Κεφάλιο 6ο Ας δούµε έν - δύο πράµτ κόµ σε σχέση µε πίνι όπου τ άτοµ έχουν έν άπειρο ριθµό στρτηικών. Leader-Follower model (Ηέτης - Ακόλουθος: είνι η νωστή ισορροπί κτά tackelberg. Το πρόληµ του Leader-Follower είνι µι κόµ περίπτωση όπου οι πίκτες έχουν έν άπειρο ριθµό στρτηικών. Γιτί εξετάζουµε υτό το πρόληµ; ιότι δεν είνι τίποτε άλλο πρά µι εκδοχή (version του προηουµένου προλήµτος (κεφάλιο 5. Η διφορά εδώ είνι ότι οι επιχειρήσεις δεν πίρνουν τις ποφάσεις τυτόχρον, λλά υπάρχει µι επιχείρηση η οποί κθορίζει πρώτ την πόφσή της κι κτόπιν έρχετι η δεύτερη, η οποί δεδοµένης της ποφάσεως της πρώτης, πίρνει την δική της πόφση. Yπάρχει µε άλλ λόι χρονική διάστση στο πρόληµ. Είνι πολύ δύσκολο ν το συµολίσουµε µε δέντρο υτό το µοντέλο, όµως ένς τρόπος είνι: Η ετιρεί I που είνι ο ηέτης ποφσίζει την ποσότητ της την πρώτη χρονική στιµή. Κι δεδοµένης της ποσότητς που έχει η I, η II ποφσίζει την ποσότητ της. Στο τέλος άζουµε τ κέρδη των δύο ετιρειών σν συνάρτηση της ποσότητς κι των δύο. Θ χρησιµοποιήσουµε το ίδιο µοντέλο που νλύσµε την τελευτί φορά, ι ν δούµε πως διφέρουν τ ποτελέσµτ υτού του κινούριου µοντέλου µε το προηούµενο. Θ πούµε ότι η ζήτηση της οικονοµίς ι το προϊόν είνι ρµµική κι δίνετι πό τον τύπο: (Q - Q όπου Q. Το ορικό κόστος c είνι στθερό. Aς δούµε λοιπόν πως λύνετι έν τέτοιο πρόληµ. Η µεθοδολοί είνι ενική. Οποιοδήποτε πρόληµ έχει έν πίκτη που ποφσίζει πρώτος κι έν πίκτη που ποφσίζει δεύτερος ξέρουµε ότι υτό το πρόληµ λύνετι µε backwards induction. 73
Ξεκινάµε λοιπόν πηίνοντς στο τελευτίο στάδιο, όπου κι θ υποθέσουµε ότι ο πίκτης I έχει πάρει την πόφση του (η οποί είνι δεδοµένη ι το στάδιο, κι θ ρούµε την κλύτερη πάντηση που µπορεί ν δώσει ο πίκτης ΙΙ (κµπύλη ντίδρσης. Κτόπιν, πάµε πίσω έν ήµ κι λέµε: ο Ι ξέρει πως θ ντιδράσει ο ΙΙ. Άρ ο Ι θ πάρει υπόψη του την ντίδρση του ΙΙ κι θ την άλει µέσ στη συνάρτηση των κερδών του όπου κι θ µειστοποιήσει, προκειµένου ν ρει έν, έτσι ώστε δεδοµένης της ντίδρσης του ντίπλου του ν µειστοποιούντι τ κέρδη του. Αυτή είνι η µεθοδολοί. Συνεπώς πρέπει ν ξεκινήσουµε πό το δεύτερο στάδιο το οποίο όµως ήδη το έχουµε κάνει την προηούµενη φορά. ( ηλδή τι θέλουµε στο δεύτερο στάδιο; Την κλύτερη πάντηση, κι έχουµε την κµπύλη ντίδρσης. Την είχµε ρει την προηούµενη φορά. Είχµε πει ότι η κµπύλη ντίδρσης της ΙΙ σε κάθε πόφση του Ι δεν είνι τίποτε άλλο πρά: R ( c (I εν λλάζει τίποτ, το ίδιο πράµ θ συµεί κι τώρ. Απλώς προηουµένως ο ΙΙ δεν ήξερε την ποσότητ του Ι, τώρ όµως την ξέρει. Κι το στην (Ι είνι έν συκεκριµένο νούµερο. Αυτό που διφοροποιεί την νάλυση, είνι ότι ο πίκτης Ι νωρίζει τη έλτιστη συνέχει του πινιδιού ποι είνι. Άρ τι θ κάνει ο πίκτης Ι; Θ µειστοποιήσει τ κέρδη του κάτω πό έν περιορισµό: max ( a c a c ε. ω.. ηλδή είνι το ίδιο πρόληµ, εκτός πό µι λεπτοµέρει σική: ότι ο Ι ξέρει τι θ κάνει ο ΙΙ. max c c max ( c 74
Συνθήκη πρώτης τάξεως: (θ µς δώσει το έλτιστο ( c 0 c 0 c έλτιστο Ποιο είνι τ ; εδοµένου του έλτιστου έχουµε: c c c a c 4 Τώρ ποι είνι η τιµή µείον το ορικό κόστος στην ορά; c } - Q c c c c c 4 c c 4 εδοµένου του - c µπορούµε ν υπολοίσουµε τ κέρδη των δύο επιχειρήσεων. Π c Π ( c c c 4 Π ( c 8 Π c Π ( c c c Π 4 Π ( c 6 75
Eδώ έχουµε όλ τ ποτελέσµτ υτού του προλήµτος κι υτό που θέλουµε ν κάνουµε είνι ν τ συκρίνουµε µε τ ποτελέσµτ του µοντέλου όπου οι δύο επιχειρήσεις εκλέουν τυτόχρον τις ποσότητες τους (Cournot κι ν δούµε ποιος έχει πλεονέκτηµ: ο ηέτης ή ο κόλουθος; Αποτέλεσµ Cournot: c c ( c 9 Στο πρόληµ του tacklberg πιο πάνω, ο ηέτης είνι ο I. Ο I λύνει το πρόληµ µειστοποίησης των κερδών του πίρνοντς σν δεδοµένο τη κµπύλη ντίδρσης του II. Σύκριση Cournot & tackelberg: > c c > : ο ηέτης του tackelberg πράει µελύτερη ποσότητ πό ότι πράουν οι επιχειρήσεις στο Cournot, ότν εκλέουν τυτόχρον τις ποσότητες τους, κι υτό είνι µελύτερο πό την ποσότητ του κόλουθου. Η ίδι σχέση επίσης ισχύει ι τ κέρδη: Π > Π c Π c > Π Τι συµπέρσµ άζουµε; Ποιος έχει πλεονέκτηµ, υτός που κινείτι πρώτος ή ο κόλουθος; Αυτός που κινείτι πρώτος. Αυτό λέετι «First mover advantage» (πλεονέκτηµ του ηέτη Πρέπει ν έχουµε υπόψη µς ότι υτό δεν είνι έν ενικό ποτέλεσµ. Αυτό εξρτάτι πό το πίνιο. Σε ορισµέν πίνι το πλεονέκτηµ το έχει ο ηέτης σε ορισµέν άλλ µπορεί ν το έχει ο κόλουθος. Στο Cournot τ κέρδη κι οι ποσότητες θ είνι πάντ ίσ; Όχι, µόνο ότν είνι συµµετρικό το πινίδι. Ότν δεν είνι συµµετρικό το πινίδι δεν θ είνι ίσ. Κι ν δούµε ότι δεν είνι συµµετρικό το κόστος ή ν δεν είχν την ίδι τεχνολοί δεν είνι σίουρο ότι θ έχουν την ίδι τξινόµηση. Γι ν δούµε ποιο πό τ δύο µοντέλ Cournot κι tackelberg είνι πιο ντωνιστικό; Το προϊόν είνι οµοιοενές οπότε ν συκρίνουµε είτε την τιµή είτε την ποσότητ το ίδιο κάνει. Όσο πιο µεάλη είνι η ποσότητ τόσο πιο µικρή είνι η τιµή κι το ντίστροφο (*θ µπορούσµε επίσης ν συκρίνουµε την συνολική ποσότητ του κάθε µοντέλου µε υτήν του τέλειου ντωνισµού*. 76
Εδώ θ συκρίνουµε την τιµή του Cournot µε την τιµή του tackelberg. c c c ( c c 3 c -c 4 Άρ: c > οπότε στον Cournot πράετι λιότερη ποσότητ. Q c c c Q c ( c 3 Q Q Q 4 3 ( c Άρ: Q c < Q ( c ( c 4 Βλέπουµε λοιπόν ότι ο tackelberg πράει περισσότερη ποσότητ. Κάνµε την νάλυση µς µε τους ντωνισµούς σε ποσότητες. Τώρ πρέπει ν συµπληρώσουµε µε την νάλυση του ντωνισµού σε τιµές. Αντωνισµός σε τιµές. Ο ντωνισµός στις τιµές είνι έν κόµ πιο ισχυρό πράδειµ του διλήµµτος των φυλκισµένων. Γιτί ότν οι επιχειρήσεις ντωνίζοντι στις τιµές η ισορροπί κτά Nash που προκύπτει είνι τέτοι ώστε η τιµή ν είνι ίση µε το ορικό κόστος, κι τ κέρδη ν είνι µηδέν. Ξέρουµε ότι ο µονοπωλητής σε µι ορά κάνει ψηλά κέρδη, οπότε ν οι δύο ετιρείες συµφωνήσουνε ν δράσουν όπως δρ ο µονοπωλητής (δηλδή ν επιλέξουν την τιµή του µονοπωλητή κι ν µοιράσουν την πρωή µετξύ τους, κάθε ένς θ κάνει πολύ µεάλ κέρδη. Στην πρµτικότητ όµως κάτι τέτοιο δεν µπορεί ν ίνει, ιτί δεδοµένου ότι ο ένς θ κολουθήσει - θ θέσει µι ψηλή τιµή, ο άλλος έχει πάντοτε κίνητρο ν χµηλώσει την τιµή του κι ν κερδίσει περισσότερο. Το πράδειµ του Bertrand του ντωνισµού των τιµών είνι πολύ πιο έντονο ότν τ θά είνι οµοιοενή. Έστω η κµπύλη ζήτησης D(p µε κλίση ρνητική D (p < 0. Ας υποθέσουµε επίσης ότι το ορικό κόστος είνι πάλι στθερό c κι ότι οι τιµές είνι οι στρτηικές µετλητές. Προφνώς 77
υτό που πρέπει ν κοιτάξουµε είνι ν δούµε πως συµπεριφέρετι η κµπύλη ζήτησης κάθε µις πό τις δύο επιχειρήσεις. Εδώ επειδή έχουµε οµοιοενές προϊόν η λοική είνι πολύ πλή. D( i D( i D i ( i, j 0 < i i < i j j j Αν µι πό τις επιχειρήσεις έχει ψηλότερη τιµή δεν θ εξυπηρετήσει κνένν, ιτί όλοι οι κτνλωτές θ πάνε ν οράσουν το θό πό την άλλη επιχείρηση. Αν η τιµή της επιχείρησης είνι χµηλότερη πό την τιµή της άλλης τότε η ετιρεί i θ πιάσει όλη την ορά. Ότν οι τιµές των δύο ετιρειών είνι οι ίδιες υποθέτουµε ότι µοιράζοντι τη ζήτηση της οράς. Η πιο πάνω κµπύλη ζήτησης είνι συνεχής. Άρ εδώ θέλουµε ν προσδιορίσουµε ποι είνι η ισορροπί κτά Nash. Γι ν ρούµε την ισορροπί κτά Nash υτό που θ κάνουµε τώρ δεν είνι ν προσδιορίσουµε τις κµπύλες ντίδρσης λλά ν προτείνουµε κάποι ισορροπί κτά Nash κι ν δούµε ν πράµτι είνι. Κτόπιν επειδή µπορεί ν µην υπάρχει µόνο µι ισορροπί κτά Nash πρέπει ν ποκλείσουµε κι όλες τις άλλες περιπτώσεις ότι ποτελούν ισορροπί κτά Nash. Οπότε το πρώτο πράµ που πρέπει ν δούµε είνι ν ο συνδυσµός ( *c, *c είνι ισορροπί κτά Nash (δηλδή οι δύο τιµές είνι ίσες µε το ορικό κόστος. Τώρ έι ν η D i ( i, j είνι η κµπύλη ζήτησης προφνώς τ κέρδη είνι πάντοτε ίσ µε τη ζήτηση επί την τιµή µείον το ορικό κόστος: Π i ( i, j ( i cd i ( i, j Κτρχήν ιτί το ( *c, *c είνι µι ισορροπί κτά Nash; Αν η επιχείρηση ΙΙ κάνει c, το άριστο ι µέν είνι ν χρεώσω κι εώ c ιτί ν χρεώσω περισσότερ θ έχω µηδέν ζήτηση, ν χρεώσω πιο κάτω δεν µε συµφέρει ιτί δεν θ κλύπτοντι τ κόστη, άρ είνι το άριστο. εδοµένου ότι η ΙΙ θέτει µι τιµή ίση µε το ορικό κόστος η Ι δεν έχει κίνητρο ν υξήσει την τιµή ιτί δεν υξάνοντι τ κέρδη. Κι προφνώς δεν έχει κίνητρο ν µειώσει την τιµή ιτί θ έχει πώλειες. Κι υτό συµίνει κι ι τις δύο ετιρείες. Οπότε το ( *c, *c είνι µι ισορροπί κτά Nash. Γιτί όµως είνι η µονδική ισορροπί κτά Nash; Εδώ θ πρέπει ν ποκλείσουµε όλες τις άλλες ισορροπίες. Πρέπει ν δούµε άλλες τρεις περιπτώσεις που είνι υποψήφιες ισορροπίες: (i c < i * < j * (ii c i * < j * (iii c < i * j * 78
Πέρν πό υτές τις τρεις περιπτώσεις δεν υπάρχει κµιά άλλη περίπτωση. Οι (i-(iii κλύπτουν το σύνολο των ενδεχοµένων. Οπότε σε κάθε µι πό υτές τις περιπτώσεις µπορούµε ν δούµε ν υπάρχει κµί στρτηική κάποι επιλοή τιµής που ν δίνει µελύτερ κέρδη σε κάποι πό τις δύο ετιρείες. ηλδή ψάχνουµε ι κάποι πόκλιση. (i c < i * < j *. Ποι πόκλιση υπάρχει σε υτή την περίπτωση; j i * ε. Η επιχείρηση j θ θέσει µι τιµή η οποί θ είνι λίο µικρότερη πό την i. Με υτό τον τρόπο η επιχείρηση j πουλάει σε όλους, κάνει θετικά κέρδη ιτί j > c, άρ υτό το j i *- ε είνι µι πόκλιση η οποί υξάνει τ κέρδη σε µι πό τις επιχειρήσεις. Άρ υτό που υποθέσµε c < i * < j * ότι µπορεί ν είνι ισορροπί κτά Nash, δεν µπορεί ν είνι. (ii c i * < j * j j * ε. H i επιχείρηση µπορεί ν υξήσει την τιµή της κι ν ίνει λίο πιο µικρή πό την τιµή της j, θ πάρει όλη την ορά κι θ υξήσει τ κέρδη της. Άρ ρήκνε µι πόκλιση. Η i ετιρεί ότν i *c κάνει κέρδη µηδέν. Άρ µπορεί ν υξήσει τ κέρδη της υξάνοντς λίο την τιµή της, λλά ν µην είνι µελύτερη της ντιπάλου της. (iii c < i * j * j j * ε. Mι οποιδήποτε επιχείρηση πό τις δύο µπορεί ν θέσει µι µικρότερη τιµή. Εδώ τ πράµτ είνι λίο πιο µπερδεµέν ιτί κι οι δύο κάνουν θετικά κέρδη η τιµή που θέτουν είνι πάνω πό το ορικό κόστος κι µοιράζοντι µετξύ τους τη ζήτηση. Όµως µε το ν µειώσει κτά ε την τιµή η i, υπερδιπλσιάζει την ποσότητ την οποί πουλάει κι άρ υξάνει τ κέρδη. Αυτό που κάνουµε τώρ είνι thought experiment. Τι σηµίνει υτό; Ας πούµε ότι έρχετι κάποιος µεσολητής κι τους προτείνει ν θέσουνε τις τιµές c < i * j * οι οποίες είνι µελύτερες πό το ορικό κόστος. Η ερώτηση είνι: θ κολουθήσουν τις συµουλές ή όχι; εν υπάρχει επικοινωνί µετξύ των ετιρειών, ο κθένς σκέφτετι µόνος του. εν υπάρχει δυντότητ ν υποράψουν συµόλιο µε κάποι τιµωρί σε περίπτωση πράσης. Οπότε δεδοµένου του τι κάνει ο άλλος, πάντοτε η ετιρεί i έχει κίνητρο ν µειώσει την τιµή της κτά λίο κι ν πουλήσει σε όλη την ορά κι ν κάνει πολύ µελύτερ κέρδη. Αυτός είνι ο τρόπος που πρέπει ν σκέφτετι κνείς. Κάποιος έρχετι π έξω προτείνει έν συνδυσµό στρτηικών σν ισορροπί κι οι πίκτες το λέπουν κι λένε: θ κολουθήσω υτό που µε συµουλεύει ή όχι δεδοµένου τι θ κάνει ο άλλος. εν µπορεί ν ξέρει τι θ κάνει ο άλλος, δεν µπορεί ν επιάλλει στον άλλο τι θ κολουθήσει. Οπότε έχουµε ρει κι εδώ µι πόκλιση που δίνει περισσότερ κέρδη σε µι πό τις δύο ετιρείες. 79
Άρ η µόνη ισορροπί κτά Nash είνι οι τιµές ν είνι ίσες µε το ορικό κόστος. ( * *c κι σν ποτέλεσµ τ κέρδη ν είνι µηδέν. (Π *Π *0 Π i ( i c Di( i, j φού i c Π i 0 Οπότε λέπουµε µι διφορετική λοική µε την οποί ρίσκει κνείς την ισορροπί κτά Nash. Εδώ δεν έχουµε συνρτήσεις ντιδράσεις, ν κι θ µπορούσµε ν κτσκευάσουµε. Έτσι εδώ λέπουµε ότι οι επιχειρήσεις κάνουν µηδενικά κέρδη, στο Cournot κάνουν θετικά κέρδη οπότε εδώ είνι πολύ πιο ισχυρός ο ντωνισµός. (*Αν κι οι δύο κολουθήσουν µι στρτηική που δίνετι τότε υτή είνι ισορροπί κτά Nash. Αν το άτοµο θ κολουθήσει κάτι άλλο που το συµφέρει /το άτοµο που εξετάζουµε θετήσει το λόο του, τότε υτό δεν είνι ισορροπί κτά Nash. Γι ν δούµε τώρ ποιο είνι το ποτέλεσµ του µοντέλου ηέτη-κόλουθου ότν οι τιµές είνι η στρτηική µετλητή. Θ συµεί κάτι κινούριο, θ άλουµε άλλο ποτέλεσµ; Ηέτης-Ακόλουθος σε τιµές (tackelberg Π(, Π κέρδη δύο ετιρειών. (, Η ετιρεί Ι επιλέει την τιµή της. Η ετιρεί ΙΙ πρτηρεί την τιµή της ΙΙ κι επιλέει την τιµή της. (*σε υτά τ πινίδι οι πίκτες έχουν, έν άπειρο ριθµό στρτηικών ιτί κι p [0, ]*. Τι κάνµε πό το προηούµενο µάθηµ µέχρι τώρ; εν άλλξε το σενάριο. Το σενάριο είνι το ίδιο πλά έχουµε πράξη,, 3, 4 κι 5. Η πρώτη πράξη ήτν το πρώτο πράδειµ που φορούσε τον ντωνισµό στις ποσότητες. Το νλύσµε είδµε τι ιδιότητες έχει. Είπµε ότι έχει τη µορφή του διλήµµτος των φυλκισµένων, είδµε ποι είνι τ κέρδη κλπ. Σήµερ τι κάνµε; Υποθέσµε ότι οι δύο επιχειρήσεις δεν εκλέουν 80
την ποσότητά τους τυτόχρον λλά υπάρχει µι επιχείρηση που είνι ηέτης κι µι που είνι κόλουθος. Τι σηµίνει υτό; Πως λύνετι το πρόληµ κι ποι ποτελέσµτ έχει ι τ κέρδη, τις ποσότητες των δύο επιχειρήσεων; Στη συνέχει πήµε στην τρίτη πράξη κι είπµε ότι οι στρτηικές µετλητές είνι οι τιµές κι όχι οι ποσότητες. Τι σηµίνει υτό; Το λύσµε κι είδµε ότι ν οι µετλητές είνι οι τιµές, η ισορροπί κτά Nash δίνετι πό το * *c κι τ κέρδη ίσ µε το µηδέν. Τέτρτη πράξη. Ας πούµε τώρ ότι το σενάριο είνι οι τιµές λλά οι δύο επιχειρήσεις επιλέουν διδοχικά τις τιµές τους. Τι θ συµεί; Αυτό το πράδειµ θ δούµε τώρ κι στη συνέχει θ δούµε κι έν πέµπτο όπου το προϊόν δεν είνι οµοιοενές κι θ τελειώσουµε. Όλ υτά είνι εφρµοές των πινίων τ οποί έχουνε έν άπειρο ριθµό στρτηικών. Μέσω των πρδειµάτων εξηούµε τη ενική µεθοδολοί. Πάµε ν λύσουµε το πίνιο του Leader-Follower στις τιµές. Ποι είνι η ισορροπί του; Η µεθοδολοί είνι η ίδι: backwards induction. Το ποτέλεσµ είνι: c c (Ισορροπί Γιτί είνι υτή η ισορροπί; Αφού τo προϊόν είνι οµοιοενές οι τιµές πρέπει ν είνι ίσες. Γιτί όµως πρέπει ν είνι ίσες µε το ορικό κόστος; Εδώ δεν υπάρχει τυτόχρονη επιλοή, υπάρχει πληροφόρηση. Ο ΙΙ ότν πίρνει την πόφση τιµής ξέρει πολύ κλά ποι είνι η τιµή του Ι. Άρ ν ο πρώτος θ θέσει την τιµή του µελύτερη πό το ορικό του κόστος ο δεύτερος θ την θέσει λίο πιο κάτω ι ν πάρει όλη την ορά. Ουσιστικά ο ΙΙ θ θέσει τιµή χµηλότερη εκτός εάν η τιµή του Ι είνι ίση µε το ορικό κόστος. Αυτή είνι η κλύτερη ντίδρση του ΙΙ. εδοµένου ότι ο Ι ξέρει την ντίδρση του ΙΙ το µόνο που µπορεί ν κάνει ο Ι είνι ν θέσει µι τιµή ίση µε το ορικό κόστος. Άρ τι λέπουµε εδώ πέρ; Εδώ λέπουµε ότι η ισορροπί στο πιχνίδι διδοχικής επιλοής τιµών είνι κριώς η ίδι µε την ισορροπί τιµών στο πινίδι της τυτόχρονης επιλοής τιµών. εδοµένου ότι c η s δεν είνι νάκη ν είνι ίση µε το ορικό κόστος. Μπορεί η s ν είνι ο,τιδήποτε ιτί ο ΙΙ είνι διάφορος ν θ θέσει µι τιµή ίση µε το ορικό κόστος ή ν θέσει µι µελύτερη τιµή. Αφού έτσι κι λλιώς µηδέν κέρδη έχει. Ότν η πόφση των επιχειρήσεων είνι τυτόχρονη πάνω στις τιµές τους δεν µπορούµε ν πούµε ότι µι επιχείρηση θ θέσει µι τιµή µελύτερη πό την άλλη. Αυτό δεν ίνετι το ποκλείσµε. Αν όµως οι επιχειρήσεις θέτουν διδοχικά τις τιµές τους η επιχείρηση ΙΙ έχει δύο δυντότητες: ή ν µπει στην ορά ν πράει κι ν κάνει µηδέν κέρδη ή ν µην µπει κθόλου στην ορά, ιτί ξέρει την τιµή της Ι. Στο Leader-Follower στις τιµές υπάρχει µι ιστορί -έχει συµεί κάτι, υπάρχει η τιµή της ετιρείς Ι ίση µε το ορικό κόστος κι η ετιρεί ΙΙ µπορεί ή ν 8
θέσει c κι ν µοιράζοντι µετξύ τους την ορά κι ν κάνει κέρδη µηδέν ή ν εξφνιστεί πό την ορά. Άρ ουσιστικά δεν υπάρχει µι µονδική ισορροπί κτά Nash. Πολλά πό υτά τ πίνι έχουν πολλπλές ισορροπίες λλά µε το ίδιο ποτέλεσµ. ηλδή το ποτέλεσµ είνι κέρδη µηδέν κι η τιµή τουλάχιστον του ηέτη ίση µε το ορικό κόστος. Όµως το c είνι η πιο λοική ισορροπί. Η πέµπτη πράξη είνι η περίπτωση όπου τ θά δεν είνι τέλει υποκτάσττ. Ότν τ θά δεν είνι τέλει υποκτάσττ δεν έχουµε µι κµπύλη ζήτησης λλά δύο: µι ι κάθε θό. Ότν τ θά είνι διφοροποιηµέν κι οι τιµές είνι η στρτηική µετλητή των επιχειρήσεων τότε υρνάµε πίσω στη µεθοδολοί που κολουθήσµε στην περίπτωση του Cournot ή την περίπτωση του tacklberg όπου οι επιχειρήσεις διδοχικά εκλέουν τις ποσότητες τους. Κι τούτο ιτί τώρ πλέον δεν έχουµε υτή την συνέχει της κµπύλης ζήτησης. Είδµε ότι η κµπύλη ζήτησης στην περίπτωση του ντωνισµού στις τιµές είνι συνεχής. Με µι µικρή πτώση της τιµής της µις πό τις δύο επιχειρήσεις η επιχείρηση πουλάει σε όλη την ορά κι υξάνει κτά πολύ τ κέρδη της. Αυτό δεν θ συµεί ν τ προϊόντ δεν είνι τέλει υποκτάσττ. Στον Cournot δεν συνέη κάτι τέτοιο. Υπήρχν κάποιες συνρτήσεις ντίδρσης οι οποίες ήτνε συνεχείς. Άρ πίρνουµε της εξής περίπτωση: D (, b d (A d > > 0 0 D (, b d που έχουµε δύο κµπύλες ζήτησης όπου τ θά είνι διφοροποιηµέν µετξύ τους /δεν είνι τέλει υποκτάσττ. Κι όπου το d/b µετράει το σχετικό θµό υποκτάσττης κι πρέπει d/b< ι ν είνι διφοροποιηµέν. Τώρ υτό το πρόληµ πως θ λυθεί; Ας πούµε ότι το δύο επιχειρήσεις εκλέουν τις τιµές τους τυτόχρον τι θ κάνουνε; Ποι είνι η µέθοδος που κολουθούν; Έν προηούµενο ερώτηµ είνι πως ίνουν οι εξισώσεις (Α; Υπάρχει ένς ντιπροσωπευτικός κτνλωτής στην οικονοµί του οποίου η συνάρτηση χρησιµότητς δίνετι πό την: u(, ( ( m όπου m πριστάνει το χρήµ, δηλδή τ υπόλοιπ θά (σύνθετο θό οπότε κάνουµε normalized την τιµή του χρήµτος σε m 8
83 Υποθέτουµε ότι οι τιµές των δύο θών είνι κι. Μειστοποιώντς την συνάρτηση u(, κάτω πό κάποιο εισοδηµτικό περιορισµό/budget constraint, ρίσκουµε τις ντίστροφες κµπύλες ζήτησης. Τώρ τι ιδιότητ έχει η συνάρτηση χρησιµότητς: u(, ( ( m ; Είνι µι συνάρτηση χρησιµότητς uasi linear (οιονεί ρµµική. Αυτό σηµίνει ότι τ δύο θά έχουνε ζητήσεις οι οποίες δεν εξρτούντι πό το επίπεδο εισοδήµτος του τόµου. ηλδή: I m p p U,...., ( max ω τ όπου Ι εισόδηµ του κτνλωτή. Λύνοντς υτό το πρόληµ θ προκύψει το εξής σύστηµ κι έτσι προκύπτει υτό το σύστηµ των ντίστροφων κµπυλών ζήτησης. Από υτό το σύστηµ ν το ντιστρέψουµε πίρνουµε το σύστηµ κµπυλών ζήτησης (Α D (,, D (, Πως ντιστρέφουµε έν σύστηµ; Ότν έχουµε έν σύστηµ ντιστρόφων κµπυλών ζήτησης κι θέλουµε ν το ντιστρέψουµε, πρέπει ν ντιστρέψουµε έν σύστηµ δύο εξισώσεων µε δύο νώστους. Πρέπει ν εκφράσουµε τ i συνρτήσει των, (λλά κι τ δύο µζί Ουσιστικά: a ( (κνόνς του Cramer (
Οπότε µπορούµε ν δούµε ότι υτή η λύση είνι ντίστοιχη µε το σύστηµ (Α των δύο συνρτήσεων ζήτησης όπου: a b, d Οπότε είνι λοικό ν υπάρχει έν σύστηµ ζητήσεων της µορφής (Α κι είνι λοικό ν ζητήσουµε τι θ συµεί ν οι επιχειρήσεις η κάθε µι πράει έν προϊόν κι επιλέει την τιµή της. Η επιλοή υτή είνι είτε τυτόχρονη είτε διδοχική. Το πρόληµ της τυτόχρονης επιλοής λύνετι όπως κριώς κάνµε στην περίπτωση του Cournot. ηλδή κάθε επιχείρηση µειστοποιεί τ κέρδη της σχέση µε την επιλοή της τιµή της, πίρνοντς την τιµή του ντιπάλου σν δεδοµένη. Αυτό θ µς δώσει µι συνάρτηση ντίδρσης η οποί ποδεικνύετι ότι έχει θετική κλίση. Οι δύο συνρτήσεις ντίδρσης έχουν έν σηµείο τοµής το οποίο µς δίνει την ισορροπί κτά Nash. (ότι κάνµε στον Cournot. Oι συνρτήσεις ντίδρσης θ είνι ως προς την τιµή. Οι ποσότητες θ µετληθούνε επειδή µετάλλοντι οι τιµές. Ο ντωνισµός στην ορά συνήθως είνι σε τιµές άρ µπίνει µι τιµή κι κθορίζετι η ποσότητ. εδοµένου ενός δινύσµτος τιµών υπάρχει µι ντίστοιχη ποσότητ που µπορεί ν πουληθεί στην ορά. Άρ οι δύο τιµές προσδιορίζουνε τις δύο ποσότητες. Επιχείρηση Ι max ( b d ( p c Όπως πάντ λέµε στην ισορροπί κτά Nash: δεδοµένου του τι κάνει ο άλλος ποιο είνι το κλύτερο που µπορούµε ν κάνουµε εµείς. εδοµένου ποιο είνι το έλτιστο, το οποίο ρίσκετι πό την συνθήκη πρώτης τάξης: b d ( c( b0. bc d b R ( κµπύλη ντίδρσης της ετιρείς σε κάθε τιµή της ετιρείς Αυτό που είνι ενδιφέρον ν δούµε είνι ότι ότν d > 0 το οποίο το υποθέτουµε ι ν είνι τ θά υποκτάσττ µετξύ τους d > 0 η κλίση της κµπύλης ντίδρσης είνι θετική. D 84
Οπότε εδώ η µέθοδος ι ν ρεθεί η ισορροπί κτά Nash είνι ίδι. Θ ρεθούνε οι δύο κµπύλες ντίδρσης, θ λυθεί το σύστηµ R (p, R (p κι θ ρεθούνε οι τιµές ισορροπίς κτά Nash. - bc d R(p b Λό ω συµµετρίς : - bc d R (p b - bc d b - bc d b ( a bc Οπότε b d bc d bc d b b 85