34457 1. predavaje: Osovo o redovima čekaja Prof.dr.sc. Mlade Kos Ak. god. 2016./2017.
Teme Uvodi primjeri Uvod u Teoriju redova čekaja Littleov teorem Dokaz i ituitivo objašjeje Primjeri Dodatak Pregled Teorije vjerojatosti Poissoov proces 2
Uzroci mrežog kašjeja Kašjeje u obradi (Processig Delay) Pretpostavljamo da brzia obrade ije ograičeje Kašjeje zbog čekaja (Queueig Delay) Vrijeme čekaja u spremiku prije odašiljaja (prijeosa) Prijeoso kašjeje (Trasmissio Delay) Propagacijsko kašjeje (Propagatio Delay) Vrijeme provedeo a liku prijeos sigala Neoviso od iformacija preošeih likom Fokus: čekaje i prijeoso kašjeje 3
Primjer 1: komutacija/usmjeritelj 1 1 1 1 komutacija m m ulazi spremici izlazi spremici Liijske brzie ulaza/izlaza (I/O portovi) Veličia (broj ulaza/izlaza) Kašjeje uz određeu propusost Vrijeme prospajaja... 4
Primjer 2: prijeosi lik Ukupo kašjeje = TRANS + PROP + QD + PROC TRANS = (veličia paketa)/(brzia prijeosa) PROP = (duljia prijeosog medija)/(brzia prostiraja sigala kroz prijeosi medij) PROP je između 3,3 i 5 µs/km QD = kašjeje (queueig delay) u pr. komutacijskom čvoru PROC = trajaje obrade u pr. komutacijskom čvoru Pretpostavka: PROC 0 5
Primjer 3: golub vs. ATM Golub pismooša osi USB stick kapaciteta 64 GB pu podataka. Može letjeti sredjom brziom 36 km/h. Do koje je udaljeosti prijeos iformacija golubom brži od ATM liije brzie 155 Mbit/s. (Napomea: kod račuaja uzmite, radi jedostavosti, da je 1 GB = 10 9 B; kod memorija je iače toča vrijedost 1GB = 2 10 MB = 2 20 KB = 2 30 B. Dakle, koristite uobičajeu aproksimaciju: 2 10 10 3 ). Kapacitet sticka: 64 GB = 512 Gbit. Brzia goluba: 36 km/h = 10 m/s = 10 10-3 km/s. Vrijeme u kojem golub preleti udaljeost od x kilometara: x/(10 10-3 ) = 100xsekudi. 512 Gbit/(100x) = 5120/x[Mbit/s] fl5120/x 155 [Mbit/s] fl x 33.032 km, tj. golub je brži od ATM liije do udaljeosti od 33 km! 6
Osovi model posluživaja Spremik Poslužitelj(i) Dolasci Odlasci Red čekaja Posluživaje Sustav posluživaja (queueig systems): korisici (customers) dolaze u slučajim vremeskim treucima suklado dolazom procesu (arrival process) u poslužiteljski sustav a posluživaje. Ako su svi poslužitelji zauzeti pridošli korisik stae u red(rep) čekaja te se kasije poslužuje suklado defiiraoj disciplii posluživaja. Nako završeog posluživaja korisik apušta sustav. Poslužiteljski sustav može imati više od jedog poslužitelja (servera). Pretpostavljamo da poslužitelj može u ekom treutku posluživati samo jedog korisika. 7
O termiologiji U teoriji redova čekaja (teoriji posluživaja) uobičajeo se koriste geerički pojmovi: korisici i poslužitelji. U razičitim primjeama oi imaju različita začeja. Na primjer: Paketska mreža: Korisici: paketi (ili okviri, ćelije,...) koji dolaze a komutacijski čvor Poslužitelji: prijeosi kaali Telefoska mreža: Korisici: pozivi Poslužitelji: telefoske cetrale (komutacija kaala) Procesiraje (raspored obrada): Korisici: obrade, trasakcije,... Poslužitelji: račuali resursi (CPU, I/O jediice,...) Egleska termiologija: queue, waitig lie, queueig theory, customer, server, service facility, arrival process,... 8
Modeliraje sustava posluživaja Sustav posluživaja je diamički sustav. Kako aalitički opisati diamičko poašaje takvog sustava? Kako formulirati matematički model koji opisuje tu diamiku? Koji parametri u potpuosti opisuju sustav posluživaja? Koje sustave posluživaja je moguće efikaso aalitički rješiti? Samo mali broj realih problema moguće je egzakto rješti primjeom ove teorije. U osovi se sustav posluživaja sastoji od tri glave kompoete: Dolazi proces (ulazi proces) Struktura sustava Proces posluživaja (izlazi proces) 9
Dolazi proces(1) Veličia dolaze populacije: Beskoača:broj mogućih korisika iz vajskog izvora je vrlo velik u usporedbi s brojem korisika u sustavu pa a brziu dolazaka e utječe veličia populacije Aaliza je zato lakša kod beskoače populacije i često vodi do jedostavih rješeja Koača:zato složeija jer a ulazi proces utječe broj korisika već prisutih u sustavu Primjeri za beskoaču populaciju su telefoski pretplatici, rezervacija avioskih karata itd. U biti su to koače populacije ali vrlo velike pa ih matematički možemo smatrati beskoačim. Primjer za koaču populaciju su rade staice u lokaloj mreži (LAN) Statistika dolazog procesa: Regulara dolazak: korisici dolaze u pravilim i fiksim itervalima dolasci se mogu opisati jedim brojem (brzia dolazaka) Slučaja dolazak: treba pozavati razdiobu dolazaka; ajčešće se dolazi proces opisuje međudolazim vremeom, tj. vremeom između dva dolaska korisika Poissoov proces: vrlo populara, međudolaza vremea se ravaju po ekspoecijaloj razdiobi, međusobo su eovisa i idetičo raspodjeljea (skračeica: iid - idepedet ad idetically distributed) 10
Dolazi proces(2) Razdiobe vjerojatosti koje se ajčešće koriste za opis međudolazih vremea: M: Markovljev ili bezmemorijski (Memoryless), implicira Poissoov proces D: Determiistički, kostata međudolaza vremea E k :Erlagova razdioba s parametrom k(k-tog reda) H k :Hiperekspoecijala razdioba s parametrom k(k-tog reda) G: Općeita (geerala) razdioba (uz pozato očekivaje i varijacu) GI: Općeita i eovisa (geeral, idepedet) razdioba Poašaje korisika: Sustav je blokira: kad adolazeći korisik dođe a ulaz puog sustava (svi poslužitelji zauzeti ili kad je koači spremik pu) o e ulazi u sustav Bulk arivals Balkig 11
Primjer Ulaz u(t)/izlaz i(t) 1 ako paket dođe u u( t) = 0 iače 1 ako paket ode u i( t) = 0 iače t t Diamika sustava x(t) broj korisika u sustavu x( t) + 1 za u( t) = 1, i( t) = 0 + x( t ) = x( t) 1 za u( t) = 0, i( t) = 1 x( t) iače u(t) i(t) t t x(t) t
Dolazi proces(3) +1 1 τ t t τ : međudolazo vrijeme između korisika i +1 τ je slučaja varijabla (iid: eovisa i idetičo distribuiraa) { τ, 1} je stohastički proces Međudolaza vremea su idetičo distribuiraa i imaju jedaku sredju vrijedost E[ τ ] = E[ τ ] = 1/ λ λ je sredja brzia ili itezitet dolazaka 13
Struktura sustava b m Broj poslužitelja m:jeda, više, beskoačo; U ovom kolegiju aaliziramo samo paralele i idetiče poslužitelje Veličia spremika b; Kapacitet sustava: maksimali broj korisika koji se mogu poslužiti u sustavu (uključuje i korisike koji se poslužuju) = b + m Može biti koača ili beskoača 14
Procesposluživaja (1) +1 1 s t s : vrijeme (trajaje) posluživaja korisika { s, 1} je stohastički proces Vremea posluživaja su eovisa i idetičo distribuiraa (iid) i imaju sredju vrijedost E[ s] = E[ s ] = 1/ µ µ je brzia posluživaja 15
Procesposluživaja (2) Disciplia čekaja ili posluživaja: ači a koji se korisici odabiru iz reda čekaja za posluživaje Najčešće disciplie: FCFS (First-come-first-serve) ili FIFO (First-i-first-out) LCLS (Last-come-first-serve) ili LIFO (Last-i-first-out) Prioriteti PS (processor sharig) kapacitet se jedako dijeli između korisika u redu Nasumice Najčešće razdiobe vremea posluživaja: M: Markovljevo ili bezmemorijskio (Memoryless); implicira ekspoecijalu razdiobu vremea posluživaja D: Determiističko, kostato vrijeme posluživaja E k :Erlagova razdioba s parametrom k(k-tog reda) G: Općeita (geerala) razdioba vremea posluživaja 16
Slučaje varijable (1) Važije ozake: N (t) ili N t broj korisika u sustavu u treutku t N Q (t) broj korisika u redu čekaja u treutku t N S (t) broj korisika a posluživaju u treutku t N sredji broj korisika u sustavu N Q sredji broj korisika u redu čekaja N S sredji broj korisika a posluživaju T() ili T vrijeme boravka korisika u sustavu W() ili W vrijeme koje korisik provede u redu čekaja T sredje vrijeme boravka korisika u sustavu (ukupo kašjeje) W sredje vrijeme čekaja korisika u redu čekaja p (t), P (t) vjerojatost da je korisika u sustavu u treutku t p, P stacioara vjerojatost da je korisika u sustavu P{T > t} vjerojatost da će korisik provesti više od tvremeskih jediica u sustavu P{W > t} vjerojatost da će korisik provesti više od tvremeskih jediica u redu čekaja 17
Slučaje varijable (2) Lako je uočiti da vrijedi: N (t) = N Q (t) + N S (t) i N = N Q + N S T() = W() + s() i T = W + E[s()] Ako je izučavai sustav ergodiča (kasije će biti objašjeo) i alazi se u stacioarom staju tada vrijedi: [ ] N = lim N( t) = lim E N t NQ = lim NQ ( t) = lim E NQ ( t) t [ ] N = lim N ( t) = lim E N ( t) [ ] T = lim T ( ) = lim E T ( ) [ ] W = lim W ( ) = lim E W ( ) [ ] s = lim s( ) = lim E s( ) P = lim P ( t) t t S S S t t t t 18
Kedallova otacija A/S/m/c/K/DP A: dolazi proces(razdioba međudolazih vremea) S: razdiobu vremea posluživaja m: broj paralelih poslužitelja c: jekapacitet sustava (max broj korisika u sustavu, bilo da su u spremiku ili a posluživaju) K: veličia korisičke populacije DP: disciplia posluživaja Često se koriste samo prva tri parametra za opis sustava. U tom slučaju zadja tri parametra su c =, K = i DP = FCFS (FIFO) M/D/5/40/200/FCFS: ekspoecijala razdioba međudolazih vremea, determiističko vrijeme posluživaja, pet poslužitelja, koači kapacitet (35 mjesta za čekaje u spremiku), ukupa populacija od 200 korisika i posluživaje po redosljedu dolazaka M/M/1: ekspoecijala razdioba međudolazih vremea, ekspoecijala razdioba vremea posluživaja, jeda poslužitelja, beskoači spremik, beskoača populacija korisika i posluživaje po redosljedu dolazaka 19
Littleovteorem λ N λ: sredja brzia dolazaka korisika N: sredji broj korisika u sustavu T: sredje kašjeje (sredji boravak) korisika u sustavu Littleov teorem: za sustav u stacioarom staju vrijedi: N T = λt 20
Proces brojeja α(t) N(t) β(t) N(t): broj korisika u sustavu u treutku t α(t): broj dolazaka do treutka t β(t): broj odlazaka do treutka t T i : vrijeme boravka i-tog korisika u sustavu t 21
Vremeski prosjeci Postoje dva ačia izračuavaja prosječe (sredje) vrijedosti stohastičkog procesa uutar ekog vremeskog itervala: vremeski prosjek i stohastički prosjek Vremeski prosjek u itervalu [0, t] su stacioari vremeski prosjeci: 1 t Nt = N( s) ds N lim Nt t = 0 t a( t) λt = λ = limλt t t a( t) 1 T = T T = limt t i t a( t) t i= 1 β ( t) δt = δ = limδt t t Stohastiči prosjek (ili prosjek asambla): očekivaa vrijedost stohastičkog procesa X(t)u treutku Todosi se a prosjek različitih realizacija (trajektorija) procesa X(t) u treutku T: E[ X ( T )] = P{ X ( T ) = } = 0 Ako je vremeski prosjek jedak stohastičkom prosjeku tada se stohastički proces ergodiča. 22
DokazLittleovogteorema zafcfs Pretpostavke: Početo je sustav praza: N(0) = 0 N(t)= α(t) β (t): ukupa broj korisika u sustavu u treutku t Korisici se poslužuju u redosljedu dolazaka (FCFS) Tijekom dužeg vremesko itervala: dolasci = odlascima (iače sustav ije stabila) t i treutak dolaska korisika i T i trajaje posluživaja korisika i Osječao područje: t 0 0 [ ] β ( i) α ( i) i t i= 1 i= β ( t ) + 1 t 0 t t β ( t ) α ( t ) S( t) = N( τ ) dτ = α( τ ) β ( τ ) dτ = T 1 + ( t t ) 1 1 α( t) N( τ ) dτ = N = λ T t t t t T + ( t ti ) α( ) i i= 1 i= β ( t ) + 1 Stohastička varijata Littleove formule za ergodičke sustave: N = λt i 23
DokazLittleovogteorema zafcfs i α(t) N(t) β(t) T i FCFS sustav, N(0) = 0 α(t) i β(t): izlomljee crte N(t)= α(t) β(t) Osječao područje: = t S( t) N( τ ) dτ 0 T 1 T 2 t p t Pretpostavka: N(t) = 0 ispuje beskoačo često. Za eki t vrijedi: α ( t ) α ( t) t 1 t α ( t) T 1 i N( τ ) dτ = T ( ) 0 i N d 0 t ttt i 1 t τ τ = N = λ = t α( t) Ako postoje limiti N t N, T t T,λ t λ, oda vrijedi Littleova formula Ukloimo pretpostavku da će sustav tijekom proizvoljog vremea beskoačo često biti praza (N(t) = 0,pr. u t = t p ) 24
DokazLittleovogteorema(ast.) α(t) i N(t) β(t) T i T 1 T 2 Općeito(čak ako ije beskoačo često praza): β ( t ) α ( t ) β ( t) T 1 t ( ) 1 i α t 1 T N ( s) ds T N ( s) ds t ( t) t t α( t) β ( t) t α ( t) i i 0 0 i= 1 i= 1 β δttt Nt λttt Resultat slijedi iz pretpostavke da postoje limiti T t T, λ t λiδ t δ, te da jeλ= δ T i 25
Opća primjea Littleovogteorema Aaliza velikih sustava (mreža redova čekaja): dekompozicija a podsustave Podsustav (Blok 1): N blok1 = N komut + N B = λτ komut + λ Β T B T blok1 = T komut + T B Sustav (Blok 2): N = λt 26
Iskoristivost i itezitet prometa (1) Iskoristivost ρ(faktor iskoristivosti, iskoristivost resursa): Vrijeme zauzetosti poslužitelja Iskoristivost ρ= Raspoloživo vrijeme Ako je c(c 1)broj poslužitelja a Nbroj korisika u sustavu uutar vremeskog itervala (t, t + T),tada svaki poslužitelj poslužuje prosječo (λt)/c korisika. Ako je prosječo trajaje posluživaja τ = 1/µtada imamo: λt 1 c µ λ ρ = = T cµ ρ treba biti maji od 1 (bezdimezioali). Itezitet prometa ilipouđei promet aje u uskoj vezi s iskoristivosti i predstavlja mjeru ukupog dolazog prometa u sustav: a = λτ = λ / µ aje bezdimezioala veličia, ali se često koristi jediica erlag (erl) u čast A.K. Erlaga. Vidimo da je a = cρ. Kad je c = 1 a = ρ. 27
Iskoristivost i itezitet prometa (2) Primjer: fizikalo se jediica 1 erl može iterpretirati a sljedeći ači. Jeda erlag prometa ekvivaleta je jedom korisiku koji koristi jeda resurs 100% vremea, ili alterativo 10 korisika od kojih svaki zauzima resurs 10% vremea. a >1: idikacija da korisici dolaze brže od brzie posluživaja (λ > µ); itezitet prometa je dobra mjera za miimali broj poslužitelja potrebih da bi sustav bio stabila. Npr. itezitet prometa od 2.5 erl pokazuje da je potrebo barem 3 poslužitelja. Zako očuvaja toka za stabili sustav je aaloga Kirchhoffovom zakou. U dovoljo dugom vremeskom itervalu vrijedi λ ul = λ izl. Ako je λ ul > λ izl korisici estaju i sustav će evetualo postati estabila, a ako je λ ul < λ izl korisice se stvaraju uutar sustava. Zako očuvaja toka se koristi kod izračuavaja propusosti sustava, kod određivaja prometih jedadžbi za pojedii red u mreži redova čekaja itd. 28
Iskoristivost i itezitet prometa (3) Primjer: Na komuikacijski kaal brzie 96 kbit/s dolaze dva različita toka paketa. Tok A sastoji se od paketa fikse duljie 48 bit, a tok B od paketa čija se duljia rava po ekspoecijaloj razdiobi sa sredjom duljiom 480 bit. Ako prosječo imamo 20% pakete iz toka A i 80% paketa iz toka B potrebo je izračuati iskoristivost kaala pretpostavljajući da je kombiiraa brzia dolazaka 15 paket/s. Sredje vrijeme prijeosa = (0.2 48 + 0.8 480)/96000 = 0.0041 s Primjer: Kuća telefoska cetrala (PBX) dimezioiraa je za promet koji geerira 300 zaposleika. Svaki zaposleik obavi prosječo 1.5 poziv tijekom jedog sata uz prosječo trajaje poziva 2.5 miute. Koliki je pouđei promet za tu PBX? Pouđei promet = Brzia dolazaka Vrijeme posluživaja = 300 (korisik) 1.5 (poziv/korisik sat) 2.5 (mi/poziv)/60 (mi/sat) = 18.75 erl 29
Stohastički obliklittleovogteorema Do sada smo razmatrali jedu fukciju koja opisuje stohastički proces Sada se fokusiramo a vjerojatosti različitih (asambla) fukcija stohastičkog procesa Vjerojatost da je korisika u sustavu u treutku t p ( ) { ( ) } t = P N t = Očekivai broj korisika u sustavu u treutku tje stohastički prosjek (ili prosjek asambla) E[ N( t)] = P{ N( t) = } = p ( t) = 0 = 0 30
Stohastički oblik (ast.) p (t), E[N(t)]ovise o ti početoj razdiobi u t = 0 Razmatramo sustav koji kovergira u stacioaro staje Postoji p (eoviso od počete razdiobe) za koji vrijedi lim p ( t) = p, = 0,1,... t Očekivai broj korisika u stacioarom staju (stohastički prosjek) N = p = lim E[ N( t)] = 0 t Zaergodičkiprocesvremeski prosjek uzorka fukcija jedak je stacioarom prosjeku s vjerojatosti 1 N = lim N = lim E[ N( t)] = N t t t 31
Stohastički oblik (ast.) Možemo odrediti razdiobu kašjeja T i korisika i, te zatim prosječo kašjeje E[T i ]koje kovergira u stacioarom staju u vrijedost T = lim E[ T ] i i Za ergodički sustav vrijedi 1 i T = lim = lim E[ Ti ] = T i i i Stohastički oblik Littleove formule: N = λ T Brzia dolazaka defiiraa je kao E[ α( t)] λ = lim t t T 32
Vremeskivs. stohastičkiprosjeci Vremeski prosjeci= Stohastičkiprosjeci za sve sustave izučavae u ovom kolegiju(ergodičost) To je ispujeo ako jeda fukcija uzorka stohastičkog procesa sadrži sve moguće realizacije procesa za t Opravdaje: a temelju općih svojstava Markovljevih laaca 33
Littleov teorem: primjer 1. N s (t) je broj posluživaih korisika u t, a τ trajaje posluživaja. Prema Littleovom teoremu je E[N s ]= λe[τ]; E[N s ]je sredji broj zauzetih poslužitelja kad je sustav u stacioarom staju. Za sustav s jedim poslužiteljem: N s (t)može biti 0 ili 1, pa E[N s ]predstavlja dio vremea zauzeća poslužitelja. Ako s p 0 = P[N(t) = 0]ozačimo stacioaru vjerojatost da je sustav praza, tada vrijedi 1 p0 = E[ Ns ] = λe[ τ ] p0 = 1 λe[ τ ] 1 - p 0 je udio zauzeća poslužitelja. Zato je iskoristivost sustava s jedim poslužiteljem: ρ = λe[ τ ] Sličo je iskoristivost sustava s m poslužitelja λe[ τ ] ρ = m 34
Littleov teorem: primjer 2. Zadaa je mreža prijeosih liija. Paketi dolaze a različitih čvorova brziama λ 1,, λ. Ako je Nsredji ukupi broj paketa u mreži tada, bez obzira a razdiobu duljia paketa i metodu jihovog usmjeravaja, sredje kašjeje paketa izosi: T N = i = 1 Prema Littleovom teoremu je N i = T i λ i, gdje je N i prosječi broj a T i prosječo kašjeje paketa koji dolaze u čvor i. λ i 35
Littleov teorem: primjer 3. Paketi dolaze a prijeosu liiju svakih Ksekudi. Prvi paket dođe u treutku 0. Svi paketi su jedako dugački a jihov prijeos traje αk(α< 1) sekudi. Propagacijsko + procesorsko kašjeje je P sekudi po paketu. Brzia dolazaka je λ =1/K. Paketi dolaze regularo fl ema kašjeja zbog čekaja flvrijeme Tkoje paket provede u sustavu (uključuje kašjeje P) je T = αk + P. Prema Littleovom teoremu je N = λt = α + P/K. Ovdje je N(t)determiistička fukcija vremea. Za slučaj K < αk + P < 2K(skicirajte N(t) oviso od t): N(t) e kovergira ekoj vrijedosti (sustav ikad ije u stacioaroj ravoteži). Littleov teorem je ispuje kad se N tretira kao vremeski prosjek. 36
Littleov teorem: primjer 4. Kotrola toka pomoću prozora (widow flow cotrol): W je veličia prozora u svakoj sesiji, a λje brzia paketa u svakoj sesiji. Prema Littleovom teoremu prosječo kašjeje paketa u svakoj sesiji mora zadovoljiti W λt. Kad mreža ulazi u zagušeje Traste, pa se λevetualo mora smajiti. Ako je mreža zagušea i sposoba preositi u svakoj sesiji λpaketa u jediici vremea, tada je W @ λt(uz pretpostavku da je kašjeje potvrda (ack paketa) zaemarivo u odosu a samo kašjeje isporuke paketa). Sada povećaje veličie prozora Wu svakoj sesiji uglavom povećava kašjeje T bez osjetije promjee λ. 37
Littleov teorem: primjer 5. Razmotrimo poslužiteljski sustav s Mposlužitelja i spremikom za ajviše N Mpaketa (u spremiku ili u posluživaju). Sustav je uvijek pu: pretpostavljamo da je u jemu Npaketa, te da je svaki odlazak paketa odmah zamijeje ovim paketom (tzv. zatvorei sustav posluživaja). Pretpostavimo da je prosječo trajaje obrade paketa T p. Želimo odrediti prosječo vrijeme Tboravka paketa u sustavu. Primijeimo Littleov teorem dva puta; prvo a cijeli sustav: N = λt, a zatim a poslužiteljski dio: M = λt p (svi poslužitelji su stalo zauzeti!). Dobivamo: T = N T p /M. Pogledajmo sada isti sustav ali s drugom discipliom posluživaja: paketi dolaze istom brziom λali su blokirai (i izgubljei) kad dođu a pui sustav. Broj zauzetih poslužitelja može biti maji od M: eka je Msredji broj zauzetih poslužitelja, a βudio paketa blokiraih a ulasku u sustav. Primijeimo Littleov teorem a poslužiteljski dio sustava: M = (1 β ) λtp β = 1 M / λtp. Budući da je M M doja graica vjerojatosti blokiraja je: β 1 M λt p 38
Dodatak Ekspoecijala razdioba Markovljevo svojstvo Poissoova razdioba Poissoov proces Defiicija i svojstva Razdioba međudolazih vremea Modeliraje procesa dolazaka i posluživaje Trasformacije Predzaje a razii kolegija Vjerojatost i statistika 39
Ekspoecijala razdioba N. Elezović (2007), poglavlje 6. Kotiuiraa slučaja varijabla (s.v.) Xopisuje ekspoecijalurazdiobu sparametrom µako je jea fukcija gustoće (vjerojatosti) ili gustoća razdiobe (vjerojatosti) : f X ( x) = x µ e µ za x 0 0 za x < 0 Fukcija razdiobe: µ x 1 e za x 0 FX ( x) = P{ X x} = 0 za x < 0 40
Ekspoecijalarazdioba(ast.) Očekivaje i varijaca (disperzija): Dokaz: 1 1 E[ X ] =, Var( X ) = 2 µ µ µ x E[ X ] = x f ( x) dx = xµ e dx = X 0 0 µ x µ x 1 = xe 0 + e dx = 0 µ 2 2 µ x 2 µ x µ x 2 2 E[ X ] = x µ e dx = x e 0 0 + 2 xe dx = E[ X ] = 0 2 µ µ Var( X ) E[ X ] ( E[ X ]) 2 1 1 µ µ µ 2 2 = = = 2 2 2 41
Markovljevo svojstvo Prošlost ema utjecaja a budućost(odsustvo pamćeja) Dokaz: P{ X > x + t X > t} = P{ X > x} P{ X > x + t, X > t} P{ X > x + t} P{ X > x + t X > t} = = P{ X > t} P{ X > t} µ ( x+ t ) e µ x = = e = P{ X > x} µ t e Ekspoecijala razdioba: jediakotiuiraa razdioba sa svojstvom odsustva pamćeja 42
Poissoova razdioba N. Elezović (2007), poglavlje 4. Diskreta s.v. X opisuje Poissoovu razdiobu s parametrom λ ako ima fukciju vjerojatosti: k λ λ P{ X = k} = e, k = 0,1,2,... k! Široko se primjejuje kod modeliraja brojih slučajih događaja koji se javljaju tijekom zadaog vremeskog itervala Poissoov proces: Broj dolazak korisika tijekom daa u pr. poštu, baku, Modeliraje telefoskog prometa, cetrala, paketa koji dolaze u mreže čvorove, 43
Poissoova razdioba(ast.) Prosjek i varijaca: Dokaz: E[ X ] = λ, Var( X ) = λ k k λ λ λ λ E[ X ] = kp{ X = k} = e k = e k! ( k 1)! k= 0 k= 0 k= 0 j λ λ λ λ = e λ = e λe = λ j! j= 0 k λ λ k! ( k 1)! k 2 2 λ 2 λ E[ X ] = k P{ X = k} = e k = e k k= 0 k= 0 k= 0 λ λ λ = e ( j + 1) = je + e = + j! j! j! j j j λ λ λ 2 λ λ λ λ λ Var( X ) E[ X ] ( E[ X ]) j= 0 j= 0 j= 0 2 2 2 2 = = λ + λ λ = λ 44
ZbrojPoissoovihslučajihvarijabli X i, i = 1, 2,,,su ezavise s.v. X i se rava popoissoovoj razdiobi s parametrom λ i Parcijala suma je defiiraa kao: S = X1 + X 2 +... + X S se rava popoissoovoj razdiobi s parametrom λ λ = λ1 + λ2 +... + λ 45
ZbrojPoissoovihvarijabli (ast.) Dokaz: Za = 2. Poopćeje idukcijom. Diskreta s.v. S = X 1 + X 2 : m { = } = { 1 =, 2 = } P S m P X k X m k k = 0 m m k m k λ λ = P X = k P X = m k = e e k! ( m k)! 1 λ1 2 λ2 { 1 } { 2 } k = 0 k = 0 λ λ = = 1 m! m k m k m 1 λ1 2 λ2 ( λ1 + λ2 ) k m k e e e λ1 λ2 k = 0 k! ( m k)! m! k = 0 k!( m k)! ( λ + λ ) m! m 1 2 ( λ1 + λ2 ) = e + Poisso s parametrom λ λ 1 2 46
UzorkovajePoissoovevarijable Xse rava popoissoovoj razdiobi sparametrom λ Svaki oddolazaka tipa ijavlja se s vjerojatosti p i (i = 1, 2,, )ezaviso jeda od drugog; p 1 + p 2 + + p = 1 X i ozačava s.v. za broj dolazaka tipa i X 1, X 2,, X su ezavisi događaji (ezavise s.v.) X i se rava popoissoovoj razdiobi sparametrom λ i = λp i 47
UzorkovajePoissoa (ast.) Dokaz: Za = 2. Poopćeje idukcijom. { 1 = 1, 2 = 2} = { 1 = 1, 2 = 2 = 1 + 2} { = 1 + 2} P X k X k P X k X k X k k P X k k k1 + k2 k1 + k2 k1 k2 λ λ = p1 p2 e k1 ( k1 + k2) 1 = ( λ p ) ( λ p ) e k! k! 1 2 k1 k2 λ ( p1 + p2 ) 1 2 k λ p ( λ p 1 1) λ p ( λ p 2 2) = e e k! k! 1 2 1 2 = P{ X = k } P{ X = k } 1 1 2 2 X 1 i X 2 su ezavisi događaji (ezavise s.v.) k X i se rava popoissoovoj razdiobi sparametrom λp i 48
Aproksimacija: Bioma Poissoova Bioma razdioba s parametrima (, p) k P{ X = k} = p (1 p) k k Kad i p 0, uz p=λ bioma razdioba se približava Poissoovoj s parametrom λ Dokaz: k P{ X = k} = p (1 p) k ( k + 1)...( 1) λ λ = 1 k! ( k + 1)...( 1) 1 k λ 1 k e λ 1 1 P{ X = k} e λ λ k λ k! k k k 49
Poissoovproces N. Elezović (2007), poglavlje 14. {A(t): t 0} proces brojaja A(t)je ukupi broj dolazakaod treutka 0, kad je A(0) = 0, do treutka t A(t)- A(s), broj dolazaka u itervalu (s, t] Brojevi dolazaka u disjuktim itervalima su ezavisi Broj dolazaka u ekom itervalu (t, t+τ ] duljie τ Ovisi samo o jegovoj duljii τ Slijedi Poissoovu razdiobu s parametrom λτ, tj. za τ > 0: ( λτ ) λτ τ P{ A( t + ) A( t) = } = e, = 0,1,...! λτ je sredji broj dolazaka u itervalu τ;λje sredja brzia dolazaka u jediici vremea 50
Svojstva Poissoovogprocesa Međudolaza vremea zapoissoovproces su ezavisa i slijede ekspoecijalu razdiobu s parametrom λ t :vrijeme -tog dolaska; τ = t +1 - t : -to međudolazo vrijeme Dokaz: Fukcija λs P{ τ s} = 1 e, s 0 s P{ τ s} = 1 P{ τ > s} = 1 P{ A( t + s) A( t ) = 0} = 1 e λ Nezavisost proizlazi iz ezavisosti broja dolazaka u disjuktim itervalima λτ 2 Gustoća, prosjek, varijaca: p( τ ) = λe, E[ τ ] = 1/ λ, Var( τ ) = 1/ λ 51
Svojstva Poissoovogprocesa (ast.) Iterval (t + δ, t]duljie δ P{ A( t + δ ) A( t) = 0} = 1 λδ + ο( δ ) P{ A( t + δ ) A( t) = 1} = λδ + ο( δ ) P{ A( t + δ ) A( t) 2} = ο( δ ) Dokaz: 2 λδ ( λδ ) P{ A( t + δ ) A( t) = 0} = e = 1 λδ + + = 1 λδ + ο( δ ) 2 2 λδ ( λδ ) P{ A( t + δ ) A( t) = 1} = e λδ = λδ 1 λδ + + = λδ + ο( δ ) 2 P{ A( t + δ ) A( t) 2} = 1 P{ A( t + δ ) A( t) = k} 1 k = 0 = 1 (1 λδ + ο( δ )) ( λδ + ο( δ )) = ο( δ ) 52
Stapaje i razdvajaje Poissoovih procesa λ 1 λp λ 1 + λ 2 λ p 1 - p λ 2 λ(1 - p) Superpozicija A 1,, A k ezavisipoissoovi procesibrzia λ 1,, λ k Stapaje u jeda proces A = A 1 + + A k A je Poissoov proces brzie λ = λ 1 + + λ k Dekompozicija A: Poissoovproces brzie λ Podjela a ezavise procese A 1 i A 2 uz vjerojatosti pi1 - p A 1 Poissoov proces, λ 1 = λp A 2 Poissoov proces λ 2 = λ(1-p) 53
Modeliraje dolazog procesa Poissoovprocesse široko koristikaodobar model dolazaka paketa kod rješavaja brojih mrežih problema Opravdaost: dobar model za stopljei (agregirai) promet velikog broja ezavisih korisika. Primjerice: Imamo prometih tokova s ezavisim idetičim razdiobama (iid) F(s) = P{τ s} s međudolazim vremeima τ ; F(s) ije užo ekspoecijala razdioba Brzia dolaska svakog toka je λ/a stopljeog λ Kad stopljei promet se može dobro aproksimirati Poissoovim procesom uz relativo blage uvjete a F(s) pr. F(0) = 0, F (0) > 0 Najvažiji razlog za uporabu Poissoovog procesa: aalitička rješivost modela sustava posluživaja 54
Primjer Paketska radio mreža pure Aloha razvijea a Uiversity of Hawaii omogućava komuikaciju između cetralog račuala i razih podatkovih termiala (čvorovi). Kad eki čvor ima paket za slaje o ga eposredo odašilje (kaal je zrak). Ako se odaslai paket sudari s drugim paketima pripadi čvor poovo šalje taj paket ako slučajog kašjeja τ. Izračuajte propusost takvog sustava. Radi jedostavosti pretpostavimo: Prijeoso vrijeme paketa je jediičo (jeda vremeska jediica). Broj čvorova je veliki tako da se ukupa dolaza brzia paketa od svih čvorova rava po Poissoovoj razdiobi s parametrom λ. Slučajo kašjeje τ se rava po ekspoecijaloj razdiobi s fukcijom gustoće βe βτ gdje je βbrzia (itezitet) pokušaja poovog slaja (retrasmisije) paketa. Uz te pretpostavke, ako postoji čvorova koji čekaju a retrasmisiju svojih paketa, ukupa dolaza brzia paketa a kaal rava se po Poissoovoj razdiobi s brziom (λ + β) a propusost S = (λ + β)p[uspješa prijeos] = (λ + β)p usp. Sudara e će biti ako samo jeda paket dođe uutar dviju vremeskih jediica. P usp = e 2( λ + β ) S = ( λ + β ) = e 2( λ + β ) 55
Trasformacije Omogućavaju uspješo rješavaje brojih problema. Temelje se a Fourierovoj i Laplaceovoj trasformaciji te vrijede svi jihovi zakoi U teoriji vjerojatosti često se koriste: Karakterističa fukcija: to je u biti Fourierova trasformacija (tradicioali oblik dobije se ako se uzamjei s u) Fukcija izvodica momeata: pozata i kao fukcija geeratrisa momeata i fukcija geeriraja momeata. Ove su fukcije u vezi: f X (u) = M X (ju), M X (u) = f X (-ju) Lakše je raditi s karakterističim fukcijama (e postavlja se pitaje kovergecije), a iverzija se može aći a osovu pravila koja vrijede za Fourierovu trasformaciju. Jedia predost fukcija izvodica momeata: to su reale fukcije. 56
Trasformacije (ast.) U teoriji posluživaja običo se koriste trasformacije defiirae ad eegativim varijablama: Laplaceova trasformacija: za gustoće vjerojatosti kotiuiraih s.v. Koristi se jedostraa Laplaceova trasformacija i to u uobičajeom obliku. Iače je jedaka fukciji izvodici momeata (ako se e v zamjei sa e -s ) z-trasformacija: za diskrete vjerojatosti. Često se zove fukcija izvodica (vjerojatosti), fukcija geeriraja vjerojatosti, fukcija geeratrisa momeata, geometrijska trasformacija. 57
Karakterističa fukcija Defiicija: za eki u R, j = 1: jux φx ( u) E[ e ] = k jux e f ( x) dx, X X juxk e P{ X = x }, X Fukcija razdiobe slučaje varijable Xjedozačo je određea jeom karakterističom fukcijom f X (u) Osova svojstva: φ d jux d X (0) = 1, X ( u) j E[ X e ], X (0) j E[ X ] ds φ = ds φ = Ako su Xi Yezavise s.v. fl f X+Y (u) = f X (u) f Y (u). Ako je Y = ax + b fl f Y (u) = e bu f X (au) k je kotiuiraa je diskreta 58
Fukcija izvodica momeata v R Defiicija: za eki : vx M X ( v) E[ e ] = k vx e f ( x) dx, X X vxk e P{ X = x }, X Fukcija razdiobe slučaje varijable Xjedozačo je određea jeom trasformacijom M X (v)ako oa egzistira i ako je koača u ekom okolišu v = 0. Osova svojstva: d vx d M X (0) = 1, M X ( v) = E[ X e ], M X (0) = E[ X ] dv dv Ako su Xi Yezavise s.v. fl M X+Y (v) = M X (v) M Y (v). Obruto e vrijedi. Ako je Y = ax + b fl M Y (v) = e bv M X (av) k je kotiuiraa je diskreta 59
Laplaceova trasformacija gustoće Defiicija: za eku pozitivu kotiuirau s.v. X: = sx sx F ( s) E[ e ] e f ( x) dx Trasformacija M X (v)je u osovi dvostraa Laplaceova trasformacija fukcije gustoće vjerojatosti. Jedia je razlika s obzirom a uobičajeu formulaciju u predzaku ekspoeta: treba zamijeiti e v e -s. U teoriji posluživaja veličie poput kašjeja, vremea čekaja,, isu egative fljedostraa Laplaceova trasformacija. Doja graica itegracije zapravo je 0 -. Osova svojstva: d sx d F (0) = 1, F ( s) = E[( X ) e ], ( 1) F (0) = E[ X ] ds ds 0 X 60
z-trasformacija Defiicija: za diskretu slučaju varijablu Xkoja uzima cjelobroje eegative vrijedosti iz skupa {0, 1, 2, } s vjerojatostima p k = P[X = x k ], zje kompleksa varijabla: Ako u trasformaciji M X (v)zamijeimo e v zdobivamo z- trasformaciju. Sličo:f X (u) = G X (e ju ) Osova svojstva: ( ) [ X k G z E z ] z p X = k 1 d d GX (0) = p0, GX (1) = 1, GX (0) = pk, GX (1) = E[ X ] k k! dz dz 2 d ' " ' 2 (1) [ ( 1)], Var[ ] (1) (1) [ (1)] 2 G X = E X X X = G X + G X G X dz k= 0 k 61
Trasformacije -poovo Skraćeo pisaje derivacija: pr. -tu derivaciju pišemo kraće: ( d φ ) X (0) φx (0) ds Tri fukcije f X (u), M X (v)i F*(s)su međusobo u uskoj vezi. Npr. φ ( js) = M ( s) = F ( s) X -ti momet od Xmože se izračuati pomoću jedog od izraza: E X j M F X ( ) ( ) ( ) [ ] = φx (0) = X (0) = ( 1) (0) 62
Trasformacije primjer Zadaa je kotiuiraa s.v. Xs ekspoecijalom gustoćom i parametrom l(sve ovo kraće pišemo: X ~ Exp(l)): x λe λ za x 0 f X ( x) = 0 za x < 0 Izračuavamo λ λ λ φx ( u) =, M X ( v) =, F ( s) = λ ju λ v λ + s Momete možemo odrediti pomoću bilo kojeg od avedea tri izraza za E[X ]: 1 2 1 E[ X ] =, E[ X ] = 2 λ λ 63