Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς ιδάσκων : Αντώνης Λουτράρης Μαθηµατικός M.S.c Αύγουστος, 2012

Σελίδα 1 Ο συντοµότερος δρόµος ανάµεσα σε δύο αλήθειες στο πεδίο των πραγµατικών περνά µέσα από το πεδίο των µιγαδικών.

Σελίδα 2 ΟΜΑ Α Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθµό που αντιστοιχεί στη κάθε πρόταση. 1. Αν για τους µιγαδικούς z, w ισχύει w = Im(z), τότε ο w I. 2. Είναι z 4 = z 2 z 2, z C. 3. Αν z = x + yi µε x, y R τότε z = 0 x + y = 0. 4. Αν i µ = i ν τότε µ = ν, όπου µ, ν N. 5. Οι εικόνες των µιγαδικών z και z είναι σηµεία συµµετρικά ώς προς τον ϕανταστικό άξονα. 6. Αν z C µε z 0 τότε Re(z) 0 και Im(z) 0. 7. Αν z 1, z 2 C, τότε z 1 z 2 z 1 z 2 R. 8. Ο αριθµός z z R, z C. 9. Αν z C, τότε Im(z 2 ) = (Im(z)) 2. 10. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει z Re(z) + Im(z). 11. Η έκφραση z + w περιγράφει την απόσταση µεταξύ των εικόνων των µιγαδικών z και w. 12. Για κάθε µιγαδικό z είναι z R z 2 R. 13. Το άθροισµα δύο συζυγών µιγαδικών αριθµών είναι πραγµατικός αριθµός. 14. Ισχύει η ισοδυναµία z / R z z. 15. Το σύνολο των εικόνων των µιγαδικών z για τους οποίους ισχύει z + 3i = 2 + 3i είναι κύκλος. 16. Το µέτρο του αθροίσµατος δύο µιγαδικών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους. 17. Αν z R τότε z 2 = z 2. 18. Ισχύει ότι z 1 z 2 = z 1 + z 2. 19. Αν z 1 = z 2, τότε z 1 = z 2 ή z 1 = z 2. 20. Αν z C τότε ισχύει η ισοδυναµία : z = 0 z = 0.

Σελίδα 3 ΟΜΑ Α Β Παρακάτω ακολουθούν 25 ενδιαφέροντα ϑέµατα που καλύπτουν σχεδόν όλο το ϕάσµα των ϑεµάτων που µπορεί κάποιος να συναντήσει στο κεφάλαιο των Μιγαδικών αριθµών. Να είστε σίγουροι(-ες) ότι η ενασχόληση µαζί τους και η επίλυση όσων περισσοτέρων µπορεί ο καθένας ϑα είναι µία στέρεη ϐάση για τη δύσκολη συνέχεια. Γι αυτό το λόγο...καλή διασκέδαση! Θέµα Β.1 Οι µιγαδικοί z, w συνδέονται µε τη σχέση z = 1 + 2w και η εικόνα του w 1 w ανήκει στον κύκλο µε κέντρο K( 1, 0) και ακτίνα ρ = 1. (1) Να ϐρεθεί ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z. (2) Αν z = 1 (1) και M(z 1 ), M(z 2 ), M(z 3 ) οι εικόνες 3 µιγαδικών για τους οποίους ισχύει η (1) να δείξετε ότι : i. Ο αριθµός α = z 1 + z 2 z 3 + z 2 + z 3 z 1 + z 1 + z 3 z 2 R. ii. Άν επιπλέον z 1 + z 2 + z 3 = 0, τότε να δείξετε ότι : Re( z 1 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z 1 ) = 3 2. (3) ίνεται η ευθεία (ε): 3x+4y 12 = 0. Να ϐρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη απόσταση των εικόνων του µιγαδικού w από την ευθεία (ε). Θέµα Β.2 ίνεται η εξίσωση z 2 + z + 1 = 0. (1) (1) Να αποδείξετε ότι z 3 = 1. (2) Αν α, β C είναι οι λύσεις της (1) να δείξετε ότι (1+α) 2011 +(1+β) 2011 = 1. (3) Να αποδείξετε ότι α β = 3 και στη συνέχεια να ϐρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών z για τους οποίους ισχύει : z α + z β = 3.

Σελίδα 4 Θέµα Β.3 Θεωρούµε δύο µιγαδικούς z και w για τους οποίους ισχύει : (1) Άν w = i,τότε : i. Να αποδείξετε ότι z = 1 i. w = z + i 2z + i. ii. Να ϐρείτε για ποιά ϑετική ακεραία τιµή του ν ισχύει : ( z w )ν = 16 (2) Άν w = 1, να ϐρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών z. 2 Θέµα Β.4 Εστω f(z) = z iz, z C. (1) Να λύσετε την εξίσωση f(z) = 2 i. (2) Αν f( z ) = 2 να ϐρείτε το z. (3) Αν z = 1 να ϐρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του w = f(z). Θέµα Β.5 Θεωρούµε τον µιγαδικό z για τον οποίο ισχύει : z 2 = 2i + z 2. 1 i Να αποδειχθεί ότι : (1) z = 2. (2) z 2 = 2i. (3) (4). z 2 2 + z4 2 + z6 2 2 + + z2012 = i 1. 3 21006 z 2011 z7 + i + i z 7 + i i.

Σελίδα 5 Θέµα Β.6 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z και w για τους οποίος ισχύει : w = z + i z 2i. (1) Να δείξετε ότι ο z I άν και µόνο άν z = z. (2) Να ϐρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z, όταν ο w I. (3) Αν w > 1 να δείξετε ότι : Im(z) > 1 2. (4) Αν z = 3 i, να υπολογίσετε τη τιµή της παράστασης : K = (2w) 50. Θέµα Β.7 Εστω f(z) = z + 2i µε z C και z 2i. z 2i (1) Να δείξετε ότι f(z) = 1, z C και z 2i. (2) Αν ισχύει f(z) = f(z) να δείξετε ότι ο z I. (3) Αν για τον µιγαδικό z 0 ισχύει z 0 = 2i 2011 2f(i), τότε να ϐρεθεί ο z 0 και έπειτα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων ενός w για τον οποίο ισχύει : w z 0 = if(z 0) z 0. 1 + i (4) Να ϐρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του w. Θέµα Β.8 ίνεται µιγαδικός αριθµός z για τον οποίο ισχύει : z + 2 3i 2 + z 2 + 3i 2 = 34 (1) Βρείτε το γεωµετρικό τόπο της εικόνας του z. (2) Να αποδείξετε ότι ο αριθµός w = z + 4 είναι πραγµατικός και ισχύει z 4 w 4. (3) Θεωρούµε τον µιγαδικό u = z + 3 + 4i. Να ϐρείτε :

Σελίδα 6 1. Το γεωµετρικό τόπο της εικόνας του u. 2. Τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του u. (4) Αν οι µιγαδικοί z 1, z 2, z 3 ανήκουν στο γεωµετρικό τόπο του ερωτήµατος (1) τότε να αποδείξετε ότι : z 1 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z 1 = 2 z 1 + z 2 + z 3. Θέµα Β.9 ίνεται η εξίσωση z 2 αz +β = 0, α, β R και z 1, z 2 οι ϱίζες της µε z 1 = 2+i. (1) Βρείτε τους αριθµούς α, β. (2) Να αποδείξετε ότι ο αριθµός z1 2012 + z2 2012 είναι πραγµατικός. (3) Εστω A(z 1 ), B(z 2 ), Γ(z 3 ) οι εικόνες των µιγαδικών z 1, z 2, z 3 αντίστοιχα στο µιγαδικό επίπεδο µε z 3 = z 1 + 1 (17 + i). z 2 5 1. είξτε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. 2. Αν w z 1 = w z 1 δείξτε ότι w R. 3. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των µιγαδικών w που επαληθεύουν την εξίσωση w z 2 + w z 2 = 10 ϐρίσκονται σε έλλειψη. Θέµα Β.10 Άν για τους µιγαδικούς z και w ισχύουν : και (i + 2 2)z = 6 w (1 i) = w (3 3i) τότε να ϐρείτε : (1) Το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z. (2) Το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών w. (3) Την ελάχιστη τιµή του z (4) Την ελάχιστη τιµή του z w.

Σελίδα 7 Θέµα Β.11 Εστω οι µιγαδικοί z και w µε z 3i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις : και z 3i + z + 3i = 2 w = z 3i + 1 z 3i (1) Να ϐρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z. (2) Να αποδείξετε ότι : z + 3i = 1 z 3i (3) Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγµατικός και ότι 2 w 2. (4) Να αποδείξετε ότι z w = z. Θέµα Β.12 Θεωρούµε όλους τους µιγαδικούς αριθµούς z C για τους οποίους ισχύει : 1 z + 1 z = 1 (1) Άν Re(z) = 1 ϐρείτε τον z. (2) Να ϐρείτε το γεωµετρικό τόπο της εικόνας του z. (3) Βρείτε την ελάχιστη τιµή που µπορεί να πάρει το µέτρο του µιγαδικού 1 z. Θέµα Β.13 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z, w οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση : w = 2z i iz + 1, z i. (1) Να αποδείξετε ότι (w + 2i)(z i) = 1. (2) Άν η εικόνα του µιγαδικού z κινείται στο κύκλο C 1 µε κέντρο Κ(0,1) και ακτίνα ρ 1 = 1, να ϐρείτε τη γραµµή πάνω στην οποία κινείται η εικόνα του w. (3) Να αποδείξετε ότι 1 z w 5. (4) Να αποδείξετε ότι z + w 3.

Σελίδα 8 Θέµα Β.14 ίνονται οι διαφορετικοί µεταξύ τους µιγαδικοί z, w για τους οποίους ισχύει : (1) Να αποδείξετε ότι : 1. z + w = 1. 2. z 2 + w 2 = 0. z w = 2 z = 2 w = 1 (2) Άν για τους µιγαδικούς z 1, z 2, z 3 ισχύει z = z 1 z 2 και w = z 3 z 2 να δείξετε ότι : i. z 2 1 + 2z 2 2 + z 2 3 = 2z 2 (z 1 + z 3 ). ii. Οι εικόνες Α,Β,Γ των µιγαδικών z 1, z 2, z 3 αντίστοιχα σχηµατίζουν ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο στο σηµείο Β. Θέµα Β.15 Εστω z 1, z 2, z 3 C, µε z 1 = z 2 = z 3 = 1. (1) Άν z 1 + z 2 + z 3 = 1 να δείξετε ότι : i. 1 z 1 + 1 z 2 + 1 z 3 = 1. ii. (z 1 + z 2 )(z 2 + z 3 )(z 1 + z 3 ) = 0. iii. 1 z 2013 1 + 1 z 2013 2 + 1 z 2013 3 = 1. (2) Άν z 1 + z 2 + z 3 = 0, δείξτε ότι z 2 1 + z 2 2 + z 2 3 = 0. Θέµα Β.16 Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z και w µε z w, Im(z) > 0 για τους οποίους ισχύει z + w = x + xi, x R. (1) Να αποδείξετε ότι ο αριθµός (z + w) 8 είναι πραγµατικός. (2) Αν w = 2 και για το µιγαδικό z ισχύει z 2 + 2z + 2 = 0, τότε : 1. να αποδείξετε ότι z = 1 + i και w = 1 i.

Σελίδα 9 2. να αποδείξετε ότι για κάθε µιγαδικό u µε u = 2 ισχύει u z 2 + u w 2 = z w 2. Θέµα Β.17 Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z και w για τους οποίους ισχύει w z = x 0, όπου x 0 η ϱίζα της εξίσωσης x 2 αx + α = 0, 0 < α < 4 µε x 0 = 2 και Im(x 0 ) > 0. (1) Να αποδείξετε ότι α = 2. (2) Να αποδείξετε ότι x 0 = 1 + i. (3) Να αποδείξετε ότι z 2 + z w 2 = w 2. (4) Να αποδείξετε ότι ( 1 z 1 w )4ν = ( 1 w )4ν, ν N. (5) Να αποδείξετε ότι αν w = λ + 1 λ i, z = x + yi, x, y R, λ R, τότε η εικόνα του z κινείται στην υπερβολή µε εξίσωση x 2 y 2 = 1. Θέµα Β.18 ίνεται η εξίσωση zz + 4Re[(1 2i)z] + 4 = 0. (1) (1) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις στο C. (2) Αν z 1, z 2 είναι λύσεις της (1), να δείξετε ότι : z 1 z 2 8. (3) Αν z 1, z 2 είναι λύσεις της (1) για τις οποίες z 1 z 2 = 8, να δείξετε ότι : z 1 + z 2 2ν = 2 4ν 5 ν. Θέµα Β.19 Εστω ότι οι µιγαδικοί αριθµοί z 1, z 2 είναι οι ϱίζες εξίσωσης δευτέρου ϐαθµού µε πραγµατικούς συντελεστές για τις οποίες ισχύουν : z 1 + z 2 = 2

Σελίδα 10 και z 1 z 2 = 5 (1) Να ϐρείτε τους µιγαδικούς αριθµούς z 1, z 2. (2) Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς w ισχύει η σχέση : w z 1 2 + w z 2 2 = z 1 z 2 2 να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των w στο µιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος µε εξίσωση (x + 1) 2 + y 2 = 4. (3) Από τους µιγαδικούς αριθµούς w του ερωτήµατος (2), να ϐρείτε εκείνους για τους οποίους ισχύει : 2Re(w) + Im(w) = 0. (4) Αν w 1, w 2 είναι δύο από τους µιγαδικούς αριθµούς w του ερωτήµατος (2) µε την ιδιότητα w 1 w 2 = 4, να αποδείξετε ότι w 1 + w 2 = 2. Θέµα Β.20 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z, w οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις : και z i = 1 + Im(z) w(w + 3i) = i(3w + i) (1) Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών z είναι η παραβολή µε εξίσωση y = 1 4 x2. (2) Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών w είναι ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ(0,3) και ακτίνα ρ = 2 2. (3) Να ϐρείτε τα σηµεία Α και Β του µιγαδικού επιπέδου, τα οποία είναι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z, w µε z = w και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, όπου Κ(0,3). (4) Εστω u ο µιγαδικός αριθµός µε εικόνα στο µιγαδικό επίπεδο το σηµείο Λ έτσι ώστε το τετράπλευρο µε κορυφές τα σηµεία Κ,Α,Λ,Β να είναι τετράγωνο. Να αποδείξετε ότι : ( 3 + u) 90 = 1. (1 + u) 180

Σελίδα 11 Θέµα Β.21 ίνονται τα σύνολα : και A = {z C : z = 1} B = {w C : w = z + 2 z, z A} (1) Να εκφράσετε γεωµετρικά το σύνολο A. (2) Να ϐρεθεί η µέγιστη τιµή της παράστασης K = z 1 z 2, µε z 1, z 2 A. (3) Αν z 1, z 1 A µε z 1 z 2 = 2 να ϐρείτε τη τιµή της παράστασης N = z 1 + z 2 2012i. (4) Να αποδείξετε ότι το σύνολο B αποτελείται απο σηµεία του µιγαδικού επιπέδου που ϐρίσκονται σε µία έλλειψη και να ϐρείτε τη µέγιστη τιµή του z w, z A. Θέµα Β.22 ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z που ικανοποιεί τη σχέση f(z) = 2f( z) (1) και η συνάρτηση f(z) = i z. (1) Να ϐρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών z στο µιγαδικό επίπεδο. (2) Να αποδείξετε ότι για τους µιγαδικούς αριθµούς που ικανοποιούν την (1) ισχύει z + 5 3 i = 4 3. (3) Ποιός απο τους µιγαδικούς που ικανοποιούν τη σχέση (1) έχει το µεγαλύτερο και ποιός το µικρότερο µέτρο ; (4) Θεωρούµε τη συνάρτηση g(z) = z + 5, όπου z ο µιγαδικός που ικανοποιεί τη σχέση (1). Να ϐρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών g(z) στο µιγαδικό επίπεδο. (5) Αν w 1 = z 1 + 5 3 i, w 2 = z 2 + 5 3 i, w 3 = z 3 + 5 3 i, z 1, z 2, z 3 µιγαδικοί που ικανοποιούν την (1) και επιπλέον ισχύει z 1 + z 2 + z 3 = 1 5i, να αποδείξετε ότι 1 w 1 + 1 w 2 + 1 w 3 = 9 16.

Σελίδα 12 Θέµα Β.23 Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z µε z 1 για τους οποίους ο αριθµός w = z 1 z + 1 I. Να αποδείξετε ότι : (1) z = 1. (2) Ο αριθµός (z 1 z )4 R. (3) ( 1 z 1 + 1 z 2 )(z 1 + z 2 ) 4, όπου z 1, z 2 δύο απο τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς z. (4) Οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών u για τους οποίους ισχύει u ui = i w w, w 0, ανήκουν στην υπερβολή x 2 y 2 = 1. Θέµα Β.24 2 Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z(t) =, t R. Να αποδείξετε ό- 1 + 2ti τι : (1) z(t) + z(t) = z(t) z(t). (2) οι εικόνες των µιγαδικών z(t) ανήκουν σε κύκλο µε κέντρο Κ(1,0) του ο- ποίου να ϐρείτε την ακτίνα. (3) οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z(t) και z( 1 ) µε t 0 είναι αντιδια- 4t µετρικά σηµεία του παραπάνω κύκλου. (4) z(2012) z(1) 2 + z(2012) z( 1 4 ) 2 = z(1) z( 1 4 ) 2. Θέµα Β.25 Εστω οι µιγαδικοί αριθµοί z = 2 + συν(πt) + (5 + ηµ(πt))i, t [0, + ). (1) Να αποδείξετε ότι z 2 5i = 1. (2) Να ϐρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του z. (3) Να εξετάσετε αν υπάρχει t [0, + ) τέτοιος ώστε η εικόνα του z να ϐρίσκεται πάνω στην ευθεία µε εξίσωση ɛ : y = x. (4) Εστω w C τέτοιος ώστε w 1 = w i. Να αποδείξετε ότι : z w 3 2 2 1.