Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 206-207 Μερικά διδακτικά παραδείγματα Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ
Περιεχόμενα Παράδειγμα : χρήση συνθετικών μετρήσεων για τη συνόρθωση δικτύου. Παράδειγμα 2: ερμηνεία της μεταβλητότητας αναφοράς στην περίπτωση μετρήσεων διαφορετικού τύπου. Παράδειγμα : χρήση μετρήσεων ίδιου τύπου από διαφορετικές μετρητικές τεχνικές (ανάγκη διεύρυνσης μαθηματικού μοντέλου).
Σημείωση Τα παρακάτω παραδείγματα έχουν απλό διδακτικό χαρακτήρα και στόχο να αναδείξουν ορισμένα κρυμμένα προβλήματα που μπορεί να υπάρξουν σε εφαρμογές συνόρθωσης δικτύων
Παράδειγμα Χ. Κωτσάκης, 206
Οριζόντιο δίκτυο 2 Μετρήσεις δικτύου: 6 οριζόντιες διευθύνσεις * ασυσχέτιστες μεταξύ τους * κοινή ακρίβεια: σ δ = cc Για την επίλυση του δικτύου ζητείται η αντικατάσταση των πρωτογενών μετρήσεων με τις σχηματιζόμενες οριζόντιες γωνίες σε κάθε σημείο στάσης.
Οριζόντιο δίκτυο 2 2 Π.χ. για το σημείο στάσης μπορούν να σχηματιστούν συνολικά οι εξής τρεις οριζόντιες γωνίες: 2 2 2 2
Οριζόντιο δίκτυο 2 2 Π.χ. για το σημείο στάσης μπορούν να σχηματιστούν συνολικά οι εξής τέσσερις (+) οριζόντιες γωνίες: 2 2 2 2
Οριζόντιο δίκτυο 2 Θα πρέπει να δημιουργηθεί ο μέγιστος αριθμός των ανεξάρτητων γωνιών από κάθε σημείο στάσης: Σημείο Στάσης : 2 γωνίες Σημείο Στάσης 2: 2 γωνίες Σημείο Στάσης : 2 γωνίες Σημείο Στάσης : 2 γωνίες Σημείο Στάσης : γωνίες
Οριζόντιο δίκτυο 2 Θα πρέπει να δημιουργηθεί ο μέγιστος αριθμός των ανεξάρτητων γωνιών από κάθε σημείο στάσης: Παρότι αναφέρονται ως ανεξάρτητες, οι γωνίες αυτές θα είναι στατιστικά συσχετισμένες μεταξύ τους!
Οριζόντιο δίκτυο 2 Θα πρέπει να δημιουργηθεί ο μέγιστος αριθμός των ανεξάρτητων γωνιών από κάθε σημείο στάσης: Γιατί πρέπει να γίνει αυτό ; Τι πειράζει αν δημιουργήσω όλες τις δυνατές γωνίες ;
Δημιουργία όλων των γωνιών 2 2 0 2 2 0 0 2 2 ω Q δ Δεν έχω δυνατότητα να σχηματίσω τον πίνακα βάρους για τις συνθετικές οριζόντιες γωνίες! T 2 T C QC Q QQ Μη-αντιστρέψιμος πίνακας! ω δ
Δημιουργία ανεξάρτητων γωνιών 2 2 2 2 0 0 ω Q δ Έχω τη δυνατότητα να σχηματίσω τον πίνακα βάρους για τις συνθετικές οριζόντιες γωνίες T 2 T C QC Q QQ ω δ Aντιστρέψιμος πίνακας!
Συμπερασματικά 2 Αν σχηματίσουμε περισσότερες συνθετικές παρατηρήσεις από τον μέγιστο αριθμό των ανεξάρτητων γωνιών, τότε αυτές θα έχουν ανώμαλο πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων. Αυτό με απλά λόγια σημαίνει ότι οι συνθετικές παρατηρήσεις περιέχουν επιπλέον ψευτο-πληροφορία σε σχέση με αυτή που υπάρχει στις αρχικές πρωτογενείς μετρήσεις. Χ. Κωτσάκης, 206
Συμπερασματικά 2 Αντικαθιστώντας τις αρχικές 6 οριζόντιες διευθύνσεις με ένα κατάλληλα επιλεγμένο σετ οριζόντιων γωνιών θα καταλήξουμε στα ίδια αποτελέσματα συνόρθωσης δικτύου. (*) εφόσον χρησιμοποιήσουμε τον σωστό πίνακα βάρους για τις συνθετικές παρατηρήσεις που θα δημιουργηθούν (βλέπε επόμενες διαφάνειες) Χ. Κωτσάκης, 206
Οριζ. διευθύνσεις Οριζ. γωνίες 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Q
Έχουμε συνεπώς τις εξής εναλλακτικές επιλογές Αν χρησιμοποιήσουμε τις πρωτογενείς οριζόντιες διευθύνσεις, τότε ο πίνακας βάρους θα έχει τη μορφή: P 2 I 66 Αν χρησιμοποιήσουμε τις συνθετικές οριζόντιες γωνίες, τότε ο (σωστός) πίνακας βάρους θα έχει τη μορφή: P 2 T (( QQ ) όπου ο πίνακας (QQ T ) - έχει διαστάσεις. (βλέπε επόμενη διαφάνεια)
Οι συνθετικές παρατηρήσεις θα είναι συσχετισμένες μεταξύ τους QQ T 0.6667 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0.6667 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6667 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0.6667 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6667 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0.6667 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6667 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0.6667 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.700 0.000 0.200 0 0 0 0 0 0 0 0 0.000.0000 0.000 0 0 0 0 0 0 0 0 0.200 0.000 0.700 (*) αυτό συμβαίνει επειδή θα υπάρχουν γωνίες που έχουν σχηματιστεί από κοινές παρατηρήσεις διευθύνσεων (π.χ. οι γωνίες ω 2 & ω χρησιμοποιούν την κοινή παρατήρηση δ ).
Προσοχή! Αξίζει να σημειωθεί ότι οι βαθμοί ελευθερίας της συνόρθωσης δικτύου δεν μεταβάλλονται αν αντικαταστήσουμε τις 6 οριζόντιες διευθύνσεις με τις ανεξάρτητες οριζόντιες γωνίες. Αυτό συμβαίνει επειδή: >> οι παρατηρήσεις μειώνονται μεν κατά, >> αλλά και οι παράμετροι μειώνονται επίσης κατά εξαιτίας της απαλοιφής των άγνωστων σταθερών προσανατολισμού.
Παράδειγμα 2 Χ. Κωτσάκης, 206
Οριζόντιο δίκτυο jk 2 Έστω ότι σε ένα τοπογραφικό δίκτυο έχουμε διαθέσιμες μετρήσεις οριζόντιων διευθύνσεων και αποστάσεων. Η ερμηνεία και ο ρόλος της μεταβλητότητας αναφοράς απαιτεί προσοχή σε αυτή την περίπτωση! b Aδx v 2 o v ~ ( 0, P )
Οριζόντιο δίκτυο jk 2 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ασυσχέτιστες μετρήσεις και της ίδιας ακρίβειας, άρα: C v 2 I 0 0 I 0 I 2 2 2 I 0 2o 2 I 0 2 o o 2 2 0 I 2 o P Χ. Κωτσάκης, 206
Οριζόντιο δίκτυο jk 2 Στοχαστικό μοντέλο παρατηρήσεων δικτύου C v 2 2 I 0 2 o 2 o P 0 I 2 2 2 o 2 2 2 o Πραγματικές ακρίβειες των παρατηρούμενων μεγεθών στο δίκτυο.
Οριζόντιο δίκτυο jk 2 Στοχαστικό μοντέλο παρατηρήσεων δικτύου C v 2 2 I 0 2 o 2 o P 0 I 2 2 2 o 2 2 2 o Ακρίβειες που επιλέγει ο χρήστης για τη δημιουργία του πίνακα βάρους.
Οριζόντιο δίκτυο jk 2 Στοχαστικό μοντέλο παρατηρήσεων δικτύου C v 2 2 I 0 2 o 2 o P 0 I 2 2 2 o 2 2 2 o Η κοινή μεταβλητότητα αναφοράς ελέγχει την ακρίβεια τόσο των οριζόντιων διευθύνσεων όσο και των οριζόντιων αποστάσεων στο δίκτυο.
Οριζόντιο δίκτυο jk 2 Στοχαστικό μοντέλο παρατηρήσεων δικτύου C v 2 2 I 0 2 o 2 o P 0 I Επιλογή του πίνακα βάρους P=I θα σημαίνει ότι: 2 cm 2 2 cc 2 Μονάδες που έχουν επιλεγεί για τα στοιχεία των διανυσμάτων b & v
Μερικά σχόλια jk 2 C v 2 2 I 0 2 o 2 o P 0 I T 2 ˆ ˆ ˆo v Pv f o Η a-posteriori εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς θα είναι υποχρεωτικά αδιάστατος αριθμός σε αυτή την περίπτωση. o Αν η παραπάνω τιμή είναι πολύ μεγαλύτερη (ή πολύ μικρότερη) από τη μονάδα, αυτό ενδέχεται να σημαίνει ότι έχουμε επιλέξει λανθασμένες αρχικές ακρίβειες για τις παρατηρήσεις. o Για ποιο τύπο όμως; Για τις αποστάσεις ή για τις διευθύνσεις;
Να θυμάστε ότι jk 2 Για την ορθότερη επεξεργασία του στοχαστικού μοντέλου σε προβλήματα συνόρθωσης με ετερογενείς μετρήσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν συνιστώσες μεταβλητότητας αναφοράς που μπορούν να εκτιμηθούν με κατάλληλους αλγόριθμους. π.χ. C v 2 s 0,( ) P 0 2 0 P 0,( )
Παράδειγμα Χ. Κωτσάκης, 206
Οριζόντιο δίκτυο 2 Το πρόβλημα : Σε ένα τοπογραφικό δίκτυο υπάρχουν παρατηρήσεις αποστάσεων από διαφορετικές μετρητικές τεχνικές (π.χ. total station & GP, συνδυασμός βαθμονομημένων & μη-βαθμονομημένων οργάνων). Σε τέτοιες περιπτώσεις η πληροφορία κλίμακας στο δίκτυο υλοποιείται με διαφορετικό τρόπο από κάθε τεχνική, γεγονός που πρέπει να ληφθεί υπόψη σε εφαρμογές υψηλής ακρίβειας.
Οριζόντιο δίκτυο 2 jk Έχουν διαφορετική μετρητική κλίμακα Τι σημαίνει αυτό; Ενδέχεται να υπάρχουν αποκλίσεις συστηματικού χαρακτήρα ανάμεσα στις πλευρομετρήσεις που έγιναν με διαφορετικές μετρητικές τεχνικές, π.χ. GP και total station.
Οριζόντιο δίκτυο 2 jk Έχουν διαφορετική μετρητική κλίμακα Πως μπορώ να το λάβω υπόψη μου στη συνόρθωση του δικτύου μέσω του γνωστού μοντέλου; b Aδx v 2 o v ~ ( 0, P )
Οριζόντιο δίκτυο 2 jk Έχουν διαφορετική μετρητική κλίμακα Μέσω διεύρυνσης του μαθηματικού μοντέλου: x x y y ( A) 2 2 ( ) ( ) j i j i x x y y ( B) 2 2 ( ) ( ) jk k j k j Μετρήσεις από τεχνική Α Μετρήσεις από τεχνική Β πρόσθετη άγνωστη παράμετρος που εκφράζει τη διαφορά μετρητικής κλίμακας μεταξύ των δύο τεχνικών. Χ. Κωτσάκης, 206
Οριζόντιο δίκτυο Μια τέτοια επιλογή έχει πρακτικό νόημα 2 αν η συστηματική διαφορά μεταξύ των δύο τεχνικών ξεπερνά το επίπεδο της jk εσωτερικής τους ακρίβειας! Μέσω διεύρυνσης του μαθηματικού μοντέλου: x x y y ( A) 2 2 ( ) ( ) j i j i x x y y ( B) 2 2 ( ) ( ) jk k j k j Μετρήσεις από τεχνική Α Μετρήσεις από τεχνική Β πρόσθετη άγνωστη παράμετρος που εκφράζει τη διαφορά μετρητικής κλίμακας μεταξύ των δύο τεχνικών. Χ. Κωτσάκης, 206
Για παράδειγμα.. Έστω ότι η εσωτερική ακρίβεια δύο διαφορετικών μετρητικών τεχνικών για μετρήσεις αποστάσεων σε ένα δίκτυο είναι 2 ppm και ppm, αντίστοιχα. Οι μετρήσεις από τις δύο τεχνικές παρουσιάζουν μια συστηματική διαφορά μεταξύ τους που είναι της τάξης των 20 ppm. Η παραπάνω ασυμβατότητα μεταξύ των δύο τεχνικών είναι σημαντική και θα επηρεάσει την υλοποίηση της κλίμακας στο συνορθωμένο δίκτυο. Για την ασφαλέστερη υλοποίηση της κλίμακας στο δίκτυο θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί το διευρυμένο μοντέλο που παρουσιάστηκε προηγουμένως.