FIZICA se ocupă cu studiul proprietăţilor şi naturii materiei, a diferitelor forme de energie şi a metodelor prin care materia şi enegia interacţionează în lumea în care ne înconjoară.. Introducere in Fizică Fizica, fiind una din stiintele fundamentale ale naturii, care studiaza cele mai simple dar, în acelasi timp, si cele mai generale forme de mişcare sau de transformare ale materiei. În acest sens, fizica studiază toate procesele mecanice, termice, electromagnetice, etc. Scopul fizicii este acela de a descoperi şi aplica legile care guverneaza interactiunile dintre corpurile materiale sau dintre corpurile materiale si diferite câmpuri de forte. Fizica se împarte în mai multe domenii: mecanica, termodinamica, electromagnetismul, optica, fizica solidului, fizica nucleara. În secolul trecut au fost introduse noi capitole ale fizicii, cum ar fi: fizica plasmei, fizica semiconductorilor, fizica supraconductorilor, biofizica, fizica particulelor elementare, etc. Din acest punct de vedere, putem vorbi de caracterul pluridisciplinar al stiintei în general, deoarece multe din fenomenele studiate se situează deseori la granişa dintre mai multe domenii stintifice... Notiuni fundamentale ale Fizicii Fenomen fizic. Fenomenul fizic (procesul sau transformarea) reprezintă o succesiune de modificari ale unui anumit corp, sau sistem de corpuri, care evolueaza în timp, dupa o anumită lege. Toate schimbările de acest fel formează obiectul de studiu al fizicii şi sunt evaluate calitativ si cantitativ prin observatii. Mărime fizică şi măsurare. Mărimile fizice definesc proprietăţi ale corpurilor sau caracterizează procese în care schimbările ce survin pot fi descrise cantitativ. Exemple de marimi fizice sunt: masa, temperatura, viteza, sarcina electrica. Fizica a fost numita mult timp ştiiţa măsurării, deoarece studiul fenomenelor fizice implică măsurarea mărimilor ce le caracterizeaza. Măsurarea este un proces prin care se compara mărimea fizică respectivă cu o marime bine definită, de aceeaşi natură, ce a fost aleasă ca unitate de masură. Această comparare (sau măsurare) se realizează cu ajutorul unui instrument de masură. Iată câteva exemple de unităţi de măsură: metru pentru lungimi, secundă pentru durate, kg pentru mase. Unele mărimi fizice sunt mărimi fundamentale, ele fiind definite numai prin descrierea procedeului de măsurare. De exemplu, distanţa se determină prin măsurare cu o riglă, iar timpul prin măsurare cu un ceas. Alte marimi fizice sunt mărimi derivate, ele fiind definite prin formule de calcul ce utilizeaza mărimile fundamentale. De exemplu, viteza reprezintă raportul dintre distanţa parcursă şi durata deplasării corpului. De-a lungul timpului s-au utilizat diferite sisteme de unităţi de măsură, adică seturi
de marimi fizice fundamentale şi de unitaţi de măsură corespunzatoare acestora. În zilele noastre se utilizeaza cel mai frecvent Sistemul International de Măsură, cunoscut sub sigla SI, care utilizeaza urmatoarele mărimi şi unităţi fundamentale: Mărime Unităţi de măsură fundamentale Denumire Simbol Lungime metrul m Masa kilogram kg Timp secunda s Intensitatea curentului amper A electric Temperatura termodinamică kelvin K Cantitatea de substanţă mol mol Intensitatea luminoasă candela cd Două unităţi suplimentare se adauga celor de mai sus, şi anume pentru unghiul plan, radianul (rad) şi pentru unghiul solid, steradianul (sterad). Toate celelalte marimi fizice şi unităţile lor se exprimă cu ajutorul marimilor fizice şi al unităţilor lor fundamentale. În ceea ce privete multiplii si submultiplii unităţilor de măsură, pentru a le exprima, se utilizeaza urmatoarele prefixe: Pentru multipli: deca-; hecto-; 3 kilo-; 6 mega-; 9 giga-; tera-. Pentru submultipli: - deci-; - centi-; -3 mili-; -6 micro-; -9 nano-; - pico-. Alte Sisteme de Unitati. Dintotdeauna, oamenii au avut libertate în alegerea marimilor fizice si a unitatilor lor de masura. De aici a rezultat un anumit grad de arbitrar în exprimarea marimilor fizice. De exemplu, în locul masei se poate alege ca marime fundamentala forta. Cele mai frecvente sisteme de unitati întâlnite în practica, în afara de SI, sunt: CGS (centimetru-gram-secunda) si MKfS (metrukilogram-forta-secunda). O parte a literaturii de fizica este scrisa în sistemul CGS, deoarece era sistemul cel mai raspândit în secolele XVIII si XIX. Dar legile fizicii, care exprima relatii între marimi fizice masurabile, sunt aceleai indiferentr de sistemul de unitati utilizat pentru a le exprima. Mărimile fizice pot fi mărimi scalare sau mărimi vectoriale. Mărimile fizice scalare sunt determinate numai prin valoarea lor numerică. Un exemplu de mărime scalară este masa unui corp, m kg. Mărimile vectoriale sunt determinate prin valoarea lor numerica (numita marimea vectorului sau modulul vectorului), prin direcţia si sensul vectorului. Câmp fizic. Se numeste câmp fizic regiunea din spaţiu unde se manifestă o anumită mărime fizică şi unde, în fiecare punct din regiune, mărimea fizică are o anumita valoare. Câmpurile fizice pot fi câmpuri scalare sau câmpuri vectoriale, în functie de marimea fizica ce le caracterizeaza. Exemple de câmpuri fizice sunt: (i) temperatura dintr-o camera, care formeaza un câmp scalar; (ii)vectorii câmp electric
dintr-un nor de ploaie, care genereaza un câmp vectorial. Lege fizica. Anumite fenomene sau procese fizice pot avea legaturi cauzale bine definite. Prin observatii sau prin determinari experimentale, oamenii descopera aceste legaturi si stabilesc relatiile cauzale între schimbarile diferitelor marimi fizice ce caracterizeaza fenomenele respective. Legile generale care guverneaza fenomenele fizice se numesc legi fizice. Pe baza legilor fizice se poate analiza un anumit fenomen care este observat în natura sau în laborator. De asemenea, aplicând legi fizice specifice, se poate prevedea starea viitoare a unui sistem fizic. Experiment fizic. Observatiile dirijate efectuate în laborator, în scopul întelegerii unor fenomene fizice, se numesc experimente. Pentru a fi considerate valabile, experimentele trebuie sa îndeplineasca unele conditii. Trebuie sa existe o concordanta între: (i) rezultatele analizei stiintifice a unui anumit fenomen (exprimate printr-o lege), (ii) observatiile dirijate din laborator (experiment) si (iii) observarea fenomenului în natura. Timp. Timpul reprezinta o masura a duratei proceselor fizice, el fiind masurat prin durata unui anumit proces. Masurarea timpului se poate face cu ajutorul unor miscari periodice (oscilatii mecanice, vibratii atomice sau moleculare). Unitatile si etaloanele de timp au evoluat de-a lungul timpului, ele stabilindu-se în functie de durata unui anumit fenomen fizic periodic uniform. În prezent, unitatea de timp este secunda. Secunda este definita pe baza perioadei, T Cs, a radiatiilor emise de atomii izotopilor de Cesiu-33, în urma unor anumite tranzitii între doua stari energetice. Spatiul si lungimea. Corpurile fizice ocupa un anumit loc în spatiu, având anumite dimensiuni (lungime, latime, grosime, volum, arie, etc.). De asemenea, locul lor în spatiu se modifica în functie de miscarea pe care o efectueaza. Dimensiunea unui corp se stabilete prin compararea sa cu un alt corp, considerat etalon de lungime. Etalonul de lungime actual este metrul, care reprezinta 65763,73 lungimi de unda ale radiatiei portocalii a atomului de Kripton-86 la tranzitia p 5d 5 în vid. În mod formal, standardul pentru unitatea de masura a lungimii este distanta dintre doua linii paralele trasate pe o bara de platina-iridiu, pastrata în conditii de presiune si temperatura constante, la Sévres (lânga Paris). Toate celelalte lungimi se exprima prin compararea cu acest metru-standard. Spaţiul constituie o notiune filozofica, el fiind "locul" în care se desfasoara fenomenele fizice. Spatiul fizic conventional este spatiul euclidian, care este tridimensional. În spatiul tridimensional sunt suficiente trei numere care sa descrie pozitia unui corp în spatiu. Aceste numere sunt determinate prin alegerea Sistemului de referinta fata de care se raporteaza corpul. Sistemul de referinta este format dintrun sistem de trei axe perpendiculare între ele în spatiul tridimensinal si un ceasornic, în aa fel încât sa se poata determina distante si durate de timp. Axele sistemului de referinta au câte un vector unitate, numit versor, de modul unitate, si a carui directie da sensul pozitiv al axei respective. În fig.. se prezinta un sistem de referinta, în i, j, k care axele de coordonate sunt Ox, Oy si Oz. Versorii axelor sunt vectorii. Modul în care se exprima pozitia corpului în spatiu depinde de sistemul de coordonate. De regula, cele trei numere care descriu pozitia corpului sunt proiectiile, pe cele trei axe ale sistemului de referinta, ale punctului care constituie centrul de 3
masa al corpului. Acestea se numesc coordonatele carteziene ale corpului. Alte sisteme de coordonate utilizeaza o distanta si doua unghiuri (coordonate sferice), sau doua distante si un unghi (coordonate cilindrice). Punct material. Un corp fizic cu dimensiuni neglijabile si având masa concentrata într-un punct, numit centru de masa, se numeste punct material. Aproximatia de punct material constituie cel mai simplu model fizic. Pe durata deplasarii sale, punctul material se numeste mobil. Pozitia mobilului P din fig.. este data de vectorul de pozitie, exprimat în functie de coordonatele carteziene sub forma : r OP xe + ye + ze r e re x y z r r Numerele x, y, si z se numesc coordonatele carteziene ale punctului M. Modulul vectorului de pozitie este dat de relatia: cos α x, cos β y, cosγ z r r r 4
Relaţia a fost introdusă şi în geometria analitică, pentru a exprima distanţa dintre două puncte în spaţiu... Operaţii vectoriale Într-un sistem cartezian de coordonate în care versorii i, j, k definesc sistemul ortogonal drept, un vector a se scrie a axi + a y j + azk, unde a x, a y, az sunt componentele vectorului a pe axele de coordonate. Modulul vectorului: a a + a + a. x y z r x i + y j + z k ; r r x + y + z. a b a b cos a, b Exemplu: Produsul scalar a doi vectori: ( ), sau folosind componentele vectorilor pe axele de coordonate: a b axbx + a yby + azbz. Observaţie: Dacă doi vectori sunt perpendiculari a b ; (exemplu i j, i k, j k ); Dacă doi vectori sunt paraleli a b a b ; (exemplu i i, j j, k k ). Exemplu: đ L F dr - lucrul mecanic elementar. Produsul vectorial a doi vectori c a b este vectorul normal la planul determinat de a şi b, al cărui sens se determină cu regula burghiului drept. Modulul său este: a b a b sin( a, b ). Folosind componentele vectorilor produsul vectorial este: i j k a b ax a y az. bx by bz Observaţie: Dacă doi vectori sunt paraleli a b ; (exemplu i i, j j, k k ); Dacă doi vectori sunt perpendiculari a b a b ; (exemplu i j şi i j k ). Exemplu: J r p - momentul cinetic. 5
Cap.II. MECANICA II. Introducere Studiază cea mai simplă formă de mişcare a materiei, mişcarea mecanică. Mişcarea mecanică reprezintă modificarea în cursul timpului a poziţiei unor corpuri în raport cu alte corpuri. Pentru a stabili dacă un obiect se mişcă sau este în repaus ne fixăm un reper spaţial numit sistem de referinţă, sau referenţial. Dacă obiectul îşi schimbă poziţia faţă de referenţial el se găseşte în stare de mişcare, dacă nu îşi schimbă poziţia faţă de referenţial se găseşte în stare de repaus. Starea de mişcare sau de repaus este relativă. Repausul este un caz particular al mişcării. Nu există un corp absolut imobil. Cea mai simplă mişcare pe care o putem concepe este mişcarea unui corp ale cărui dimensiuni pot fi neglijate. Pentru acesta, în mecanică se foloseşte noţiunea de punct material. Punctul material reprezintă un punct geometric, purtător al întregii mase a corpului. Mecanica este divizată în trei capitole principale: - cinematica cuprinde studiul diferitelor tipuri de mişcări mecanice, fără a lua în considerare cauzele care le produc sau le pot modifica - dinamica se referă la studiul cauzelor numite forţe, care întreţin sau modifică mişcările - statica se ocupă cu studiul echilibrului corpurilor şi al sistemelor de corpuri sub acţiunea unor forţe care îşi compensează reciproc efectele. Elementele mişcării Pentru a putea descrie mişcarea unui punct material este necesar să putem preciza ori de câte ori dorim poziţia exactă a mobilului. Aeeasta se realizează prin alegerea unui sistem de coordonate. Exemplu: un sistem de trei axe ortogonale, solidar legate de reperul considerat formează un sistem de referinţă cartezian. Poziţia unui punct se determină în acest caz prin coordonatele sale carteziene x, y, z. Elementele fundamentale ale mişcării sunt: - traiectoria - reprezintă locul geometric al poziţiilor succesive pe care le ocupă punctul material în mişcare, sau drumul străbătut de punctul material. Acesta este o linie geometrică şi după cum este aceasta, mişcarea este rectilinie sau curbilinie. - unitatea de lungime este metrul - durata mişcării prin este măsurată prin timpul scurs între momentul plecării corpului şi momentul opririi sale. Unitatea de măsură pentru timp este secunda. 6
II.. CINEMATICA Problema cinematicii este următoarea: cunoscând în orice moment poziţia punctului material faţă de sistemul de coordonate dat, adică ştiind modul în care coordonatele depind de timp, x f ( t), y f ( t), ( ) z f t, să se determine 3 traiectoria, viteza şi acceleraţia sa. Fie un sistem de trei axe de coordonate Ox, Oy, Oz perpendiculare între ele (fig.). A da coordonatele unui punct P în limbaj vectorial revine la a scrie vectorul de poziţie r : r x i + y j + z k Fig. Cunoaşterea la orice moment a poziţiei punctului faţă de sistemul de coordonate considerat fix revine la a cunoaşte dependenţa de timp a funcţiei vectoriale: r r t x t i + y t j + z t ( ) ( ) ( ) ( ) k II...Viteza Mişcarea rectilinie. Poziţia corpului în orice moment poate fi dată prin distanţa s de la punctul P în care se află la momentul respectiv la un punct O de pe dreaptă ales ca origine a mişcării. Adică să se cunoască (fig.): s f ( t), unde f ( ) În cazul mişcării rectilinii, viteza este egală cu distanţa parcursă de mobil într-un interval de timp, raportată la acest interval de timp. Viteza medie cu care mobilul parcurge distanţa dintre punctele P şi P este: s s s v m Fig. t t t Pentru a cunoaşte mai precis mişcarea ar trebui să ştim viteza mobilului pe s porţiuni oricât de mici ale traiectoriei. Astfel, va fi cu atât mai aproape de t viteza cu care mobilul trece prin P cu cât s este mai mic: v m s t s ( t + t) s( t ) t 7
Când îl facem pe t, şi s şi obţinem: v s, când t sau t ds v, dt care se numeşte viteza instantanee a mobilului în momentul t, în care trece prin punctul P şi care este numeric egală cu derivata spaţiului în raport cu timpul calculată pentru momentul t t. Pentru a descrie corect mişcarea unui mobil, care în general poate avea loc în lungul unei traiectorii curbilinii este necesar să dăm nu numai valoarea vitezei instantanee ci şi directia şi sensul mişcării, ceea ce înseamnă să găsim vectorul viteză instantanee, numit vectorul viteză. În cazul mişcării rectilinii, viteza va fi un vector orientat de-a lungul dreptei pe care se deplasează mobilul şi îndreptat în sensul r mişcării. Dacă alegem originea O într-un punct de pe această dreaptă, vectorul ( t) este un vector de direcţie fixă şi de lungime s. Atunci: v ( t) lim t r ( t + t) r( t) t dr dt Dacă r este situat în planl xoy, componentele vectorului v după direcţiile axelor de coordonate sunt: dx v x, dt dy v y, dt v z dz dt iar mărimea vitezei: v + v x v y Fig.3 Mişcarea curbilinie. Fie o traiectorie curbilinie care se află în planul xoy, iar mobilul la momentul t se află în punctul P, caracterizat de vectorul de poziţie r ( t o ). După un interal de timp t parcurge arcul P P s şi se află în punctul P determinat de vectorul de poziţie r( t) r ( t + t). Pentru a găsi viteza instantanee trebuie să luăm intervale t. În acest caz atât lungimea arcului cât şi 8
a coardei tind la zero, ceea ce înseamnă că se suprapun, având ambele direcţia tangentei la curbă. Pe o porţiune foarte mică a traiectoriei, putem considera mişcarea rectilinie iar viteza mobilului are valoarea: v t s lim, t orientată în direcţia tangentei a traiectorie în punctul P. Deoarece atunci când t coarda P P coincide cu tangenta, expresia vectorială a vitezei este: v ( t) dr dt În cazul unei traiectorii curbilinii în spaţiu se poate scrie: v v x i + v y j + v dx dy v x, v y, dt dt z k dz v z dt v v + v + v x y z Unitatea de măsură în S.I. pentru viteză va fi m/s. II... Acceleraţia Este mărimea fizică ce caracterizează modul în care variază viteza în timp. Mişcarea rectilinie. Dacă mobilul are viteza v în momentul t în care trece prin punctul P şi viteza v în momentul t în care trece prin punctul P, numim acceleraţie raportul dintre variaţia vitezei v v v şi intervalul de timp t t, în care are loc această variaţie: t a m v t v v t t o o Aceasta este acceleraţia medie iar pentru a o defini în fiecare punct vom proceda ca în cazul vitezei. Acceleraţia instantanee în momentul t se defineşte ca derivata vitezei în raport cu timpul, pentru t t a v t v ( t + t) v( t ) t, când t 9
adică, a dv dt Mişcarea curbilinie. În cazul mişcării curbilinii, viteza ca vector variază atât în mărime cât şi în direcţie. Vectorul acceleraţie îl vom determina făcând raportul dintre variaţia vitezei v şi intervalul de timp t în care are loc şi vom considera apoi acest interval din ce în ce mai mic, t. adică, a v t v ( t + t) v( t ) dv a dt d r dt t când t Acceleraţia este dată de derivata de ordinul I a vitezei în raport cu timpul sau de derivata de ordinul II a vectorului de poziţie în raport cu timpul. Acceleraţia poate fi descompusă după cele trei axe de coordonate: a a i a j a k x + y + z dv d x dv x y d y a, a, x y dt dt dt dt a a t + a n, a dv dt z z d z dt unde a reprezintă acceleraţia tangenţială care t caracterizează variaţia vitezei în mărime, iar a n reprezintă acceleraţia normală şi descrie modificarea direcţiei vitezei în timp(fig. 4). Unitatea de măsură în S.I. pentru acceleraţie va fi m/s Fig. 4 II..3. Legi de mişcare Numim lege de mişcare o relaţie care exprimă dependenţa de timp a unei coordonate, sau a distanţei de la mobil la origine, dependenţă cu care putem caracteriza evoluţia în timp a punctului. După forma traiectoriei, mişcarea se poate clasifica în: - mişcare rectilinie în care traiectoria este o linie dreaptă - mişcare curbilinie dacă traiectoria este o linie curbă După legea de mişcare mişcarea se poate clasifica în:
- mişcare uniformă, dacă viteza mobilului rămâne constantă în mărime - mişcare variată, dacă mărimea vitezei nu e constantă în timp: - mişcare accelerată, când viteza creşte în timp, - mişcare încetinită, când viteza scade în timp - mişcare periodică, acea mişcare care se repetă după un anumit interval de timp, numit perioadă. II..3.. Mişcarea rectilinie Mişcarea rectilinie uniformă. Un mobil se mişcă rectiliniu şi uniform dacă traiectoria sa esta o linie dreaptă şi parcurge distanţe egale în intervale de timp egale. Vectorul viteză are în decursul mişcării aceeaşi direcţie, iar viteza instantanee coincide cu viteza medie. Dacă la momentul t t mobilul se găseste la distatnţa s, de punctul ales ca origine, legea mişcării rectilinii va fi: s s + ( t ) v t unde v este viteza mobilului. Deoarece traiectoria este o linie dreaptă, alegem ca direcţie de mişcare a mobilului axa Ox. În acest caz(fig. 5): x x + v ( t ), y ( t), z ( t) t Fig.5 Dacă v este pozitiv, mobilul se depărtează de origine. Reprezentarea gafică a relaţiei dintre distanţă şi timp, luând pe abscisă timpul iar pe ordonată distanţa se numeşte diagrama mişcării(fig. 6). Panta dreptei este dată de: tg α v Fig. 6 Mişcarea rectilinie uniform variată. Un mobil descrie o mişcare rectilinie uniform variată dacă traiectoria sa este o linie dreaptă, iar viteza variază cu cantităţi egale în intervale de timp egale. În acest caz, vectorul acceleraţie are
aceeeaşi direcţie şi mărime în tot timpul mişcăriii iar acceleraţia instantanee coincide cu cea medie, adică aceleraţia este constantă. Dacă a o este acceleeraţia constantă a mobilului, viteza pe care o va avea la momentul t va fi: v v ( t ) + a t, unde v este viteza pe care o avea mobilul la momentul t t. Legea mişcării rectilinie uniform variată este: s s + v ( t t ) + a ( t t ) ): Alegând axa Ox în lungul traiectoriei vom avea( a x a const., a y a z x( t) x + v ( t t ) + a ( t t ), y, z Alegând axa Ox în direcţia lui v, adică v o > şi notând cu a valoarea absolută a acceleraţiei, putem scrie: v x v ( t ) ± a t x ( t) x + v ( t t ) ± a ( t t ) unde termenii cu a au semnul (+) în cazul mişcării uniform accelerate şi semnul ( ) în cazul mişcării uniform încetinite. Pentru a determina viteza mobilului în mişcarea uniform variată în funcţie de spaţiul parcurs folosim relaţia lui Galilei: v v ( s ) + a s II..3.. Mişcarea circulară Un mobil execută o mişcare circulară dacă traiectoria sa este o circumferinţă. Mişcare amobilului pe cercul de rază R este cunoscută dacă ştim la fiecare moment unghiul la centru α PO ˆP, deci funcţia α α( t) (fig. 7).
Fig. 7 Mişcarea circulară uniformă. Mobilul parcurge arce egale în intervale de timp egale, adică raza vectoare acoperă unghiuri egale. Mărimile ce caracterizează mişcarea circulară uniformă sunt: - viteza unghiulară care reprezintă unghiul descris de raza vectoare în unitatea de timp, ω şi se măsoară în radiani/secundă ω α const. t - perioada de rotaţie T care re prezintă timpul în care mobilul parcurge întreaga circumferinţă, adică raza vectoare acoperă un unghi de π şi se măsoară în secunde. - frecvenţa de rotaţie υ care reprezintă numărul de rotaţii executate de mobil în unitatea de timp şi se măsoară în rotaţii/secundă. Perioada şi frecvenţa de rotaţie sunt mărimi inverse, deci: T ν Într-un timp egal cu o perioadă raza vectoare acoperă un unghi de de unde, viteza unghiuară este dată de : π ω π ν T - viteza liniară este viteza cu care mobilul parcurge circumferinţa, adică arcul străbătut în unitatea de timp. Este un vector orientat după tangenta la traiectorie având mărimea: v s când t, t s R α R ω t π R v R ω π R ν t t t T 3
În cazul mişcării circulare uniforme viteza liniară este un vector tangent la circumferinţă, orientat în sensul mişcării, de mărime constantă şi egală cu produsul dintre raza circumferinţei şi viteza unghiulară. Vectorul viteză nu este constant în timp, deşi în mişcarea circulară uniformă mărimea vitezei este aceeaşi, direcţia sa se modifică, pentru a rămâne tangentă la traiectorie, ceea ce înseamnă că apare o acceleraţie. Acceleraţia normală în mişcarea circulară uniformă se numeşte acceleraţie centripetă şi este dată de: a n ω R r ω r Deoarece viteza variază doar în direcţie, în acest tip de mişcare, rezultă că a t. Mişcarea circulară neuniformă Viteza unghiulară va fi definită astfel: ω α, când t t ω dα dt În acest caz se poate defini şi o acceleraţie unghiulară, ε, prin relaţia: ε ω, când t t ε dω dt Între vectorul viteză liniară şi vectorul viteză unghiulară putem scrie relaţia: v ω r, Relaţie care leagă corect sensurile vectorilor r, ω şi v precum şi mărimile lor: a n v v ω r sin ω ( r ) În cazul mişcării circulare neuniforme, pe lângă acceleraţia normală, ω R r ω r, mai apare şi o acceleraţie tangenţială a care dă variaţia t modulului vitezei: 4
a t a ε r a t + a n II.3. Dinamica Dinamica este capitolul mecanicii care studiază cauzele mişcării corpurilor încercând să răspundă la întrebarea de ce un anumit corp este: în repaus, în mişcare rectilinie uniformă, uniform variată, circulară etc. II.3. Principiile dinamicii Rezolvarea problemelor de mecanică clasică se bazează pe câteva principii fundamentale, obtinute prin generalizarea observaţiilor experimentale. Cele trei principii, ce au fost formulate de Galilei şi de Newton, sunt suficiente pentru a explica toate mişcările mecanicii clasice, adica mişcările ce se desfăşoară cu viteze mult mai mici decât viteza luminii în vid, c 3 8 m/s. Daca vitezele punctelor materiale se apropie de viteza luminii în vid, atunci mişcările lor se supun principiilor relativitatii restrânse ale lui Einstein. Inerţia proprietatea unui corp de a-şi menţine starea de repaus sau de mişcare rectilinie şi uniformă, în absenţa acţiunilor exterioare, sau de a se opune la orice acţiune exterioară care caută să-i schimbe starea de mişcare. O măsură a inerţiei este masa inerţială. Pe lângă aceasta în literatura de specialitate se specifică şi masa gravitaţională care reprezintă o măsură a interacţiunii gravitaţionale dintre două corpuri. Masa inerţială şi masa gravitaţională ale unui corp sunt două mărimi fizice, cu semnificaţii fizice diferite deoarece ele caracterizează proprietăţi diferite ale aceluiaşi corp. Se demonstrează, teoretic şi experimental, că pentru un acelaşi corp, cele două mase sunt egale, mimgm, astfel încât, pentru simplitate, vom vorbi despre masa unui corp.[m]kg Principiul I (principiul inerţiei) Un punct material îşi păstrează starea de mişcare rectilinie şi uniformă sau de repaus relativ atât timp cât asupra sa nu acţionează alte corpuri care să-i schimbe această stare. Sistemele de referinţă în care este valabil principiul inerţiei se numesc 5
sisteme de referinţă inerţiale. Orice sistem de referinţă care se mişcă rectiliniu şi uniform faţă de un sistem de referinţă inerţial este de asemenea un sistem de referinţă inerţial. Interacţiunea desemnează acţiunea reciprocă dintre două corpuri, iar forţa este măsura interacţiunii. Principiul inertiei introduce notiunea de forta. Forta este o marime vectoriala, având ca unitate de masura în SI newton, [F] SI N. Prin intermediul forţelor, corpurile acţioneaza unele asupra altora, transmitând micarea mecanica. Câmpurile de forte sunt si ele raspunzatoare de transmiterea interactiunilor mecanice. Forţele produc efecte statice de deformare a corpurilor (sau de echilibrare a altor forţe) şi efecte dinamice de modificare a vitezei adică de creare a acceleraţiilor. Principiul II (principiul fundamental) Dacă rezultanta forţelor ce acţionează asupra punctului material este diferită de zero şi constantă atunci aceasta determină corpului o acceleraţie constantă ce are aceeaşi direcţie şi sens cu rezultanta forţelor şi a cărui modul este direct proporţional cu modulul forţei şi invers proporţional cu masa acestuia: F a m Având în vedere expresia matematică a principiului II precum şi cea a acceleraţiei rezultanta forţelor ce acţionează asupra unui punct material poate fi redată şi prin: F m a dv F m dv dt a dt m const. d F ( m v) dt unde p m v reprezintă impulsul punctului material. În aceste condiţii relaţia anterioară se transformă în: dp F dt unitatea de măsură a impulsului în SI fiind: [p] N.s sau d x m dt d y m dt F x F y d x dvx Fx dt dt m 6
d z Fx Fx m F z vx dt t + c dt m m Fx F t dx vxdt x vdt tdt c dt c t c n + + + m Fy Fy t vy t+ c3 y + c3t+ c4 m m Fz Fz t vz t+ c5 z + c5t+ c6 m m x x t, c, c r t, c, c, c, c, c c y z c dp dp dp ( ) ( 3 4 5, 6 ) y( t, c3, c4 ) t timpul z( t, c5, c6 ) constanta de integrare c 6 Fdt Fxdt F dt x y dp F dt t Z Y x FX dt px( t) px( t ) aria suprafetei masurate este egala cu variaţia componentei t impulsului pe axa Ox, Δt t- t Principiul III ( principiul acţiunii şi reacţiunii) Dacă un corp acţionează asupra altui corp cu o forţă numită acţiune atunci cel de-al doilea corp acţionează asupra primului cu o forţă egală în modul dar de sens contrar numită reacţiune. Cele doua forte, acţiunea si reacţiunea, sunt aplicate simultan şi la corpuri diferite, de-a lungul dreptei care uneşte cele doua corpuri. În acest caz este vorba de interacţiunea mutuala simultană şi nu de o cauza şi un efect. 7
8
Legea independenţei acţiunii forţelor Dacă asupra unui corp acţionează mai multe forţe atunci fiecare forţă determină corpului propria sa acceleraţie independent de acţiunea celorlalte, acceleraţia rezultantă fiind suma vectorială a acceleraţiilor individuale. F + F + F3 +... + F m a 3... R m a n F i i ; R ( + a + a + + ) n a n n a i i ; a II.3. Teoreme generale în dinamica punctului material Ca o consecinţă a principiilor fundamentale ale dinamicii, se obţin legile ce guverneaza unele marimi fizice ale punctului material (impuls mecanic, energie, moment cinetic). Aceste legi se mai numesc şi teoremele generale în dinamica punctului material. Lucrul mecanic Lucrul mecanic este o mărime care caracterizează acţiunea forţelor şi apare atunci când o forţă deplasează un corp. Lucrul mecanic efectuat în timpul t este egal cu produsul dintre distanţa s pe care se deplasează punctul de aplicaţie al forţei în acest timp şi componenta F a forţei pe direcţia s deplasării. Fig. Dacă α este unghiul dintre F şi s, atunci: F s F cosα F n F sin α L F s F s cos α F s () s Din relaţia () rezultă că: - când α, lucrul mecanic este maxim, adică atunci când deplasarea se face pe direcţia forţei F. - când α π /, L adică forţa F nu efectuează lucru mecanic dacă direcţia sa este perpendiculară pe direcţia după care se poate mişca corpul asupra căruia acţionează
π - când < α π, cos α < şi L < orientată în sens opus deplasării (ex. forţa de frecare) Dacă mişcarea corpului este efectul acţiunii forţei F şi al forţei de frecare. În acest caz componenta F s este F, lucrul f mecanic total efectuat de forţele ce acţionează asupra corpului şi care reprezintă lucrul mecanic primit de corp, este dat de suma dintre lucrul mecanic efectuat de F şi cel efectuat de forţa de frecare F : f L corp Fs cos α F f s Atunci când lucrul mecanic al unei forţe este negativ, forţa respectivă se opune mişcării corpului, fiind necesară încă o forţă care să efectueze un lucru mecanic pozitiv, cel puţin egal în mărime cu cel al forţei rezistente. Lucrul mecanic primit de corp, se numeşte lucru mecanic util, iar cel efectuat de forţa activă lucru mecanic consumat. Raportul dintre lucrul mecanic util şi cel consumat, notat cu η, se numeşte randament. η Lcorp Fs cosα F cosα F F cosα f Dacă în timpul deplasării unui corp între punctele A şi B acţionează mai multe forţe atunci, lucrul mecanic total, efectuat de sistemul de forţe considerat este egal cu lucrul mecanic al forţei rezultante a forţelor active, sau lucrul mecanit total efectuat de sistemul de forţe este egal cu suma algebrică a lucrurilor mecanice efectuate de fiecare forţă în parte, ca şi cum aceasta ar acţiona singură. Puterea Prin definiţie, puterea medie, P m de timp L P m t este egală cu lucrul mecanic efectuat în unitatea În general, în intervale de timp egale se efectuează lucruri mecanice diferite, fiind astfel necesar să considerăm intervale de timp suficient de mici. Astfel, puterea instantanee va fi: P L s s lim lim F s F lim s Fs v F v t t t, t t t adică puterea la fiecare moment de timp este egală cu produsul dintre proiecţia forţei pe direcţia mişcării şi viteza la momentul respectiv.
Unitatea de putere în S.I. se numeşte watt (W); WJ/s. Energia cinetică Presupunem că asupra unui corp, considerat ca punct material acţionează o forţă constantă F care modifică viteza corpului conform legii mişcării uniform variate. Ea începe să acţioneze la momentul t când viteza punctului material este v, paralelă cu direcţia forţei. La momentul t viteza va fi v, cu aceeaşi direcţie cu v, dar de altă valoare. Lucrul mecanic efectuat în intervalul (t -t ) este: L F s m a s, unde s este distanţa străbătută în intervalul de timp (t -t ): s v v ( t t ) + ( t t ) a v + a( t ) ( t ) t () v v () a t Relaţiile () + () a s ( v v ) / m m v m v m a s L (3) Ecuaţia (3) ne arată că unui lucru mecanic diferit de zero îi corespunde o variaţie a m v unei mărimi, numită energie cinetică, notată E c. L E E E c c c dacă L >, unei mişcări uniform accelerate îi corespunde o creştere a energiei cinetice. dacă L ( F ), energia cinetică nu se modifică dacă L <, asupra corpului acţinează o forţă ce se opune mişcării, energia cinetică a corpului poate să scadă până la zero, când corpul se opreşte. Teorema energiei cinetice: variaţia energiei cinetice a unui corp care se deplasează între două puncte este egală cu lucrul mecanic efectuat de forţa care acţionează asupra corpului de-a lungul drumului parcurs de corp între cele două puncte. Energia cinetică se conservă (const.) dacă lucrul mecanic este egal cu zero, ceea ce se întâmplă dacă: 3
- asupra corpului nu acţionează forţe sau rezultanta lor este nulă în tot cursul mişcării - sau forţa este tot timpul perpendiculară pe tangente la traiectorie ( F ). Energia potenţială Forţele care au proprietatea că efectuează lucru mecanic care depinde numai de poziţia punctelor iniţial şi final şi nu de forma traiectoriei se numesc forţe conservative (ex. forţele de greutate, forţele elastice, forţele coulombiene). Lucrul mecanic efectuat de o forţă conservativă la deplasarea unui corp dintr-un punct A în unul B poate fi caracterizat prin introducerea unei mărimi numită energie potenţială şi notată E p, a cărei variaţie între punctele A şi B să fie egală chiar cu lucrul mecanic efectuat de forţa conservativă considerată când punctul ei de aplicaţie se deplasează de la A la B. s L A B E p ( A) E ( B) p Relaţia determină doar diferenţa dintre energiile potenţiale în punctele A şi B. Valoarea energieie potenţiale într-un punct din spaţiu poate fi determinată doar dacă alegem în mod convenţional ca fiind valoarea energiei potenţiale într-un anumit punct din spaţiu. Energia mecanică totală a punctului material reprezintă suma dintre energia cinetică şi potenţială. E E c + E p Energia mecanică totală a punctului material asupra căruia acţionează numai forţe conservative rămâne constantă în tot timpul mişcării (se conservă în timp). II.4. Statica II.4.. Echilibrul forţelor Dacă asupra unui punct material acţionează o forţă îi imprimă acestuia o acceleraţie proporţională cu forţa. Dacă acţionează mai multe forţe acceleraţia este proporţională cu suma tuturor forţelor. În cazul în care rezultanta este zero, punctul material îşi păstreză starea de mişcare rectilinie uniformă sau de repaus. Dacă este vorba de un corp cu dimensiuni finite, sub acţiunea simultană a mai multor forţe, corpul poate să nu-şi modifice stare de mişcare sau de repaus relativ şi avem de-a face cu un echilibru al forţelor, care poate fi: - echilibru dinamic - echilibru static 4
Statica este acea parte a mecanicii care studiază echilibrul static creat de forţele exterioare care acţionează asupra corpurilor. Corpul rigid reprezintă un corp care nu se poate deforma sub acţiunea forţelor exterioare. Un corp real se comportă ca un corp rigid dacă forţele care acţoinează asupra lui nu sunt prea mari. Sisteme de forţe a) Forţe concurente. Forţele care acţionează asupra rigidului sunt forţe alunecătoare, deoarece putem deplasa punctul de aplicaţie al forţei pe suportul său fără ca efectul pe care-l produce asupra rigidului să se modifice. Numim forţe concurente un sistem de forţe care acţionează asupra rigidului şi au acelaşi punct de aplicaţie( sau acele forţe ale căror suporturi se intersectează). Efectul produs de acestea asupra rigidului este acelaşi cu cel al rezultantei lor, R, unde F sunt cele n forţe concurente. i O mărime importantă pentru un punct material de masă m asupra căruia acţionează o forţă F, este momentul forţei F în raport cu un punct O, definit ca (fig.): M O r F, unde indicele ataşat lui M indică punctul faţă de care s-a considerat momentul forţei. Fig. Pentru un sistem de n forţe, momentul rezultant în raport cu punctul O este: n F i i n M O ri Fi i În timp ce rezultanta forţelor n R F i rămâne nemodificată oricare ar fi i punctul O, momentul rezultant M se modifică atât ca mărime cât şi ca direcţie. O Rezultanta forţelor aplicate este o forţă care trebuie să producă acelaşi efect ca forţele date. Asta înseamnă că braţul ei ( d ) trebuie să aibă o astfel de lungime încât R M d R R, de unde rezultă teoreme lui Varignon: momentul rezultant al forţelor F O i este egal cu momentul rezultantei acestor forţe. b) Forţe paralele. Fie un sistem de două forţe paralele şi de acelaşi sens, F şi F, care au rezultanta paralelă şi de acelaşi sens cu forţele, cu mărimea egală cu suma modulelor celor două forţe: R F + F 5
Punctul de aplicaţie al rezultantei se obţine pe cale grafică (fig. a)) astfel: pe suportul forţei F şi în sensul său se ia un segment egal în mărime cu F, AC, iar pe suportul lui F însă în sens invers se ia un segment egal cu mărimea lui F, BD. Punctul de intersecţie al segmentelor AB şi CD este tocmai punctul de aplicaţie al rezultantei, O. a) b) Fig. Momentul total în raport cu punctul O, M, trebuie să fie (O este pe suportul O rezultantei), atunci suma momentelor forţelor F şi F faţă de acest punct trebuie să fie (fig. b)): d OA F F d F d, sau d OB F Rezultanta a două forţe paralele şi deacelaşi sensare punctul de aplicaţie pe segmentul de dreaptă care uneşte punctele de aplicaţie ale celor două forţe şi împarte acest segment în părţi invers proporţionale cu mărimile acestor forţe. În cazul forţelor paralele şi de sens contrar, rezultanta va avea suportul paralel cu direcţiile celor două forţe, mărimea: R F F şi va fi orientată în sensul forţei celei mai mari (fig.3). Pentru a determina punctul de aplicaţie al ei, procedăm asemănător cu cazul precedent. Fig. 3 Analog, suma momentelor forţelor F şi F faţă de punctul O trebuie să fie. Rezultă relaţia: F d + F d sau d d OA F, OB F 6
care ne arată, ca în cazul precedent că distanţele de la punctele de aplicaţie ale forţelor sunt invers proporţionale cu mărimile forţelor. În cazul unui sistem de mai multe forţe paralele procedăm fie din aproape în aproape (compunând două forţe, iar rezultanta o compunem cu următoarea forţă, ş.a.m.d.), fie aplicând direct teorema lui Varignon. Centrul de greutate Considerând că un corp că este format dintr-un număr foarte mare de puncte materiale, putem spune că greutatea corpului este rezultanta forţelor paralele G cu i care este atras de pământ fiecare punc t material. Punctul de aplicaţie al acestei rezultante este numit centru de greutate. Poziţia centrului de greutate este bine stabilită pentru fiecare corp şi nu depinde de orientarea lui în spaţiu. Forţa gravitaţiei acţionează asupra unui corp ca şi cum ar fi aplicată într-un anumit punct, deşi forţa este un vector alunecător. Centrul de greutate al corpurilor omogene, cu forme geometrice regulate, care posedă axe sau plane de simetrie va fi întotdeauna situat pe axa, respectiv pe planul de simetrie. Poziţia centrului de greutate al unui rigid coincide cu poziţia centrului de masă al punctelor materiale, dată de vectorul de poziţie al centrului de greutate în raport cu o origine arbitrar aleasă: r N m r m N i i i i N i i miri, M unde N reprezintă numărul de elemente în care am împărţit corpul dat, m i respectiv vectorul de poziţie al elementului i. În cazul unui corp omogen de densitate ρ, şi r i masa, r G N V r V N i i i i N i i V r V i i, unde V este volumul total al corpului, iar V i al elementului i. Echilibrul corpurilor sub acţiunea gravitaţiei Vom urmări condiţiile în care un corp rigid stă în echilibru, atunci când asupra sa acţionează doar greutatea proprie. Considerăm un corp care are o axă derotaţie 7
orizontală fixă. Asupra corpului acţionează greutatea sa G aplicată în centrul său de greutate C, iar asupra axei acţionează reacţiunea F R, care este egală şi de sens contrar cu componenta F a lui G, în lungul dreptei care trece prin C şi este perpendiculară pe axă (fig.4. a)). G F R F F R Fig.4. a) b) F şi F îşi completează reciproc acţiunile, în timp ce F duce la rotirea corpului R până când centrul de greutate C ajunge pe aceeaşi verticală cu O, sub axa de rotaţie, componenta F devenind nulă (fig. 4. b)). În această situaţie, când centrul de greutate este la cea mai mică înălţime faţă de sol, permisă de legătura cu axa, spunem că echilibrul este stabil. Dacă însă corpul este scos din poziţia de echilibru, apare componenta F, care readuce corpul în poziţia de echilibru. Când centrul de greutate se găseşte pe aceeaşi verticală cu O, în poziţia cea mai înaltă permisă de legătura cu axa, spunem că echilibrul este instabil. În poziţia din fig. 5 a), greutatea şi reacţiunea în axa de rotaţie se echilibrează reciproc. În schimb, o deviaţie oricât de mică de la această poziţie face să apară componenta F (fig. 5. b)), care roteşte corpul în jurul axei, depărtându- de poziţia de echilibru instabil, până îl aduce în poziţia de echilibru stabil (fig. 4. b)). Dacă axa de rotaţie trece prin centrul de greutate, echilibrul este indiferent, deoarece pentru orice poziţie, greutatea şi reacţiunea în axa îşi fac echilibrul (fig. 6). În acest caz, înălţimea centrului de greutate este aceeaşi pentru orice orientare a corpului. 8
a) b) Fig. 5 Fig. 6 Poziţia de echilibru stabil corespunde situaţieie în care energia potenţială a corpului (egală cu cea a centrului său de greutate)are valoarea minimă permisă de legătura cu axa. Orice altă orientare se poate obţine numai prin consumarea de lucru mecanic din afară. În cazul echilibrului instabil, energia potenţială este maximă, în timp ce în condiţiile echilibrului indiferent, energia potenţială este aceeaşi, oricare ar fi orientarea corpului... Să considerăm un corp cu o axă de rotaţie verticală (fig.7). În acest caz, echilibrul este indiferent, deoarece greutatea G fiind perpendiculară pe planul de rotaţie nu ar putea produce decât modificarea poziţei axei, care este însă fixă. Fig. 7 O ultimă situaţie este cea corespunzătoare corpurilor sprijinite pe un plan orizontal (fig. 8). Poligonul care se obţine prin unirea punctelor marginale în care corpul atinge planul, se numeşte bază de susţinere. - Dacă verticala coborâtă din centrul de greutate al corpului cade în interiorul bazei de susţinere, corpul se găseşte în echilibru. În acest caz, greutatea şi reacţiunea în planul de susţinere se echilibrează reciproc. - Dacă verticala din centrul de greutate cade în afara bazei de susţinere, greutatea şi reacţiunea formează un cuplu care tinde să răstoarne corpul. Fig. 8 Echilibrul este cu atât mai stabil, cu cât baza de susţinere este mai mare şi cu cât, centrul de greutate este mai apropiat de ea. 9
III. Oscilatii si unde III.. Notiuni generale Se numeşte oscilaţie fenomenul fizic în decursul caruia o anumită mărime fizică a procesului prezintă o variatie periodică sau pseudo-periodica. Un sistem fizic izolat, care este pus în oscilaţie printr-un impuls, efectueaza oscilaţii libere sau proprii, cu o frecventa numita frecventa proprie a sistemului oscilant. Oscilaţiile pot fi clasificate în funcţie de mai multe criterii. Din punct de vedere al formei de energie dezvoltată în timpul oscilatiei, putem întâlni: - oscilatii elastice, mecanice (au loc prin transformarea reciproca a energiei cinetice în energie potentiala); - oscilatii electromagnetice (au loc prin transformarea reciproca a energiei electrice în energie magnetica); - oscilaţii electromecanice (au loc prin transformarea reciproca a energiei mecanice în energie electromagnetica). Din punct de vedere al conservarii energiei sistemului oscilant, putem clasifica oscilatiile în: - oscilatii nedisipative, ideale sau neamortizate (energia totala se conserva); - oscilatii disipative sau amortizate (energia se consuma în timp); - oscilatii fortate sau întretinute (se furnizeaza energie din afara sistemului, pentru compensarea pierderilor). Marimi caracteristice oscilaţiilor periodice. Să notăm cu S(t) marimea fizica ce caracterizeaza o oscilaţie. Atunci, dacă T este perioada oscilaţiei, marimea S are aceeaşi valoare la momentul t şi la un moment ulterior, t + T: S(t) S(t+T ) Oscilatiile armonice reprezinta acel tip de oscilatii în care marimile caracteristice se pot exprima prin functii trigonometrice (sinus, cosinus ) sau prin functii exponentiale de argument complex. Acele oscilatii care nu sunt armonice, se pot descompune în serii Fourier de functii. Reamintim, de asemenea, formulele lui Euler, care vor fi utile în calculele urmatoare: Miscarea oscilatorie armonica apare foarte des în situatiile practice. Un exemplu foarte la îndemâna îl constituie bataile inimii. Se spune ca Galilei folosea bataile inimii sale pentru a cronometra miscarile pe care le studia. III.. Mişcarea oscilatorie armonică ideală În absenta unor forte de frecare sau de disipare a energiei, miscarea oscilatorie este o miscare ideala, deoarece energia totala a oscilatorului ramâne constanta în timp. Micarea este reversibila, astfel ca dupa o perioada oscilatorul revine în pozitia initiala
si procesul se reia. Forta care determina revenirea oscilatorului în pozitia initiala si care permite continuarea oscilatiei se numete forta de revenire. Aceasta forta de revenire poate fi forta elastica dint-o lama metalica, presiunea dintr-un tub si, în general, orice forta care produce o deformare elastica. Sa consideram un oscilator mecanic format dintr-un resort elastic si un corp punctiform, de masa m, legat la capatul liber al resortului, ca în fig.3..a. Daca se pune corpul în miscare prin intermediul unei forte si daca nu exista frecari, sistemul va efectua o micare periodica în jurul pozitiei de echilibru, numita oscilatie ideala. Forta elastica din resort, ef, este singura forta din sistemul mecanic, aa ca putem scrie formula fudamentala a dinamicii sub forma: ma - k y unde k este constanta elastica a resortului, iar y este alungirea acestuia (y se numete elongatia miscarii). Ecuatia de micare a corpului devine: m a + k y Fig. 3.. Oscilator mecanic ideal: a) momentul initial; b) alungirea y produce forta de revenire ef ; c) amplitudinea micarii oscilatorii. Acceleratia corpului reprezinta derivata de ordinul doi la timp a vectorului deplasare, de aceea ecuatia de micare devine: Reprezentarea marimilor vectoriale periodice se poate realiza si prin intermediul fazorilor. Fazorul este un vector rotitor în sens trigonometric pozitiv întrun plan Oxy, care are vitexa unghiulara. Lungimea fazorului este egala cu modulul vectorului pe care îl reprezinta, adica fazorul este egal cu amplitudimea micarii oscilatorii. Faza vectorului reprezentat este egala cu unghiul format de fazor cu axa orizontala, Ox. Vectorul reprezentat este egal cu proiectia fazorului pe axa verticala Oy. Fazorul din fig. 3. reprezinta elongatia oscilatorului ideal, în diferite momente de timp.
Fig. 3.. Reprezentarea fazoriala a oscilatiei. Marimile fizice caracteristice ale oscilatorului ideal pot fi reprezentate grafic în functie de timp. Daca faza initiala este nula, se obtin graficele functiilor y f(t), v f(t) si a f(t) din fig.3.3. Fig. 3.3. Elongatia, viteza si acceleratia oscilatorului ideal în functie de timp. Energia mecanica a oscilatorului ideal este constanta, ceea ce constitue legea conservarii energiei mecanice a oscilatorului ideal. În decursul oscilatiei ideale, energiile cinetica si potentiala elastica ale oscilatorului ideal sunt variabile în timp, transformându-se una în alta, în aa fel încât suma lor sa ramâna constanta. În fig.3.4 sunt reprezentate energiile cinetica, potentiala si totala în functie de elongatia y. Se poate observa ca desi energia potentiala este variabila, fiind reprezentata de parabola din figura, totusi energia mecanica a oscilatorului ideal este constanta.
Fig.3.4. Energiile cinetica, potentiala si totala în functie de elongatia oscilatorului ideal. Conservarea energiei mecanice a oscilatorului constituie efectul direct al faptului ca fortele elastice sunt forte conservative. Caracterul oscilant al miscarii se poate constata si din transformarea periodica a energiei cinetice în energie potentiala si reciproc. 3.3. Compunerea miscarilor oscilatorii armonice Pe baza legilor micarii oscilatorii armonice ideale se pot studia miscari oscilatorii mai complexe, care rezulta din compunerea a doua sau mai multe oscilatii armonice, care se desfasoara pe directii paralele sau pe directii perpendiculare. 3.3.. Compunerea oscilatiilor armonice paralele de aceeasi pulsatie Sa presupunem ca un punct material de masa m este legat de doua resorturi elastice, aa cum se vede în fig.3.5, fiind supus simultan la doua forte elastice pe aceeai directie dar în sensuri diferite. Cele doua resorturi elastice sunt identice, adica au aceeai constanta elastica, k k k. Fig.3.5. Oscilatie armonica sub actiunea a doua forte elastice paralele. 3
Fig. 3.6. Reprezentarea fazoriala a compunerii oscilatiilor paralele. 3.3.. Compunerea oscilatiilor armonice paralele de frecventa diferita Consideram doua oscilatii armonice individuale ale punctului material de masa m. Una dintre oscilatii are pulsatia proprie iar cealalta are pulsatia proprie. Diferenta dintre cele doua frecvente de oscilatie nu este însa prea mare. Elongatiile celor doua oscilatii armonice independente sunt de forma: Punctul material este supus simultan ambelor oscilatii, asa cum se poate vedea în fig. 3.7, si ne propunem sa determinam ecuatia oscilatiei rezultante. Fig. 3.7. Compunerea a doua oscilatii paralele de frecvente diferite. Tb mai este numita si perioada batailor. 4
Fig. 3.8. Fenomenul de batai. Faza oscilatiei are perioada T, mult mai mica decât Tb: Oscilatia rezultanta este reprezentata, în fig.3.7, cu linie continua. Perioada batailor este intervalul de timp între doua treceri succesive ale amplitudinii rezultante prin valoarea minima sau maxima. 3.3.3. Compunerea oscilatiilor perpendiculare Consideram un punct material de masa m, care care este solicitat simultan sa oscileze armonic sub actiunea a doua resorturi elastice identice legate pe doua directii perpendiculare, ca în fig. 3.9. Fig. 3.9. Compunerea oscilatiilor perpendiculare Cele doua miscari oscilatorii armonice sunt perpendiculare, având ecuatiile elongatiilor pe cele doua directii de forma: 5
Fig. 3.. Traiectorie eliptica rotita fata de axe. Fig. 3.. Traiectorie particulara în cazul compunerii oscilatiilor perpendiculare în faza, Elipsa care descrie traiectoria particulei nu mai este rotita fata de axele de coordonate (vezi fig.3.). 6
Fig.3.. Traiectoria rezultata din compunerea a doua oscilatii perpendiculare în cuadratura de faza, Micarea punctului material se defasoara pe elipsa, într-un sens sau în altul. 3.4. Miscarea oscilatorie amortizata Sistemele oscilante reale sunt supuse unor forte de frânare, sau de disipare a energiei pe care-o au la începutul miscarii. Acea parte a energiei ce se pierde prin frecare se transforma în caldura. Ampltudinea micarii oscilatorii amortizate este scazatoare în timp. Un caz interesant de forte de frânare îl constituie fortele proportionale cu viteza de oscilatie. Micarea este neperiodica, aa cum se vede în fig. 3.3. Elongatia tinde la zero când timpul tinde la infinit, fara ca punctul material sa oscileze. Fig. 3.3. Elongatia micarii cu forta de amortizare mare,. Fig. 3.4. Elongatia si amplitudinea oscilatorului armonic amortizat în functie de timp. Observam ca oscilatia amortizata este modulata în amplitudine. Elongatia tinde la zero când timpul tinde la infinit, punctul material oscilând în jurul pozitiei de echilibru cu o amplitudine din ce în ce mai mica. Descreterea amplitudinii micarii oscilatorii amortizate este caracterizata de marimea numita decrement logaritmic. Decrementul logaritmic este egal cu 7
logaritmul natural al raportului dintre doua amplitudini succesive: Fig.3.5. Dependenta de timp a energiei mecanice si a amplitudinii oscilatorului amortizat. 3.5. Analogie între oscilatiile mecanice si cele electromagnetice Examinând oscilatiile elastice (ale unui sistem format dintr-un resort elastic si un corp punctiform) si oscilatiile electromagnetice (dintr-un circuit serie RLC de curent alternativ), constatam o serie de asemanari (similitudini). Aceste asemanari au condus la stabilirea unor corespondente între marimile electrice si cele mecanice, adica la stabilirea unor analogii între aceste marimi. Cunoaterea analogiilor dintre marimile electrictromagnetice si cele mecanice permite transpunerea rezultatelor obtinute pentru oscilatiile elastice armonice (ideale sau amortizate) la cazul oscilatiilor electrice. Consideram un circuit serie RLC, format dintr-un rezistor cu rezistenta electrica R, o bobina ideala cu inductanta L, si un condensator de capacitate electrica C (vezi fig. 3.6). Fig. 3.6. Circuit RLC parcurs de un curent electric variabil în timp. Consideram ca bobina constituie secundarul unui transformator. În bobina se induce o tensiune electromotoare, ul, prin inductie electromagnetica între primarul si secundarul transformatorului. Similitudinile dintre cele doua tipuri de oscilatii sunt prezentate în Tabelul 3.. Astfel, putem observa ca toate marimile fizice corespunzatoare oscilatiei electromagnetice au un corespondent în marimi corespunzatoare oscilatiei elastice. Folosind analogia dintre oscilatiile amortizate ale resortului elastic si oscilatiile electromagnetice amortizate din circuitul RLC, se 8
poate scrie intensitatea instantanee a curentului electric din circuit, care este data de relatia: În fig. 3.7 se prezinta intensitatea instantanee a curentului electric din circuit si amplitudinea oscilatiilor sale în functie de timp. Fig. 3.7. Intensitatea instantanee a curentului electric din circuitul oscilant amortizat. 3.6. Oscilatii fortate. Rezonanta Sa consideram un oscilator mecanic format dintr-un resort elastic si un corp de dimensiuni neglijabile. Datorita fortei de frecare, energia mecanica a oscilatorului se consuma în timp, astfel încât oscilatia este amortizata, aa cum am vazut în paragraful 3.4. Pentru a întretine miscarea oscilatorie,trebuie sa se aplice forte exterioare (numite forte de fortare), care sa compenseze pierderile de energie din sistem. În acest caz, punctul material va efectua o miscare oscilatorie fortata. Dintre tipurile de forte de fortare (sau perturbatoare) ce se pot aplica sistemului oscilant, un caz 9
interesant pentru aplicatiilepractice este cel în care fortele perturbatoare sunt periodice. Experienta arata ca o miscare periodica întretinuta prezinta un regim tranzitoriu, dupa trecerea caruia se instaleaza regimul permanent. Regimul tranzitoriu este de scurta durata, iar regimul permanent se manifesta prin oscilatii întretinute. 3.6.. Rezonanta Aa cum am vazut în paragraful anterior, dupa stabilirea regimului permanent al oscilatiei întretinute, frecventa de oscilatie este egala cu frecventa fortei perturbatoare. Sistemul oscilant adopta pulsatia fortei perturbatoare, care este diferita de pulsatia sa proprie de oscilatie ca sistem Rezonanta este fenomenul fizic de aparitie a maximului amplitudinii oscilatiei întretinute. Sistemul fizic aflat la rezonanta oscileaza cu amplitudine maxima. Deci,din punct de vedere fizic, este ideal sa amplificam la maxim o oscilatie armonica, totusi în practica trebuie evitate situatiile în care frecventa fortei de întretinere coincide cu frecventa proprie a oscilatorului,deoarece în acest caz amplitudinea tinde la infinit. Rezonanta mecanica are multiple aplicatii în tehnica. Fig. 3.8. Curbe de rezonanta pentru diferite valori ale coeficientului de amortizare: Astfel, în acest paragraf am constatat ca în cazul oscilatiilor întretinute, sau fortate, forta exterioara produce un lucru mecanic ce compenseaza pierderile de energie din sistemul oscilant. În paragraful urmator vom vedea cum se caracterizeaza din punct de vedere energetic oscilatiile întretinute.
Fig. 3.9. Variatia modulului fazei intiale a oscilatiei permanente în 3.6.. Consideratii energetice ale oscilatiilor fortate În continuare vom defini câteva marimi fizice care caracterizeaza transferul energiei mecanice în sistemul ce efectueaza oscilatii fortate, sau întretinute.. Puterea instantanee absorbita de sistemul oscilant întretinut reprezinta derivata la timp a lucrului mecanic efectuat de forta de fortare.. Puterea medie absorbita în decursul unei perioade reprezinta integrala pe o perioada a puterii instantanee absorbite Pa (t). 3. Puterea instantanee disipata sub forma de caldura de catre forta de frecare reprezinta derivata la timp a lucrului mecanic efectuat de forta de frecare. 4.Puterea medie disipata într-o perioada reprezinta integrala pe o perioda a puterii instantanee disipate. Fig. 3.. Puterile medii absorbita si disipata Oscilaţii mecanice,aplicatii Oscilaţii armonice:
Un corp efectuează oscilaţii armonice atunci când asupra lui acţionează o forţă de tip elastic: F - k x, k constanta elastică; x elongaţie; m masa; k m π ω pulsaţie proprie;, T perioadă proprie; ω, ω T x(t) A sin (ω t + φ); Oscilaţii amortizate: Oscilaţiile unui corp sunt amortizate atunci cănd asupra lui acţionează, pe lângă forţa de tip elastic (- k x) şi o forţă rezistentă proporţională cu viteza ( α v): F - k x α v, α coeficient de rezistenţă; α β, ω ω β, ω pulsaţia oscilaţiei amortizate; m β factor de amortizare; Observaţie: Avem de-a face cu mişcare de oscilaţie numai dacă ω > β. x(t) A e - β t sin (ω t + φ); δ β T - decrement logaritmic; T perioada mişcării oscilatorii amortizate. Oscilaţii forţate: Forţa care întreţine oscilaţia este sinusoidală de amplitudine F şi pulsaţie ω : F - k x α v + F sin (ω t); x(t) A sin (ω t - φ ), F m βω A, tg ϕ ( ω ) ( ) ; ω + βω ω ω A (ω ) maximă ω ω rez ω β. IV. Hidrostatica şi Aerostatica. Proprietăţile generale ale fluidelor Hidrostatica şi aerostatica studiază lichidele şi, respectiv, gazele în stare de echilibru mecanic. Vom numi fluid orice corp ale cărui părţi se pot deplasa cu uşurinţă unele faţă de altele. Din acest motiv, fluidul ia forma vasului care-l conţine şi este perfect elastic. Un lichid este un fluid foarte pnţin compresibil, în timp CE gazele sunt fluide compresibile, ocupând de aceea volumul întregului vas închis în care se găsesc. Ca toate corpurile de pe Pământ, lichidele şi gazele se găsesc sub acţiunea forţelor de gravitaţie. Din această cauză suprafaţa unui lichid în echilibru este plană şi orizontală, indiferent de forma vasului, iar în vase comunicante nivelul lichidului se găseşte în acelaşi plan orizontal.
O caracteristică importantă a fluidelor este densitatea lor. Prin definiţie, masa de fluid conţinută în unitatea de volum sau masa unităţii de volum se nuşte densitate şi se notează cu ρ, m ρ. () V Greutatea unităţii de volum de fluid se numeşte greutate specifică a fluidului şi se notează cu γ, G m g γ () V V Din cele două relaţii rezultă: γ ρ g (3) kg N ρ S. I., [ γ ] S. I.. 3 m m Unităţile de măsură pentru cele două mărimi sunt: [ ] 3 Forţa care acţionează perpendicular pe unitatea de suprafaţă se numeşte presiune şi se notează cu p: F p (4) S Unitatea de presiune, în sistemul internaţional, se numeşte pascal (simbol Pa) : Pa N/m. O unitate tolerată este atmosfera normală" notată, atm. Prin definiţie, atm,35 5 Pa,35 5 N/m. Fie un vas cu lichid în formă de U, ramurile laterale avînd diametrele neegale (fig. ). Vasul este prevăzut cu două pistoane. Dacă acţionăm cu o forţă F asupra pistonului din stânga, provocîndu-i o deplasare l, deoarece lichidul este practic incompresibil, acesta va împinge pistonul al doilea pe o distanţă l, astfel încât volumul său să rămână acelaşi. Aceasta implică: S l S l (5) Fig. 3
Pe de altă parte, conform legii conservării energiei, lucrul mecanic consumat pentru deplasarea primului piston trebuie să fie egal cu lucrul mecanic efectuat de fluid pentru deplasarea celui de-al doilea, F l F l (6) Ţinând seama de relaţiile (4) şi (5) rezultă: p p, adică presiunea exercitată din exterior pe o porţiune din suprafaţa unui lichid ce se află într-un vas închis se transmite integral şi în toate direcţiile, asupra tuturor suprafeţelor pereţilor interiori, indiferent de orientarea lor. Această proprietate este cunoscută sub numele de legea lui Pascal. O aplicaţie importantă bazată pe această lege este presa hidraulică, redată în principiu în fig.. Acţionând de data aceasta asupra pistonului mic cu o forţă F ce transmite în lichid presiunea p F /S, asupra pistonului de secţiune mai mare va acţiona forţa S F S F p S p S F, S F S Se obţine astfel o forţă F de atâtea ori mai mare ca F de câte ori S este mai mare ca S.. Presiunea hidrostatică Fie un vas cilindric ce conţine un lichid. Asupra unui strat A'B', de suprafaţă S, apasă greutatea G a coloanei de lichid de înalţime h, cuprinsă între sapraţaţa liberă a lichidului AB şi stratul A'B', G m g ρ V g ρ S h g AA' BB' Stratul A'B' este supus unei presiuni: G p ρ g h, S umită presiune hidrostatică. Între două puncte din lichid ce se găsesc la adâncimile h, respectiv h diferenţă de presiume hidrostatică: există o p p ( h ) p g h ρ Presiunea hidrostatică nu depinde de forma vasului, ci doar de adâncimea la care se găseşte stratul A'B', având deci aceeaşi valoare în toate punctele situate în acelaşi plan orizontal. 4
Presiunea hidrostatică explică modul în care se repartizează în vasele comunicante, două lichide de densităţi diferite, care nu reacţionează chimic şi care nu se amestecă între ele. Dacă în acest sistem se toarnă mai întâi mercur, acesta va avea acelaşi nivel în ambele ramuri (fig. 3). Turnând apoi apă în ramura din stânga, nivelul mercurului scade în A, datorită apăsării coloanei de apă şi urcă în B până când presiunea hidrostatică a coloanei de mercur echilibrează presiunea hidrostatică a coloanei de apă. Notând cu ρ şi ρ densităţile celor două lichide obţinem egalitatea: h ρ ρ gh ρgh, deci, h ρ adică denivelările lichidelor sunt invers proporţionale cu densităţile lor. 3. Legea lui Arhimede Fig. 3 Pentru a formula legea lui Arhimede considerăm următoarea experienţă: de unul din talerele unei balanţe suspendăm un cilindru gol A, cu pereţi foarte subţiri, iar sub acesta un cilindru plin A', de volum egal cu primul. Se echilibrează mai întîi sistemul cu ajutorul unor greutâţi puse pe celălalt taler, dnpă care se introduce cilindrul plin A' într-unvas cu apă Constatăm că balanţa se dezechilibrează, braţul din stînga deplasându-se în sus. Din acest fapt tragem imediat concluzia că asupra lui A' acţiouează din partea lichidului o forţă dirijată pe verticală, de jos în sus, care este numită forţă arhimedică. Observăm experimental că echilibrul balanţei poate fi restabilit dacă se umple complet cu apă cilmdrul gol A. Rezultă că mărimea forţei arhimedice este egală cu greutatea volumului de lichid care încape în cilindrul gol A. Având în vedere egalitatea volumelor celor doi cilindri, rezultă că forţa care împinge cilindrul A' de jos în sus este egală cu greutatea volumului de lichid dezlocuit de corpul respectiv. Acesta este conţinutul legii lui Arhimede: un corp scufundat într-un fluid este împins de către fluid, de jos în sus, cu o forţă egală cu greutatea volumului de fluid dezlocuit de către corp. Această forţă se numeşte forţă arhimedică sau forţa lui Arhimede. A fost descoperită în mod empiric de către Arhimede în sec III î.hr. şi demonstrată în sec XVI. 5