Κεφάλιο ο: ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστόάθος» 1. * Η εξίσωση + = ( > 0) πριστάνει κύκλο.. * Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 πριστάνει πάντ κύκλο.. * Ο κύκλος µε κέντρο Κ (1, 1) που περνά πό το σηµείο ( 1, 1) έχει πάντ εξίσωση: ( 1) + ( + 1) = 8. 4. * Η εξίσωση + + ( + + 1) = 0 πριστάνει κύκλο γι κάθε θετικό. 5. * Το σηµείο ( ηµθ συνθ, ) νήκει στον κύκλο 4 ( ηµθ) + 4 ( συνθ) = 1 γι κάθε πργµτικό ριθµό θ. 6. * Οι κύκλοι + + + 1 = 0 κι + + + + = 0 είνι οµόκεντροι. 7. * Το σηµείο του κύκλου + = 4 µε τετµηµένη ρίσκετι πάνω στην ευθεί =. 8. ** Οι κύκλοι ( 1) + ( + ) = 1 κι ( ) + ( + 1) = 10 εφάπτοντι εξωτερικά 9. * Ο κύκλος ( + 1) + = 18 τέµνει την ευθεί = + 1. 10. ** Τ σηµεί (, ) κι (4, ) του κύκλου ( 1) + ( ) = 9 είνι ντιδιµετρικά. 11. * Οι κύκλοι + ( 1) = κι + ( 1) 10 = έχουν δύο κοινά σηµεί. 1. * Η εξίσωση ( + ) 4 = πριστάνει κύκλο. 1. * Οι εξισώσεις = ρηµφ κι = ρσυνφ, φ [0, π) λέγοντι πρµετρικές εξισώσεις του κύκλου C: + = ρ. 10
14. * Η εφπτοµένη ευθεί του κύκλου + = 1 στο σηµείο µε τετµηµένη 1 έχει εξίσωση + = 1. 15. * Η εξίσωση + 1 + = 5 πριστάνει κύκλο µε κέντρο το σηµείο (1, 0). 16. * Η κµπύλη που πριστάνει η εξίσωση + = είνι γρφική πράστση συνάρτησης. 17. * Η σχέση = πριστάνει ηµικύκλιο ( ). είνι τύπος συνάρτησης που 18. ** Ένς κύκλος έχει το κέντρο του στην ευθεί =. Έχει πάντ εξίσωση ( ) + ( ) =. 19. * Έν σηµείο ( 1, 1 ) είνι εσωτερικό ενός κύκλου µε κέντρο Κ ( 0, 0 ) κι κτίν ρ. Ισχύει: ( 1 0 ) + ( 1 0 ) < ρ. 0. ** Η προλή µε εστί το σηµείο (1, 0) έχει πράµετρο p =. 1. * Η ευθεί που έχει εξίσωση = είνι πράλληλη στη διευθετούσ της προλής = 16.. * το ορθογώνιο σύστηµ ξόνων Ο η προλή = p ρίσκετι πάντ στο ηµιεπίπεδο που ορίζει ο άξονς κι η εστί Ε.. * Ο άξονς είνι άξονς συµµετρίς της προλής = 8. 4. Η εξίσωση της εφπτοµένης της προλής = p στο σηµείο Μ 1 ( 1, 1 ) είνι 1 = p ( + 1 ). 5. ** Μι ευθεί κι µι προλή έχουν έν κοινό σηµείο. Η ευθεί είνι εφπτοµένη της προλής. 6. * Μι προλή µε άξον συµµετρίς τον άξον έχει πάντ εξίσωση της µορφής = ρ. 7. * Μι προλή µε κορυφή το Ο (0, 0) κι διευθετούσ την p =, έχει άξον συµµετρίς τον. 8. * Κάθε σηµείο της προλής = 8 ισπέχει πό την ευθεί = κι το σηµείο (4, 0). 9. ** Όλ τ σηµεί της = p µε p > 0, εκτός του (0, 0), 11
έχουν θετική τετµηµένη. 0. * Η διευθετούσ της = είνι η ευθεί =. 4 1. * Η διευθετούσ της = 4 είνι η ευθεί = 1.. ** Ο κύκλος ( 1) + = 1 κι η προλή = εφάπτοντι.. * Η εστί της προλής = ρίσκετι πάνω στην ευθεί =. 4. * το σηµείο ( 0, 0 ) της προλής = p η εφπτοµένη έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = p (0 0). 0 5. * Ο κύκλος + = 1 περνά πό την εστί της προλής = 4. 6. * Η εξίσωση =, 0, πριστάνει κµπύλη της µορφής του διπλνού σχήµτος. 0 7. * ύο πό τις κορυφές κι οι εστίες οποισδήποτε έλλειψης, ρίσκοντι στην ίδι ευθεί. 8. * Όσο η εκκεντρότητ µις έλλειψης πλησιάζει προς το 0, τόσο η έλλειψη τείνει ν γίνει κύκλος. 9. * Η εξίσωση + = 1 πριστάνει έλλειψη µόνο ν >. 40. ** Η εστική πόστση µις έλλειψης είνι το µισό του 1 µεγάλου άξον. Η εκκεντρότητ υτής της έλλειψης είνι. 41. * Μι ευθεί που έχει έν µόνο κοινό σηµείο µε µι έλλειψη, είνι πάντοτε εφπτοµένη της. 4. * Η εξίσωση 1 + = πριστάνει έλλειψη. 5 1
4. * Το σηµείο (κ, λ) νήκει σε κάθε έλλειψη µε κέντρο Ο, η οποί περιέχει το σηµείο ( κ, λ). 44. * ύο ελλείψεις που έχουν τις ίδιες εστίες, είνι όµοιες. 45. * ύο όµοιες ελλείψεις έχουν πάντ τις ίδιες εστίες. 46. * Το σηµείο Α (, ) ρίσκετι έξω πό την έλλειψη C: + 5 = 1. 9 47. * Η εξίσωση + κ = 1 πριστάνει έλλειψη µόνο ότν κ > 0. 48. * Η έλλειψη + = 1 κι ο κύκλος + = 1 δεν έχουν κοινό σηµείο. 49. ** Τ σηµεί της έλλειψης + = 1 είνι εσωτερικά της έλλειψης + = 1. 5 50. * Η ευθεί = είνι εφπτοµένη της έλλειψης 1. + = 9 51. * Η ευθεί = είνι εφπτοµένη της έλλειψης + 5. * Εστική πόστση µις έλλειψης ονοµάζετι η πόστση = 1. δύο σηµείων της που είνι συµµετρικά ως προς το κέντρο της. 5. * Η εφπτοµένη της έλλειψης + = 1 στο σηµείο της Μ (συνθ, ηµθ) είνι (συνθ) + (ηµθ) = 1. 54. * Η εκκεντρότητ της έλλειψης 4 + = 4 είνι ε = 55. ** Οι ελλείψεις + 9. = 1 κι + = 1 είνι όµοιες. 4 6 16 56. * Η εξίσωση µις υπερολής είνι = 1. Ισχύει 1
πάντ >. 57. * Η υπερολή C: = 1 τέµνει τον άξον σε δύο σηµεί. 58. * Όσο πιο µεγάλη είνι η εκκεντρότητ, τόσο πιο νοικτή είνι η υπερολή. 59. * Η ισοσκελής υπερολή = έχει εκκεντρότητ ε =. 60. * Η υπερολή = 1 έχει σύµπτωτες τις ευθείες ε 1 : = κι ε : =. 61. * Η εξίσωση 9 = 0 πριστάνει υπερολή. 6. * Το ορθογώνιο άσης µις υπερολής έχει κοινά σηµεί µε την υπερολή. 6. ** Το σηµείο (5, 4) νήκει σε µι σύµπτωτη ευθεί της υπερολής 16 5 = 40. 64. * Υπάρχουν υπερολές που οι σύµπτωτές τους είνι κάθετες µετξύ τους. 65. * Η εκκεντρότητ της υπερολής είνι πάντ µη ρνητικός ριθµός. 66. * Η εξίσωση κ + λ = 0 πριστάνει υπερολή γι κάθε κ, λ R. 67. * Η υπερολή 5 4 = 1 τέµνει τον άξον στ σηµεί (0, ) κι (0, ). 68. ** Η υπερολή = 1 έχει τέσσερ κοινά σηµεί µε 5 τον κύκλο + = 4. 14
1 69. * Η ευθεί = εφάπτετι της υπερολής = 1. 4 70. * Η διχοτόµος της γωνίς O τέµνει την υπερολή = 4 σε δύο σηµεί. 71. ** Κάθε σύµπτωτη της υπερολής = 1 είνι κάθετη σε µί πό τις σύµπτωτες της υπερολής = 1. 7. * Υπάρχει θ R, ώστε το σηµείο (ηµθ, 1) νήκει στην υπερολή = 1. 4 7. ** Οι υπερολές = 1 κι = 1 έχουν τις 4 ίδιες εστίες. 15