Niz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.
|
|
- Ἐλισάβετ Καψής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 2. NIZOVI 1 / 78
2 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može biti bilo koji epraza skup. Nas će ajviše zaimati slučajevi kada je taj skup R, C, ili skup realih ili kompleksih fukcija.
3 Niz i podiz 3 / 78 Primjeri izova: 1. Niz (a ) s a = 1, N, je iz u R. 2. Niz (a ) s a = + i, N, je iz u C. 3. Niz (a ) je iz realih fukcija, gdje je N, a : R R fukcija defiiraa s a (x) = si x, x R.
4 Niz i podiz 4 / 78 Defiicija Neka je (a ) u R. Niz (a ) je rastući ako N, a a +1. Niz (a ) je strogo rastući ako N, a < a +1. Niz (a ) je padajući ako N, a a +1. Niz (a ) je strogo padajući ako N, a > a +1. Napomea. Ova defiicija, iako se čii slabijom, ekvivaleta je s defiicijom mootoosti fukcije.
5 Niz i podiz 5 / 78 Defiicija Za iz b : N S kažemo da je podiz iza a : N S, ako postoji strogo rastući iz p : N N u N takav da je b = a p. U ozakama (b ) i (a ) za izove pisali bismo b = b() = (a p)() = a[p()] = a p() = a p. Podiz ekog iza dobijemo tako da izbacimo eke člaove polazog iza, a preostali člaovi zadržavaju prijašji me dusobi poredak.
6 Niz i podiz Zadatak Neka je (p ) strogo rastući iz u N. Tada vrijedi N, p. Rješeje. Dokažimo tvrdju matematičkom idukcijom. Baza idukcije, Jaso je da vrijedi 1 p 1. Pretpostavimo da za N vrijedi p. Tada je p +1 > p, tj. p +1 >, pa mora biti p / 78
7 7 / 78 Limes iza u R Nizovi Limes iza u R Defiicija Niz realih brojeva (a ) kovergira ili teži k realom broju a R ako svaki otvorei iterval polumjera ε oko točke a sadrži gotovo sve člaove iza. Tada a zovemo graiča vrijedost ili limes iza (a ) i pišemo a = lim a ili a = lim a. Napomea. gotovo svi = svi osim koačo mogo jih Da je iz kovergeta, možemo zapisati ovako: ( ε > 0), ( ε N), ( N), (( > ε ) ( a a < ε)).
8 Limes iza u R 8 / 78 Ako iz e kovergira oda kažemo da o divergira.
9 9 / 78 Nizovi Neograičei rast (pad) iza Limes iza u R Defiiramo okolie od + kao itervale oblika E, +, gdje je E > 0. Kažemo da iz (a ) u R divergira k + ako svaka okolia od + sadrži gotovo sve člaove iza, tj. ( E > 0), ( ε N), ( N), (( > ε ) (a > E)). U tom slučaju možemo govoriti o kovergeciji iza (a ) u R = [, + ] i pišemo lim a = +. Aalogo možemo defiirati lim a =.
10 Limes iza u R Primjer Pokažimo da iz ( 1 ) kovergira i lim 1 = 0. Uzmimo ε > 0 po volji. Iz Arhimedovog aksioma slijedi postojaje m N tako da vrijedi m ε > 1. za > m vrijedi ε > mε > 1. ε = m je tražeo rješeje. Naime, N, > ε ε > ε ε > 1 1 < ε 1 0 < ε. 10 / 78
11 Limes iza u R Teorem (2.1) 1. Kovergeta iz u R ima samo jedu graiču vrijedost. 2. Kovergeta iz u R je ograiče. Dokaz: 1. Pretpostavimo da kovergeta iz (a ) ima dvije graiče vrijedosti a, b R, a b. za ε = a b > 0 postoje a, b N takvi da vrijedi ( > a ) ( a a < ε 2 ) i ( > b) ( a b < ε 2 ). za ε = max{ a, b } imamo > ε a b a a + a b < ε 2 + ε 2 = ε = a b ), što je očita eistia. limes mora biti jedistve. 11 / 78
12 Limes iza u R 12 / U defiiciji limesa uzmimo ε = 1. postoji ε N tako da > ε a a < 1. Sada za > ε imamo a a a + a 1 + a. Neka je M = max{ a 1,..., a ε, 1 + a }. Tada vrijedi N, a M, tj. iz je ograiče. Q.E.D.
13 Limes iza u R 13 / 78 Primjer Sama ograičeost ije dovolja za kovergeciju iza. Niz defiira s a = ( 1), N, tj. iz 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,... je očigledo ograiče. 1 ije limes jer za ε = 1 2 izva itervala [1 1/2, 1 + 1/2] se alazi beskoačo člaova iza. To zači da se uutar itervala e alaze gotovo svi člaovi iza (iako ih je beskoačo). Iz istih razloga -1 ije limes.
14 Limes iza u R 14 / 78 Za očekivati je da podizovi iza aslje duju dobra svojstva origialog iza. Teorem (2.2.) Svaki podiz kovergetog iza u R i sam je kovergeta i ima istu graiču vrijedost kao i iz.
15 Limes iza u R Dokaz: Neka je (a ) kovergeta iz u R, a = lim a, i eka je (a p ) bilo koji jegov podiz. Uzmimo bilo koji ε > 0. a = lim a postoji ε N takav da > ε a a < ε. iz (p ) je strogo rastući iz u N i zadatak N, p. ( N), ( > ε ) (p > ε ) ( a p a < ε), Dakle, a = lim a p. Q.E.D. 15 / 78
16 Limes iza u R 16 / 78 Od iteresa je aći jedostavo provjerive dovolje uvjete za kovergeciju iza. Teorem (2.3.) Svaki ograiče i mooto iz u R je kovergeta. Dokaz: Neka je iz (a ) rastući, tj. N, a a +1. Ograičeost rastućeg iza zači ograičeost skupa A = {a ; N} odozgo. Postoji a = sup A R.
17 Limes iza u R 17 / 78 Iz defiicije supremuma skupa A imamo: 1. N, a a, 2. ε > 0, ε N, a ε < a ε. Iz 1. i 2. i rasta iza (a ) imamo ε > 0, ε N, N, > ε a ε < a ε a a < a + ε a a < ε. Dakle, lim a = sup{a : N}. Aalogo se za padajući iz pokaže lim a = if{a ; N}. Q.E.D.
18 Limes iza u R 18 / 78 Primjer Mootoost ije uža za kovergeciju iza. Npr. iz kovergira k 0, a ije mooto. ( 1)
19 Limes iza u R Teorem Neka je (a ) iz i eka su (a 2 ) i (a 2+1 ) kovergeti podizovi tako da vrijedi lim a 2 = lim a 2+1 = L. Tada je i iz je (a ) kovergeta i vrijedi lim a = L Dokaz: Neka je ε > 0 (proizvolja). (a 2 ) je kovergeta = postoji 1 N takav da vrijedi > 1 = a 2 L < ε (a 2+1 ) je kovergeta = postoji 2 N takav da vrijedi > 2 = a 2+1 L < ε Neka je ε veći od 2 1 i , pr. ε = max{2 1, }. 19 / 78
20 Limes iza u R 20 / 78 Neka je > ε. Ako je para, = 2k tada > ε = 2k > 2 1 = k > 1 = = a 2k L < ε = a L < ε Aalogo, ako je epara, = 2k + 1 tada > ε = 2k + 1 > = k > 1 = = a 2k+1 L < ε = a L < ε Zači > ε = a L < ε Q.E.D.
21 Operacije s kovergetim izovima 21 / 78 Operacije s kovergetim izovima Za izove (a ) i (b ) u R možemo defiirati ove izove (a ) ± (b ) = (a ± b ) λ(a ) = (λa ) za λ R, (a b ), Skup izova je vektorski prostor. Kako se limes poaša kod ovih operacija s izovima?
22 Operacije s kovergetim izovima 22 / 78 Teorem (2.4.) Neka su (a ) i (b ) kovergeti izovi u R. Tada vrijedi: 1. Niz (a ± b ) je kovergeta i 2. Niz (a b ) je kovergeta i lim (a ± b ) = lim a ± lim b. lim (a b ) = lim a lim b.
23 Operacije s kovergetim izovima 23 / Ako je N, b 0, i lim b 0, oda je i iz kovergeta i ( ) a lim = lim a. lim b 4. Niz ( a ) je kovergeta i b lim a = lim a. 5. Za λ R iz (λa ) je kovergeta i lim λa = λ lim a. ( a b )
24 Operacije s kovergetim izovima 24 / 78 Dokaz: Neka su lim a = a i lim b = b. 1. (a ) i (b ) kovergeti Za ε > 0 postoje 1, 2 N takvi da N vrijedi, ( > 1 ) ( a a < ε 2 ) i ( > 2 ) ( b b < ε 2 ). Za ε = max{ 1, 2 } vrijedi ( > ε ) ( a a < ε 2 ) i ( > ε ) ( b b < ε 2 ).
25 Operacije s kovergetim izovima 25 / 78 Odavdje slijedi da > ε a + b (a + b) a a + b b < ε 2 ) + ε 2 ) = ε, tj. iz (a + b ) je kovergeta i lim (a + b ) = lim a + lim b. Aalogo se dokazuje tvrda za iz (a b )
26 Operacije s kovergetim izovima 26 / (a ) kovergeta (a ) ograiče, tj. postoji M > 0 takav da N, a M. (a ) i (b ) kovergeti Za ε > 0 postoje 1, 2 N takvi da N vrijedi ( ) ε ( > 1 ) a a < i M + b ( ) ε ( > 2 ) b b <. M + b
27 Operacije s kovergetim izovima 27 / 78 Za ε = max{ 1, 2 } je ( > ε ) ( > ε ) ( ) ε a a < M + b ( ) ε b b <. M + b i te ( > ε ) a b ab = a b a b + a bab a b b + a a b < < M ε M + b + ε b = ε. M + b
28 Operacije s kovergetim izovima 28 / Pokažimo da vrijedi lim 1 b = 1 b. Za ε = b 2 > 0 postoji 0 N tako da N, > 0 b b < b 2 b b 2 1 b 1 b 2. Sada za proizvolja ε > 0 postoji 1 N tako da N vrijedi ( > 1 ) ( b b < ε b 2 2 ).
29 Operacije s kovergetim izovima 29 / 78 Uzmimo ε = max{ 1, 2 }, pa N vrijedi > ε 1 1 b b = b b b b < ε b 2 2 b 2 b = ε. lim a b = lim ( ) 1 a b = lim a lim 1 b = a 1 b = a b
30 Operacije s kovergetim izovima 30 / Iz ejedakosti x y x y slijedi > ε a a a a < ε. 5. Tvrdja slijedi direkto iz tvrdje 2. Za bilo koji λ R defiiramo kostati iz b = λ, N. Tvrdja 2. lim λa = lim b a = lim lim b a = λa. Q.E.D.
31 Operacije s kovergetim izovima 31 / 78 Napomea. Skup svih kovergetih izova u R je vektorski prostor. Osim operacija, a skupu R imamo zada ure daj. Kovergecija izova je u skladu s tim ure dajem.
32 Operacije s kovergetim izovima 32 / 78 Teorem (2.5. teorem o sedviču) Neka su (a ) i (b ) kovergeti izovi u R. 1. Ako je N, a b, oda je 2. Ako je (c ) iz za kojeg vrijedi lim a lim b. N, a c b i lim a = lim b = c, oda je (c ) kovergeta i lim c = c.
33 33 / 78 Nizovi Operacije s kovergetim izovima Dokaz: 1. Neka je iz (c ) kovergeta i takav da vrijedi Tada je lim c = c 0. N, c 0. Kada bi bilo c < 0, oda bi u okolii bili gotovo svi člaovi iza. To ije moguće zbog c + c 2 < 0. c c 2, c + c 2 Sada za slijedi tvrdja. c = b a, N,
34 Operacije s kovergetim izovima 34 / (a ) i (b ) kovergeti i imaju isti limes c Za ε > 0 postoje 1, 2 N takvi da vrijedi N, ( > 1 ) ( a c < ε) i ( > 2 ) ( b c < ε). Za ε = max{ 1, 2 } vrijedi > ε c ε < a c b < c + ε c c < ε. Q.E.D.
35 Primjeri kovergetih izova 35 / 78 Primjeri kovergetih izova Primjer Niz a = 1 je kovergeta za svaki α > 0 i vrijedi α lim 1 α = 0.
36 Primjeri kovergetih izova 36 / 78 Rješeje. Cilj am je pokazati da je a proizvoljo male. Za bilo koji ε > 0 želimo pokazati da je za dovoljo veliki a < ε 1 α < ε α > ε 1 > ε 1 α Neka je ε > 0 proizvolja. Tada postoji ε N za koji vrijedi ε > ε 1 α. Tada vrijedi > ε = > ε 1 α = a < ε
37 Primjeri kovergetih izova 37 / 78 Primjer Niz a = α divergira k + za svaki α > 0 : lim α = +.
38 Primjeri kovergetih izova 38 / 78 Rješeje. Cilj am je pokazati da je a proizvoljo velik. Za bilo koji E > 0 želimo pokazati da je za dovoljo veliki a > E α > E > E 1 α Neka je E > 0 proizvolja. Tada postoji E N za koji vrijedi E > E 1 α. Tada vrijedi > E = > E 1 α = a > E
39 Primjeri kovergetih izova 39 / 78 Primjer Niz a = a je kovergeta za svaki a, a < 1, i vrijedi lim a = 0.
40 Primjeri kovergetih izova Rješeje. Cilj am je pokazati da je a proizvoljo male. Promatramo a 0 = a = a < ε pa b.s.o. (bez smajeja općeitosti) pretpostavljamo da je 0 < a < 1. Za a = 0 tvrdja je očita: a = 0 = 0. Za bilo koji ε > 0 želimo pokazati da je za dovoljo veliki a < ε a < ε l a < l ε > l ε l a Zadja ejedakost se okreula zbog l a < 0 a < 1. Neka je ε > 0 proizvolja. Tada postoji ε N za koji vrijedi ε > l ε l a. Tada vrijedi > ε = > l ε l a = a < ε 40 / 78
41 Primjeri kovergetih izova 41 / 78 Primjer Niz a = a divergira k + za svaki a > 1 : lim a = +.
42 Primjeri kovergetih izova 42 / 78 Rješeje. Cilj am je pokazati da je a proizvoljo velik. Za bilo koji E > 0 želimo pokazati da je za dovoljo veliki a > E a > E l a > l E > l E l a Zadja ejedakost se ije okreula zbog l a > 0 a > 1. Neka je E > 0 proizvolja. Tada postoji E N za koji vrijedi E > l E l a. Tada vrijedi > E = > l E l a = a > E
43 Primjeri kovergetih izova 43 / 78 Primjer Vrijedi lim = 1. Rješeje. Za bilo koji ε > 0 po biomom teoremu je: (1 + ε) = 1 + ε + Uzmimo ε N za koji vrijedi ( 1) 2 ε ε > 1 2 ε 2. ( ε 1)ε 2 > 2. Tada vrijedi > ε (1 + ε) > 1 2 ε 2 > ε 1 2 ε 2 >,
44 Primjeri kovergetih izova 44 / 78 odoso > ε 1 < < (1 + ε). Jer je fukcija x x strogo rastuća: ( > ε ) 1 < < 1 + ε.
45 Primjeri kovergetih izova 45 / 78 Primjer Za a > 0 vrijedi lim a = 1. U slučaju 1 < a je za gotovo sve N, te za gotovo sve N. 1 < a < 1 < a < Sada tvrdja slijedi iz teorema o sedviču. Ako je a < 1 oda je 1 a > 1, pa je lim 1 a = 1 lim a = 1.
46 Primjeri kovergetih izova 46 / 78 Primjer Niz a = l je kovergeta i vrijedi l lim = 0.
47 Primjeri kovergetih izova Rješeje. Cilj am je pokazati da je a proizvoljo male. Za bilo koji ε > 0 želimo pokazati da je za dovoljo veliki 0 < a < ε 0 < l < ε 0 < l 1 < ε 1 < 1 < e ε Neka je ε > 0 proizvolja. Jer je lim 1 = 1 tada postoji ε N za koji vrijedi > ε = 1 < 1 < e ε. = 0 < a < ε 47 / 78
48 Primjeri kovergetih izova 48 / 78 Primjer Niz a = α je kovergeta za svaki α i a > 1 i vrijedi a α lim a = 0. Napomea. Ovaj primjer pokazuje da ekspoecijala fukcija raste brže od bilo koje potecije. Napomea. Ako je α 0 tvrdja slijedi jedostavo iz prethodih primjera. Zato ćemo u dokazu razmatrati samo slučaj α > 0.
49 49 / 78 Nizovi Primjeri kovergetih izova Rješeje. Cilj am je pokazati da je a proizvoljo male. Promatramo slučaj za α > 0. Za bilo koji ε > 0 želimo pokazati da je za dovoljo veliki Jer je a < ε α < ε α l l a < l ε a α postoji 1 takav da vrijedi ( l a α l ) > l ε lim l = 0 > 1 = l < 1 l a 2 α = l a α l l a α = l a 2α = l a 2α
50 Za > 1 će biti a < ε ako ( l a α α l ) > α l a 2α Neka je ε > 0 proizvolja. Tada postoji ε N za koji vrijedi Sada > ε = > = a < ε > ε > 1 i ε > 2 l ε l a Primjeri kovergetih izova = l a 2 2 l ε l a. 2 l ε l a. > l ε ( l a = α α l ) > l ε = 50 / 78
51 Primjeri kovergetih izova 51 / 78 Primjer Niz a = a! je kovergeta za svaki a R i vrijedi a lim! = 0. Napomea. Ovaj primjer pokazuje da faktorijele rastu brže od ekspoecijala fukcija. Napomea. Ako je a 1 tvrdja slijedi jedostavo iz prethodih primjera. Ako je a < 1 tada promatramo a = a. Zato ćemo u dokazu razmatrati samo slučaj a > 1.
52 52 / 78 Nizovi Primjeri kovergetih izova Rješeje. Cilj am je pokazati da je a proizvoljo male. Promatramo slučaj za a > 1. Za bilo koji ε > 0 želimo pokazati da je za dovoljo veliki a < ε a! < ε a 1 Neka je m > a (postoji takav m). Ozačimo Za k > m je = a! = a 1 a! = a 1 a 2... a m 1 α = a 1 a 2... a m 1 a m a m a 2... a m 1 a k < a m. a 2 a 3... a < ε a m a a m. a m a < α a m... a m = α ( a m ) m
53 Primjeri kovergetih izova 53 / 78 Jer je a m < 1 = lim ( a m ) m = 0 a ( a ) m! < α a ( a ) m, za > m = lim m! lim α = 0 m
54 Primjeri kovergetih izova 54 / 78 Primjer Nizovi a = ( ), N, i b = k=0 su kovergeti i imaju isti limes. Niz b = je očigledo strogo rastući. k=0 Pokažimo da je i ograiče, i da vrijedi 1, N, k! 1, N, k! b < 3, N.
55 Primjeri kovergetih izova Vrijedi b +1 = ( ) 1 1! + 2! = ( + 1)! = < ( ) < ( + 1) 3 ( ) = 2 = (b 1), Vrijedi rekurzija b +1 < (b 1), N. 55 / 78
56 Primjeri kovergetih izova 56 / 78 Tvrdja slijedi idukcijom. b 1 = 2 < 3, i N, b < 3 b +1 < (b 1) < (3 1) = 3. 2 Niz (b ) je kovergeta.
57 Primjeri kovergetih izova Primjeom biome formule a iz ( a = ), N, slijedi a = = = < k=0 k=0 k=0 k=0 ( k ) 1 k = ( 1) ( k + 1) k! k = ( ) ( 1 k 1 ) < k! 1 k! = b. Niz (a ) je odozgo ograiče. 57 / 78
58 Primjeri kovergetih izova 58 / 78 Zbog k=0 1 p p, za 0 p, vrijedi [ ( 1 a +1 = 1 1 ) ( 1 k 1 ) ] + k! ( + 1) +1 > a, (a ) rastući i ograiče (a ) kovergeta.
59 Primjeri kovergetih izova 59 / 78 Sada za bilo koji čvrsti p N i svaki > p imamo a > p k=0 ( ) ( 1 k 1 ). k! Prethoda ejedakost za daje lim a lim p k=0 ( ) ( 1 k 1 ) k! = p k=0 1 k! = b p. tj. Odatle slijedi lim a b p, p N. lim a lim b.
60 Primjeri kovergetih izova 60 / 78 Zbog raije pokazae ejedakosti a < b, N, je lim a lim b, Ovaj limes ozačavamo ozakom e i lim a = lim b. lim a = lim b = e
61 Primjeri kovergetih izova 61 / 78 Primjer Niz a =! je kovergeta i vrijedi! lim = 0. Napomea. Ovaj primjer pokazuje da raste brže od!.
62 Primjeri kovergetih izova 62 / 78 Rješeje. Promotrimo a a +1 =!!( + 1)( + 1) ( ( + 1) = (+1)! ( + 1)! = = ) 2 (+1) +1 Zadja ejedakost vrijedi jer je (1 + 1/) rastući iz pa su svi člaovi iza veći od prvog: 1 + 1/1) 1 = 2. = a +1 a = lim a = 0.
63 Sažetak Nizovi Primjeri kovergetih izova lim 1 α = 0, α > 0 lim α = +, α > 0 lim a = 0, a < 1 lim a = +, a > 1 lim = 1 lim a = 1, a > 0 lim lim α a = 0, α, a > 1 a! = 0, a lim! = 0, a lim ( ) = e lim ( 1 + α ) = e α, α lim l = 0 63 / 78
64 64 / 78 Nizovi Svojstva ograičeog iza Svojstva ograičeog iza Lema (2.1.) Svaki iz (a ) u R ima mooto podiz. Dokaz: Neka je A m = {a ; m}. Promatramo dva slučaja: 1. m N tako da skup A m ema maksimum. 2. m N skup A m ima maksimum.
65 Svojstva ograičeog iza 1. slučaj. Bez smajeja općeitosti uzmimo da je m = 1. (A 1 ema maksimuma) N k N, k > i a k > a. Počimo s = 1. Na demo prvi čla iza iza a 1 koji je veći od jega. Odredili smo p 1 takav da je a p1 > a 1. Sada promatramo skup A p1. Ovaj skup isto ema maksimum, jer kada bi ga imao, oda bi i prethodi A 1 imao. M Na demo prvi čla iza iza a p1 koji je veći od jega. Odredili smo p 2 takav da je a p2 > a p1. itd. Dobivamo strogo rastući iz (p ) u N takav da je a p < a p+1, N, tj. podiz (a p ) je strogo rastući. 65 / 78
66 Svojstva ograičeog iza 66 / slučaj. Neka je b 1 = max A 1. Na demo prvi maksimum. tj. me du oim k N za koje je a k = b 1 uzmimo ajmaji i ozačimo ga s p 1. Sada gledamo A p1 +1. Neka je b 2 = max A p1 +1. Vrijedi b 2 b 1. Uzmemo prvi maksimum. i ozačimo ga s p 1. Vrijedi a p2 a p1, itd. Tim postupkom dobijemo strogo rastući iz (p ) u N takav da je a p a p+1, N, tj. podiz (a p ) je padajući. Q.E.D.
67 Svojstva ograičeog iza 67 / 78 Korolar (2.2.) Za koačo izova a (1), a (2),..., a () postoji strogo rastući iz p : N N takav da su svi podizovi a (1) p, a (2) p,..., a () p mootoi. U teoremu 2.1. i prijašjem primjeru smo vidjeli da je ograičeost iza uža, ali e i dovolja za kovergeciju toga iza. Slijedeći teorem govori o tome što se ipak može zaključiti iz ograičeosti iza.
68 Svojstva ograičeog iza 68 / 78 Teorem (2.6. Weierstrass) Ograiče iz u R ima kovergeta podiz. Dokaz: Pomoću leme 2.1. možemo aći mooto podiz zadaog iza. Niz je ograiče svaki jegov podiz je ograiče. Podiz je ograiče i mooto podiz je kovergeta (Teorem 2.3.) Q.E.D.
69 Svojstva ograičeog iza 69 / 78 Defiicija Kažemo da je α R gomilište iza (a ) realih brojeva, ako postoji podiz (a p ) iza (a ) takav da vrijedi lim a p = α. Iz defiicije slijedi da je α R gomilište iza (a ) ako i samo ako ε > 0 okolia α ε, α + ε sadrži beskoačo člaova iza.
70 Svojstva ograičeog iza 70 / 78 Primjer i. Svaki ograičei iz ima barem jedo gomilište u R. ii. Svaki kovergeta iz ima točo jedo gomilište, a to je graiča vrijedost. iii. Niz iz primjera??. ima točo dva gomilišta jer je ( 1) 2 1 i ( 1) iv. Skupovi N i Q su ekvipoteti, tj. postoji bijektivi iz r : N Q. Tada je R skup svih gomilišta iza (r ), tj. svaki reala broj je limes ekog iza racioalih brojeva. v. Niz () ema iti jedo gomilište u R.
71 71 / 78 Nizovi Ekspoecijale fukcije a R Ekspoecijale fukcije a R Defiirat ćemo ekspoecijalu fukciju exp : R 0, + kao limes iza fukcija. Za svaki N defiiramo fukcije f : [0, + 0, + tako da vrijedi ( f (x) = 1 + x ), x [0, +. Defiicija Kažemo da iz fukcija (f ), gdje su f : I R, I R, kovergira običo ili po točkama k fukciji f : I R a itervalu I, ako iz brojeva (f (x)) kovergira k f (x), x I.
72 Ekspoecijale fukcije a R 72 / 78 Propozicija (2.2.) Niz fukcija (f ), gdje su f : [0, + 0, +, N, defiirae s f (x) = ( 1 + x ), x [0, +. kovergira a skupu [0, +. Fukcija f : [0, + 0, +, zadovoljava : 1. f (0) = 1, 2. f (1) = e, f = lim f, 3. f (x + y) = f (x)f (y), x, y [0, +.
73 Ekspoecijale fukcije a R Dokaz: Uzmimo x 0 i pokažimo da je iz f (x) strogo rastući i ome de. Vrijedi f (x) = k=0 ( ) x k k k = k=0! x k k!( k)! k = = = < k=0 k=0 k=0 1 ( 1)... ( k + 1) k! k x k = ( ) (... 1 k 1 ) x k < k! ( ) (... 1 k 1 ) x k x +1 + k! ( + 1) +1 = = f +1 (x), 73 / 78
74 Ekspoecijale fukcije a R 74 / 78 (f (x)) je strogo rastući iz. Neka je m N takav da je x m. Tada je f (x) f (m), N. Za podiz (f m (m)) strogo rastućeg iza (f (m)) vrijedi f m (m) = f (1) m, N. U primjeru je pokazao f (1) 3, N, f (x) 3 m, N. Niz je ograiče i rastući Niz (f (x)) je kovergeta x [0, +.
75 75 / f (0) = 1 Nizovi Ekspoecijale fukcije a R f (0) = 1 = 1 f (0) = lim f (0) = lim 1 = 1 2. f (1) = e ( f (1) = ) f (1) = lim f (1) = lim ( ) = e 3. f (x + y) = f (x)f (y), x, y [0, + Za x, y 0 imamo ( 1 + x ) ( 1 + y ) = ( 1 + x + y + xy ) ( x + y ).
76 76 / 78 Vrijedi = Nizovi Ekspoecijale fukcije a R ( 1 + x ) ( 1 + y ) ( 1 + x + y ) = ( 1 + x + y + xy ) ( x + y ) = = xy 2 0 [ 1 k=0 ( 1 + x + y + xy ) 1 k ( x + y ) ] k, ( 1 + x ) ( 1 + y ) ( 1 + x + y ) xy (1 2 + x ) 1 ( 1 + y xy ) 1 1 ( 1 + x ) 1 ( 1 + y ) 1 1 k=0
77 Ekspoecijale fukcije a R Sada iz prethode ejedakosti za dobijemo lim [ ( 1 + x ) ( 1 + y ) ( 1 + x + y ) ] = 0, odakle slijedi svojstvo 3. Q.E.D. Sada defiiramo fukciju exp : R 0, + a slijedeći ači: Pokažimo da vrijedi exp(x) = f (x) ; x 0, 1 f ( x) ; x < 0. exp(x + y) = exp(x) exp(y), x, y R. 77 / 78
78 Ekspoecijale fukcije a R 78 / 78 Dokaz ovisi o predzaku x i y. x > 0, y > 0 Direkto iz Propozicije 2.2.: exp(x + y) = f (x + y) = f (x)f (y) = exp(x) exp(y) x < 0, y < 0 Direkto iz Propozicije 2.2.: exp(x + y) = x > 0, y < 0, x + y > 0 1 f ( (x + y)) = 1 = exp(x) exp(y). f ( x)f ( y) f (x) = f (x + y + ( y)) = f (x + y)f ( y) 1 exp(x + y) = f (x + y) = f (x) = exp(x) exp(y). f ( y) x > 0, y < 0, x + y < 0 aalogo. x < 0, y > 0, x + y < 0 i x < 0, y > 0, x + y > 0 aalogo.
Nizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom:
Nizovi Defiicija Niz je fukcija Ozake: (a ) ili a } a: R Zadatak Napišite prvih ekoliko člaova izova zadaih općim člaom: a = a = ( ) (c) a = Zadatak Odredite opće člaove izova: 3 5 7 9 ; 3 7 5 3 ; (c)
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραDefinicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1,
Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), a(),,a(), može se koristiti zapis a, a,,a, Broj a zove se opći čla iza, a cijeli iz se kratko ozačuje (a ). Niz je : -rastući
Διαβάστε περισσότεραCentralni granični teorem i zakoni velikih brojeva
Poglavlje 8 Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 8.1 Cetrali graiči teorem Lema 8.1 Za 1/ x 1 vrijedi Dokaz: Stavimo log1 + x x x. fx := log1 + x x, x [ 1/, 1]. Očito f0 = 0. Nadalje, po teoremu
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da
Διαβάστε περισσότερα1 Neprekidne funkcije na kompaktima
Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su
Διαβάστε περισσότεραIntegral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.
Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,
Διαβάστε περισσότερα1. Numerički nizovi i redovi
. Numerički izovi i redovi Često u svakodevom govoru koristimo termie iz i red, a da pri tome i e razmišljamo o jihovom kokretom začeju. Kada kažemo iz, podrazumijevamo skupiu objekata uredeih po pricipu
Διαβάστε περισσότεραREALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih
REALNA FUNKCIJA Fukciju f čiji je skup vrijedosti V podskup skupa R realih brojeva zovemo realom fukcijom. Ako je, pritom, oblast defiisaosti D eki podskup skupa R uređeih -torki realih brojeva, kažemo
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα1 FUNKCIJE. Pretpostavljamo poznavanje prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,... },
FUNKCIJE Pretpostavljamo pozavaje prirodih brojeva N = {,, 3,... }, cijelih brojeva Z = {...,,, 0,,,... }, racioalih brojeva Q = { m : m Z, N}. Nećemo defiirati reale brojeve R jer bi as to odvelo previše
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραMjera i integral. bilješke s vježbi ak. god /13. Aleksandar Milivojević
Mjera i itegral vježbe bilješke s vježbi ak. god. 202./3. atipkali i uredili Aleksadar Milivojević Saji Ružić Sveučiliste u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješenja 1. kolokvija (16. studenog 2015.)
DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješeja 1. kolokvija (16. studeog 2015.) Zadatak 1 (20 bodova) Neka je fukcija d: R 2 R 2 R daa formulom { x 1 + y d(x, y) = 1, ako je x y, 0, ako je
Διαβάστε περισσότεραTeorem o prostim brojevima
Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski sveučiliši studij Matematika Zlatko Durmiš Teorem o prostim brojevima Završi rad Rijeka, 22. Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan
MJERA I INTEGRAL Bilješke s predavaja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godia 2010./2011. Natipkao i uredio: Iva Krija Zagreb, 23. 05. 2011. Sadržaj Sadržaj 1 UVOD 3 2 PRSTEN SKUPOVA 8 3 MJERE NA
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραGlava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva
Glava Nizovi i skupovi realih brojeva Cetralo mesto u matematičkoj aalizi pripada pojmu graiče vredosti, odoso limesa. Upozaćemo se sa defiicijom limesa iza i sa tehikama alažeja graičih vredosti. Razmatraćemo
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραMETODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI NIZOVA
GRANIČNE VREDNOSTI NIZOVA Maria Nikolić 095/0 Aa Neadić 67/0 Dragaa Grubić 7/0 Damjaa Stojičić /007 Ivaa Bogićević 4/00 Aleksadra Neradžić 0/0 Kako je sve počelo Oko 5. veka p..e. grčki filozof Zeo je
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske funkcije
9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραGeodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA
Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČKA STATISTIKA
MATEMATIČKA STATISTIKA Bilješke s predavaja (prof. dr. sc. Miljeko Huzak akademske godie 04./05. Natipkao i uredio: Kristija Kilassa Kvaterik Ova skripta služi samo kao pomoć u praćeju predavaja iz istoimeog
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα2. Konvergencija nizova
6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X
Διαβάστε περισσότεραI N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH Teorija graičih vrijedosti je od iteresa e samo u skupu R realih brojeva, već i u ekim drugim skupovima
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni račun funkcija više varijabli
Diferecijali raču fukcija više varijabli vježbe uredio Matija Bašić Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može zamijeiti vježbe) Sadržaj 1 Struktura ormiraog
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet
Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,
OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE Boris Guljaš predavanja Zagreb, 3.2.2014. ii Posljednji ispravak: utorak, 18. travanj 2017. Sadržaj 1 Skupovi N, Z, Q, R, C, R n 1 1.1 Skupovi N, Z, Q, R........................
Διαβάστε περισσότεραIzrada Domaće zadaće 4
Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja
Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα( ) δ = δ ε ) tako da vrijedi ( ) Predavanja iz predmeta Matematika za ekonomiste: IV dio
Predavaja iz predmeta Matematika za ekoomiste: IV dio U okviru četvrtog dijela predavaja predviđeo je da studeti savladaju slijedeće programske sadržaje:. Graiča vrijedost fukcije.. Neprekidost fukcije.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότερα1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραBroj e. Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelena Tomanović December 14, 2006
Broj e Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelea Tomaović December 4, 2006 Uvod Broj e je jeda od ajzačajijih matematičkih kostati, pozata još i kao Ojlerov broj ili Nejpirova kostata Njegova vredost, zaokružea
Διαβάστε περισσότεραDruštvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija
Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα1. Topologija na euklidskom prostoru R n
1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα12. PRIMJENE DERIVACIJA
Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike. PRIMJENE DERIVACIJA INTERVALI MONOTONOSTI Podsjetimo se što zači da je ukija mootoa a ekom itervalu I ( ab : Neka je : I R I ( ab R. Ako
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραGeodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI
Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραNeprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija
Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute
Διαβάστε περισσότεραSlučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Διαβάστε περισσότεραINŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d e s e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) G L A V A 5
INŽENJERSKA MATEMATIKA NOTA BENE Dobro zapamti. Imaj a umu. Ne zaboravi. P r e d a v a j a z a d e s e t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 9/. godii) G L A V A 5 DIFERENCIJALNI RAČUN REALNIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραREKURZIVNE FUNKCIJE PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc.dr.sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Brigita Švec REKURZIVNE FUNKCIJE Diplomski rad Voditelj rada: Doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, Rujan, 2014. Ovaj diplomski
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραPRIMJENA L-FUNKCIJA U TEORIJI BROJEVA. Marija Patljak PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marija Patljak PRIMJENA L-FUNKCIJA U TEORIJI BROJEVA Dilomski rad Voditelj rada: rof. dr. sc. Fili Najma Zagreb, veljača 2016.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραProcjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2.
4 Procjea parametara Neka je X slučaja varijabla čiju distribuciju proučavamo. Defiicija: Slučaji uzorak duljie za X je iz od ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli X 1, X,..., X koje imaju
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČKA ANALIZA II
MATEMATIČKA ANALIZA II primjeri i zadaci Ilja Gogić, Ate Mimica 6. siječja. Sadržaj Derivacija 5. Tehika deriviraja............................... 5. Derivacija iverzih i implicito zadaih fukcija..............
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα