3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισωή Η μελέτη της έλλειψης, της προλής κι της υπερολής πό τους Αρχίους Έλληνες μθημτικούς φίνετι ότι είχε φετηρί τη σχέση υτών των κμπύλων με ορισμέν προλήμτ εωμετρικών κτσκευών, όπως, ι πράδειμ, το περίφημο πρόλημ διπλσισμού του κύου: Δοθέντος ενός κύου, ν κτσκευστεί ένς άλλος με διπλάσιο όκο Με λερικό συμολισμό υτό σημίνει ότι ν είνι η πλευρά του ρχικού κύου, ν κτσκευστεί έν ευθύρμμο τμήμ, που θ είνι η πλευρά του 3 3 3 κύου με όκο, δηλδή Ο Πρόκλος (450 περίπου μχ νφέρει ότι ο Ιπποκράτης ο Χίος (430 περίπου πχ ήτν ο πρώτος που νήε το πρόλημ διπλσισμού του κύου στην πρεμολή δύο μέσων νλόων νάμεσ στο κι το, δηλδή στην κτσκευή δύο τμημάτων κι, τέτοιων, ώστε ( (πό τις νλοίες υτές προκύπτει 3 3 εύκολ ότι, δηλδή το θ είνι η πλευρά του ζητούμενου κύου Υπενθυμίζουμε εδώ ότι το πρόλημ πρεμολής μις μέσης νλόου νάμεσ σε δύο νωστά τμήμτ, (δηλδή η κτσκευή τμήμτος τέτοιου, ώστε λύνετι εύκολ με κνόν κι διήτη, δηλδή με τη οήθει ευθείς κι κύκλου Δεν ισχύει όμως το ίδιο ι την πρεμολή δύο μέσων νλόων η οποί πιτεί τη χρησιμοποίηση διφορετικών εωμετρικών κμπύλων Επειδή πό τις νλοίες ( προκύπτει (, (3 κι ή (4, συμπερίνουμε ότι τ μήκη των τμημάτων κι θ είνι οι συντετμένες του σημείου τομής δύο πό τις τρεις κμπύλες (, (3 κι (4, που είνι ντιστοίχως δύο προλές κι μί υπερολή Η φράση Μενιχμείους κωνοτομείν τριάδς, που νφέρετι σε έν επίρμμ του Ερτοσθένη του Κυρηνίου (50 περίπου πχ σχετικό με το διπλσισμό του κύου, έχει οδηήσει στην υπόθεση ότι οι τρεις υτές
80 κμπύλες νκλύφθηκν πό τον Μένιχμο, ετίρο στην Ακδημί του Πλάτων, ύρω στο 350 πχ Στη μί πό τις δύο λύσεις του Μένιχμου, που νφέρει ο Ευτόκιος ο Ασκλωνίτης (550 περίπου μχ, οι κμπύλες κτσκευάζοντι σύμφων με τ εωμετρικά ισοδύνμ των (3 κι (4 Γι πράδειμ, το Μ, ως σημείο της προλής, προσδιορίζετι, έτσι ώστε το τετράωνο πλευράς ΜΚ ν είνι ισοδύνμο προς έν ορθοώνιο με πλευρές κι ΜΛ (δηλδή, τ ζητούμεν ενώ ως σημείο της υπερολής, έτσι ώστε τμήμτ το ορθοώνιο με πλευρές ΜΛ κι ΜΚ ν είνι ισοδύνμο προς έν ορθοώνιο με πλευρές κι (δηλδή Τέλος, τ ζητούμεν τμήμτ, προσδιορίζοντι φέρνοντς τις κάθετες πό το σημείο τομής των δύο κμπύλων πάνω στις σύμπτωτες της υπερολής (η μί πό τις οποίες είνι τυτόχρον κι άξονς συμμετρίς της προλής Γύρω στο 300 πχ, η υπερολή, η προλή κι η έλλειψη είχν ίνει ντικείμενο συστημτικής μελέτης, ως οι τομές που δημιουρούντι στην επιφάνει ενός κώνου πό έν επίπεδο κάθετο σε μι ενέτειρά του Ανάλο με τη ωνί της κορυφής του κώνου οι κμπύλες υτές ορίζοντν ως οξεί ωνί οξυωνίου κώνου τομή (έλλειψη, ορθοωνίου κώνου τομή (προλή κι μλυωνίου κώνου τομή (υπερολή Οι όροι υτοί χρησιμοποιούντι πό τον Αρχιμήδη (87- πχ στ έρ του Τετρωνισμός ορθοωνίου κώνου τομής κι Περί κωνοειδέων κι σφιροειδέων Αποκορύφωμ της θεωρητικής μελέτης των τριών κωνικών τομών κτά την ρχιότητ, υπήρξε το περίφημο έρο Κωνικά του Απολλώνιου του Περίου (50 περίπου πχ, ο οποίος στηρίχτηκε σε προηούμεν έρ του Αριστίου κι του Ευκλείδη, τ οποί όμως δε δισώθηκν Τ Κωνικά ήτν χωρισμέν σε 8 ιλί, που περιείχν μι άψοη εωμετρική θεωρί των κωνικών τομών κι έν μεάλο πλήθος νέων ποτελεσμάτων Στ 7 πρώτ ιλί που έχουν δισωθεί υπάρχουν 387 θεωρήμτ ενώ στο 8ο, όπως συνάετι πό μρτυρί του Πάππου, υπήρχν άλλ 00 Μι Λ M μλεί ωνί προλή υπερολή K σύμπτωτη ορθή ωνί
8 σική κινοτομί του Απολλώνιου υπήρξε ο ορισμός των τριών κμπύλων διμέσου τριών διφορετικών τομών ενός κώνου, κθώς κι η εισωή των όρων προλή, έλλειψη κι υπερολή Τ ονόμτ υτά έχουν άμεση σχέση με το νέο τρόπο ορισμού των κωνικών τομών πό τον Απολλώνιο, σύμφων με τον οποίο, σε κάθε τομή του κώνου πό το επίπεδο ντιστοιχεί έν στθερό μήκος (πράμετρος, το οποίο εξρτάτι πό το είδος του κώνου κι πό τη θέση του επιπέδου Ο Απολλώνιος έδειξε ότι ι κάθε κμπύλη τ δύο ρμμοσκισμέν εμδά σε κθέν πό τ διπλνά σχήμτ είνι ίσ μετξύ τους Το έν πό υτά είνι το τετράωνο με πλευρά την M υπερολή κάθετη πό σημείο της κμπύλης προς τον άξον συμμετρίς της το άλλο είνι έν ορθοώνιο με μι πλευρά την πόστση του ίχνους υτής της κάθετης πό την κορυφή της κμπύλης Η σχέση Μ της άλλης πλευράς του ορθοωνίου προς τη στθερή πράμετρο της έλλειψη τομής είνι υτή που κθορίζει τη μορφή κι το όνομ της κμπύλης Αν η άλλη πλευρά ισούτι ( πράλλετι προς την πράμετρο, τότε η κμπύλη είνι προλή Αν η άλλη πλευρά είνι μικρότερη ( ελλείπει πό την πράμετρο, η κμπύλη είνι έλλειψη, ενώ ν είνι μελύτερη ( υπεράλλει, η κμπύλη είνι υπερολή M προλή 3 Ο ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση Κύκλου Έστω O έν σύστημ συντετμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο O( 00, κι κτίν ρ Γνωρίζουμε πό τη Γεωμετρί ότι έν σημείο M (, νήκει στον κύκλο C, ν κι μόνο ν πέχει πό το κέντρο του Ο πόστση ίση με ρ, δηλδή, ν κι μόνο ν ισχύει:
8 ( OM ( Όμως, ( OM Επομένως, η ( ράφετι ή, ισοδύνμ, ( Ο ρ (0,0 M(, C Πρτηρούμε, δηλδή, ότι οι συντετμένες των σημείων του κύκλου κι μόνο υτές επληθεύουν την εξίσωση ( Άρ, ο κύκλος με κέντρο το σημείο O( 00, κι κτίν ρ έχει εξίσωση (3 Γι πράδειμ, ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο(0,0 κι κτίν έχει εξίσωση Ο κύκλος υτός λέετι μονδιίος κύκλος Πρμετρικές Εξισώσεις Κύκλου Έστω ο κύκλος C : κι έν σημείο M (, του κρτεσινού επιπέδου Αν το M (, νήκει στον κύκλο C κι φ [ 0,π είνι η ωνί που σχημτίζει το διάνυσμ OM με τον άξον, τότε, όπως Ο νωρίζουμε πό την Τριωνομετρί, θ ισχύουν οι σχέσεις: ρσυνφ κι ρημφ ( Αντιστρόφως, ν ι τις συντετμένες, του Μ ισχύουν οι σχέσεις (, τότε το σημείο Μ θ νήκει στον κύκλο C, φού ρ συν φ ρ ημ φ ρ (συν φημ φ ρ Επομένως, οι συντετμένες των σημείων M (, του κύκλου C κι μόνον υτές ικνοποιούν τις εξισώσεις ρσυνφ κι ρημφ, M(, φ[0,π Οι εξισώσεις υτές λέοντι πρμετρικές εξισώσεις του κύκλου C Εφπτομένη Κύκλου φ
83 Έστω ε η εφπτομένη του κύκλου C : ρ σε έν σημείο του A (, Γνωρίζουμε πό τη Γεωμετρί ότι έν σημείο M (, νήκει στην ε, ν κι μόνο ν, δηλδή, ν κι μόνο ν ισχύει Α(, M(, ε OA AM 0 ( Όμως OA (, κι AM (, Έτσι η ( ράφετι διδοχικά ( ( 0 Ο, φού Επομένως, η εφπτομένη του κύκλου έχει εξίσωση ρ στο σημείο του A (, Γι πράδειμ, η εφπτομένη του κύκλου στο σημείο A, 3 έχει εξίσωση, η οποί ράφετι 3 0 3 Η Εξίσωση A B 0 Έστω O έν σύστημ συντετμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο K ( 0, 0 κι κτίν ρ Έν σημείο M (, νήκει στον κύκλο C, ν κι μόνο ν πέχει πό το κέντρο του Κ πόστση ίση με ρ, δηλδή, ν κι μόνο ν ισχύει Κ( 0, 0 ρ M(, ( KM ρ ( Ο Όμως, ( KM ( ( 0 0 Επομένως, η σχέση ( ράφετι:
84 ( ( ή, ισοδύνμ, ( ( 0 0 Άρ, ο κύκλος με κέντρο K ( 0, 0 κι κτίν ρ έχει εξίσωση: 0 0 ( ( ( 0 0 Έτσι, ι πράδειμ, ο κύκλος με κέντρο K(, 3 κι κτίν έχει εξίσωση ( ( 3 Αν τώρ εκτελέσουμε τις πράξεις, η εξίσωση ( ράφετι δηλδή πίρνει τη μορφή ( ρ 0, 0 0 0 0 A B 0, (3 όπου A 0, B 0 κι 0 0 Αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής (3 ράφετι διδοχικά: ( A ( B A A B B A B 4 4 4 4 Επομένως: A B A B 4 4 Αν A B 4 0, η εξίσωση (3 πριστάνει κύκλο με κέντρο A B K, κι κτίν A B 4 Αν A B 4 0, η εξίσωση (3 πριστάνει έν μόνο σημείο, το A B K, Αν A B 4 0, η εξίσωση (3 είνι δύντη, δηλδή δεν υπάρχουν σημεί M (, των οποίων οι συντετμένες ν την επληθεύουν Αποδείξμε λοιπόν ότι:
85 Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής A B 0, με A B 4 0 (Ι κι ντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής (Ι πριστάνει κύκλο Η εξίσωση 460, ι πράδειμ, ράφετι διδοχικά ( 4 ( 6 ( ( 33 3 ( ( 3 Άρ, πριστάνει κύκλο με κέντρο K(, 3 κι κτίν ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ν ρεθούν οι εξισώσεις των εφπτομένων του κύκλου C : 5 που διέρχοντι πό το σημείο A( 3,, κι ν ποδειχτεί ότι οι εφπτόμενες υτές είνι κάθετες ΛΥΣΗ Έστω μι εφπτομένη του κύκλου C που διέρχετι πό το σημείο Α Αν M(, είνι το σημείο επφής, τότε η θ έχει εξίσωση 5 ( κι επειδή διέρχετι πό το σημείο A( 3,, θ ισχύει 5 ( 3 Όμως, το σημείο M(, νήκει στον κύκλο C Άρ, θ ισχύει 5 (3 Επομένως, οι συντετμένες (, του M είνι η λύση του συστήμτος των εξισώσεων ( κι (3 Λύνουμε το σύστημ υτό κι ρίσκουμε δύο λύσεις: (, (, ή (, (, (4 Άρ, υπάρχουν δύο εφπτόμενες του C που διέρχοντι πό το σημείο A( 3,, οι οποίες, λόω των ( κι (4, έχουν εξισώσεις: ε M ε ω M Α(3, Ο
86 : 5, : 5 Επειδή οι συντελεστές διεύθυνσης των κι είνι κι, οι ευθείες κι είνι κάθετες Δίνοντι οι κύκλοι C : ( ( 3 5 κι C : ( 3 (i Ν ρεθεί η εξίσωση της εφπτομένης ε του κύκλου C στο σημείο A ( 5, (ii Ν ποδειχτεί ότι η ε εφάπτετι κι του κύκλου C ΛΥΣΗ Ο κύκλος C έχει κέντρο K (,3 κι κτίν 5, ενώ ο κύκλος C έχει κέντρο ( 0, κι κτίν 3 C (i Γνωρίζουμε πό τη Γεωμετρί ότι έν σημείο M (, νήκει στην ε, ν κι μόνο ν AM KA, δηλδή, ν κι μόνο ν KA AM 0 ( Όμως, KA ( 3, 4 κι AM ( 5, Έτσι, η ( ράφετι διδοχικά C O K(,3 M(, Λ(0,- A(5,- B 3( 5 4( 0 3 4 90 Άρ, η εξίσωση της ε είνι: 3 4 90 ( (ii Γι ν δείξουμε ότι η ε εφάπτετι του κύκλου C, ρκεί ν δείξουμε ότι η πόστση του κέντρου ( 0, του C πό την ε είνι ίση με την κτίν του C, δηλδή ίση με 3 Έχουμε λοιπόν: 304( 9 5 d(, ε 3 3 4 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ
87 Α ΟΜΑΔΑΣ Ν ρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την ρχή των ξόνων σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: (i Ότν διέρχετι πό το σημείο (, 3 (ii Ότν διέρχετι πό το σημείο (, (iii Ότν εφάπτετι της ευθείς (iv Ότν εφάπτετι της ευθείς Ν ρείτε την εξίσωση της εφπτομένης του κύκλου 5 σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: (i Ότν είνι πράλληλη στην ευθεί 3 (ii Ότν είνι κάθετη στην ευθεί (iii Ότν διέρχετι πό το σημείο (5,0 3 Ν ποδείξετε ότι οι εφπτόμενες του κύκλου στ σημεί (,, (,, (, κι (, σχημτίζουν τετράωνο με διώνιες τους άξονες κι Ποιο είνι το εμδόν του τετρώνου υτού; 4 Ν ρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου 4 που έχει μέσο το σημείο (, 5 Ν ρείτε την εξίσωση του κύκλου σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: (i Ότν έχει κέντρο (0, κι διέρχετι πό το σημείο ( 3,0 (ii Ότν έχει διάμετρο το τμήμ με άκρ (, κι (7,8 (iii Ότν έχει κτίν ρ 5 κι τέμνει τον άξον στ σημεί (,0 κι (7,0 (iv Ότν διέρχετι πό τ σημεί (4,0 κι (8,0 κι έχει το κέντρο του στην ευθεί (v Ότν τέμνει τον άξον στ σημεί (4,0 κι (8,0 κι τον άξον στ σημεί ( 0, κι ( 0, μ (vi Ότν εφάπτετι του άξον στο σημείο (3,0 κι διέρχετι πό το σημείο (, (vii Ότν διέρχετι πό την ρχή των ξόνων κι εφάπτετι της ευθείς 3 4 στο σημείο (0,3 6 Ν ρείτε το κέντρο κι η κτίν του κύκλου που έχει εξίσωση (i 463 0 (ii 00 0
88 3 (iii 3 69 0 (iv 40 4 6 0 7 Ν ρείτε την εξίσωση της εφπτομένης του κύκλου (i 4 40 στο σημείο του (, (ii 3 0 στο σημείο του (, 8 Ν ρείτε τη σχετική θέση των κύκλων: C : κι C : ( 4 Β ΟΜΑΔΑΣ Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ( ( - ( -( δ 0 πριστάνει τον περιερμμένο κύκλο του τετρπλεύρου με κορυφές τ σημεί (,, (,, (, δ, (, δ κι ότι οι κι είνι διάμετροι υτού του κύκλου Ν ποδείξετε ότι η ευθεί συνφ ημφ4ημφσυνφ4 εφάπτετι του κύκλου 48 40 3 Από έν σημείο 0 ( 0, 0 εκτός του κύκλου ρ φέρνουμε τις δύο εφπτόμενές του Αν, είνι τ σημεί επφής, ν ποδείξετε ότι η χορδή έχει εξίσωση 0 0 ρ 4 Έστω C ο κύκλος που έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι διέρχετι πό το σημείο ( 3,0 Έστω επιπλέον Μ έν σημείο του C Ν ποδείξετε ότι ότν το Μ διράφει τον C, τότε το κέντρο άρους G του τριώνου διράφει τον κύκλο ( 5 Ν ρείτε το εωμετρικό τόπο των σημείων Μ, πό τ οποί οι εφπτόμενες προς τον κύκλο ρ είνι κάθετες 6 Ν ρείτε το εωμετρικό τόπο των σημείων Μ, των οποίων ο λόος των ποστάσεων πό τ σημεί (3,0 κι (3,0 είνι στθερός κι ίσος με 7 Ν ρείτε το εωμετρικό τόπο των σημείων Μ, των οποίων το τετράωνο της πόστσης πό την ρχή των ξόνων είνι ίσο με το τετρπλάσιο της πόστσης πό την ευθεί
89 8 Έστω το τρίωνο με κορυφές A (3,5, B (, 4 κι ( 5, Ν ποδείξετε ότι ο εωμετρικός τόπος των σημείων Μ ι τ οποί ισχύει 07 είνι κύκλος με κέντρο το κέντρο άρους του τριώνου 9 Ν ποδείξετε ότι κθώς το θ διράφει το διάστημ [ 0,π, το σημείο τομής των ευθειών συν θ ημθ κι ημ θ συνθ διράφει τον κύκλο 0 Ν ρείτε το εωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου 5, που διέρχοντι πό το σημείο (,4 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Προλής Έστω μι ευθεί δ κι έν σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζετι προλή με εστί το σημείο Ε κι διευθετούσ την ευθεί δ ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τ οποί ισπέχουν πό την Ε κι τη δ (Σχ Αν Α είνι η προολή της εστίς Ε στη διευθετούσ δ, τότε το μέσο Κ του ΕΑ είνι προφνώς σημείο της προλής κι λέετι κορυφή της δ (διευθετούσ C (προλή δ C P Μ P Μ Α Κ (ΜΕ=(ΜΡ Ε (εστί Α Κ Π Ε ( (
90 Γι ν ρούμε έν σημείο της προλής C, ερζόμστε ως εξής: Πίρνουμε έν σημείο της ημιευθείς ΚΕ (Σχ κι πό το σημείο υτό φέρνουμε την κάθετη στην ΚΕ κι έστω M έν πό τ σημεί τομής της κάθετης υτής κι του κύκλου με κέντρο το Ε κι κτίν A Τότε, το σημείο M είνι σημείο της προλής C Πράμτι, ν P είνι η ορθή προολή του M στη διευθετούσ δ, τότε θ ισχύει M P ( A ( M, δηλδή d M, δ d( M, ( E ( E Εξίσωση Προλής Έστω C μι προλή με εστί Ε κι διευθετούσ δ Θ ρούμε την εξίσωση της προλής C ως προς σύστημ συντετμένων O με ρχή Ο την κορυφή της προλής κι άξον την κάθετη πό το Ε στην δ P M(, p>0 p<0 M(, P Α O E p,0 E p,0 O Α p δ: p δ: p Αν στο σύστημ υτό η τετμημένη της εστίς Ε είνι, τότε η εξίσωση της p διευθετούσς θ είνι Σύμφων με τον ορισμό της προλής, έν σημείο M (, θ νήκει στη C, ν κι μόνο ν ισχύει d( M, E d( M, ( Είνι όμως p d( M, E p p κι d( M, 0
9 Έτσι, η σχέση ( ράφετι διδοχικά p p p p p p p p 4 4 p ( Επομένως, η εξίσωση της προλής C με εστί E p, 0 κι διευθετούσ : p είνι p Γι πράδειμ, η προλή με εστί το σημείο E( 0, κι διευθετούσ την ευθεί έχει p κι επομένως έχει εξίσωση 4 Ο ριθμός p λέετι πράμετρος της προλής κι η p πριστάνει την πόστση της εστίς πό =p τη διευθετούσ p>0 Αν τώρ πάρουμε σύστημ συντετμένων O με ρχή Ο την κορυφή της προλής κι άξον την κάθετη πό το Ε στη δ κι ερστούμε όπως πριν, θ ρούμε ότι η προλή C έχει εξίσωση E0, p O p δ: p Η εξίσωση υτή ράφετι ισοδύνμ p κι πριστάνει τη ρφική πράστση της νωστής μς πό την Α Λυκείου συνάρτησης, όπου p =p p<0 O p δ: E0, p
9 Γι πράδειμ, η εξίσωση πριστάνει την προλή που έχει p 4 κι άρ έχει εστί το σημείο E( 0, κι διευθετούσ την ευθεί Ιδιότητες Προλής Έστω μι προλή p ( Από την εξίσωση ( προκύπτει ότι τ p κι (με 0 είνι ομόσημ Άρ, κάθε φορά η προλή ρίσκετι στο ημιεπίπεδο που ορίζει ο άξονς κι η εστί Ε Επομένως, η προλή ρίσκετι στο ημιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσ δ κι η εστί Ε Αν το σημείο M(, είνι σημείο της προλής, δηλδή, ν p, τότε κι το σημείο M (, θ είνι σημείο της ίδις προλής, φού ( p Αυτό σημίνει ότι ο άξονς είνι άξονς συμμετρίς της προλής Επομένως, η κάθετη πό την εστί στη διευθετούσ είνι άξονς συμμετρίς της προλής κι λέετι άξονς της προλής ΕΦΑΡΜΟΓΗ Έστω η προλή p κι μι ευθεί που διέρχετι πό την εστί της κι τέμνει την προλή στ σημεί M κι M Ν ποδειχτεί ότι το ινόμενο των ποστάσεων των M κι M πό τον άξον είνι στθερό ΑΠΟΔΕΙΞΗ M (, Αν (, κι (, είνι οι συντετμένες των M κι M ντιστοίχως, τότε οι ποστάσεις των M κι M πό τον άξον θ είνι ίσες με κι ντιστοίχως Επομένως, ρκεί ν δείξουμε ότι το είνι στθερό Επειδή τ σημεί (,,, νήκουν στην προλή p, θ ισχύει ( O N E N M (, p κι p
93 Επομένως, οι συντετμένες των σημείων M κι M θ είνι p, κι p, ντιστοίχως Όμως, τ σημεί E p, 0, M p,, M p, Επομένως: EM // EM, οπότε έχουμε διδοχικά: είνι συνευθεικά, EM 0 det( EM p p p p ( p ( p p p 0 0 p p 0 ( p ( p, φού Άρ p (στθερό Εφπτομένη Προλής Έστω μι προλή C με εξίσωση p ( κι έν στθερό της σημείο M(, Έστω επιπλέον μι μη κτκόρυφη ευθεί ζ που διέρχετι πό το M(, κι τέμνει την προλή κι σε έν άλλο σημείο M(, Τότε η ζ θ έχει συντελεστή διεύθυνσης ε ζ M (, M (, O C
94 κι επειδή διέρχετι πό το σημείο M(,, θ έχει εξίσωση ( ( Επειδή τ σημεί M(,, M(, νήκουν στην προλή, οι συντετμένες τους θ επληθεύουν την εξίσωση ( Άρ, θ ισχύει οπότε θ έχουμε διδοχικά p κι p, p( ( ( p( p Έτσι, η εξίσωση ( θ πάρει τη μορφή p δηλδή τη μορφή (, ( ( p( (3 Ας υποθέσουμε τώρ ότι το σημείο M(,, κινούμενο πάνω στην προλή C, τείνει ν συμπέσει με το σημείο M(, Τότε το τείνει ν ίνει ίσο με, οπότε η εξίσωση (3 της τέμνουσς ζ τείνει ν πάρει τη μορφή δηλδή τη μορφή ( ( p(, ( p( (4 Η εξίσωση υτή πριστάνει την ευθεί ε, που είνι η ορική θέση της τέμνουσς ζ, κθώς το M τείνει ν συμπέσει με το M Η ευθεί ε λέετι εφπτομένη της προλής στο σημείο M Η εξίσωση της εφπτομένης ράφετι διδοχικά: p p p p p p p p(
95 Επομένως, η εφπτομένη της προλής έχει εξίσωση p( Γι πράδειμ, η εφπτομένη της προλής p στο σημείο της M (, M (, έχει εξίσωση (, η οποί ράφετι Αν μι προλή έχει εξίσωση 4 στο σημείο της p, τότε η εφπτομένη της στο σημείο M(, έχει εξίσωση p( Ανκλστική Ιδιότητ Προλής Μι σπουδί ιδιότητ της προλής, νωστή ως νκλστική ιδιότητ είνι η εξής: Η κάθετη στην εφπτομένη μις προλής στο σημείο επφής M διχοτομεί τη ωνί που σχημτίζουν η ημιευθεί ME κι η ημιευθεί M t, που είνι ομόρροπη της ΟΕ, όπου Ε είνι η εστί της προλής ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ε η εφπτομένη της προλής στο M(, κι N το σημείο τομής της με τον άξον Γι ν δείξουμε ότι φ φ, ρκεί ν δείξουμε ότι ή ισοδύνμ ότι ( EM ( EN Πράμτι, επειδή η ε έχει εξίσωση p(, το N θ έχει συντετμένες (, 0, οπότε θ ισχύει N (-,0 ε ω O M (, ω E φ φ p,0 ω C η t ( EM p p κι ( EN
96 Επομένως, έχουμε: p p ( EM p p p ( EN Η χρήση της πρπάνω ιδιότητς ίνετι στ προλικά τηλεσκόπι, στ ρντάρ, στ φνάρι των υτοκινήτων, στους προολείς των οδοντιάτρων κτλ Συκεκριμέν: Όλες οι κτίνες φωτός που προσπίπτουν στο προλικό κάτοπτρο πράλληλ προς τον άξονά του, νκλώμενες, συκεντρώνοντι στην εστί Στ φνάρι των υτοκινήτων που έχουν προλικά κάτοπτρ οι λμπτήρες ρίσκοντι στην εστί τους Έτσι, οι φωτεινές κτίνες, νκλώμενες στο κάτοπτρο, εξέρχοντι πράλληλ προς τον άξονά του ΣΧΟΛΙΟ Σύμφων με την προηούμενη πόδειξη, ι ν φέρουμε την εφπτομένη μις προλής σε έν σημείο της M(,, ρκεί ν ενώσουμε το σημείο N (, με το M (, 0 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Έστω η προλή C : p κι, οι εφπτόμενες της προλής πό έν σημείο M0( 0, 0 με 0 0 Αν M, M είνι τ σημεί επφής των ε,ε με την προλή C, ν ποδειχτεί ότι (i Η ευθεί MM έχει εξίσωση 0 p( 0 (ii Η ευθεί MM διέρχετι πό την εστί, ν κι μόνο ν το M 0 νήκει στη διευθετούσ της προλής
97 ΑΠΟΔΕΙΞΗ (i Αν (, κι (, είνι οι συντετμένες των σημείων M κι M, τότε οι εφπτόμενες κι θ έχουν εξισώσεις: ε M (, ε : p( ε : p( M 0 ( 0, 0 O Ε M (, κι επειδή οι κι διέρχοντι πό το M0( 0, 0, θ ισχύουν δ ε p( κι p( 0 0 0 0 Επομένως, οι συντετμένες των M κι M θ επληθεύουν την εξίσωση p( ( 0 0 Άρ, η ( θ είνι η εξίσωση της χορδής M M (ii Λόω της (i, η ευθεί M M διέρχετι πό την εστί E p, 0, ν κι μόνο ν οι συντετμένες της Ε επληθεύουν την εξίσωση της p(, δηλδή, ν κι μόνο ν ισχύει 0 0 p p 0 ή ισοδύνμ 0 p, 0 0 που συμίνει, ν κι μόνο ν το σημείο M0( 0, 0 νήκει στη διευθετούσ της προλής p ΣΧΟΛΙΟ Η ευθεί MM λέετι πολική του σημείου M 0 ως προς την προλή C, ενώ το σημείο M 0 λέετι πόλος της MM ως προς την C Πρτηρούμε ότι η εξίσωση της πολικής ενός σημείου M0( 0, 0 ως προς την προλή C : p έχει τη μορφή που θ είχε η εφπτομένη της C στο σημείο M0( 0, 0, ν υτό νήκε στην C
98 Έστω η προλή p κι η εφπτομένη της ε σε έν σημείο της M(,, η οποί τέμνει τη διευθετούσ της προλής στο σημείο M Ν ποδειχτεί ότι MEM 90 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η εξίσωση της ε είνι 0 p( ( M (, Επειδή το σημείο M(, είνι σημείο της προλής, ισχύει p, οπότε Άρ, οι συντετμένες του M p είνι ε M O E p,0 p, p δ: Έτσι, η εξίσωση ( ράφετι p p ή p ( Επομένως, οι συντετμένες του M θ είνι η λύση του συστήμτος p p Από την επίλυση του συστήμτος υτού ρίσκουμε ότι οι συντετμένες του M είνι Έτσι, έχουμε EM p p p p p p, κι EM p p p p
99 Άρ,, που σημίνει ότι EM EM EM EM ΑΣΚΗΣΕΙΣ, δηλδή ότι M E M 0 90 Α ΟΜΑΔΑΣ Ν ρεθεί η εξίσωση της προλής που έχει κορυφή την ρχή των ξόνων κι άξον συμμετρίς τον άξον σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: (i Ότν έχει εστί το σημείο (,0 (ii Ότν έχει διευθετούσ την ευθεί (iii Ότν διέρχετι πό το σημείο (, Ν ρεθεί η εστί κι η διευθετούσ της προλής με εξίσωση: (i 8 (ii 8 (iii (v 4 (iv 4 (vi 4 4 3 Δίνετι η προλή p Ν ποδειχτεί ότι η κορυφή της προλής είνι το πλησιέστερο στην εστί σημείο της 4 Ν ρεθούν οι συντετμένες των σημείων Α κι Β της προλής έχουν την ίδι τετμένη κι ισχύει 90 0 4, που 5 Ν ρεθεί η εξίσωση της εφπτομένης της προλής πρκάτω περιπτώσεις: (i Ότν είνι πράλληλη στην ευθεί (ii Ότν είνι κάθετη στην ευθεί (iii Ότν διέρχετι πό το σημείο ( 0, σε κθεμιά πό τις 4 6 Ν ποδείξετε ότι οι εφπτόμενες της προλής στ σημεί (4,4 κι 4, τέμνοντι κάθετ κι πάνω στη διευθετούσ της 4 Β ΟΜΑΔΑΣ
00 Ν ποδειχτεί ότι ο κύκλος ( 3 8 εφάπτετι της προλής 4 (Δηλδή, έχουν τις ίδιες εφπτόμενες στ κοινά σημεί τους Έστω η προλή Αν η εφπτομένη της προλής στο σημείο (, 3 τέμνει τον άξον στο σημείο Β, ν ποδειχτεί ότι το τρίωνο είνι ισόπλευρο 3 Έστω η προλή 4 Αν η εφπτομένη της προλής στο σημείο (3, 3 τέμνει τη διευθετούσ στο σημείο Β, ν ποδειχτεί ότι ο κύκλος με διάμετρο εφάπτετι στον άξον στην εστί της προλής 4 Έστω Μ έν σημείο της προλής p Ν ποδειχτεί ότι ο κύκλος με διάμετρο EM, όπου Ε η εστί της προλής, εφάπτετι στον άξον 5 Έστω η προλή p κι η εφπτομένη της ε σε έν σημείο (, υτής Αν η ευθεί τέμνει τη διευθετούσ της προλής στο σημείο, ν ποδειχτεί ότι // ε 6 Αν η εφπτομένη της προλής p στο σημείο της τέμνει τη διευθετούσ στο σημείο κι τον άξον (i 0 στο σημείο, ν ποδειχτεί ότι AEB 90, (ii κι (iii ( ( ( 7 Έστω η προλή p κι έν σημείο της, ( Φέρνουμε την εφπτομένη της προλής στο Α, που τέμνει τον άξον στο Β κι την πράλληλη πό το Α στον άξον, που τέμνει τη διευθετούσ στο Γ Ν ποδειχτεί ότι το τετράπλευρο είνι ρόμος με κέντρο στον άξον 8 Δίνοντι οι προλές C : p κι C : p (i Ν ποδείξετε ότι οι C κι C τέμνοντι στ σημεί O (0,0 κι ( p, p (ii Αν οι εφπτόμενες των C κι C στο τέμνουν τις C κι C στ σημεί κι ντιστοίχως, ν ποδείξετε ότι η είνι κοινή εφπτομένη των C κι C 33 Η ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός Έλλειψης
0 Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου Ονομάζετι έλλειψη με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ E κι Ε είνι στθερό κι μελύτερο του E E Το στθερό υτό άθροισμ το συμολίζουμε, συνήθως,
0 με κι την πόστση των εστιών E κι Ε με H πόστση ονομάζετι εστική πόστση της έλλειψης E E Σύμφων με τον πρπάνω ορισμό: M Έν σημείο Μ του επιπέδου είνι σημείο της έλλειψης, ν κι μόνο ν ( ME ( ME E (Ε Ε= (ΜΕ +(ΜΕ= Ε Ισχύει ( EE ( ME ( ME, δηλδή οπότε Αν 0, τότε τ σημεί E, E συμπίπτουν, οπότε η έλλειψη ίνετι κύκλος με κέντρο το Ε κι κτίν Μ ρ ρ Α ρ E Α E ρ Μ Γι ν ρούμε έν σημείο της έλλειψης C, ερζόμστε ως εξής: Πίρνουμε έν τμήμ ΚΛ μήκους κι έν οποιοδήποτε σημείο του Σ Με κέντρ τ E κι Ε κι κτίνες ( κι (, ντιστοίχως, ράφουμε δύο κύκλους, οι οποίοι τέμνοντι στ σημεί Μ κι M Τ σημεί Μ κι M είνι σημεί της έλλειψης, ιτί ισχύει ( ME ( ME κι ( ME ( ME Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε ν κτσκευάσουμε οσδήποτε σημεί της έλλειψης Πρκτικά μπορούμε ν σχεδιάσουμε την έλλειψη ως εξής: Πίρνουμε έν σχοινί μήκους κι στερεώνουμε τ άκρ του στις εστίες E κι Ε Αν τώρ με έν μολύι διτηρούμε το σχοινί τεντωμένο, τότε υτό, κτά την κίνησή του, θ διράψει την έλλειψη Κ Σ Λ a E M E
0 Εξίσωση Έλλειψης Έστω μι έλλειψη C με εστίες E κι Ε Θ ρούμε την εξίσωση της έλλειψης ως προς σύστημ συντετμένων O με άξον των την ευθεί E E κι άξον των τη μεσοκάθετο του E E Αν M (, είνι έν σημείο της έλλειψης C, τότε θ ισχύει ( ( ME ME ( Επειδή ( EE, οι εστίες E κι Ε θ έχουν συντετμένες (, 0 κι (, 0 ντιστοίχως Επομένως, ( ( E M κι ( ( ME Έτσι, η σχέση ( ράφετι ( (, πό την οποί έχουμε διδοχικά: ( ( ( 4 ( 4 ( ( 4 4 ( ( ( ( 4 ( ( (3 Επειδή, είνι 0, οπότε ν θέσουμε, η εξίσωση (3 πίρνει τη μορφή (4 B A Α B E(,0 O, ( M (,0 E
03 Αποδεικνύετι κι το ντίστροφο, δηλδή ότι κάθε σημείο M (,, του οποίου οι συντετμένες επληθεύουν την εξίσωση (4, είνι σημείο της έλλειψης C Επομένως, η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τ σημεί E (,0, E(, 0 κι στθερό άθροισμ είνι, όπου Γι πράδειμ, η εξίσωση της έλλειψης με εστίες τ σημεί E (4,0, E( 40, κι στθερό άθροισμ 0 είνι, 5 3 φού 5 4 3 Αν τώρ πάρουμε σύστημ συντετμένων O με άξον των τη μεσοκάθετο του E E κι άξον των την ευθεί E E κι ερστούμε όπως πριν, θ ρούμε ότι η εξίσωση της έλλειψης C είνι Α E( 0,, όπου B O Β Γι πράδειμ, η έλλειψη με εστίες E (, 04, E( 04, κι στθερό άθροισμ 0 είνι E( 0,, 3 5 φού 5 4 3 A Ιδιότητες Έλλειψης Έστω μι έλλειψη C :, όπου Αν M(, είνι έν σημείο της έλλειψης C, τότε τ σημεί M(,, M3(, κι M4(, νήκουν στην C, φού οι συντετμένες τους επληθεύουν την εξίσωσή της Αυτό A B M 3 M A O M 4 M B
04 σημίνει ότι η πρπάνω έλλειψη έχει τους άξονες κι άξονες συμμετρίς κι την ρχή των ξόνων κέντρο συμμετρίς Επομένως, η ευθεί που ενώνει τις εστίες E, E της έλλειψης κι η μεσοκάθετος του E E είνι άξονες συμμετρίς της έλλειψης, ενώ το μέσο Ο του E E είνι κέντρο συμμετρίς της Το σημείο Ο λέετι κέντρο της έλλειψης Από την εξίσωση της έλλειψης ι 0 ρίσκουμε, ενώ ι 0 ρίσκουμε Επομένως, η έλλειψη C τέμνει τον άξον στ σημεί A (,0 κι A (,0, ενώ τον άξον στ σημεί B ( 0, κι B ( 0, Τ σημεί A, A, B, B λέοντι κορυφές της έλλειψης, ενώ τ ευθύρμμ τμήμτ A A κι B B, τ οποί έχουν μήκη ( A A κι ( B B, λέοντι μεάλος άξονς κι μικρός άξονς ντιστοίχως Το ευθύρμμο τμήμ που ορίζουν δύο οποιδήποτε συμμετρικά ως προς Ο σημεί M κι M 4 της έλλειψης λέετι διάμετρος της έλλειψης Αποδεικνύετι ότι 4 ( M M, δηλδή ότι κάθε διάμετρος της έλλειψης είνι μελύτερη ή ίση πό το μικρό άξον κι μικρότερη ή ίση πό το μεάλο άξον της έλλειψης Τέλος, πό την εξίσωση της έλλειψης, έχουμε οπότε 0 κι άρ Ομοίως Άρ, η έλλειψη περιέχετι στο ορθοώνιο που ορίζουν οι ευθείες, κι, Εκκεντρότητ Έλλειψης Μι πράμετρος που κθορίζει τη μορφή της έλλειψης είνι η εκκεντρότητ της έλλειψης Ονομάζουμε εκκεντρότητ της έλλειψης κι τη
05 συμολίζουμε με ε, το λόο ε Επειδή οπότε ε κι άρ, είνι ε, ε ( Επομένως, όσο μελώνει η εκκεντρότητ τόσο μικρίνει ο λόος κι κτά συνέπει τόσο πιο επιμήκης ίνετι η έλλειψη (Σχ Ότν το ε τείνει στο μηδέν, τότε ο λόος τείνει στο κι επομένως η έλλειψη τείνει ν ίνει κύκλος Ότν, όμως, το ε τείνει στη μονάδ, τότε ο λόος τείνει στο 0 κι επομένως η έλλειψη τείνει ν εκφυλιστεί σε ευθύρμμο τμήμ Οι ελλείψεις που έχουν την ίδι εκκεντρότητ, άρ ίδιο λόο, λέοντι όμοιες (Σχ ( ( Είνι νωστό πό την Αστρονομί ότι οι τροχιές των πλνητών ύρω πό τον Ήλιο είνι ελλείψεις, των οποίων τη μί εστί κτέχει ο Ήλιος Οι εκκεντρότητες των τροχιών υτών είνι οι εξής: Πλνήτης εκκεντρότητ Πλνήτης εκκεντρότητ Ερμής Αφροδίτη Γη Άρης Δίς 0,06 0,007 0,07 0,093 0,049 Κρόνος Ουρνός Ποσειδώνς Πλούτωνς 0,05 0,046 0,005 0,50
06 Πρμετρικές Εξισώσεις Έλλειψης Έστω η έλλειψη : C κι έν σημείο M (, του κρτεσινού επιπέδου Αν το M (, νήκει στην έλλειψη C, τότε θ ισχύει, οπότε θ έχουμε Επομένως, το σημείο N, θ νήκει στο μονδιίο κύκλο, οπότε θ υπάρχει ωνί φ [ 0,π, τέτοι, ώστε συνφ κι ημφ, δηλδή συνφ κι ημφ ( Αντιστρόφως, ν ισχύουν οι ( ι κάποι ωνί φ [ 0,π, τότε το σημείο M (, θ νήκει στην έλλειψη C, φού συν φ ημ φ συν φημ φ Επομένως, οι συντετμένες των σημείων M(, της έλλειψης C κι μόνο υτές ικνοποιούν τις εξισώσεις συνφ κι ημφ, φ [ 0,π Οι εξισώσεις υτές λέοντι πρμετρικές εξισώσεις της έλλειψης C Σύμφων με τις πρμετρικές εξισώσεις το σημείο M ( συνφ, ημφ της έλλειψης προσδιορίζετι ως εξής: Γράφουμε τους κύκλους C κι C με κέντρο Ο κι κτίνες κι ντιστοίχως κι φέρνουμε μι ημιευθεί Ot, έτσι ώστε ( O, Ot φ Αν η ημιευθεί Ot τέμνει τους C κι C στ σημεί M κι M A C B O B M φ a C t M M(συνφ,ημφ A C
07 ντιστοίχως κι οι πράλληλες πό τ M,M προς τους άξονες,, ντιστοίχως, τέμνοντι στο σημείο Μ, τότε το Μ θ νήκει στην έλλειψη C Πράμτι, το σημείο M θ έχει συντετμένες ( συνφ, ημφ, ενώ το M θ έχει συντετμένες ( συνφ, ημφ Άρ, οι συντετμένες του Μ θ είνι ( συνφ, ημφ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Έστω ο κύκλος a, a 0 κι έν σημείο του M, του οποίου η ορθή προολή στον άξον είνι το σημείο Πάνω στο ευθύρμμο τμήμ ( M M M M ορίζουμε έν σημείο Μ, τέτοιο, ώστε ν ισχύει, 0 a Ν ( M M ποδειχτεί ότι ν το M κινείτι στον κύκλο, το Μ κινείτι στην έλλειψη a ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω (, οι συντετμένες του M κι (, οι συντετμένες του Μ Επειδή ( M M, έχουμε, οπότε ( M M A Β Ο M M (, M(, Α ( Β Επειδή, επιπλέον η M M είνι κάθετη στον άξον θ ισχύει Όμως, το σημείο M, νήκει στον κύκλο ( (, οπότε, λόω των σχέσεων ( κι (, έχουμε Άρ, το σημείο M (, νήκει στην έλλειψη Επομένως, ισχύει
08 Εφπτομένη Έλλειψης Έστω μι έλλειψη C με εξίσωση κι έν σημείο της M(, Η εφπτομένη της έλλειψης C στο σημείο M(, ορίζετι με τρόπο νάλοο προς εκείνο με τον οποίο ορίστηκε η εφπτομένη της προλής κι ποδεικνύετι ότι έχει εξίσωση ε ζ Μ Ο Γι πράδειμ, η εφπτομένη της έλλειψης στο σημείο της 6 4 (, 3 M 3 έχει εξίσωση, η οποί ράφετι ισοδύνμ 6 4 3 4 3 6 3 Αν μι έλλειψη έχει εξίσωση, τότε η εφπτομένη της στο σημείο M(, έχει εξίσωση Όπως η προλή έτσι κι η έλλειψη έχει νάλοη νκλστική ιδιότητ Συκεκριμέν: Η κάθετη στην εφπτομένη μις έλλειψης στο σημείο επφής Μ διχοτομεί τη ωνί E M E, όπου E, E οι εστίες της έλλειψης
09 M ε E E E E Σύμφων με την ιδιότητ υτή έν ηχητικό κύμ ή μι φωτεινή κτίν που ξεκινούν πό τη μί εστί μις έλλειψης, νκλώμεν σε υτήν, διέρχοντι πό την άλλη εστί Η ιδιότητ υτή χρησιμοποιείτι στο σχεδισμό ορισμένων τύπων οπτικών οράνων κι στην κτσκευή των λεόμενων στοών με ειδική κουστική Οι στοές υτές είνι ίθουσες με ελλειπτική οροφή, στις οποίες έν πρόσωπο που ψιθυρίζει στη μι εστί μπορεί ν κουστεί στην άλλη εστί Ακόμη, η νκλστική ιδιότητ της έλλειψης ρίσκει σπουδί εφρμοή σε μι ιτρική μέθοδο που λέετι λιθοθρυψί Η μέθοδος υτή εφρμόζετι ως εξής: Στη μι εστί της έλλειψης τοποθετείτι έν ηλεκτρόδιο εκπομπής υπερήχων, ενώ ο σθενής τοποθετείτι σε τέτοι θέση, ώστε το νεφρό του ν είνι στην άλλη εστί Τότε οι πέτρες του νεφρού κονιορτοποιούντι πό τους νκλώμενους υπερήχους E νεφρό πέτρ νεφρού E + ηλεκτρόδιο ελλειπτικό κάτοπτρο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Δίνοντι η έλλειψη : C κι ο κύκλος C : Αν M (, είνι έν σημείο της C κι M (, το σημείο του C με, ν ποδειχτεί ότι η εφπτομένη της έλλειψης C στο σημείο M κι η εφπτομένη του κύκλου C στο σημείο M τέμνοντι πάνω στον άξον
0 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η εξίσωση της είνι ( ε ε M κι της είνι M ( Γι 0, πό την ( ρίσκουμε ενώ πό τη ( ρίσκουμε σημείο, το M,0, A Ο C C Α M Άρ, κι η κι η τέμνουν τον στο ίδιο ΣΧΟΛΙΟ Σύμφων με την εφρμοή υτή, ι ν φέρουμε την εφπτομένη ε της έλλειψης C στο σημείο M, φέρνουμε την εφπτομένη ε του κύκλου C στο σημείο M κι στη συνέχει ενώνουμε το σημείο τομής Μ των ε κι με το σημείο M Η MM είνι η ζητούμενη εφπτομένη Έστω C η έλλειψη με εστίες τ σημεί E (,0 κι E (,0 κι μεάλο άξον Ν ποδειχτεί ότι ο λόος των ποστάσεων οποιουδήποτε σημείου M (, της έλλειψης πό την εστί E(, 0 κι την ευθεί δ: είνι στθερός κι ίσος με την εκκεντρότητ της έλλειψης Ομοίως, ι την εστί (,0 κι την ευθεί δ : ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή το M (, νήκει στην έλλειψη C, θ ισχύει ( ME ( ME ( Επομένως, όπως είδμε στην πόδειξη της εξίσωσης της έλλειψης, θ έχουμε ( (
Η ισότητ υτή ράφετι διδοχικά: ( M(, ( (3 E (-,0 O E(,0 Όμως, a ( d( M, E κι d( M, δ Επομένως, η (3 ράφετι d( M, E d( M, δ ή ισοδύνμ d( M, E ε d( M, δ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν ρείτε την εξίσωση της έλλειψης σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: (i Ότν έχει εστίες τ σημεί (4,0 κι (4,0 κι μεάλο άξον 0 (ii Ότν έχει εστίες τ σημεί ( 0, 5 κι (0,5 κι μεάλο άξον 6 (iii Ότν έχει εστίες τ σημεί (,0 κι (,0 κι εκκεντρότητ 3 (iv Ότν έχει εστίες τ σημεί (4,0 κι (4,0 κι διέρχετι πό το σημείο 9 4, 5 (v Ότν έχει εστίες στον άξον M, κι διέρχετι πό τ σημεί M (, κι Ν ρείτε τ μήκη των ξόνων, τις εστίες κι την εκκεντρότητ των ελλείψεων: (i 4 4 (ii 69 44 4336
3 Ν εράψετε στην έλλειψη 4 4 τετράωνο με πλευρές πράλληλες προς τους άξονες 4 Αν E, E είνι οι εστίες κι ο μικρός άξονς της έλλειψης 4 ποδείξετε ότι το τετράπλευρο είνι τετράωνο 5 Ν ποδείξετε ότι οι εφπτόμενες μις έλλειψης στ άκρ μις διμέτρου της είνι πράλληλες (Διάμετρος μις έλλειψης λέετι το τμήμ που συνδέει δύο σημεί της έλλειψης κι διέρχετι πό την ρχή των ξόνων 6 Ν ρεθούν οι εξισώσεις των εφπτομένων της έλλειψης 3 4, οι οποίες: (i είνι πράλληλες προς την ευθεί 3 (ii είνι κάθετες στην ευθεί (iii διέρχοντι πό το σημείο (0,4 7 Ν ποδείξετε ότι οι εφπτόμενες της έλλειψης 00 στ σημεί της 4 M (4 5, 5, M ( 4 5, 5, M 3 ( 4 5, 5 κι M 4 (4 5, 5 σχημτίζουν τετράωνο με διώνιες τους άξονες κι, ν Β ΟΜΑΔΑΣ Ν ποδείξετε ότι το σημείο ι όλες τις τιμές του t R ( t t M, νήκει στην έλλειψη t t Ν ποδείξετε ότι το σημείο τομής των ευθειών λ( κι λ (, 0 νήκει στην έλλειψη ι όλες τις τιμές του * λ R 3 Αν M (, είνι έν σημείο της έλλειψης, ν ποδείξετε ότι ( ME ε κι ( ME ε 4 Αν d, d είνι οι ποστάσεις των σημείων ( 0, κι ( 0, πό την εφπτο- μένη της έλλειψης σε έν σημείο της M (,, ν ποδείξετε ότι d d
3 5 Έστω M (,, M (, δύο σημεί της έλλειψης κι τ σημεί N ( ε,0 κι N ( ε,0 Ν ποδείξετε ότι M N ( M ( N 6 Έστω η έλλειψη κι έν σημείο της Μ Έστω επιπλέον, ο κύκλος κι το σημείο του Ν, που έχει την ίδι τετμημένη με το Μ Από το Μ φέρνουμε πράλληλη προς την ON, που τέμνει τους άξονες σημεί Γ κι Δ ντιστοίχως Ν ποδείξετε ότι κι κι στ 7 Έστω ε κι ε οι εφπτόμενες της έλλειψης C :, 0 στις κορυφές της (,0 κι (,0, ντιστοίχως, κι ζ η εφπτομένη της C σε έν σημείο της M (, Αν η ζ τέμνει τις ε κι ε στ σημεί Γ κι, ντιστοίχως, ν ποδείξετε ότι: (i ( ( (ii ο κύκλος με διάμετρο το διέρχετι πό τις εστίες της έλλειψης 8 Έστω η έλλειψη κι η εφπτομένη στο σημείο της M (, Αν η εφπτομένη τέμνει τους άξονες ποδείξετε ότι q p κι στ σημεί ( p,0 κι ( 0, q, ν 34 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ E κι Ε είνι στθερή κι μικρότερη του ( EE Την πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων κάθε σημείου της υπερολής πό τις εστίες την πριστάνουμε συνήθως με, ενώ την πόστση των εστιών με Η πόστση E E ονομάζετι εστική πόστση της υπερολής
4 Σύμφων με τον ορισμό υτό: Έν σημείο Μ είνι σημείο της υπερολής, ν κι μόνο ν ( ME ( ME Ισχύει ( ME ( ME ( E E δηλδή, οπότε Γι ν ρούμε σημεί της υπερολής C, ερζόμστε ως εξής: Πίρνουμε έν ευθύρμμο τμήμ ΚΛ μήκους κι έν οποιοδήποτε σημείο Σ της ημιευθείς ΚΛ εκτός του ευθύρμμου τμήμτος ΚΛ Με κέντρ E κι Ε κι κτίνες ( κι (, ντιστοίχως, ράφουμε κύκλους οι οποίοι τέμνοντι στ σημεί Μ κι M Τ σημεί Μ κι M είνι σημεί της υπερολής, ιτί ισχύει ( ME ( ME ( ( ( Με τον τρόπο υτό μπορούμε ν κτσκευάσουμε οσδήποτε σημεί της υπερολής Ε (Ε Ε= (MΕ (ME =a Κ Λ Σ Ε M Ε M Μ Ε Εξίσωση Υπερολής Έστω C μι υπερολή με εστίες E κι Ε Θ ρούμε την εξίσωση της C ως προς σύστημ συντετμένων O με άξον των την ευθεί E E κι άξον των τη μεσοκάθετη του E E Αν M (, είνι έν σημείο της υπερολής C, τότε θ ισχύει ( ME ( ME, ( Επειδή ( E E, οι εστίες E κι Ε θ έχουν συντετμένες (,0 κι (,0 ντιστοίχως Επομένως, Ε (-,0 Ο Α Α Μ(, Ε(,0 ( κι ( ME ( ME ( Έτσι η σχέση ( ράφετι ( (
5 πό την οποί έχουμε διδοχικά: 4 ( ( ( ( ( ( ] [( ] ] [( [( ( 4 4 ( 4 ( 4 4 ( ( ( Επειδή, είνι 0, οπότε, ν θέσουμε, η εξίσωση ( πίρνει τη μορφή ( Αποδεικνύετι κι το ντίστροφο, δηλδή ότι κάθε σημείο, ( M του οποίου οι συντετμένες επληθεύουν την εξίσωση ( είνι σημείο της υπερολής C Επομένως, η εξίσωση της υπερολής C με εστίες τ σημεί (,0 E, (,0 E, κι στθερή διφορά είνι, όπου Γι πράδειμ, η εξίσωση της υπερολής με εστίες τ σημεί E (, 3 0 (3,0 E κι στθερή διφορά 4 είνι 5, φού 3 5
6 Αν τώρ πάρουμε σύστημ συντετμένων O με άξον των την ευθεί E E κι άξον των τη μεσοκάθετο του E E κι ερστούμε όπως πριν, θ ρούμε ότι η εξίσωση της υπερολής C είνι: E(0, Α, όπου Ο Α Ε (0,- Γι πράδειμ, η εξίσωση της υπερολής με εστίες τ σημεί E ( 0, 3 E (0,3 κι στθερή διφορά 4, είνι 5, φού 3 5 Τέλος, ν είνι, τότε η υπερολή λέετι ισοσκελής κι η εξίσωσή της ράφετι: a Ιδιότητες Υπερολής Έστω μι υπερολή C, η οποί ως προς έν σύστημ συντετμένων O έχει εξίσωση, όπου Αν M(, είνι έν σημείο της υπερολής C, τότε κι τ σημεί M(,, M3(, κι M4(, νήκουν στην C, φού οι συντετμένες τους επληθεύουν την εξίσωσή της Αυτό M 3 M σημίνει ότι η υπερολή C έχει τους άξονες κι άξονες συμμετρίς κι την O ρχή των ξόνων κέντρο συμμετρίς Επομένως, η ευθεί που ενώνει τις εστίες M 4 M E, E της υπερολής κι η μεσοκάθετη του =-a =a E E είνι άξονες συμμετρίς της υπερολής, ενώ το μέσο Ο του E E είνι κέντρο συμμετρίς της Το σημείο Ο λέετι κέντρο της υπερολής
7 Από την εξίσωση της υπερολής ι 0 ρίσκουμε Συνεπώς, η υπερολή τέμνει τον άξον στ σημεί A (, 0, κι A(, 0 Τ σημεί υτά λέοντι κορυφές της υπερολής Από την ίδι εξίσωση ι 0 προκύπτει η εξίσωση, η οποί είνι δύντη στο R Επομένως, η υπερολή C δεν τέμνει τον άξον Τέλος, πό την εξίσωση της υπερολής, έχουμε οπότε κι άρ, 0 ή Επομένως, τ σημεί της υπερολής C ρίσκοντι έξω πό την τινί των ευθειών κι, πράμ που σημίνει ότι η υπερολή ποτελείτι πό δύο χωριστούς κλάδους Ασύμπτωτες Υπερολής Έστω μι υπερολή C με εξίσωση ( ε: =λ O κι μι ευθεί ε με εξίσωση λ, a a δηλδή μι ευθεί που περνάει πό την ρχή των ξόνων Η ευθεί ε έχει με την υπερολή C κοινά σημεί, ν κι μόνο ν το σύστημ κι λ ( έχει λύση Η πρώτη εξίσωση του συστήμτος (, λόω της δεύτερης, ράφετι διδοχικά λ λ ( λ (
8 Έτσι το σύστημ ( έχει λύση, ν κι μόνο ν η ( έχει λύση, δηλδή ν κι μόνο ν λ 0 ή, ισοδύνμ, ν κι μόνο ν Επομένως, η ευθεί λ (3 λ έχει με την υπερολή κοινά σημεί, κι μάλιστ δύο, μόνο ότν λ Άρ, όλ τ σημεί της υπερολής C θ περιέχοντι στις ωνίες των ευθειών στις οποίες ρίσκετι ο άξονς Ας θεωρήσουμε τώρ έν σημείο M (, της υπερολής με 0 κι 0 Αποδεικνύετι ότι ότν το υξάνει περιόριστ, η πόστση ΜΡ του Μ πό την ευθεί τείνει προς το μηδέν Έτσι, το άνω τετρτημόριο του δεξιού κλάδου της κι, υπερολής πλησιάζει όλο κι περισσότερο την ευθεί a O P Μ a, χωρίς ποτέ ν συμπέσει με υτή Γι υτό την ευθεί τη λέμε σύμπτωτο του δεξιού κλάδου της υπερολής Λόω συμμετρίς της υπερολής ως προς τον άξον, ο δεξιός κλάδος της θ έχει σύμπτωτο κι την ευθεί, οπότε, λόω συμμετρίς της υπερολής κι ως προς τον άξον, ο ριστερός κλάδος της θ έχει σύμπτωτες τις ίδιες ευθείες Άρ, οι σύμπτωτες της υπερολής είνι οι ευθείες, Είνι φνερό ότι οι σύμπτωτες της υπερολής είνι οι διώνιες του ορθοώνιου ΚΛΜΝ με κορυφές τ σημεί K (,, (,, M (, κι N(, Το ορθοώνιο υτό λέετι ορθοώνιο άσης της υπερολής Γι
9 πράδειμ, οι σύμπτωτες της υπερολής είνι οι ευθείες 4 κι Αν η υπερολή C έχει εξίσωση, τότε οι σύμπτωτες της είνι ευθείες: κι a Α Ν Ο Κ Μ Λ a Α ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ένς μνημονικός κνόνς ι ν ρίσκουμε κάθε φορά τις σύμπτωτες μις υπερολής είνι ο εξής: Προντοποιούμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης της υπερολής κι εξισώνουμε κάθε πράοντ με μηδέν Γι πράδειμ, έστω η υπερολή Επειδή 4 4 οι σύμπτωτες της υπερολής είνι οι ευθείες 0 κι 0, δηλδή οι κι Εκκεντρότητ Υπερολής Όπως στην έλλειψη έτσι κι στην υπερολή μί πράμετρος που κθορίζει το σχήμ της είνι η εκκεντρότητ Ονομάζουμε εκκεντρότητ της υπερολής, κι τη συμολίζουμε με ε, το λόο ε Επειδή, είνι ε, οπότε ε κι άρ, ε (
0 Επομένως, η εκκεντρότητ ε προσδιορίζει το συντελεστή διεύθυνσης της συμπτώτου της, δηλδή χρκτηρίζει το ορθοώνιο άσης, άρ τη μορφή της ίδις της υπερολής Όσο η εκκεντρότητ μικρίνει κι τείνει ν ίνει ίση με, ο λόος, άρ κι το, μικρίνει κι τείνει ν ίνει ίσο με 0 Κτά συνέπει, όσο πιο μικρή είνι η εκκεντρότητ της υπερολής τόσο πιο επίμηκες είνι το ορθοώνιο άσης κι κτά συνέπει τόσο πιο κλειστή είνι η υπερολή Στην περίπτωση της ισοσκελούς υπερολής είνι, οπότε A Ο A Εφπτομένη Υπερολής Έστω μι υπερολή με εξίσωση ( κι έν σημείο M(, υτής Η εφπτομένη της υπερολής στο (, ορίζετι με τρόπο νάλοο προς εκείνο με τον οποίο ορίστηκε η εφπτομένη της έλλειψης κι ποδεικνύετι ότι έχει εξίσωση σημείο M Έτσι, ι πράδειμ, η εφπτομένη της υπερολής στο σημείο 4 4 M ( 4, 3 έχει εξίσωση 3, η οποί ράφετι ισοδύνμ 4 3 3 3 3 Αν μι υπερολή έχει εξίσωση, O ζ Μ(, ε
τότε η εφπτομένη της στο σημείο M(, θ έχει εξίσωση Όπως η έλλειψη έτσι κι η υπερολή έχει νάλοη νκλστική ιδιότητ Συκεκριμέν: Η εφπτομένη μις υπερολής σε έν σημείο της Μ διχοτομεί τη ωνί E ME, όπου E, E οι εστίες της υπερολής ω M ω ω Ε Ο Ε E Ε C C Επομένως, μι φωτεινή κτίν, κτευθυνόμενη προς τη μί εστί της υπερολής, ότν νκλάτι στην επιφάνει υτής, διέρχετι πό την άλλη εστί, όπως φίνετι στο σχήμ Η ιδιότητ υτή της υπερολής σε συνδυσμό με τις ντίστοιχες ιδιότητες των άλλων κωνικών τομών ρίσκει εφρμοή στην κτσκευή των νκλστικών τηλεσκοπίων, κθώς κι στη νυσιπλοΐ ι τον προσδιορισμό του στίμτος των πλοίων ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ν ποδειχτεί ότι το ινόμενο των ποστάσεων ενός σημείου M, της υπερολής πό τις σύμπτωτες είνι στθερό (
ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω M(, έν σημείο της υπερολής Τότε θ ισχύει ισοδύνμ, ή, Οι σύμπτωτες ε κι ε της υπερολής έχουν εξισώσεις ισοδύνμ ( κι, ή 0 κι 0 ( ντιστοίχως Επομένως, το ινόμενο των ποστάσεων του M πό τις ε, ε είνι ίσο με d( M, ε d( M, ε (, που είνι στθερό ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν ρείτε την εξίσωση της υπερολής σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: (i Ότν έχει εστίες τ σημεί ( 3,0, (3,0 κι κορυφές τ σημεί (5,0 κι (5,0 5 (ii Ότν έχει εστίες τ σημεί ( 0, 0, (0,0 κι εκκεντρότητ 3 (iii Ότν έχει εστίες τ σημεί ( 5,0, ( 5,0 κι διέρχετι πό το σημείο M (,
3 (iv Ότν έχει σύμπτωτες τις ευθείες σημείο M (3,4 4 4 κι κι διέρχετι πό το 3 3 Ν ρείτε τις εστίες, την εκκεντρότητ κι τις σύμπτωτες της υπερολής: (i 9 6 44, (ii 4, (iii 44 5 3600 3 Ν ρείτε την εκκεντρότητ της υπερολής, της οποίς η σύμπτωτη σχημτίζει με τον άξον ωνί 0 30 4 Αν η εφπτομένη της υπερολής σύμπτωτη στην κορυφή (,0 τέμνει την στο σημείο, ν ποδείξετε ότι ( ( 5 Έστω η υπερολή C :, ε η εφπτομένη της σε έν σημείο (, κι ζ η κάθετη της ε στο M Αν η ε διέρχετι πό το σημείο M (0, κι η ζ διέρχετι πό το σημείο M (,0, ν ποδείξετε ότι η εκκεντρότητ της υπερολής είνι ίση με 3 6 Ν ποδείξετε ότι κάθε ευθεί που είνι πράλληλη προς μι πό τις σύμπτωτες της υπερολής τέμνει την υπερολή σε έν μόνο σημείο Ποιο είνι το σημείο τομής της ευθείς κι της υπερολής 4 ; 4 7 Ν ρείτε τις εξισώσεις των εφπτομένων της υπερολής οι οποίες: (i είνι πράλληλες προς την ευθεί 4 (ii είνι κάθετες στην ευθεί 3 (iii διέρχοντι πό το σημείο M (3,0
4 Β ΟΜΑΔΑΣ Αν είνι η προολή της εστίς της υπερολής σύμπτωτη, ν ποδείξετε ότι (i ( OE, (ii ( EE πάνω στην Έστω ε κι ε οι εφπτόμενες της υπερολής στις κορυφές της κι Αν κι είνι τ σημεί στ οποί μι τρίτη εφπτομένη της υπερολής τέμνει τις ε κι ε, ντιστοίχως, ν ποδείξετε ότι (i ( ( κι (iii ο κύκλος με διάμετρο το διέρχετι πό τις εστίες της υπερολής 3 Έστω, κι, δύο σημεί του δεξιού κλάδου της υπερολής ( ( Αν η ευθεί τέμνει τις σύμπτωτες στ σημεί 3( 3, 3 κι,, ν ποδείξετε ότι ( 4 ( 4 4 ( 3 4 4 Από έν σημείο (, της υπερολής φέρνουμε πράλληλες προς τις σύμπτωτες Ν ποδείξετε ότι το εμδόν του σχημτιζόμενου πρλληλόρμμου είνι στθερό 5 Ν ποδείξετε ότι το συνημίτονο μις πό τις ωνίες των συμπτώτων της ε υπερολής δίνετι πό τον τύπο συνφ ε 6 Έστω οι υπερολές C : κι C :, ρ ρ Αν, κι, είνι οι κορυφές των C κι C ντιστοίχως, ν ποδείξετε ότι πό το δεν άοντι εφπτόμενες στη C, ενώ πό το άοντι εφπτόμενες της C
5 35 Η ΕΞΙΣΩΣΗ A E 0 Μετφορά Αξόνων Η εξίσωση ενός κύκλου με κτίν ρ έχει την πλή μορφή ρ, ν η ρχή του συστήμτος συντετμένων O (0,0 είνι το κέντρο του κύκλου Αν όμως το κέντρο του κύκλου δεν είνι η ρχή των ξόνων λλά το σημείο O ( 0, 0, τότε η εξίσωσή του έχει την πιο σύνθετη μορφή ( 0 ( 0 ρ Αυτό δείχνει ότι η μορφή της εξίσωσης μις κμπύλης εξρτάτι πό τη σχετική θέση της κμπύλης κι των ξόνων Ας υποθέσουμε ότι σε έν επίπεδο έχουμε μι κμπύλη κι την εξίσωσή της ως προς έν σύστημ συντετμένων O Θ νζητήσουμε την εξίσωση της ίδις κμπύλης ως προς έν νέο σύστημ συντετμένων, του οποίου η ρχή θ είνι το σημείο O ( 0, 0 κι οι άξονες X OX κι Y OY θ είνι πράλληλοι κι ομόρροποι προς τους άξονες του πλιού συστήμτος Λέμε στην περίπτωση υτή ότι το σύστημ O XY έχει προκύψει με πράλληλη μετφορά των ξόνων του συστήμτος O Y Έστω λοιπόν κι οι συντετμένες ενός ( σημείου Μ ως προς το πλιό σύστημ, κι X M, ( XY, κι Y οι συντετμένες του ίδιου σημείου ως προς το νέο σύστημ Έχουμε Επομένως, OM OOOM (, ( 0, 0 ( X, Y (, ( 0 X, 0 Y 0 X κι 0 Y ή, ισοδύνμ, X 0, Y 0 Έτσι ι πράδειμ, ν οι συντετμένες ενός σημείου Μ ως προς έν κρτεσινό σύστημ είνι ( 4, 3 κι η ρχή O (0,0 μετκινηθεί με τη μετφορά των ξόνων στο σημείο O (,, τότε οι νέες συντετμένες του Μ είνι X 4( 5 κι Y 3 5 Έστω επίσης η εξίσωση ( ( 9, που πριστάνει κύκλο με κέντρο K (, κι κτίν ρ 3 Αν με μι πράλληλη μετφορά των ξόνων η ρχή O (0,0 μετκινηθεί στο κέντρο του κύκλου, τότε οι κινούριες O O ( 0, 0 X
6 συντετμένες ( X, Y ενός σημείου Μ του κύκλου είνι X κι Y ( Επομένως η εξίσωση του κύκλου ως προς το νέο σύστημ ξόνων έχει την πλούστερη μορφή X Y 9 O Y O (,- X ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ν εξετστεί τι πριστάνει στο επίπεδο κθεμιά πό τις εξισώσεις: (i 4 840 (ii 9 4 7 4 440 (iii 9 6 3696 50 ΛΥΣΗ (i Έχουμε διδοχικά: 4840 ( 484 84 ( 8( ( 4( Αν θέσουμε X κι Y, δηλδή ν κάνουμε πράλληλη μετφορά των ξόνων κι τοποθετήσουμε τη νέ ρχή στο σημείο O (,, τότε η εξίσωση πίρνει τη μορφή Y Y 4X Επομένως, η εξίσωση ( πριστάνει προλή με κορυφή το σημείο O (, κι άξον την ευθεί Y 0, δηλδή την ευθεί Ο (-, Ο X (ii Έχουμε διδοχικά 9 4 74440 ( 9( 8 4( 6 44
7 9( 44 4( 9( 4 3 3 94 4( 3 ( 4 ( 3 3 36 43 44 Αν θέσουμε 4 X κι 3 Y, δηλδή ν κάνουμε πράλληλη μετφορά των ξόνων κι τοποθετήσουμε τη νέ ρχή στο σημείο O (4,3, τότε η εξίσωση πίρνει τη μορφή X Y 3 Επομένως, η εξίσωση ( πριστάνει έλλειψη με κέντρο το σημείο O (4,3 κι με 3, Y Α(4,6 κι 3 5 Τ άκρ του μεάλου άξον ως προς το νέο σύστημ είνι τ σημεί ( X, Y (0,3 κι ( X, Y (0, 3, οπότε, λόω των σχέσεων 4 X κι 3 Y, ως προς το ρχικό σύστημ, είνι τ σημεί A (4,6 κι A (4,0 Ανάλο ρίσκουμε ότι τ άκρ του μικρού άξον είνι τ σημεί B (,3 κι B (6,3 Επίσης, οι εστίες είνι τ σημεί E ( 4,3 5, E(4, 3 5 O B(,3 B (6,3 O (4,3 X Α (4,0 (iii Έχουμε διδοχικά 9 6 36965 0 ( 9( 4 6( 9( 6( 3 ( ( 3 4 3 6 5 44 Αν θέσουμε X κι 3 Y, δηλδή ν κάνουμε πράλληλη μετφορά των ξόνων κι τοποθετήσουμε τη νέ ρχή στο σημείο O (, 3, τότε η εξίσωση πίρνει τη μορφή X Y 4 3 Επομένως, η εξίσωση ( πριστάνει υπερολή με κέντρο το σημείο O (, 3 Με νάλοο τρόπο, όπως στην περίπτωση (ii, ρίσκουμε ότι η υπερολή υτή έχει 4, 3, 5 Άρ, η υπερολή έχει κορυφές τ σημεί ( 6, 3 κι (, 3 κι εστίες ( 7, 3 κι ( 3, 3
8 Γενικά, με κτάλληλη μετφορά ξόνων, μπορούμε ν διπιστώσουμε ν μι εξίσωση της μορφής A B E 0 πριστάνει κωνική τομή κι ν ρούμε το είδος κι τ στοιχεί της Σχετική Θέση Ευθείς κι Κωνικής Ας θεωρήσουμε μί ευθεί λ κι μί κωνική τομή A B E 0 Η ευθεί ε κι η κωνική C έχουν το πολύ δύο κοινά σημεί, φού το σύστημ λ A B έχει το πολύ δύο δικεκριμένες λύσεις E 0 Γι την επίλυση του συστήμτος θέτουμε στη (, όπου προκύπτει μι δευτεροάθμι εξίσωση ( ( λ, οπότε Αν η εξίσωση υτή έχει δύο ρίζες άνισες ή μι πλή ρίζ (ότν είνι ου θμού, τότε η ευθεί κι η κωνική τέμνοντι Αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες ίσες, δηλδή ν είνι ου θμού με δικρίνουσ 0, τότε ποδεικνύετι ότι η ευθεί εφάπτετι της κωνικής Τέλος, ν η εξίσωση δεν έχει ρίζες, τότε η ευθεί κι η κωνική δεν έχουν κοινά σημεί ε C ε C C ε Γι πράδειμ, έστω η ευθεί κι η προλή Αν στην εξίσωση της προλής θέσουμε όπου, ρίσκουμε τη δευτεροάθμι εξίσωση 0, η οποί έχει τη διπλή ρίζ Άρ, η ευθεί εφάπτετι της κωνικής κι το σημείο επφής είνι το M (,
9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Ν ποδείξετε ότι κθεμιά πό τις πρκάτω εξισώσεις πριστάνει προλή, ι την οποί ν ρείτε τις συντετμένες της κορυφής κι της εστίς: (i 880 (ii 4640 (iii 4880 (iv 8680 Ν ποδείξετε ότι κθεμιά πό τις πρκάτω εξισώσεις πριστάνει έλλειψη, ι την οποί ν ρείτε τις συντετμένες του κέντρου, των κορυφών κι των εστιών (i 9 5 36890 (ii 46 0 (iii 4 9 336640 (iv 9 6 543470 3 Ν ποδείξετε ότι κθεμιά πό τις πρκάτω εξισώσεις πριστάνει υπερολή, ι την οποί ν ρείτε τις συντετμένες του κέντρου, των κορυφών κι των εστιών: (i 4 843640 (ii 3 860 4 Ν ρεθεί η τιμή του κ R, ι την οποί η προλή κ εφάπτετι της ευθείς 5 Ν ρείτε τις κοινές εφπτόμενες του κύκλου 4 κι της προλής ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δίνετι η εξίσωση λ0 (, όπου λ R (i Ν ποδείξετε ότι ι κάθε τιμή του λ η ( πριστάνει κύκλο του οποίου ζητείτι ν ρεθεί το κέντρο κι η κτίν (ii Ν ποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι C λ που ορίζοντι πό την ( ι τις διάφορες τιμές του λ διέρχοντι πό δύο στθερά σημεί Ποιά είνι η εξίσωση της κοινής χορδής όλων υτών των κύκλων;
30 Δίνοντι οι κύκλοι C : κι λ, όπου λ, R : ( C κι η ευθεί (i Ποιες είνι οι ποστάσεις των κέντρων των κύκλων C κι C πό την ευθεί; (ii Γι ποιες τιμές των λ κι η ευθεί εφάπτετι κι στους δύο κύκλους; (iii Ν ποδείξετε ότι οι κοινές εφπτόμενες των κύκλων C κι C τέμνοντι πάνω στον άξον κι σχημτίζουν μετξύ τους ωνί 0 60 3 Μι ευθεί λ, με λ 0, τέμνει την προλή 4 σε δύο σημεί Α κι Β λ (i Ν ποδείξετε ότι οι συντετμένες του μέσου Μ του ΑΒ είνι, λ λ (ii Ν ρείτε την εξίσωση της ρμμής πάνω στην οποί ρίσκετι το Μ, ότν ( λ κι το μετάλλετι ( 0 κι το λ μετάλλετι 4 Δίνετι η έλλειψη, με 0 κι το σημείο ( 0, Μι ευθεί με συντελεστή διεύθυνσης λ διέρχετι πό το σημείο Σ κι τέμνει τις εφπτόμενες, στ άκρ του μεάλου άξον της έλλειψης, στ σημεί Μ κι (i Ν ρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο (ii Γι ποιες τιμές του συνρτήσει του λ λ R ο κύκλος υτός διέρχετι πό τις εστίες της έλλειψης; 5 Δίνετι η έλλειψη Ν ρείτε την εξίσωση της υπερολής η οποί έχει 5 4 τις ίδιες εστίες με την έλλειψη κι εφάπτετι στην ευθεί 6 Έστω τ δινύσμτ OA (4,0 κι OA (,0 του κρτεσινού επιπέδου Αν τ δινύσμτ ρχίσουν, συχρόνως, ν περιστρέφοντι με την ίδι ωνική τχύτητ λλά με ντίθετη φορά, ν ποδείξετε ότι το πέρς Μ της συνιστμένης τους διράφει έλλειψη 7 Δίνοντι οι ημιευθείες δ : κι δ :, ( 0, κι μι ευθεί ε η οποί τις τέμνει στ σημεί M κι M ντιστοίχως (i Ν ρείτε τις συντετμένες των M κι M συνρτήσει των συντετμένων του μέσου Μ του ευθύρμμου τμήμτος (ii Ν ποδείξετε ότι ότν η ευθεί ε κινείτι, έτσι ώστε το τρίωνο OM M ν έχει στθερό εμδόν κι ίσο με, τότε το Μ κινείτι στον έν κλάδο μίς στθερής υπερολής
3 8 Δίνοντι οι ελλείψεις C : κι C : με 0 Η ημιευθεί ( εφθ, 0, C στο σημείο, ( π 0 θ τέμνει την C στο σημείο (, κι την Αν λ είνι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφπτομένης της C στο σημείο κι λ είνι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφπτομένης της C στο σημείο, ν ποδείξετε ότι το ινόμενο λ λ είνι ίσο με (εφθ 9 Δίνετι η έλλειψη (i Η εφπτομένη της έλλειψης στο σημείο που η διχοτόμος του πρώτου τετρτημόριου τέμνει την έλλειψη έχει κλίση Ν ρείτε την εκκεντρότητ της έλλειψης (ii Έστω Μ το σημείο του πρώτου τετρτημόριου στο οποίο η ευθεί λ, λ 0 τέμνει την πρπάνω έλλειψη Αν μ είνι η κλίση της εφπτόμενης της έλλειψης στο σημείο Μ, τότε ν εκφράσετε το ινόμενο λμ ως συνάρτηση των ημιξόνων, 0 (i Δίνοντι ένς κύκλος C με κέντρο Κ κι κτίν R κι μι ευθεί ε που δεν έχει κνέν κοινό σημείο με τον κύκλο C Ν ποδείξετε ότι τ κέντρ των κύκλων C, που εφάπτοντι της ε κι του κύκλου C εξωτερικά, νήκουν σε στθερή προλή (ii Δίνοντι δύο κύκλοι C κι C, με κέντρ K κι K κι κτίνες R κι R ντιστοίχως, πό τους οποίους ο C είνι εσωτερικός του C Ν ποδείξετε ότι τ κέντρ των κύκλων C, που εφάπτοντι εσωτερικά του C κι εξωτερικά του C, νήκουν σε στθερή έλλειψη (iii Δίνοντι δύο κύκλοι C κι C, με κέντρ K κι K κι κτίνες R κι R, ντιστοίχως, που ρίσκοντι ο ένς εκτός του άλλου Ν ποδείξετε ότι τ κέντρ του κύκλου C που εφάπτοντι εξωτερικά κι των δύο κύκλων C κι C νήκουν σε κλάδο στθερής υπερολής Δίνετι η έλλειψη κι το σημείο της M ( συνφ, ημφ (i Ν ρείτε την εξίσωση της εφπτομένης της έλλειψης στο σημείο Μ (ii Ν ποδείξετε ότι το ινόμενο των ποστάσεων των εστιών Ε κι πό την εφπτομένη είνι στθερό (iii Γι ποι τιμή του φ το εμδόν του τριώνου που ορίζει η εφπτομένη με τους άξονες ίνετι ελάχιστο;
3 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Στις πρκάτω ερωτήσεις - ν άλετε σε κύκλο τη σωστή πάντηση: Ο κύκλος ( Α εφάπτετι στον Β διέρχετι πό το σημείο A ( 0, Γ εφάπτετι στον Η ευθεί κι ο κύκλος Α τέμνοντι Β εφάπτοντι Γ δεν έχουν κοινά σημεί 3 Έστω οι κύκλοι ( 4 κι ( 4 Το σημείο M (, είνι Α εσωτερικό του ενός κύκλου κι εξωτερικό του άλλου Β σημείο κι των δύο κύκλων Γ εσωτερικό κι των δύο κύκλων Δ εξωτερικό κι των δύο κύκλων 4 Έστω ο κύκλος με πρμετρικές εξισώσεις: Το σημείο A (, 3 είνι Α εσωτερικό του κύκλου Β εξωτερικό του κύκλου Γ σημείο του κύκλου συνφ, ημφ, όπου φ [ 0,π 5 Στο διπλνό σχήμ η δ είνι η διευθετούσ κι το Ε είνι η εστί της προλής p Το μήκος της χορδής ΑΒ είνι ίσο με: Α p AB, Β AB p, Γ AB p, Δ AB 4 p δ O = p A Ε B