ ε όλες τις επαναλήψεις (ο αριθµός αυτός είναι άπειρος). Για πεπεραµένο αριθµό τοιχείων µε δεδοµένο ότι το χαρακτηριτικό οµαδοποιείται ε οριµένη κατανοµή χετικών υχνοτήτων τότε µε τυχαία λήψη ειάγεται και η τυχαιότητα την Χ µε αποτέλεµα η κατανοµή χετικών υχνοτήτων να είναι η κατανοµή πιθανοτήτων της Χ. Βαικά χαρακτηριτικά που πρέπει να πληροί µία διαδικαία δειγµατοληψίας για να θεωρηθεί τυχαίο δείγµα είναι τα εξής: ) 0

Κάθε δυνατό δείγµα ν τοιχείων θα πρέπει να έχει την ίδια πιθανότητα να ληφθεί Οι λήψεις των τοιχείων να είναι ανεξάρτητες Η κατανοµή του πληθυµού να είναι η ίδια ε κάθε λήψη.4. Η επιλογή ενός τυχαίου δείγµατος.4.. Η επιλογή τυχαίου δείγµατος από πεπεραµένο πληθυµό ειγµατοληψία χωρίς επανατοποθέτηη. Οι λήψεις των τοιχείων είναι ανεξάρτητες. Η δειγµατοληψία αυτή χρηιµοποιείται όταν θέλουµε να πάρουµε µία επιπλέον πληροφορία από ένα τοιχείο που δεν έχει ήδη ληφθεί. Όταν το µέγεθος του πληθυµού είναι µεγάλο παίρνουµε πίνακες και επιλέγουµε µε τυχαίο τρόπο τοιχεία αυτού. Όταν είναι µικρό και τα τοιχεία µπορούν να αριθµηθούν βάζουµε π.χ. αριθµηµένα χαρτάκια ε ένα καπέλο τα αριθµούµε και επιλέγουµε τυχαία κάθε φορά ένα χαρτάκι. εν αποτελούν τυχαίο δείγµα ενός πληθυµού όταν για παράδειγµα τεκόµατε ε ένα πολυύχνατο ηµείο ενός δρόµου και ρωτάµε τους περατικούς για ένα δεδοµένο χρονικό διάτηµα.

.4.. Η επιλογή ενός τυχαίου δείγµατος από άπειρο πληθυµό Πρόκειται για µία θεωρητική κατακευή την οποία θεωρούµε πως ένα οριµένο πείραµα τύχης επαναλαµβάνεται απεριόριτα κάτω από τις ίδιες βαικές υνθήκες οπότε έχουµε ένα άπειρο πληθυµό δυνατών αποτελεµάτων. Εποµένως αν Χ είναι µία τυχαία µεταβλητή που ορίζεται για το πείραµα αυτό, το τυχαίο δείγµα µεγέθους ν από την Χ αντιτοιχεί ε ν επαναληπτικές µετρήεις της Χ που γίνονται κάτω από τις ίδιες βαικές υνθήκες και το αποτέλεµα της µιας δεν επηρεάζεται από τις άλλες..5. Αξιοπιτία του τυχαίου δείγµατος Βαικό χαρακτηριτικό του δείγµατος πρέπει να είναι η αντιπροωπευτικότητα του, δηλαδή να αποτελούν µία µικρογραφία του πληθυµού. Στόχος των µεθόδων της δειγµατοληψίας είναι η αύξηη της αντιπροωπευτικότητας του δείγµατος. Στην περίπτωη που από ένα πληθυµό λαµβάνεται ένα τυχαίο δείγµα η πιθανότητα να προκύψει ένα µη αντιπροωπευτικό δείγµα είναι µικρή και µετρήιµη.

Η δε τυχαία δειγµατοληψία προτατεύει τους ερευνητές από ένα µη αντιπροωπευτικό δείγµα αλλά µόνο πιθανοκρατικά. Σφάλµα δειγµατοληψίας: Η διαφορά µεταξύ της εκτίµηης µιας παραµέτρου του πληθυµού που προκύπτει από τις παρατηρήεις αυτής και της πραγµατικής τιµής της παραµέτρου αποτελεί φάλµα δειγµατοληψίας. Η δε πιθανότητα να εµφανιθεί η διαφορά αυτή είναι θετική. Η ύπαρξη της διαφοράς αυτής οφείλεται το ότι δεν εξετάζουµε ολόκληρο τον πληθυµό αλλά µόνο µέρος αυτού. Όταν η διαφορά µεταξύ της πραγµατικής τιµής της παραµέτρου και της εκτίµηης αυτής αποδίδεται ε ατέλειες την διαδικαία υλλογής των παρατηρήεων του δείγµατος αποτελεί υτηµατικό φάλµα δειγµατοληψίας. Ειδικότερα φάλµα δειγµατοληψίας µπορεί να προκληθεί τις ακόλουθες περιπτώεις: Όταν το ερωτηµατολόγιο µε το οποίο υλλέγονται οι πληροφορίες περιλαµβάνει κακοδιατυπωµένες ερωτήεις Όταν η υλλογή των τοιχείων γίνεται από µη ειδικευµένο προωπικό Όταν αγνοούνται τα άτοµα που αρνούνται να απαντήουν. Τα άτοµα µε υψηλότερο επίπεδο εκπαίδευης έχουν την τάη να απαντούν ενώ τα άτοµα µε χαµηλό ειόδηµα και επίπεδο εκπαίδευης αρνούνται να απαντήουν ε ερωτηµατολόγια µε 3

αποτέλεµα το δείγµα να µην είναι αντιπροωπευτικό όλων των κατηγοριών του πληθυµού. Όταν η επιλογή γίνεται από ένα πλαίιο δηλαδή µία εύχρητη καταχώρηη τοιχείων του πληθυµού το οποίο µπορεί να µην περιλαµβάνει οριµένες κατηγορίες πληθυµού. Το µέγεθος του φάλµατος είναι υνάρτηη του ποοτού των ατόµων του πληθυµού που δεν είναι τον κατάλογο Συτηµατικό φάλµα ειάγεται όταν η δειγµατοληψία δεν γίνεται µε τυχαίο τρόπο αλλά µε την κρίη του ερευνητή ή όταν επιχειρείται τυχαία δειγµατοληψία χωρίς να ικανοποιούνται οι υνθήκες της. Κάθε πραγµατική υνάρτηη των τιµών του δείγµατος αποτελεί τατιτικό του δείγµατος. Παράδειγµα τατιτικών αποτελεί ο δειγµατικός µέος = x i= x i / και η δειγµατική διακύµανη = ( x x) /( ). Εποµένως το τατιτικό ως υνάρτηη τυχαίων µεταβλητών είναι τυχαία µεταβλητή η κατανοµή της οποίας ονοµάζεται κατανοµή δειγµατοληψίας. i 4

Το τατιτικό που χρηιµοποιείται για την εκτίµηη µιας άγνωτης παραµέτρου του πληθυµού ονοµάζεται εκτιµητής και µία οριµένη τιµή αυτού ονοµάζεται εκτίµηη. 5

Κεφάλαιο ο Θεωρητικές και Παράγωγες Κατανοµές την δειγµατοληψία.. Γενικά Μεταβλητή: Κάθε χαρακτηριτικό το οποίο µπορεί να µετρηθεί. Τιµές της µεταβλητής είναι οι ατοµικές µετρήεις της µεταβλητής. Παράµετρος: Η τιµή ενός χαρακτηριτικού που πρέπει να εκτιµηθεί µε τη χρήη µέρους του πληθυµού το οποίο καλείται δείγµα. Στατιτικές: Οι ποότητες που προδιορίζουν το δείγµα. Κατανοµές Συχνότητας: Αποδίδει τον τρόπο µε τον οποίο κατανέµονται οι παρατηρήεις... Κανονική Κατανοµή ή κατανοµή Gu Περιγραφή της Κανονικής Κατανοµής Η Κανονική Κατανοµή της πιθανότητας των τιµών της τυχαίας µεταβλητής Χ απεικονίζεται γραφικά µε τη µορφή κωδωνοειδούς καµπύλης η οποία φανερώνει την υχνή εµφάνιη των µεαίων τιµών της Χ και την προοδευτική ελάττωη της υχνότητας εµφάνιης των ακραίων τιµών της Χ. Ιχύουν οι ακόλουθες χέεις την κανονική κατανοµή: 6

P(Ζ P(Ζ z o ) = Φ(z 0 ) z 0 ) = - P(Ζ z o ) = - Φ(z 0 ) P(z Ζ z ) = Φ(z ) - Φ(z ) Σχήµα : Χ ~ Ν(0,).Τυποποιηµένη Κανονική Κατανοµή και η αντίτοιχή της Κανονική Κατανοµή Ν(µ =3, = ) Εφαρµογή της κανονικής κατανοµής (ενδεικτικές αναφορές) Χρήη της κανονικής κατανοµής γίνεται για να ελεγχθεί αν µία τιµή προέρχεται από έναν πληθυµό. Με φάλµα α δίνεται η απόταη θέη της τιµής x µιας µεταβλητής Χ από το µέο όρο µ του πληθυµού των τιµών της Χ, που θεωρούµε ότι κατανέµονται κανονικά, εκφραµένη ε αριθµό τυπικών αποκλίεων του πληθυµού µέω της χέης: 7

Το z x = µ - z ή x = µ + z x x α Κριτήριο. Υπολογίζει την πιθανότητα προς τις δύο πλευρές της καµπύλης ώτε το φάλµα α να αποτελείται κατά το µιό από τις µεγαλύτερες θετικές τιµές και το άλλο µιό από τις µεγαλύτερες αρνητικές τιµές. Άρα η εκτίµηη του χώρου µεταξύ των δύο ηµείων δίνει το ποοτό των τιµών που περιέχονται ανάµεα ε δύο ηµεία, δηλαδή την πιθανότητα που υπάρχει µία τιµή να περιλαµβάνεται µεταξύ των ηµείων αυτών. Πολλές φορές δίνεται η πιθανότητα µεταξύ ενός ηµείου και µέχρι το άκρο της κατανοµής, δίνεται δηλαδή η πιθανότητα που υπάρχει µία τιµή να είναι µεγαλύτερη ή µικρότερη του ηµείου αυτού. Με την υγκεκριµένη πιθανότητα φάλµατος α λαµβάνουµε τα όρια εµπιτούνης ( x - z, + z x ) του µέου µ του x πληθυµού. Tότε το x δεν προέρχεται από τον εν λόγω πληθυµό µε φάλµα α αν βρίκεται εκτός του διατήµατος (x - z, x + x x z ). Όπου = x x το τυπικό φάλµα (τυπική απόκλιη) των µέων όρων των µεγάλων δειγµάτων από τον πληθυµό. Η ποότητα z καλείται ελάχιτη ηµαντική διαφορά (ΕΣ ). x 8

Χρήη της κανονικής κατανοµής γίνεται για να εκφραθεί η δειγµατική κατανοµή του µέου µεγάλου µεγέθους x πολλών ίων δειγµάτων Οι δειγµατικές µέες τιµές πολλών µεγάλων δειγµάτων x i από ένα πληθυµό δηµιουργούν την µεταβλητή X η οποία ακολουθεί την κανονική κατανοµή Ν(µ, / ) και υνεπώς καταλήγουµε την Τυποποιηµένη Κανονική Κατανοµή Ζ : Z = x µ / Όπου = το τυπικό φάλµα των µέων όρων των µεγάλων χ δειγµάτων: Χρήη της κανονικής κατανοµής γίνεται για να εκφραθεί η δειγµατική κατανοµή της διαφοράς των δύο µέων όρων, δύο µεγάλου µέγεθος δειγµάτων από δύο πληθυµούς αντίτοιχα. 9

Για τη ύγκριη των δύο µέων όρων δύο µεγάλων δειγµάτων γίνεται χρήη της τυχαίας µεταβλητής Ζ η οποία ακολουθεί την τυπική κανονική κατανοµή: Z = x x + Όπου d = + το τυπικό φάλµα της διαφοράς των δύο µέων όρων των µεγάλων δειγµάτων..3. Η t - Κατανοµή. Περιγραφή της t Κατανοµής Η t Κατανοµή παρουιάζει τις µορφές του παρακάτω χήµατος, όπου ν (ν = ) oι βαθµοί ελευθερίας του δείγµατος µεγέθους, του οποίου µελετάµε την κατανοµή πιθανότητας των τιµών του. N(0,) v = + v= f(t) v=3 v= 0 tν,α t Σχήµα : Η t - tudet Κατανοµή 0

Όταν ο v είναι µεγάλος η κατανοµή t τείνει την τυπική κανονική κατανοµή Ν (0,). Έχουµε την δυνατότητα να πάρουµε από πίνακες τις τιµές t v,α της t για τις οποίες γνωρίζουµε την πιθανότητα: P[t t v,α ] = α. (3) f(t) [ t ] P T = P[ T t = F( t v,α ν, α ) = v, α ] = + 0 t ν,α t Σχήµα 3: Η t - tudet Κατανοµή Επίης πάλι από πίνακες µπορούµε να πάρουµε τις τιµές -t v,α/ και + t v,α/ για τις οποίες γνωρίζουµε την πιθανότητα: P [ t T t ] = v, α / v, α / () f(t) P [ t T t ] v, α / = α v, α / = α/ -t v,α/ 0 t v,α/ + t Σχήµα 4: Η t - tudet Κατανοµή

Εφαρµογή της t κατανοµής (ενδεικτικές αναφορές) Η t κατανοµή εφαρµόζεται την κατανοµή των µέων x δειγµάτων µικρού µεγέθους που προέρχονται από κανονικό πληθυµό Η τυχαία µεταβλητή που χρηιµοποιείται είναι η εξής: t = x µ / ( µε - βαθµούς ελευθερίας). ειγµατική κατανοµή της διαφοράς δύο µέων όρων που αντιτοιχούν ε µικρού µεγέθους δείγµατα τα οποία προέρχονται αντίτοιχα από δύο κανονικούς πληθυµούς Η τυχαία µεταβλητή που χρηιµοποιείται είναι η εξής: t = x x + Όπου d = + το τυπικό φάλµα της διαφοράς των δύο µέων όρων των µικρών δειγµάτων.

.4. Η Χ Κατανοµή Περιγραφή της Χ Κατανοµής Θεωρούµε τις τυχαίες µεταβλητές Χ, Χ,., Χ v που είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους και όπου η κάθε µια µεταβλητή έχει τυπική κανονική κατανοµή Ν(0,). ηµιουργούµε την τυχαία µεταβλητή Χ = Χ + Χ +..+ Χ v. Η τυχαία αυτή µεταβλητή ακολουθεί µια κατανοµή που ονοµάζεται Χ - τετράγωνο κατανοµή ή Χ κατανοµή. Η µορφή της κατανοµής των πιθανοτήτων των τιµών της τυχαίας µεταβλητής Χ που ακολουθεί Χ - κατανοµή παρουιάζεται το χήµα 6 για τους διάφορους βαθµούς ελευθερίας ν. f(x ) ν= v=3 v= v=6 v=0 0 5 0 0 X Σχήµα 6: Η Χ - Κατανοµή Όταν v > 30 η κατανοµή της Χ είναι χεδόν υµµετρική και λέµε ότι τείνει προς την κανονική. ίνονται πίνακες όπου παρουιάζονται οι τιµές οποίες έχουµε την πιθανότητα P[ X x v, α πιθανότητα και v - βαθµοί ελευθερίας γνωτά. ] = α, x v,α της Χ για τις µε α δοµένη 3

f(x ) -α α 0 x x v,α Σχήµα 8: Η x κατανοµή Η αθροιτική υνάρτηη F(x ) εκφράζει το εµβαδόν τµήµατος αριτερά της. x v, του f(x ) F( X ) = P[ X x v,α ] α = F( X ) 0 x x v, Σχήµα 7: Η Χ κατανοµή Επίης δίνονται από πίνακες οι τιµές x, x για τις οποίες µε γνωτή πιθανότητα φάλµατος α έχουµε ότι: P[ x X x v, v, v, α ] = -α α v, 4

Εφαρµογή της Χ κατανοµής (ενδεικτικές αναφορές) Η Χ κατανοµή εφαρµόζεται την: Σύγκριη διακυµάνεως µε γνωτό αριθµό Σύγκριη Συχνοτήτων Οµοιογένεια διωνυµικής ειράς.5. Η F - Κατανοµή Περιγραφή της F Κατανοµής Έτω οι τυχαίες µεταβλητές Χ, Χ που ακολουθούν κατανοµές X / v Χ V, Χ, δηµιουργούµε την τυχαία µεταβλητή Χ = V η οποία X / v ακολουθεί την F Κατανοµή µε δύο βαθµούς ελευθερίας το ν, που είναι ο βαθµός ελευθερίας του αριθµητή και το ν, που είναι ο βαθµός ελευθερίας του παρανοµατή. Υπάρχουν πίνακες που δίνουν τις κριτήριες τιµές F ν,ν ; α, για τις διάφορες τιµές των α, ν, ν, έτι ώτε αν η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί F κατανοµή τότε: Ρ(Χ F ν, ν ;α) = α 5

f(x ) P [ X Fν, ν ; α ] = α -α P X ] α [ Fν, ν ; α = Fν ν ; α, + Σχήµα 0: Η F κατανοµή Επίης δίνονται από πίνακες οι τιµές F ν, ν ; και F ν, ν ;- για τις οποίες έχουµε ότι αν η τυχαία µεταβλητή Χ που ακολουθεί F κατανοµή τότε: Ρ (F ν, ν ;- Χ F ν, ν ; ) = - α Εφαρµογή της F κατανοµής (ενδεικτική αναφορά) Εφαρµόζεται ε τυχαίες µεταβλητές που παράγονται από τον λόγο των διαπορών δύο κανονικών πληθυµών. 6

Κατανοµές τατιτικών δείγµατος Κεφάλαιο 3 ο 3.. Κατανοµή µέης τιµής δείγµατος Αν πάρουµε πολλά τυχαία δείγµατα µεγέθους από ένα πληθυµό τότε προκύπτει η τυχαία µεταβλητή X, από τις τιµές των µέων τιµών των δειγµάτων. Όταν το δείγµα προέρχεται από κανονικό πληθυµό Ν(µ, ) ανεξάρτητα από το µέγεθός του έχουµε ότι η X ακολουθεί κανονική κατανοµή Ν(µ, ), το ίδιο ιχύει και την περίπτωη που το δείγµα δεν προέρχεται από κανονικό πληθυµό αλλά το µέγεθός του είναι µεγάλο 30. Τότε η Ζ = X µ ή Ζ = X µ ακολουθεί τυπική κανονική κατανοµή. Όταν το µέγεθος του δείγµατος είναι µικρό, η διακύµανη του πληθυµού άγνωτη και ο πληθυµός, από όπου προέρχεται το δείγµα, κανονικός τότε η τυχαία µεταβλητή: t = X µ ακολουθεί την t-κατανοµή µε - βαθµούς ελευθερίας. 3.. Κατανοµή διαφοράς µέων τιµών δύο δειγµάτων Αν πάρουµε δύο δείγµατα µεγάλα µεγέθους ν και κ µε µέες τιµές και και διακυµάνεις x y, και οι πληθυµιακές διακυµάνεις είναι, αντίτοιχα τότε έχουµε ότι η µεταβλητή: 7

Ζ = X Y ( µ µ ) + ν κ ακολουθεί Ν(0,). Εφόον οι πληθυµιακές διακυµάνεις είναι άγνωτες αντικαθίτανται από τις δειγµατικές διακυµάνεις, και έχουµε ότι η µεταβλητή: Ζ = X Y ( µ µ + ν κ ) ακολουθεί Ν(0,). Αν πάρουµε δύο δείγµατα µικρά ανεξάρτητα µεγέθους ν και κ µε µέες τιµές x και y και διακυµάνεις, αντίτοιχα προερχόµενα από κανονικούς πληθυµούς µε άγνωτες αλλά ίες διακυµάνεις = = τότε έχουµε ότι η µεταβλητή: t = X Y ( µ µ ) ( ν ) + ( κ ) ν + κ + ν κ ακολουθεί t-κατανοµή µε ν+κ- βαθµούς ελευθερίας Αν πάρουµε δύο δείγµατα µικρά ανεξάρτητα µεγέθους ν και κ µε µέες τιµές και και διακυµάνεις x y, αντίτοιχα προερχόµενα από κανονικούς πληθυµούς µε άγνωτες και διαφορετικές διακυµάνεις τότε έχουµε ότι η µεταβλητή: t = X Y ( µ µ + ν κ ) 8

ακολουθεί t κατανοµή µε βαθµούς ελευθερίας λ = (ν-) όταν ν = κ και λ = ( + ) ν κ ( ) ( ) ν + κ ν κ (τρογγυλεµένο τον πληιέτερο ακέραιο) όταν ν κ 3.3. Κατανοµή διακύµανης δείγµατος Σύµφωνα µε την θεωρία η τυχαία µεταβλητή: X = ( ) ακολουθεί την X κατανοµή µε - βαθµούς ελευθερίας. Ο πληθυµός από όπου πάρθηκε το δείγµα µεγέθους θεωρείται κανονικός µε διαπορά και είναι η δειγµατική διακύµανη. 3.4. Κατανοµή λόγου διακυµάνεων δύο δειγµάτων Σύµφωνα µε την θεωρία αν πάρουµε δύο δείγµατα ανεξάρτητα µεγέθους και m αντίτοιχα µε, τις δειγµατικές διακυµάνεις τους από δύο κανονικούς πληθυµούς µε, τις πληθυµιακές διακυµάνεις, τότε ιχύει ότι η τυχαία µεταβλητή: F = ακολουθεί την F κατανοµή µε - και m- βαθµούς ελευθερίας 9

3.5. Κατανοµή ποοτού (αναλογίας) δείγµατος Αν εκτιµήουµε το ποοτό (αναλογία) p = x των τοιχείων το µεγάλο δείγµα µεγέθους που έχουν κάποιο υγκεκριµένο χαρακτηριτικό, τότε ύµφωνα µε την θεωρία το δειγµατικό ποοτό κατανέµεται κανονικά: ηλαδή η δειγµατική µεταβλητή P, που παράγεται από τις τιµές p, ακολουθεί την κανονική κατανοµή: Ν(P, πληθ p πληθ ( Pπληθ ) ) Όπου P πληθ το πραγµατικό ποοτό τον πληθυµό. Συνεπώς έχουµε ότι η µεταβλητή: Ζ = P P πληθ P ( Pπληθ ) πληθ ακολουθεί την Ν(0,). 3.6. Κατανοµή διαφοράς ποοτών (αναλογιών) δύο δειγµάτων Έτω p = x και p = l y είναι οι δειγµατικές αναλογίες των τοιχείων, που έχουν κάποιο υγκεκριµένο χαρακτηριτικό, δύο δειγµάτων µεγέθους, l από δύο πληθυµούς, όπου οι πραγµατικές αναλογίες είναι αντίτοιχα P πληθ, P πληθ. Τότε έχουµε ότι οι διαφορές των δειγµατικών µεταβλητών P - P ακολουθούν κανονική κατανοµή: Ν(P - P, πληθ πληθ P πληθ ( P πληθ ) P πληθ ( P πληθ ) + ) l 30

Κεφάλαιο 4 ο Εκτιµητική 4.. Σηµειακή εκτίµηη µιας άγνωτης παραµέτρου ενός πληθυµού ως προς µια µεταβλητή. Όπως έχει αναφερθεί µέχρι τώρα για να µελετήουµε ένα µεγάλο πληθυµό ως προς κάποια µεταβλητή Χ καταφεύγουµε την δειγµατοληψία. Λαµβάνουµε ένα δείγµα - τοιχείων του πληθυµού και µελετάµε αυτό ως προς την µεταβλητή Χ. Τα υµπεράµατα που προκύπτουν χαρακτηρίζουν, µέω της επαγωγικής κέψης, και το πληθυµό. Αυτό άλλωτε αποτελεί και τη βαική κέψη της Επαγωγικής Στατιτικής της οποίας ένα από τα πουδαιότερα κεφάλαια είναι αυτό της Εκτιµητικής. Σε κάθε δείγµα προδιορίζονται οι τατιτικές παράµετροι αυτού, όπως είναι η µέη τιµή x, η διακύµανη, η τυπική απόκλιη κλπ. Η τιµή µιας από αυτές τις παραµέτρους ονοµάζεται ηµειακή εκτιµήτρια της αντίτοιχης παραµέτρου του πληθυµού. Γενικά αν ονοµάουµε Θ ) την ηµειακή εκτιµήτρια της αντίτοιχης παραµέτρου Θ του πληθυµού αυτή θα πρέπει να ικανοποιεί κάποιες βαικές ιδιότητες. Καταρχήν επειδή µπορούµε να πάρουµε πολλά δείγµατα ίου µεγέθους από τον πληθυµό θα έχουµε και τις αντίτοιχες ηµειακές εκτιµήτριες των δειγµάτων αυτών για την άγνωτη παράµετρο του πληθυµού. ηλαδή αν πάρουµε ν δείγµατα ίου µεγέθους από τον πληθυµό θα έχουµε και τις αντίτοιχες Θ ) v εκτιµήτριες της Θ. Γίνεται λοιπόν φανερό ότι η εκτιµήτρια Θ ) είναι και αυτή τυχαία µεταβλητή. Η τιµή της τυχαίας µεταβλητής Θ ) ε ένα υγκεκριµένο i-δείγµα Θ ) i i =,,3,4,,ν λέγεται ηµειακή εκτίµηη της παραµέτρου Θ. 3

Οι βαικές ιδιότητες που πρέπει να πληρούνται από την ηµειακή εκτιµήτρια Θ ) είναι: i. Η Αµεροληψία: θα πρέπει δηλαδή η µέη τιµή της τυχαίας µεταβλητής Θ ) να είναι η άγνωτη παράµετρος Θ : Ε ( Θ ) )=Θ. Αν E( Θ) ) Θτότε η εκτιµήτρια είναι µεροληπτική και έχουµε το φάλµα µεροληψίας ή φάλµα εκτίµηης: E ( Θ ) ) Θ. ii. Η Αποτελεµατικότητα: Θα πρέπει η διακύµανη της αµερόληπτης εκτιµήτριας Θ ), η Vr (Θ ) ), και είναι µικρότερη ή ίη από την διακύµανη οποιαδήποτε άλλης αµερόληπτης εκτιµήτριας ( Θ) ) : iii. Η υνέπεια: ) ) Vr ( Θ) Vr( Θ Μια ηµειακή εκτιµήτρια Θ ) είναι υνεπής όταν το φάλµα µεροληψίας και η διακύµανή της τείνουν το µηδέν καθώς το µέγεθος του δείγµατος τείνει το άπειρο: ) ) lim E ( Θ) = Θ και limvr( Θ) = 0. + ). + 4.. Σηµειακές εκτιµήτριες της µέης τιµής και της διακύµανης ενός πληθυµού ως προς µια µεταβλητή. i. Σηµειακή εκτίµηη της µέης τιµής ενός πληθυµού ως προς µια µεταβλητή. Έτω x,x,..x οι παρατηρήεις της µεταβλητής Χ και µ η άγνωτη µέη τιµή του πληθυµού. Έχουµε προδιορίει την δειγµατική µέη τιµή x, την ηµειακή εκτιµήτρια της µ του πληθυµού, από τον τύπο: 3

x = v i= xi Αν πάρουµε πολλά δείγµατα ίου µεγέθους µπορούµε να ορίουµε την τυχαία µεταβλητή X : X = όπου Χ,Χ,..Χ τυχαίες µεταβλητές µε κατανοµή την ίδια µε αυτή της Χ. Η µέη τιµή E(X) είναι µια αµερόληπτη ηµειακή εκτιµήτρια της πραγµατικής µέης τιµής µ του πληθυµού και ιχύει: v i= Xi E ( X ), Vr( X ) = µ = και τυπική απόκλιη. Στις υµµετρικές κατανοµές ως ηµειακή εκτιµήτρια µπορεί να ληφθεί και η διάµεος Μ, διότι έχουµε: E ( M) = µ. ii. Σηµειακή εκτίµηη της διακύµανης ενός πληθυµού ως προς µια µεταβλητή. Οµοίως η άγνωτη διακύµανη ενός πληθυµού µεγέθους Ν = v i= ( xi x) N εκτιµάται από την διακύµανη ενός δείγµατος x, x,..x τιµών ως προς την µεταβλητή Χ του πληθυµού. Η δειγµατική διακύµανη υµβολίζεται µε ύµφωνα µε όα αναφέρθηαν: και είναι = v i = ( xi x) 33

Η δειγµατική αυτή διακύµανη είναι τυχαία µεταβλητή S, επειδή µπορούµε να λάβουµε πολλά δείγµατα ίου µεγέθους του πληθυµού και να ορίουµε έτι τις αντίτοιχες διακυµάνεις. S = v i = ( Xi X ) όπου Χi οι προαναφερόµενες τυχαίες µεταβλητές και X η µέη τιµή αυτών. Αποδεικνύεται ότι E( S ) =, δηλαδή η διακύµανη του δείγµατος είναι µια τιµή της τυχαίας µεταβλητής S που έχει µέη τιµή E( S ) τη διακύµανη του πληθυµού. 4.3. ιάτηµα εµπιτούνης της παραµέτρου Θ ενός πληθυµού. Επειδή η δειγµατική ηµειακή εκτιµήτρια Θ ) της πραγµατικής τιµής Θ του πληθυµού δεν µας δίνει πληροφορίες περί του βαθµού ακρίβειάς της, δηλαδή πόο κοντά την τιµή Θ βρίκεται, καταφεύγουµε το να υπολογίουµε ένα διάτηµα που µε κάποια προκαθοριµένη πιθανότητα θα περιέχει την άγνωτη τιµή του πληθυµού. Το διάτηµα αυτό το ονοµάζουµε «διάτηµα εµπιτούνης» της τιµής Θ. Το διάτηµα αυτό (β, γ) είναι το διάτηµα το οποίο εκτιµούµε ότι θα βρίκεται η τιµή Θ του πληθυµού µε οριµένη πιθανότητα ή επίπεδο εµπιτούνης - α. P ( β Θ γ ) = α µε 0 α. Τα β, γ ονοµάζονται όρια εµπιτούνης και η πιθανότητα α καλείται επίπεδο ηµαντικότητας. 34

4.4. Εκτίµηη διατήµατος εµπιτούνης της µέης τιµής µ πληθυµού. 4.4.. Μεγάλο ή µικρό δείγµα. Κανονικός πληθυµός. Γνωτή η διαπορά του πληθυµού. Είναι δεκτό ότι εφόον ο πληθυµός που αντιτοιχεί την τυχαία µεταβλητή Χ είναι κανονικής κατανοµής τότε και η δειγµατική εκτιµήτρια x είναι κανονικής κατανοµής. ηλαδή ιχύει ότι η τυχαία µεταβλητή X, που παίρνει τιµές τις x, ακολουθεί την κανονική κατανοµή N( µ, ). Εποµένως η τυχαία µεταβλητή Ζ = / ακολουθεί µια τυπική κανονική κατανοµή. X µ µε τιµές z = x µ x µ Η πιθανότητα η τιµή να βρίκεται µέα ένα δοµένο / διάτηµα για παράδειγµα το +,96 δίδεται από τη χέη: x µ P,96,96 = φ(,96) φ(,96) = 0,95. / Από την χέη αυτή αν είναι γνωτή η µπορούµε να πούµε ότι: / x,96 / µ x+,96 / δηλαδή η µέη τιµή µ του πληθυµού µε πιθανότητα 95% βρίκεται ε απόταη ±,96 / από την δειγµατική µέη τιµή x. Παρατήρηη: Μια άλλη ερµηνεία της χέεως αυτής είναι ότι «αν χρηιµοποιηθούν διάφορα δείγµατα µεγέθους για τον προδιοριµό «διατηµάτων πιθανότητας 95%» τότε κατά µέο 35

όρο το 95% από τα διατήµατα αυτά θα περιέχουν την αληθινή τιµή µ. Σύµφωνα µε τα ανωτέρω αν υµβολίουµε µε -α το προκαθοριµένο «επίπεδο εµπιτούνης» και µε + z α / τις τιµές της τυπικής κανονικής µεταβλητής µε αντίτοιχες τιµές της Αθροιτικής Συνάρτηης κατανοµής α/ και -α/, όπως φαίνεται το παρακάτω χήµα: f(x) πυκνότητα Εµβαδόν Εµβαδόν Εµβαδόν α/ -α α/ - z α/ 0 z α/ x µ /( / ) Σχήµα. Τυπικής Κανονικής κατανοµής Τότε έχουµε την πιθανότητα: P z α / x µ z / α / = α. ή P x zα / µ x + zα / = α. Μπορούµε να πούµε ότι υπάρχει εµπιτούνη επιπέδου -α ότι το διάτηµα που εκτιµήθηκε περιέχει την άγνωτη τιµή της µ. Το διάτηµα αυτό ονοµάζεται «διάτηµα εµπιτούνης της µ ε επίπεδο -α» και δίδεται από τη χέη: (Ι) < µ > α = ( x zα / ),( x + zα / ), µε = γνωτή. 36

Παρατήρηη: Η ανωτέρω χέη ιχύει για κανονικές τυχαίες µεταβλητές που γνωρίζουµε τη. Για µη κανονικούς πληθυµούς ιχύει προεγγιτικά και ο βαθµός προέγγιης αυξάνει όο µεγαλώνει το µέγεθος του δείγµατος. Σχόλιο Η διαδικαία προδιοριµού διατηµάτων εµπιτούνης της µ, όταν η είναι γνωτή ακολουθεί τα εξής βήµατα: ο : Επιλέγουµε το επίπεδο εµπιτούνης -α. ο : Υπολογίζουµε την τιµή z α/ από τον πίνακα της τυπικής κανονικής κατανοµής. z α = α φ. 3 ο : Χρηιµοποιούµε τη χέη (Ι) θέτοντας τη θέη του x τη δειγµατική µέη τιµή των - παρατηρήεων. Παραδείγµατα.. Η ηµερήια υγκέντρωη διαλυµένου οξυγόνου ένα ταθµό µέτρηης ενός ποταµού έχει µετρηθεί για 30 ηµέρες. Από προηγούµενες εµπειρίες είναι γνωτό ότι η διαπορά της ηµερήιας υγκέντρωης είναι 4, (mg/l). Για τις 30 µετρήεις η µέη δειγµατική τιµή x =,5mg / l. Να υπολογιθεί το διάτηµα εµπιτούνης επιπέδου 99% για τη µέη ηµερήια υγκέντρωη διαλυµένου οξυγόνου. Θεωρούµε ότι ο πληθυµός των µετρήεων της ηµερήιας υγκέντρωης διαλυµένου οξυγόνου κατανέµεται κανονικά. α = 0,99 α = 0,005 z (0,995),58 0,005 = φ = 37

z = α 4,,58 = 0,965. 30 < µ > 0.99 = ( x 0,965, x + 0,965) = (,56, 3,49) mg / l. Αυτό είναι το διάτηµα εµπιτούνης της µ ε επίπεδο 99%.. Σε ένα δείγµα 0 κουτιών πατεριωµένου γάλακτος που παράγει µια βιοµηχανία γάλακτος το µέο βάρος των κουτιών είναι 50 γραµµάρια. Από προηγούµενες µετρήεις είναι γνωτή η διακύµανη που παρατηρείται και ίη, µε 60 γραµµάρια. Να προδιοριτεί το διάτηµα εµπιτούνης το οποίο θα βρίκεται το µέο βάρος του υνόλου των κουτιών γάλακτος που παράγονται µε πιθανότητα 99,60%. Θεωρούµε ότι ο πληθυµός των βαρών των κουτιών κατανέµεται κανονικά. Έχουµε α = 0,996 α = 0,00. Άρα = 0,00 = α z α z φ = φ (0,998) =,88. Επίης 60 zα =,88 = 7,05. 0 Το διάτηµα εµπιτούνης: µ > α = x zα, x + zα < ( x 7,05, + 7,05) = (50 7,05,50 + 7,05 < µ > = ) 0.996 x < µ ( 4,95, 57,05) γραµµάρια. > 0.996 = Το διάτηµα εµπιτούνης της µ µε πιθανότητα ή επίπεδο εµπιτούνης 99,6%. Αν ο πληθυµός της ηµερήιας υγκέντρωης είναι κανονικός τότε το παραπάνω διάτηµα είναι ακριβές αν όχι τότε το δεχόµατε προεγγιτικά. 38

4.4.. είγµα µεγάλο. Μη κανονικός πληθυµός. Η ιαπορά του πληθυµού γνωτή ή άγνωτη. Όταν το δείγµα είναι µεγάλο ύµφωνα µε το κεντρικό οριακό θεώρηµα η τυχαία µεταβλητή Z = / ακολουθεί µια τυπική κανονική κατανοµή. X µ µε τιµές z = x µ Συνεπώς το «διάτηµα εµπιτούνης της µ ε επίπεδο -α» δίδεται επίης από τη χέη: (Ι) < µ > α = ( x zα / ),( x + zα / ), εφόον η διακύµανη είναι άγνωτη αντικαθίταται από την οπότε καταλήγουµε τη χέη: < µ > α = ( x zα / ),( x + zα / ) / Εποµένως η διαδικαία επιλογής διατήµατος εµπιτούνης για την εκτίµηη του µέου ενός µη κανονικού πληθυµού του οποίου το δείγµα είναι µεγάλο είναι η εξής: Επιλέγεται το διάτηµα εµπιτούνης -α, µε α (0,). Υπολογίζεται το α/-ποοτιαίο ηµείο της κανονικής κατανοµής το z / Υπολογίζεται ο δειγµατικός µέος της διακύµανης του ως εξής: x καθώς και µία εκτίµηη 39

, αν γνωτό =, διαφορετικά Υπολογίζεται το z / /. Έτι λαµβάνεται το ακόλουθο αριθµητικό διάτηµα εµπιτούνης: z x / / z, x+ Παράδειγµα: Η ηµερήια υγκέντρωη διαλυµένου οξυγόνου ένα ταθµό µέτρηης ενός ποταµού έχει µετρηθεί για 39 ηµέρες και είχαµε x =,5 mg/l και =4, (mg/l) (άγνωτη η ). Να υπολογιθεί το διάτηµα εµπιτούνης επιπέδου 99% για τη µέη ηµερήια υγκέντρωη διαλυµένου οξυγόνου. Το διάτηµα εµπιτούνης για τη µέη ηµερήια υγκέντρωη διαλυµένου οξυγόνου είναι: -α = 0,99 α/ = 0,005. Άρα z =,58 (παράρτηµα). Οπότε: 4, 4, < µ > 0.99 =,5,58,,5 +,58 = (,67, 3,37) mg / l. 39 39 4.4.3. είγµα µικρό. Κανονικός πληθυµός. Η διαπορά του πληθυµού άγνωτη. Για µικρό πολύ π.χ. < 0 τα διατήµατα εµπιτούνης της µ από την (Ι) µε τη θέη του είναι αρκετά ανακριβή (όταν δεν είναι γνωτή η διαπορά ). 40

Όταν η κατανοµή του πληθυµού της Χ είναι κανονική τότε και αν ακόµα ή δεν είναι γνωτή µπορούν να προδιοριτούν ακριβή διατήµατα εµπιτούνης για τη µ. x µ Έχει αποδειχθεί ότι η τυχαία µεταβλητή T µε τιµ ές t = / έχει κατανοµή t µε - βαθµούς ελευθερίας και µε υνάρτηη πυκνότητας f(t). f(t) = N(0,) =6 T τ.µ. µε τιµ ές t = = x µ / 0 t = x µ / Σχήµα. t - κατανοµής Η κατανοµή t είναι υµµετρική ως προς το µηδέν και έχει χήµα παρόµοιο της κανονικής κατανοµής, όταν το µεγαλώνει (ν = - = βαθµοί ελευθερίας) τότε η κατανοµή t προεγγίζει την κανονική κατανοµή. Έχουµε λοιπόν: P t α /, v x µ t / α /, v = α. Το t α, v είναι η τιµή της τυχαίας µεταβλητής Τ που αντιτοιχεί ε τιµή της Αθροιτικής υνάρτηης κατανοµής ίη µε -α/, για v = - βαθµούς ελευθερίας. Οι τιµές του t α/,v δίδονται από πίνακα. 4

f(t) Η πιθανότητα P x t α /, v µ x + tα /, v = α. εµβαδό α/ -α εµβαδού α/ t α /,v 0 t α /, v Σχήµα. t - κατανοµής Έτι οδηγούµατε τη χέη όπου x : δειγµατική µέη τιµή < µ > α = ( x tα /, v ),( x + tα /, v ) : δειγµατική τυπική απόκλιη. Αυτό είναι το διάτηµα εµπιτούνης της µ, µε άγνωτη τη, ε επίπεδο -α. Παρατήρηη: Όταν ο αριθµός των βαθµών ελευθερίας είναι πολύ µεγάλος τότε t v διότι η κατανοµή t τείνει τότε την z α, α τυπική κανονική κατανοµή. Για την επιλογή εποµένως ενός αριθµητικού διατήµατος εµπιτούνης του µέου µ ενός κανονικού πληθυµού µε άγνωτη διαπορά και που το δείγµα είναι µικρό, ακολουθείται η εξής διαδικαία: 4

Επιλέγεται το διάτηµα εµπιτούνης -α, µε α (0,). Υπολογίζεται το α/-ποοτιαίο ηµείο της t- κατανοµής το t -;/ Υπολογίζεται ο δειγµατικός µέος x Υπολογίζεται το t ; / Έτι λαµβάνεται το ακόλουθο διάτηµα εµπιτούνης: t x S t, x+ ; / ; / S Παράδειγµα: Σε ένα δείγµα 0 κουτιών πατεριωµένου γάλακτος που παράγει µια βιοµηχανία γάλακτος το µέο βάρος των κουτιών είναι 50 γραµµάρια και η δειγµατική διακύµανη = 56,5. Να προδιοριτεί το διάτηµα εµπιτούνης το οποίο θα βρίκεται το µέο βάρος του υνόλου των κουτιών γάλακτος που παράγονται µε πιθανότητα 99,80%. Γνωρίζουµε ότι: α α = 0,998 = 0,00 v = 0 = 9 < µ > α = ( x tα /, v, x + tα /, v ) t α, v = t 0,00,9 = 3,883. t α, v = 3,883 7,5 0 = 6,5. 43

Άρα < µ > = ( 50 6,5, 50 + 6,5) kgr 0,998 < µ > 0,998 = ( 43,488, 56,5) kgr, το διάτηµα εµπιτούνης. Μονόπλευρα όρια εµπιτούνης για τη µέη τιµή µ. Η διακύµανη διαπορά γνωτή, Κανονικός πληθυµός: x µ Χρηιµοποιείται η τ.µ. Z µε τιµές z = που ακολουθεί τυπική κανονική κατανοµή. Ορίζουµε το κατώτατο όριο εµπιτούνης της µ ε επίπεδο -α. x z α, z * Αυτό προκύπτει από το ότι πρέπει: α = φ ( α). x µ P = zα = α., άρα P µ x zα = α. µε z = φ ( α). α Αυτό δηλώνει ότι η µέη τιµή του πληθυµού θα είναι µεγαλύτερη από το όριο αυτό µε πιθανότητα -α. Οµοίως υπολογίζεται και το ανώτατο όριο εµπιτούνης της µ, επιπέδου - α. x + z α v, z α = φ ( α). Σε περίπτωη µεγάλου δείγµατος και άγνωτης πληθυµιακής διαποράς ορίζονται αντίτοιχα το κατώτατο και ανώτατο όριο εµπιτούνης της µ, επιπέδου -α όπως τα παραπάνω, εφόον αντικαταταθεί η µε την. 44

Η διακύµανη άγνωτη (µικρό δείγµα): Χρηιµοποιείται η t -κατανοµή για τον προδιοριµό ανώτατου και κατώτατου ορίου εµπιτούνης της µ. Κατώτατο όριο εµπιτούνης της µ, επιπέδου -α. t από πίνακα. x tα, v, α, v Ανώτατο όριο εµπιτούνης της µ, επιπέδου -α. + t από πίνακα x tα, v, α, v Παράδειγµα. Τα εργατηριακά αποτελέµατα 00 δοκιµίων χάλυβα Α36 που διαλέχτηκαν τυχαία δείχνουν για την τάη ροής µια µέη τιµή x = 00kp / cm και µια τυπική απόκλιη 0kp / cm. Να προδιοριθεί το κατώτατο όριο εµπιτούνης της µέης τιµής µ της τάης ροής του χάλυβα αυτού ε επίπεδο 95%. Λόγω µεγάλου µεγέθους = 00 ~ = 0. α = 0,95 α = 0,05 z0,05 = φ ( 0,05) = φ (0,95) =,65. οπότε το κατώτατο όριο εµπιτούνης της µέης τιµής µ της τάης ροής του χάλυβα αυτού ε επίπεδο 95% είναι: 0 x zα = 00,65 = 64kgr. 00 Γενική παρατήρηη: Οι αποφάεις ή εκτιµήεις τη Στατιτική έχουν τοχατικό χαρακτήρα και δεν αποτελούν αποδείξεις. 45

Έτι εκτιµούµε ότι ο µέος ενός πληθυµού < µ > α = ( α, β). ηλαδή ότι ο µέος µ βρίκεται το διάτηµα ( α, β ) δίνοντας υγχρόνως την πιθανότητα φάλµατος αυτής της εκτίµηης. Έτι λέµε ότι ε επίπεδο εµπιτούνης 95% = -α η µέη τιµή µ του πληθυµού ανήκει το διάτηµα: (,36,,8). 4.5. Εκτίµηη διατήµατος εµπιτούνης της διαφοράς των µέων τιµών δύο πληθυµών. 4.5.. είγµατα ανεξάρτητα µεγάλα, πληθυµιακές διαπορές, γνωτές ή άγνωτες Αν πάρουµε δύο δείγµατα ανεξάρτητα µεγάλα µεγέθους ν και κ µε µέες τιµές και, διακυµάνεις x y, και οι πληθυµιακές διαπορές είναι γνωτές, αντίτοιχα, τότε έχουµε ότι η µεταβλητή: Ζ = X Y ( µ µ ) + ν κ ακολουθεί Ν(0,). Τότε ένα 00(-α)% διάτηµα εµπιτούνης για την διαφορά µ - µ των δύο πληθυµών όταν οι διαπορές τους είναι γνωτές είναι: x - y - Ζ + µ - µ x - y + Ζ ν κ ν + κ Εάν οι πληθυµιακές διαπορές είναι άγνωτες αντικαθίτανται από τις δειγµατικές διακυµάνεις, και έχουµε ότι η µεταβλητή: Ζ = X Y ( µ µ + ν κ ) ακολουθεί Ν(0,). 46

Τότε ένα 00(-α)% διάτηµα εµπιτούνης για την διαφορά µ - µ των δύο πληθυµών όταν οι διαπορές τους είναι άγνωτες είναι: x - y - Ζ + µ - µ x - y + Ζ ν κ + ν κ 4.5.. είγµατα µικρά ανεξάρτητα, κανονικοί πληθυµοί µε άγνωτες αλλά ίες διαπορές = = Αν πάρουµε δύο δείγµατα µικρά ανεξάρτητα µεγέθους ν και κ µε µέες τιµές και και διακυµάνεις x y, αντίτοιχα προερχόµενα από κανονικούς πληθυµούς µε άγνωτες αλλά ίες διαπορές = = έχουµε ότι η µεταβλητή: t = X Y ( µ µ ) ( ν ) + ( κ ) ν + κ + ν κ ακολουθεί t - κατανοµή µε ν+κ- βαθµούς ελευθερίας Τότε ένα 00(-α)% διάτηµα εµπιτούνης για την διαφορά µ - µ των δύο πληθυµών όταν οι διαπορές τους είναι άγνωτες αλλά ίες είναι: x - y - t ν + κ ; α + µ - µ x - y + t ν κ ν + κ ; α + ν κ όπου = ( ν ) + ( κ ) ν + κ 47

4.5.3. είγµατα µικρά ανεξάρτητα, κανονικοί πληθυµοί µε άγνωτες και διαφορετικές διαπορές. Αν πάρουµε δύο δείγµατα µικρά ανεξάρτητα µεγέθους ν και κ µε µέες τιµές και και διακυµάνεις x y, αντίτοιχα προερχόµενα από κανονικούς πληθυµούς µε άγνωτες και διαφορετικές διαπορές έχουµε ότι η µεταβλητή: t = X Y ( µ µ + ν κ ) ακολουθεί t κατανοµή µε βαθµούς ελευθερίας λ = (ν-) όταν ν = κ και λ = ( + ) ν κ ( ) ( ) ν + κ ν κ (τρογγυλεµένο τον πληιέτερο ακέραιο) όταν ν κ Ένα 00(-α)% διάτηµα εµπιτούνης για την διαφορά µ - µ των δύο πληθυµών όταν οι διαπορές τους είναι άγνωτες και διαφορετικές είναι: x - y - t λ; α + µ - µ x - y + t ν ν λ; α + για ν = κ ν ν ή x - y - t λ; α + µ - µ x - y + t ν κ λ; α + για ν κ ν κ 48

Παραδείγµατα: i. ύο εργοτάια κατακευάζουν το ίδιο εξάρτηµα για µια µηχανή. Παίρνουµε ένα δείγµα 30 εξαρτηµάτων από το πρώτο εργοτάιο και διαπιτώνουµε ότι το µέο βάρος τους είναι 700 kgr και έχουν δειγµατική διακύµανη 400 kgr. Λαµβάνουµε επίης ένα δείγµα 40 εξαρτηµάτων από το δεύτερο εργοτάιο και βρίκουµε ότι έχει µέο βάρος 70 kgr µε δειγµατική διακύµανη 450 kgr. Να βρεθεί το διάτηµα εµπιτούνης της διαφοράς µ - µ των πραγµατικών µέων των πληθυµών µε πιθανότητα 99%. Ποιου εργοταίου το εξάρτηµα είναι βαρύτερο κατά µέο όρο; Έχουµε x = 700 x = 70 = 400, 450 = 30, 40. = α = 0,99 = 0,0 α = 0,005 α = α z φ = φ (0,995) =,58. = X X = + = 400 30 + 450 40 = 4,5833 x x = 4,958, x x = 0 0,58 4,958 < µ µ < 0 +,58 4,958 3,79 < µ µ < 7, ή 3,79 > µ µ > 7,. Το εξάρτηµα του δεύτερου εργοταίου είναι βαρύτερο κατά µέο όρο. ii. Αν το πιο πάνω παράδειγµα γνωρίζουµε ότι ύτερα από µετρήεις οι διακυµάνεις των πληθυµών είναι = 40και = 480 τότε το διάτηµα εµπιτούνης της διαφοράς µ - µ, µε πιθανότητα 99%, θα είναι: 49

z α =,58 40 480 x = + = + = 6 x x 5, 099 x = 30 40 0,58 5,099 < µ µ < 0 +,58 5,099 33,6 < µ µ < 6,84 33,6 > µ µ > 6,84. iii. Παίρνουµε ένα δείγµα 0 κονερβών από ένα εργοτάιο κονερβοποιίας και διαπιτώνουµε ότι το µέο βάρος είναι 700 γρ. µε διακύµανη 400 γρ. Λαµβάνουµε επίης ένα δεύτερο δείγµα 8 κονερβών από ένα δεύτερο εργοτάιο κονερβοποιίας και διαπιτώνουµε ότι το µέο βάρος είναι 70 γρ. µε διακύµανη 450 γρ. Να βρεθεί το διάτηµα εµπιτούνης της διαφοράς µ -µ των πραγµατικών µέων βαρών των κονερβών που παράγονται τα δύο εργοτάια µε πιθανότητα 99%. Θεωρούµε ότι οι πληθυµοί των βαρών των κονερβών των δύο εργοταίων είναι κανονικοί και ότι οι διακυµάνεις των βαρών των κονερβών τα δύο εργοτάια είναι άγνωτες αλλά ίες. Ένα 00(-α)% διάτηµα εµπιτούνης για την διαφορά µ - µ των δύο πληθυµών όταν οι διακυµάνεις τους είναι άγνωτες αλλά ίες είναι: x - y - t ν + κ ; α + µ - µ x - y + t ν κ ν + κ ; α + ν κ όπου = ( ν ) + ( κ ) ν + κ Έχουµε x = 700, y = 70 400, = = 450, = 0, = 8., + - = 6, α α = 0,99 = 0,0, = 0,005 και t =,779 ν + κ α ; 50

= ( 0 )400 + (8 )450 6 =,6 + =,6 * 0,39 = 8,54 ν κ x = x 0 0,779 8,54 < µ µ < 0 +,779 43,73 < µ µ < iv. Παίρνουµε ένα δείγµα 0 κονερβών από ένα εργοτάιο κονερβοποιίας και διαπιτώνουµε ότι το µέο βάρος είναι 700 γρ. µε διακύµανη 400 γρ. Λαµβάνουµε επίης ένα δεύτερο δείγµα 0 κονερβών από ένα δεύτερο εργοτάιο κονερβοποιίας και διαπιτώνουµε ότι το µέο βάρος είναι 70 γρ. µε διακύµανη 450 γρ. Να βρεθεί το διάτηµα εµπιτούνης της διαφοράς µ -µ των πραγµατικών µέων βαρών των κονερβών που παράγονται τα δύο εργοτάια µε πιθανότητα 99%. Θεωρούµε ότι οι πληθυµοί των βαρών των κονερβών των δύο εργοταίων είναι κανονικοί και ότι οι διακυµάνεις των βαρών των κονερβών τα δύο εργοτάια είναι άγνωτες και διαφορετικές. Ένα 00(-α)% διάτηµα εµπιτούνης για την διαφορά µ - µ των δύο πληθυµών, όταν οι διακυµάνεις τους είναι άγνωτες και διαφορετικές και τα δείγµατα είναι ία είναι: 3,73 8,54 x - y - t λ; α + µ - µ x - y + t ν ν λ; α + για ν = κ ν ν Έχουµε x = 700, y = 70 400, = = 450, = 0, = 0, α α = 0,99 = 0,0, = 0,005, λ = (0-) = 8 5

και t =,878 λ; α 400 450 + = 9, 0 0 0,878 9, < µ µ < 0 +,878 ή - 46,54 < µ - µ < 6,54 v. Παίρνουµε ένα δείγµα 0 κονερβών από ένα εργοτάιο κονερβοποιίας και διαπιτώνουµε ότι το µέο βάρος είναι 700 γρ. µε διακύµανη 400 γρ. Λαµβάνουµε επίης ένα δεύτερο δείγµα 6 κονερβών από ένα δεύτερο εργοτάιο κονερβοποιίας και διαπιτώνουµε ότι το µέο βάρος είναι 70 γρ. µε διακύµανη 450 γρ. Να βρεθεί το διάτηµα εµπιτούνης της διαφοράς µ -µ των πραγµατικών µέων βαρών των κονερβών που παράγονται τα δύο εργοτάια µε πιθανότητα 99%. Θεωρούµε ότι οι πληθυµοί των βαρών των κονερβών των δύο εργοταίων είναι κανονικοί και ότι οι διακυµάνεις των βαρών των κονερβών τα δύο εργοτάια είναι άγνωτες και διαφορετικές. 9, Ένα 00(-α)% διάτηµα εµπιτούνης για την διαφορά µ - µ των δύο πληθυµών όταν οι διακυµάνεις τους είναι άγνωτες και διαφορετικές και τα δείγµατα είναι άνια είναι: x - y - t λ; α + µ - µ x - y + t ν ν λ; α + για ν κ ν ν Έχουµε x = 700, y = 70 400, = = 450, = 0, = 6 α α = 0,99 = 0,0, = 0,005, 5

λ = 400 450 ( + ) 0 6 400 450 ( ) ( ) 0 + 6 0 6 = 0 και t =,845 λ; α 400 450 + = 9, 0 0 0,845 9, < µ µ < 0 +,845 ή - 46,3 < µ - µ < 6,3 9, 4.5.4. είγµατα µικρά εξαρτηµένα (ζευγαρωτές παρατηρήεις). Κανονικοί πληθυµοί. Για δείγµατα µικρά εξαρτηµένα (ζευγαρωτές παρατηρήεις) που προέρχονται από µετρήεις της ίδιας οµάδας ε δυο διαφορετικές χρονικές τιγµές (ζευγαρωτές παρατηρήεις) ορίουµε x i και y i, i=,,., τις παρατηρήεις τα δύο δείγµατα και δηµιουργούµε τις αντίτοιχες διαφορές z i = x i - y i, i=,,., που τις θεωρούµε διαφορετικές. Ο πληθυµός από όπου πήραµε τα ζεύγη θεωρείται κανονικός. Θεωρούµε έναν πρώτο πληθυµό µε µέη τιµή µ (ο οποίος προδιορίζεται πάντα από τις πρώτες παρατηρήεις x i ) και έναν δεύτερο πληθυµό µε µέη τιµή µ (ο οποίος προδιορίζεται πάντα από τις δεύτερες παρατηρήεις y i ). Οι παρατηρήεις z i ακολουθούν την t κατανοµή µε - βαθµούς ελευθερίας. Η µεταβλητή t = ελευθερίας Z Z που ακολουθεί t κατανοµή µε - βαθµούς 53

Ένα 00(-α)% διάτηµα εµπιτούνης για τη διαφορά µ - µ είναι: Z - t ; z µ - µ = µ Z Z - t ; z Όταν το δείγµα είναι µεγάλο τότε έχουµε : t = Ζ Παράδειγµα: Έχουµε τις παρακάτω ζευγαρωτές παρατηρήεις: ; Χ: 4 5 6 4, 5, 5,3 6,4 4,8 5,3 5 Y: 4,9 4,8 5,7 5 6 5. 6,5 5,9 4,8 5,7 Να βρεθεί ένα 90% διάτηµα εµπιτούνης για την πραγµατική διαφορά. Έχουµε Ζ: -0,9 0, 0,3-0,8-0,8 0, -0, -, 0,5-0,7 Και Z = -0,33, S Z = 0,7, t 9 ;0, 05 =,833 Εποµένως ένα 90% διάτηµα εµπιτούνης για την πραγµατική διαφορά µ - µ είναι: Z - t 9;0,05 S Z / µ - µ = µ Z Z + t 9 0,05 S / ; Z ή -0,33 -,833 x 0,7/ 3,6 µ - µ = µ Z -0,33 +,833 x 0,7/ 3,6 ή -0,75 µ - µ = µ Z 0,09 54

4.6. Εκτίµηη διατήµατος εµπιτούνης για την διακύµανη του πληθυµού Στην θεωρία διατυπώθηκε ότι η µεταβλητή: X = ( ) ακολουθεί την X κατανοµή µε - βαθµούς. Ο πληθυµός από όπου πάρθηκε το δείγµα θεωρείται κανονικός µε και η δειγµατική διακύµανη. Ένα 00(-α)% διάτηµα εµπιτούνης για την διακύµανη του πληθυµού είναι: ( ) X ; ( ) X ; Ακολουθείται η εξής διαδικαία για τον υπολογιµό του διατήµατος: Επιλέγεται το διάτηµα εµπιτούνης -α, µε α (0,). Υπολογίζεται το x και x ; / ; / ποοτιαία ηµεία της Χ - κατανοµής ( ) S ( ) S Υπολογίζονται οι τιµές, x x ; / ; / Έτι λαµβάνεται το ακόλουθο αριθµητικό διάτηµα εµπιτούνης: ( ) S x ; / ( ) S, x ; / 55

Παράδειγµα: Ένα δείγµα από 5 αγρότες παρουιάζει διακύµανη των ετήιων ειοδηµάτων τους = 56 ευρώ. Να βρεθεί ένα 95% διάτηµα εµπιτούνης για την διακύµανη των ετήιων ειοδηµάτων του πληθυµού των αγροτών. Έχουµε ότι: ( ) X ; ( ) X ή ; ( 5)56 7,4 ( 5)56 3,36 [Χ = 7,4, Χ = 3,36] 50;0,05 50;0,975 ή 09, 4,04 4.7. Εκτίµηη διατήµατος εµπιτούνης για τον λόγο των διακυµάνεων δύο πληθυµών Σύµφωνα µε την θεωρία αν πάρουµε δύο δείγµατα ανεξάρτητα µεγέθους και m αντίτοιχα µε, τις δειγµατικές διακυµάνεις από δύο κανονικούς πληθυµούς αντίτοιχα µε, τις πληθυµιακές διακυµάνεις τότε ιχύει ότι η µεταβλητή: F = ακολουθεί την F κατανοµή µε - και m - βαθµούς ελευθερίας Οι πληθυµοί είναι κανονικοί. Ένα 00(-α)% διάτηµα εµπιτούνης για τον λόγο των διακυµάνεων, των δύο πληθυµών είναι: 56

F, m; F m, ; Παράδειγµα: Πήραµε δύο δείγµατα αγροτών από δύο διοικητικές περιφέρειες της Ελλάδας και εξετάαµε τα ετήια ειοδήµατά τους. Είχαµε τα ακόλουθα δεδοµένα: = 3, S = 0 ευρώ και m = 4, S = 00 ευρώ Να βρεθεί ένα 98% διάτηµα εµπιτούνης για τον λόγο των πραγµατικών διακυµάνεων, των ετήιων ειοδηµάτων των αγροτικών πληθυµών τις δύο διοικητικές περιφέρειες της Ελλάδας. Έχουµε ότι: F, m; F m, ; F =, F =,3 30,40;0,0 40,30;0, 0 0 00, ή 0 00,3 0,50,53 4.8. Εκτίµηη διατήµατος εµπιτούνης αναλογίας ε πληθυµό. Αν εκτιµήουµε το ποοτό (αναλογία) p = x των τοιχείων το µεγάλο δείγµα µεγέθους που έχουν κάποιο υγκεκριµένο χαρακτηριτικό, τότε ύµφωνα µε την θεωρία το δειγµατικό ποοτό κατανέµεται κανονικά: 57

ηλαδή η δειγµατική µεταβλητή P, που παράγεται από τις τιµές p, ακολουθεί την κανονική κατανοµή: Ν(P, πληθ p πληθ ( Pπληθ ) ) Όπου P πληθ το πραγµατικό ποοτό τον πληθυµό. Συνεπώς έχουµε ότι η µεταβλητή: Ζ = P P P P πληθ ( πληθ πληθ ) ακολουθεί την Ν(0,). Ένα 00(-α)% διάτηµα εµπιτούνης (αναλογία) του πληθυµού είναι: για το ποοτό ρ z α ρ ( ρ ) P πληθ ρ + z α ρ ( ρ ) Παράδειγµα: Ο αριθµός των ελαττωµατικών προϊόντων µιας µεταποιητικής βιοµηχανίας αγροτικών προϊόντων που εντοπίθηκαν ένα δείγµα 300 προϊόντων είναι 4 προϊόντα. Να βρεθούν τα όρια µέα τα οποία θα βρίκεται το πραγµατικό ποοτό P πληθ των ελαττωµατικών προϊόντων της υνολικής παραγωγής µε πιθανότητα 98%. 4 Έχουµε = 300, m = 4 ρ = = 8% = 0,08. 300 Οπότε - p = 0,9. α = 0,98 = 0,0 α = 0,0 z = α φ = φ (0,99) =,33. ρ ( ρ ) = 0,08 0,9 300 = 0,057 58

0,08 0,057,33 < P < 0,08 + 0,057,33 πληθ 0,0434 P < 0,65 4,34% < P <,6%. < πληθ πληθ 4.9. Εκτίµηη διατήµατος εµπιτούνης για τη διαφορά των αναλογιών τοιχείων δύο πληθυµών. Έτω ρ = x και ρ = y l είναι οι δειγµατικές αναλογίες των τοιχείων, που έχουν κάποιο υγκεκριµένο χαρακτηριτικό, δύο µεγάλων δειγµάτων µεγέθους, l από δύο πληθυµούς, όπου οι πραγµατικές αναλογίες είναι αντίτοιχα P πληθ, P πληθ. Τότε έχουµε ότι οι διαφορές των δειγµατικών µεταβλητών P - P ακολουθούν κανονική κατανοµή: Ν(P - P, πληθ πληθ P πληθ ( P πληθ ) P πληθ ( P πληθ ) + ) l Ένα 00(-α)% διάτηµα εµπιτούνης για τη διαφορά των ποοτών (αναλογιών) των δύο πληθυµών P πληθ, P πληθ είναι: ρ - ρ - Ζ Ζ ρ ( ρ ) ρ ( ρ ρ ( ρ + l ) ρ ( ρ ) + l ) P - P ρ - ρ + πληθ πληθ Παράδειγµα: Παίρνουµε δύο µεγάλα δείγµατα µιας ποικιλίας ενός φυτού από δύο διαφορετικούς πληθυµούς και εξετάζουµε πόα από αυτά αθένηαν µέα ε ένα υγκεκριµένο χρονικό διάτηµα. Τα δεδοµένα που προέκυψαν ήταν: Από τα =0 του πρώτου δείγµατος αθένηαν τα και από τα m=30 του δεύτερου δείγµατος αθένηαν τα 8. Να βρεθεί ένα 95% διάτηµα εµπιτούνης για τη διαφορά των πραγµατικών ποοτών 59

(αναλογιών) των αθενούντων φυτών των δύο πληθυµών P, P. πληθ πληθ Έχουµε ότι: p - p - Ζ Ζ ρ ( ρ ρ ( ρ ) ρ ( ρ ) + l ) ρ ( ρ ) + l P - P p -p + πληθ πληθ ρ = /0 = 0,, ρ = 8/30 = 0,4 Έχουµε: ρ - ρ = -0,04 Ζ =,96 0,05 0,x 0,9 0,4x0,86 + = 0,04 0 30 Άρα ένα 95% διάτηµα εµπιτούνης για τη διαφορά των πραγµατικών ποοτών (αναλογιών) των αθενούντων φυτών των δύο πληθυµών P πληθ, P πληθ είναι: -0,04,96 x 0,04 P πληθ - P πληθ -0,04 +,96 x 0,04 ή -0,8 P - P πληθ πληθ 0,038 60

Κεφάλαιο 5 ο Έλεγχοι υποθέεων 5.. Γενικά Εκτός του προδιοριµού του διατήµατος εµπιτούνης µιας αγνώτου παραµέτρου Θ του πληθυµού πολλές φορές απαιτείται να κάνουµε υποθέεις για την τιµή που µπορεί να πάρει η Θ, τις οποίες και ελέγχουµε. Σηµαντικό ρόλο τον έλεγχο της υπόθεης που κάνουµε για την άγνωτη παράµετρο Θ του πληθυµού παίζει η εκτιµήτρια θ και το τατιτικό του ελέγχου από το δείγµα. Καταρχήν η υπόθεη που διατυπώνουµε για την άγνωτη παράµετρο Θ του πληθυµού καλείται Η 0 και είναι της µορφής: * * Η 0 : Θ = θ όπου θ είναι µια υγκεκριµένη τιµή που υποθέτουµε ότι µπορεί να πάρει η Θ. Η υπόθεη αυτή ελέγχεται αν ιχύει η όχι και καλείται µηδενική υπόθεη. * Οι εναλλακτικές υποθέεις είναι τις µορφής Η : Θ θ, Η : Θ > * θ, Η : Θ < θ * Έτι διαµορφώνονται οι ακόλουθες υποθέεις προς έλεγχο: * Η 0 : Θ = θ Η : Θ θ * έχουµε τότε δίπλευρο έλεγχο. * Η 0 : Θ = θ Η : Θ > θ * έχουµε τότε µονόπλευρο έλεγχο (δεξιά) * Η 0 : Θ = θ Η : Θ < θ * έχουµε τότε µονόπλευρο έλεγχο (αριτερά) Για τον έλεγχο υπολογίζεται η απορριπτική περιοχή R της Η 0,δηλαδή η περιοχή τα ηµεία τη οποίας η Η 0 απορρίπτεται. Αυτή προδιορίζεται από την κατανοµή που ακολουθεί το τατιτικό του ελέγχου, το φάλµα α που λαµβάνεται υπόψη 6

και η µορφή του ελέγχου που γίνεται (δίπλευρος ή µονόπλευρος δεξιά ή αριτερά). Συνεπώς τα τοιχεία ενός ελέγχου µηδενικής υπόθεης είναι τα ακόλουθα:. Οριµός της µηδενικής υπόθεης. Οριµός της εναλλακτικής υπόθεης 3. Οριµός του τατιτικού του ελέγχου από το δείγµα 4. Οριµός της απορριπτικής περιοχής R της Η 0 5. Εξαγωγή υµπεραµάτων. 5.. Σφάλµατα τάθµη ηµαντικότητας περιοχή απόρριψης της Η 0 Το α είναι η πιθανότητα να απορρίψουµε την Η 0 ενώ είναι ωτή: α = Ρ(απόρριψη της Η / Η ωτή) 0 0 Το α καλείται και φάλµα τύπου Ι. Το β είναι η πιθανότητα να δεχτούµε την Η 0 ενώ είναι λάθος: β = Ρ(αποδοχή της Η / Η λάθος) 0 0 Το β καλείται και φάλµα τύπου ΙΙ. Το γ = β και εκφράζει την πιθανότητα απόρριψης της Η 0 όταν η Η 0 είναι πράγµατι λάθος. Το γ καλείται και ιχύς του τατιτικού του ελέγχου. Η απορριπτική περιοχή της R της Η 0 ορίζεται βάει του φάλµατος α που καλείται τάθµη ηµαντικότητας ή επίπεδο ηµαντικότητας (. ). Συγκεκριµένα επίπεδο ηµαντικότητας α ενός ελέγχου µηδενικής υπόθεης Η 0 ονοµάζουµε π.χ την πιθανότητα να παρατηρηθεί µια τιµή του τατιτικού του ελέγχου, που έδωε το δείγµα, µεγαλύτερη από την κριτήρια τιµή που παίρνουµε από τους πίνακες και η οποία προδιορίζεται από το µέγεθος του 6