REALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih
|
|
|
- Ανδώνης Βαμβακάς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 REALNA FUNKCIJA Fukciju f čiji je skup vrijedosti V podskup skupa R realih brojeva zovemo realom fukcijom. Ako je, pritom, oblast defiisaosti D eki podskup skupa R uređeih -torki realih brojeva, kažemo da je f reala fukcija od realih ezaviso-promjeljivih. Na primjer, f(x,y,z) = x + y - z, x,y,z R je reala fukcija od tri ezaviso-promjeljive x,y,z.
2 Neka je f reala fukcija jede ezaviso-promjeljive čiji je dome DR. Kako svakom uređeom paru realih brojeva odgovara jeda tačka Dekartove ravi, to svakom paru (x 0, f(x 0 )) odgovarajućih vrijedosti argumeta i fukcije f: DR odgovara jeda (jedia) tačka Dekartove ravi Oxy. Skup svih tačaka Dekartove ravi koje odgovaraju uređeim parovima (x, f(x)), xd zove se grafik fukcije f.
3 y (x 0, y 0 ) y 0 x 0 x
4 Nizovi Realu fukciju jede reale promjeljive čija je oblast defiisaosti skup prirodih brojeva zovemo izom. Nezavisu promjeljivu iza običo ozačavamo sa, a odgovarajuću vrijedost fukcije sa a() ili, češće, sa a. Vrijedost iza za dato zovemo i člaom iza. Za iz a kažemo da mootoo raste ako je a < a +1 za svako N. Ako je a a +1, " N, kažemo da iz a e opada. Aalogo se defiiše moootoo opadaje odoso erašćeje iza a. Za iz a kažemo da je ograiče ako postoji reala broj M > 0, takav da je a M, " N.
5 Primjeri izova a 1 Primjer 1. Niz mootoo opada jer je, " N. Ovaj iz je i ograiče jer je, " N a a + 1 Primjer. Niz 1 za 1,,... ima vrijedosti, 3,,, i, očigledo, ije mooto. Kako je , " N dati iz je ograiče. 4 5
6 ARITMETIČKI NIZ ARITMETIČKI NIZ ili ARITMETIČKA PROGRESIJA je iz od realih brojeva kod kojih je razlika svaka dva uzastopa člaa ovog koačog iza (proizvoljog i jemu prethodog) kostata. Neka je d kostata razlika odoso diferecija. Slijede relacije: a a1 + d Odoso a3 a + d a1 + d ai a1 + ( i 1) d, i 1,,,
7 ARITMETIČKI NIZ Primjejujući posledju relaciju imamo da je: a + a a + ( ) d Odoso a + a 1 a1 + d + a1 + ( ) d a1 + ( 1) d a + a a + a 1 1 Na isti ači se provjerava da važi: a + a a3 + a a4 + a 1 3
8 ARITMETIČKI NIZ Kako je za: To je i k 1,,..., i i + k 1 aik a1 + ( i k 1) d ai+ k a1 + ( i + k 1) d,,..., i, k N a + a a + ( i 1) d a + ( i 1) d a i k i+ k Odoso: a i a + a i k i+ k Proizvolji čla aritmetičkog iza je aritmetička sredia dva u odosu a jega simetriča člaa.
9 ARITMETIČKI NIZ Zbir prvih člaova aritmetičkog iza je: Kako je, takođe: a i a1 + a + + a i1 a i a + a + + a + a i1 1 1 Slijedi: ai ( a1 + a ) + ( a + a 1) + + ( a + a1) ( a1 + a ) i1 Odoso: ai a 1 + a ( ) i1
10 GEOMETRIJSKI NIZ GEOMETRIJSKI NIZ je iz realih brojeva takvih da je količik svaka dva uzastopa člaa (proizvoljog i jemu prethodog) kostata. a a a 3 1 a q a q a q a 1 q 1 1 a a a i i k i+ k proizvolji čla ai, i je, 3,..., 1 geometrijska sredia dva u odosu a jega simetriča člaa a i a1 i1 1 q a1 a1 1 q 1 q q q 1 Zbir prvih uzastopih člaova geometrijskog iza
11 GEOMETRIJSKI NIZ GEOMETRIJSKI NIZ je iz realih brojeva takvih da je količik svaka dva uzastopa člaa (proizvoljog i jemu prethodog) kostata. a a a 3 1 a q a q a q a 1 q 1 1 a a a i i k i+ k proizvolji čla ai, i je, 3,..., 1 geometrijska sredia dva u odosu a jega simetriča člaa a i a1 i1 1 q a1 a1 1 q 1 q q q 1 Zbir prvih uzastopih člaova geometrijskog iza
12 Kovergecija iza Za iz a kažemo da kovergira broju a ako za svako e > 0 postoji broj 0 N takav da a (ae, a+e), za svako > 0. Za iz a koji kovergira broju a kažemo, takođe, da ima graiču vrijedost ili graicu a i pišemo: a a, ili lim a a a čitamo a teži a, kad teži beskoačosti ili limes a, kad teži beskoačosti, jedak je a. Kako a (ae, a+e) a e < a < a + e a a < e, to kovergeciju iza a broju a možemo da defiišemo i a sledeći ači: Niz a kovergira broju a ako za svako e > 0 postoji 0 N takvo da je a a < e, " > 0
13 Za iz koji e kovergira ekom broju kažemo da divergira. Ako za proizvolji broj M > 0 postoji 0 N takvo da je a > M, " > 0, oda za iz a (koji je, očigledo, divergeta jer ije ograiče) kažemo, takođe, da kovergira plus beskoačosti i pišemo a +, ili lima + Za (divergeta) iz a kažemo da kovergira beskoačosti ili da je beskoačo veliki, ako za dato M > 0 postoji 0 N takvo da je a > M, " > 0. Simbolički: a, ili lima
14 OPERACIJE SA GRANIČNIM VRIJEDNOSTIMA NIZOVA Neka su a i b dva iza koji kovergiraju broju a odoso b. Tada je iz a + b, (a b, i za b 0 i a b 0, ) takođe kovergeta i jegova je b a graica a + b (ab, ). b
15 Dokaz (za zbir) Iz kovergecije izova a i b slijedi da postoje brojevi o ' i o " takvi da je a a e b b e "> o ' gdje je e proizvolja broj. Tada je e e a + b a + b a a + b b + e za svako veće od 0 ' i 0 ". Dakle, za poizvoljo dato e > 0 postoji broj 0 (a primjer, 0 max( 0 ', 0 ")) takvo da je a + b a + b e, " 0 " > o " što zači da iz a + b kovergira ka broju a + b
16 Primjer 1. Ako je a iz koji kovergira broju a i b c kostati iz, oda je lim a a limca limc lima ca Primjer. Izvlačejem čiioca iz brojioca i imeioca iza kovergeta iza 3 lim1 4 lim5 iz a postaje količik dva 3 1 a lim1 lim 4 lim 5 + lim lim lim
17 Neka tvrđeja Ako iz a ima graicu, oda je ta graica jedozača. Svaki kovergeti iz je ograiče. Svaki ograičei eopadajući ili erastući iz kovergira.
18 Ojlerov broj e,718 e lim m f ( m) lim m m m
19 REALNA FUNKCIJA JEDNE REALNE PROMJENLJIVE Dome je D=(a,b)R, tj f:(a, b)r osove elemetare fukcije Kostata fukcija y = a, a R, D = R
20 Lieara fukcija y = ax + b, a 0, D = R 0
21 Fukcija obrute proporcioalosti, y a x, D = R\{0} 1
22 Kvadrata fukcija y = ax, D = R
23 Kuba fukcija y = x 3, D = R 3
24 Ekspoecijala fukcija y = a x, a R + \{1}, D = R 0<a<1 a>1 4
25 Logaritamska fukcija y = log a x, a R + \{1}, D = R + 5
26 Trigoometrijske fukcije: y = six, D = R y = cosx, D = R 6
27 y = tgx, D = {xr x (k-1)p/, kz}. y = ctgx, D = {xr x kp, kz} 7
28 SLOŽENA FUNKCIJA Neka je D oblast defiisaosti i G skup vrijedosti fukcije g i, dalje, G - oblast defiisaosti i V skup vrijedosti fukcije h 8
29 Ako je x proizvolji elemet skupa D, oda jemu odgovara (tačo) jeda elemet g(x) skupa G, a ovome (tačo) jeda elemet h[g(x)] skupa V. Na taj ači svakom elemetu x D odgovara tačo jeda elemet h[g(x)] skupa V. Preslikavaje x h[g(x)] je, dakle, fukcija čiji je dome D i skup vrijedosti V. Tako određea fukcija, ozačimo je sa f, zove se kompozicija fukcija g i h, ozaka h o g, tj f(x) = (h o g)(x) = h[g(x)] Za fukciju f kažemo, takođe, da je složea fukcija argumeta x. 9
30 Primjeri PRIMJER 1. Ako je g(x) = x - 1 i h(x) = logx, oda je kompozicija fukcija g i h fukcija f(x) = (h o g)(x) = h[g(x)] = h(x - 1) = log(x - 1). PRIMJER. Fukcija f(x) = (x - 3) 4 je kompozicija fukcija g(x) = x - 3 i h(x) = x 4. 30
31 INVERZNA FUNKCIJA Pretpostavimo da je y f(x) fukcija defiisaa i mootoa a itervalu D (a,b) i da joj je skup vrijedosti iterval V(c,d) tj. x(a,b)f(x)(c,d) Tada, za svako y 0 (c,d), postoji jedo jedio x 0 (c,d) takvo da je y = f(x 0 ). Dakle, postoji fukcija x = g(y) čiji je dome (c,d), skup vrijedosti (a,b) i pri čemu je f[g(y)] = y. 31
32 Ako, sada, u fukciji g argumet ozačimo sa x, a zaviso promjeljivu sa y dobijamo fukciju y = g(x) za koju kažemo da je iverza fukciji y = f(x). Iverzu fukciju fukcije f ozačavamo sa f -1. Iz defiicije slijedi da, ako tačka M(x,y) pripada grafiku fukcije y = f(x), oda tačka M 1 (y,x) pripada grafiku joj iverze fukcije (ukoliko postoji). To zači da su grafici fukcije y = f(x) i joj iverze fukcije y = g(x) simetriči u odosu a pravu y = x. 3
33 Primjer 1. Fukcija y six je mootoa a itervalu i je skup vrijedosti je iterval [1,1], 11, pa postoji fukcija g:,, pri čemu svakom y[1,1] pridružuemo oo za koje je y = six. x,
34 GRANIČNA VRIJEDNOST FUNKCIJE Koristeći pojam graiče vrijedosti iza defiisaćemo graiču vrijedost fukcije y = f(x) u datoj tački. Neka je y = f(x) fukcija defiisaa u ekoj okolii tačke a sem, možda, u samoj tački a i x 1, x,..., x,... proizvolji iz koji kovergira tački a i za koji postoji iz odgovarajućih vrijedosti fukcije, tj. iz f(x 1 ), f(x ),..., f(x ),... Ako za svaki takav iz x odgovarajući iz vrijedosti fukcije kovergira istom broju A, kažemo da u tački x = a fukcija ima graiču vrijedost A, a pišemo: f( x) A ili xa lim f( x) A xa
35 Primjer 1. Uzmimo fukciju f(x) x i tačku a. Niz x + 1 kovergira i jegova graica je a. Niz odgovarajućih vrijedosti fukcije je , +,..., +, , 5 4 (ili x 4, ako x ) Ovaj iz kovergira i jegova graica je ,...,, lim + 1 Ako uzmemo proizvolji drugi iz x koji kovergira broju, oda odgovarajući iz vrijedosti fukcije f(x ) 4 kovergira broju A 4. Prema tome, lim x x 4
36 Pretpostavimo da fukcija y = f(x) ima sledeću osobiu: za proizvoljo ε > 0 postoji δ(ε) takvo da je f(x) - A < ε za svako x a za koje je x - a < δ. Dokazaćemo da, tada, u tački x = a fukcija ima graicu A, tj. da f(x ) A, za svaki iz x a. Zaista, iz kovergecije iza x i avedee (pretpostavljee) osobie fukcije f(x) slijedi da postoji broj 0 takav da je x - a < δ, > 0 No, tada je i f(x ) - A < ε, za > 0 što zači da iz f(x ) kovergira broju A, odoso da u tački x =a fukcija ima graicu A.
37 Dokazuje se i tvrđeje obruto prethodom: ako je y = f(x) fukcija koja u tački x = a ima graicu A oda za svako ε > 0 postoji δ > 0 takvo da je f(x) - A < ε, za svako x za koje je x - a < δ. Graiču vrijedost fukcije, zato možemo da defiišemo a sledeći ači: Broj A je grača vrijedost ili graica fukcije f(x) u tački x = a, ako za svako ε > 0 postoji δ > 0 takvo da je: f(x) - A < ε, za svako x a za koje je x - a < δ.
38 Primjer. Fukcija f(x) c (kostata) u svakoj tački x a ima graicu A c jer je za proizvoljo e > 0 f(x) A c c 0 < e za svako x iz (proizvolje) d-okolie tačke x a, pa je lim xa c Primjer 3. Fukcija f(x) x u svakoj tački x a ima graicu A a jer je za proizvoljo e > 0 f(x) A x a < e, "x: x a < d e. c
39 Pored graiče, defiišu se i lijeva i desa graiča vrijedost fukcije: Za broj A kažemo da je desa graiča vrijedost ili desa graica fukcije f(x) u tački x a ako za svaki iz x koji kovergira tački a i čiji su člaovi veći od a odgovarajući iz vrijedosti fukcije f(x) kovergira broju A. Aalogo se defiiše lijeva graiča vrijedost.za desu i lijevu graiču vrijedost koristimo ozake: lim f ( x) xa0 A 1 lim f ( x) x a+ 0 A
40 Primjer 5. Fukcija f( x) x x +,, x x 0 0 u tački x 0 ima desu graicu A 1 i lijevu graicu A 0
41 Ako je lim f( x) x A ili lim f( x) x+ A oda se prava y A zove horizotala asimptota grafika fukcije f(x).
42 Vertikala asimtota Ako je fukcija f(x) kad xa ili x a+0, ili x a-0, beskoačo velika veličia, oda se prava x = a zove vertikala asimptota grafika te fukcije. Iz defiicija graiče vrijedosti i vertikale asimptote slijedi da grafik fukcije može da ima vertikalu asimptotu x = a samo ako je tačka a kraj otvoreog itervala a kome je fukcija defiisaa. lim f( x) + lim f( x) xa xa Sličo za x a+0, ili x a-0 4
43 NEDOREĐENI IZRAZI Graiče vrijedosti izraza 1 ( x) ( x) 1 ( x) ( x) gdje su 1 (x) i (x) beskoačo male, a 1 (x) i (x) beskoačo velike veličie kad xa pripadaju klasi tzv. eodređeih izraza. Naime, ozačimo li, uslovo, sa 0 beskoačo malu, a sa beskoačo veliku pozitivu veličiu i sa 1 fukciju čija je graica 1, kad x a, oda se izrazi oblika 0 0,, 0,, 1, 0 zovu eodređei izrazi kad x a. 43
44 KOSA ASIMPTOTA Za pravu y = kx + kažemo da je kosa asimptota grafika fukcije y = f(x) ako je lim[f(x) - (kx + )] = 0, kad x+ ili x - Odavde f( x) k lim i lim f ( x) kx x x x 44
45 Teoreme T1. Ako su f(x) i g(x) fukcije koje u tački x a imaju graice A i B, oda i fukcije f(x) ± g(x), f(x)g(x) i (ako je u ekoj okolii tačke a g(x) 0 i B 0), f(x) g(x) imaju graiče vrijedosti u tački x a i te graiče. vrijedosti su, redom A ± B, A B, A B 45
46 T. Ako fukcije f(x) i g(x) u tački x = a imaju istu graicu A i ako je h(x) fukcija za koju u ekoj okolii tačke a važe ejedakosti f(x) h(x) g(x), oda i fukcija h(x) u tački x = a ima graicu A. 46
47 NEPREKIDNOST FUNKCIJE Za fukciju y f(x) kažemo da je eprekida u tački x x 0, ako u toj tački ima graiču vrijedost i ako je ta graiča vrijedost jedaka vrijedosti fukcije u tački x 0, tj. ako je lim f( x) f( x ) xx 0 Za tačku u kojoj fukcija ije eprekida, a u čijoj je ekoj okolii defiisaa, kažemo da je tačka prekida fukcije. 0
48 Primjeri Primjer 1. Fukcija f(x) x + 3 je eprekida u svakoj tački x 0 R jer je defiisaa u ekoj (čak svakoj) okolii te tačke i, pritom, lim x + 3 x + 3 f( x ) xx Primjer. Fukcija f( x) x, x + 1, x x u tački x ema graiču vrijedost (ima samo lijevu i desu), pa u toj tački, dakle, ije eprekida.
49 Ekoomske fukcije Osove ekoomske veličie (kategorije) Cijea Tražja Pouda Proizvodja Prihod Troškovi Dobit
50 Pretpostavka sa rastom cijee tražja opada; ajveću vrijedost, max, ima pri cijei p = 0, dok ajmaju vrijedost dostiže ili edostiže zaviso od toga da li je u pitaju luksuzi proizvod (cigareta, automobil) ili proizvod od vitalog začaja (hljeb, lijek)
51 Pouda sa cijeom raste. Proizvod se udi pri cijei pri kojoj se traži, pa su oblasti defiisaosti poude i tražje iste. Iz pretpostavke o eprekidosti fukcije tražje i poude ekog proizvoda i mootoosti tih fukcija slijedi da postoji eka vrijedost p 0 argumeta p za koju se te fukcije izjedačavaju. Tu vrijedost argumeta p zovemo ravotežom cijeom.
52 Troškovi T rastu sa proizvodjom. Pri proizvodji x = 0 troškovi takođe postoje (a primjer, zbog amortizacije) i te troškove zovemo fiksim (ozaka T f ) za razliku od varijabilih T v astalih zbog proizvodje. (Ukupi) troškovi su zbir fiksih i varijabilih troškova
53 Prosječi troškovi pri proizvodji x su troškovi po jediici proizvodje: T T x Prihod je jedak proizvodu cijee i tražje (proizvodje). Pretpostavljamo da, do određee cijee, prihod raste, a zatim opada. Pri cijei p = 0 i prihod je P = 0
54 Dobit D(x) pri proizvodji x je razlika odgovarajućih prihoda i troškova: D(x) = P(x) - T(x). D x Iterval proizvodje a kome je dobit pozitiva zove se iterval retabiliteta, a jegovi krajevi su doja i gorja graica retabiliteta.
Granične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Niz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.
2. NIZOVI 1 / 78 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Definicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1,
Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), a(),,a(), može se koristiti zapis a, a,,a, Broj a zove se opći čla iza, a cijeli iz se kratko ozačuje (a ). Niz je : -rastući
Nizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom:
Nizovi Defiicija Niz je fukcija Ozake: (a ) ili a } a: R Zadatak Napišite prvih ekoliko člaova izova zadaih općim člaom: a = a = ( ) (c) a = Zadatak Odredite opće člaove izova: 3 5 7 9 ; 3 7 5 3 ; (c)
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
( ) δ = δ ε ) tako da vrijedi ( ) Predavanja iz predmeta Matematika za ekonomiste: IV dio
Predavaja iz predmeta Matematika za ekoomiste: IV dio U okviru četvrtog dijela predavaja predviđeo je da studeti savladaju slijedeće programske sadržaje:. Graiča vrijedost fukcije.. Neprekidost fukcije.
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
METODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
1. Numerički nizovi i redovi
. Numerički izovi i redovi Često u svakodevom govoru koristimo termie iz i red, a da pri tome i e razmišljamo o jihovom kokretom začeju. Kada kažemo iz, podrazumijevamo skupiu objekata uredeih po pricipu
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Glava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva
Glava Nizovi i skupovi realih brojeva Cetralo mesto u matematičkoj aalizi pripada pojmu graiče vredosti, odoso limesa. Upozaćemo se sa defiicijom limesa iza i sa tehikama alažeja graičih vredosti. Razmatraćemo
2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja
Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože
INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d e s e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) G L A V A 5
INŽENJERSKA MATEMATIKA NOTA BENE Dobro zapamti. Imaj a umu. Ne zaboravi. P r e d a v a j a z a d e s e t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 9/. godii) G L A V A 5 DIFERENCIJALNI RAČUN REALNIH FUNKCIJA
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Centralni granični teorem i zakoni velikih brojeva
Poglavlje 8 Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 8.1 Cetrali graiči teorem Lema 8.1 Za 1/ x 1 vrijedi Dokaz: Stavimo log1 + x x x. fx := log1 + x x, x [ 1/, 1]. Očito f0 = 0. Nadalje, po teoremu
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Izrada Domaće zadaće 4
Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.
Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,
MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
GRANIČNE VREDNOSTI NIZOVA
GRANIČNE VREDNOSTI NIZOVA Maria Nikolić 095/0 Aa Neadić 67/0 Dragaa Grubić 7/0 Damjaa Stojičić /007 Ivaa Bogićević 4/00 Aleksadra Neradžić 0/0 Kako je sve počelo Oko 5. veka p..e. grčki filozof Zeo je
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Trigonometrijske funkcije
9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.
1 FUNKCIJE. Pretpostavljamo poznavanje prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,... },
FUNKCIJE Pretpostavljamo pozavaje prirodih brojeva N = {,, 3,... }, cijelih brojeva Z = {...,,, 0,,,... }, racioalih brojeva Q = { m : m Z, N}. Nećemo defiirati reale brojeve R jer bi as to odvelo previše
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Teorem o prostim brojevima
Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski sveučiliši studij Matematika Zlatko Durmiš Teorem o prostim brojevima Završi rad Rijeka, 22. Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA
Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
ELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost
Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
1 Neprekidne funkcije na kompaktima
Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su
Mjera i integral. bilješke s vježbi ak. god /13. Aleksandar Milivojević
Mjera i itegral vježbe bilješke s vježbi ak. god. 202./3. atipkali i uredili Aleksadar Milivojević Saji Ružić Sveučiliste u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
PRVI IZVOD. f x0 x f x0. y x. ) lim lim ( ) ( ) x. Neka je y f(x) funkcija definisana na intervalu [a,b], x 0
![PRVI IZVOD. f x0 x f x0. y x. ) lim lim ( ) ( ) x. Neka je y f(x) funkcija definisana na intervalu [a,b], x 0](/thumbs/78/78750393.jpg "PRVI IZVOD. f x0 x f x0. y x. ) lim lim ( ) ( ) x. Neka je y f(x) funkcija definisana na intervalu [a,b], x 0")
. y PRVI IZVOD Neka je y f() funkcija definisana na intervalu [a,b], 0 unutrašnja tačka tog intervala, Δ ( 0) priraštaj argumenta i Δy odgovarajući priraštaj funkcije. Ako postoji granična vrijednost količnika
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija
Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
3.1. Granične vrednosti funkcija
98 3. FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST 3.1. Granične vrednosti funkcija 3.1.1. Definicija i osnovne osobine Da bismo motivisali definiciju granične vrednosti funkcija, dajemo dva primera. Posmatrajmo
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d v a n a e s t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini)
INŽENJERSKA MATEMATIKA Tko je a poziciji vlasti o e treba praviti smisla. (Čarska poslovica.) P r e d a v a j a z a d v a a e s t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 009/00. godii) 5.9. Primjee diferecijalog
Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Broj e. Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelena Tomanović December 14, 2006
Broj e Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelea Tomaović December 4, 2006 Uvod Broj e je jeda od ajzačajijih matematičkih kostati, pozata još i kao Ojlerov broj ili Nejpirova kostata Njegova vredost, zaokružea
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Aritmetički i geometrijski niz
Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.
Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija
Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH Teorija graičih vrijedosti je od iteresa e samo u skupu R realih brojeva, već i u ekim drugim skupovima
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješenja 1. kolokvija (16. studenog 2015.)
DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješeja 1. kolokvija (16. studeog 2015.) Zadatak 1 (20 bodova) Neka je fukcija d: R 2 R 2 R daa formulom { x 1 + y d(x, y) = 1, ako je x y, 0, ako je
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
![PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).](/thumbs/74/70316766.jpg "PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).")
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo