Nizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom:
|
|
- Κανδάκη Σπηλιωτόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Nizovi Defiicija Niz je fukcija Ozake: (a ) ili a } a: R Zadatak Napišite prvih ekoliko člaova izova zadaih općim člaom: a = a = ( ) (c) a = Zadatak Odredite opće člaove izova: ; ; (c) Rješeje a = ; (c) Niz je zapravo pa je a 6 3 = + Primjer Gaussova dosjetka) Sumu S = možemo izračuati a sljedeći ači Zbrajajem sljedeća dva retka dobijemo odakle je S = (+) S = ( ) + S = + ( ) S = ( + ) + ( + ) + + ( + ) + ( + ) = ( + ) sumaada 7
2 8 NIZOVI Primjer Aritmetički iz s prvim člaom a i razlikom d je iz (a ) zada općim člaom: a = a + ( )d Svojstva: a + a = d a = a +a (zbog čega se i zove aritmetički iz) S := a + a + + a = i= a i = (a + a ), jer je S = a + (a + d) + + (a + ( )d) = a + ( ( )) = a + = (a + a ) ( ) = (a + a + ( )d) Geometrijski iz s prvim člaom a i kvocijetom q = je iz (a ) zada općim člaom: a = a q Svojstva: a a = q a = a a + (zbog čega se i zove geometrijski iz) S := a + a + + a = i= a i = a q q slijedi iz formule a b = (a b)(a + a b + + ab + b ) (koja se lako provjeri) za a = i b = q Zadatak 3 Izračuajte: (3 + ) Rješeje (c) (c) Primijetimo da je (k + ) 3 k 3 = 3k + 3k + pa sumirajem po k = dobijemo odakle je ( + ) 3 = 3( ) + 3( ) = 3 (( + ( + ) )3 3 ) = ( + )( + ) 6
3 NIZOVI 9 Napomea Sume možete račuati i koristeći WolframMathematica T (pogledajte takoder i Wolframlpha T ) I[]:= Sum[k^, {k,, }] Out[]= /6 + ) + ) Defiicija Niz (a ) je rastući ako vrijedi Niz (a ) je strogo rastući ako vrijedi a a + a < a + Aalogo defiiramo padajući i strogo padajući iz Zadatak 4 Ispitajte mootoost sljedećih izova: a = a = (c) a = (d) a = + (e) a = +9 (g) a = (f) a = arctg + Napomea Nacrtajmo prvih 0 člaova iza a = u WolframMathematicaT : I[]:= iz = Table[^ + )/3 ^ + ), {,, 0}] Out[]= {/, 5/4, /3, 7/5, 3/40, 37/4, 5/77, 3/40, 4/6, 0/30, 6/87, 45/444, 7/5, 97/60, 3/345, 57/784, 45/44, 65/98, 8/55, 40/0} I[]:= ListPlot[iz] Out[]=
4 0 NIZOVI Defiicija Niz (a ) je odozgo omede ako postoji M R takav da je a M Niz (a ) je odozdo omede ako postoji m R takav da je a m Zadatak 5 Ispitajte omedeost izova a = a = Rješeje Niz (a ) ije odozgo omede Matematičkom idukcijom se može pokazati da je > (Drugi ači da se pokaže gorja ejedakost je koristeći biomi teorem: (a + b) = a k b k k gdje je Za a = b = dobijemo = k k( k) = ( + ) = k=0 i = ( ) 3 k=0 > k = ) Iz Arhimedovog aksioma slijedi da za svaki M > 0 možemo proaći 0 takav da je 0 > M pa je a 0 = 0 > 0 > M, odakle vidimo da je iz eomede Defiicija Niz (a ) kovergira k L R ako ( ε > 0)( 0 N) takav da je a L < ε 0 Može se pokazati da je broj L R jedistve i zovemo ga es iza (a ) ze ozačavamo s a ili a U tom slučaju kažemo da iz (a ) kovergeta Zadatak 6 Neka je (a ) iz Dokažite da je a = 0 a = 0
5 NIZOVI Rješeje Neka je ε > 0 Tada postoji 0 zakav da je a 0 < ε, za 0 Drugačije zapisao, a 0 = a = a 0 < ε za 0 Dakle, a = 0 Aalogo Zadatak 7 Neka je (a ) iz takav da je a = 0 i eka je c R Po defiiciji dokažite da je i (c a ) kovergeta iz i da je (c a ) = 0 Rješeje Bez smajeja općeitosti možemo pretpostaviti da je c = 0 Neka je ε > 0 Tada postoji 0 takav da je pa je odakle slijedi tvrdja a < ε c za 0 c a = c a < c ε c = ε Zadatak 8 Dokažite po defiiciji da je = 0 za 0 Rješeje Neka je ε > 0 Tada po Arhimedovom aksiomu postoji 0 takav da je 0 ε > (alterativo, uzmemo 0 := ε + > ε ) Za 0 je 0 = 0 < ( ε ) = ε Napomea Sličo kao u prethodom zadatku se može pokazati da je za p > 0 p = 0 (Primijetite da je po defiiciji pr = e l ) Napomea Na predavaju je pokazao da za kovergete izove (a ) i (b ) i λ µ R vrijedi:
6 NIZOVI (λa + µb ) je kovergeta i (a b ) je kovergeta i (λa + µb ) = λ a + µ b (a b ) = a b ako je b = 0, oda je i ( a b ) kovergeta i Zadatak 9 Izračuajte ese: a = a b b (d) (g) ( + ) 3 ( + + ) (e) (c) (f) ( ) ( )5 ( + ) 4 Napomea U WolframMathematica T : I[]:= Limit[ - - )^5/ + )^4, -> Ifiity] Out[]= 9 Na predavaju je dokaza sljedeći Teorem Teorem o sedviču) Neka su (a ) (b ) i (c ) izovi takvi da postoji m takav da je a b c m Ako (a ) i (c ) kovergiraju prema istom realom broju L R, oda je i (b ) kovergeta s istim esom L: b = L Zadatak 0 Izračuajte si ( ) arctg (c) 3 5 cos
7 NIZOVI 3 Rješeje Dovoljo je dokazati da je ( ) arctg 3 = 0 što slijedi po teoremu o sedviču Zadatak Neka je q Dokažite da je q = 0 Rješeje Ako je q = 0, oda je q = 0 pa tvrdja vrijedi Zbog Zad 6 je dovoljo dokazati da je q = q = 0 pa možemo pretpostaviti da je q 0 Tada je > pa je po biomom teoremu q odakle dobijemo Po teoremu o sedviču je = + ( q q ) k = k q k=0 >0 0 q q 0 q = 0 q kada + Zadatak Izračuajte: (c) ( 7) Zadatak 3 Izračuajte: (c) korijea + + ( )
8 4 NIZOVI Zadatak 4 Dokažite da je = a = a > 0 Rješeje Zbog mootoosti fukcije x x a [0 + vrijedi = S druge strae, po biomom teoremu dobijemo za dobijemo = ( ) = [ + ( )] = + ( ) = + k=0 ( ) k k 0 ( ) ( ) pa je odakle je Dakle, + ( ) + kada + pa je po teoremu o sedviču = Pretpostavimo prvo da je a Neka je m takav da je m a (koji postoji po Arhimedovom aksiomu; jeda takav m je siguro a + ) Tada je a m pa tvrdja u ovom slučaju slijedi iz teorema o sedviču i Ako pretpostavimo da je a 0, oda je b = > pa je po prvom slučaju primijejeom a b > a a = b = = Dakle, a = a > 0 =
9 NIZOVI 5 Zadatak 5 Izračuajte Rješeje Za vrijedi (0 + 3 cos ) (0 + 3 cos ) = kada + pa je po teoremu o sedviču tražei es jedak 4 Primijetite da za vrijedi (0 + 3 cos ) + 6 (0 + 3 cos ) (0 + 3 cos ) + 6 kada + 7 pa je po teoremu o sedviču tražei es jedak 0 Zadatak 6 Izračuajte Defiicija Niz (a ) teži k + ako ( M > 0)( 0 ) takav da je a > M 0 i pišemo a = + Niz (a ) teži k ako i pišemo a = ( M > 0)( 0 ) takav da je a < M 0 Defiicija Defiiramo R = R + } Niz (a ) kovergira u R ako kovergira u R ili teži k ili + Zadatak 7 Dokažite da je za q > k=0 q = + Rješeje Za po biomom teoremu dobijemo q = [(q ) + ] = (q ) k + (q ) > (q ) k Neka je M > 0 proizvolja Odaberimo 0 takav da je 0 (q ) > M Takav 0 postoji po Arhimedovom aksiomu (ili kokreto možemo uzeti 0 = M q + > M) Tada je za 0 pa je q = + q > (q ) 0 (q ) > M
10 6 NIZOVI Limesi se poekad račuaju koristeći rekurzivo zadae izove Primjer 3 Fiboaccijev iz) Fiboaccijev iz je iz (a ) zada a sljedeći ači: a = a = a = a + a za 3 Bietova formula za -ti čla Fi- Matematičkom idukcijom se može pokazati tzv boaccijevog iza: a = 5 Iz Bietove formule slijedi + 5 a + = + 5 a 5 pri čemu je pozat kao omjer zlatog reza Na predavaju je dokaza sljedeći Teorem Ako je iz (a ) rastući (padajući) i odozgo (odozdo) omede, oda je kovergeta i a = supa : } ( a = ifa : }) Primjer 4 Dokažimo a još jeda ači da je za q 0 Defiirajmo a = q, Tada je Primijetimo da je iz (a ) padajući: i odozdo omede: a + = q a a + = q a a a = q 0 pa je i kovergeta po prethodom teoremu Ozačimo L = u esu dobijemo L = ql, odoso pa je L = 0 a + = q a L ( q) = 0 >0 q = 0 a Tada iz
11 NIZOVI 7 Zadatak 8 Izračuajte: a a > a > (c) a p a > p > 0 (d) a p Rješeje Primijetimo da a = a zadovoljava a + = Tada je za 0 := a + > a ispujeo a + < a + a a a + < odakle zaključujemo da je iz (a ) padajući počevši od 0 -og člaa Očito je i odozdo omedje s 0 pa je kovergeta Neka je L = a Tada iz a + = a + a u esu dobijemo L = 0 L = 0, odakle je L = 0 Niz a = a Tada je zadovoljava rekurzivu relaciju a + = + a a a + < a + a < > a pa je iz (a ) padajući počevši od člaa s ideksom 0 = + a Pošto je a = > 0, zaključujemo da je iz odozdo omede pa je i kovergeta a Ozačimo L = a Tada iz rekurzive relacije u esu dobijemo L = L a odakle je L (a ) = 0 >0
12 8 NIZOVI pa je L = 0 (c) Neka je 0 = p + > p Tada je za 0 0 < p a 0 a = b 0 gdje je b = 0 a > 0 = pa je po dijelu ovog zadatka 0 = b Po teoremu o sedviču zaključujemo da je p a = 0 0 = 0 0 = 0 b (d) Primijetimo da opći čla iza čiji es tražimo možemo zapisati kao p = p produkt dva kovergeta iza s esima 0 (po i (c)) pa je i promatrai iz kovergeta s esom 0 0 = 0 Napomea Prethodi zadatak kaže da faktorijel raste brže od ekspoecijale fukcije (lako se provjeri tvrdja i za a (vidite Zadatak 58)) : a = 0 a R; ekspoecijala fukcija raste brže od potecije: faktorijel raste brže od potecije: p Zadatak 9 Izračuajte ese: p = 0 a > p > 0; a = 0 a > p > 0 (c) ( 4) + + ( 4) (d) + ( ) + 4 ( + ) (3 + ) 5 ( + ) 4
13 NIZOVI 9 Zadatak 0 Niz (a ) je zada rekurzivo s a = 0 a + = a + Ispitajte kovergeciju iza (a ) i odredite mu es (ako postoji) Zadatak Niz (a ) je zada rekurzivo s a = 3 a + = (a + 3 a ) Ispitajte kovergeciju iza (a ) i odredite mu es (ako postoji) Napomea U WolframMathematica T : I[]:=a[]:= 3 a[_]:= a[ - ] + 3/a[ - ])/ I[]:=Table[N[a[], 0], {,, 0}] Out[]= { , , , , , , , , , } Primijetite da je I[3]:= N[Sqrt[3], 0] Out[3]= Zadatak Ispitajte kovergeciju iza a = korijea i odredite mu es (ako postoji) Zadatak 3 Niz (a ) je zada rekurzivo s a = a + = 9 a 7 a Dokažite da je (a ) kovergeta i odredite mu es Zadatak 4 Izračuajte ese: (c) ( + ) ( )
14 0 NIZOVI Na predavaju ste pokazali da je iz a = + rastući i odozgo omede pa je i kovergeta Ozačimo jegov es s e Dakle, Zadatak 5 Izračuajte ese: (c) + = e Rješeje + = + = + = e + = = = e = e Defiicija Niz (b ) je podiz iza (a ) ako postoji strogo rastuća fukcija takva da je p: b = a p Na predavajima ste dokazali sljedeće teoreme Teorem Ako je iz (a ) kovergeta s esom L, oda je svaki jegov podiz takoder kovergeta s istim esom L Teorem Svaki iz ima mooto podiz
15 NIZOVI Korolar Svaki omedei iz ima kovergeti podiz Defiicija Gomilište iza (a ) je elemet L R takav da postoji podiz (a ) iza (a ) takav da je k + a = L Primjer 5 a = ( ) ima gomilišta: i, jer je Primijetite da (a ) ije kovergeta a k = ( ) k = a k = ( ) k = Primjer 6 Promotrimo iz a = q, gdje je q < Pokazat ćemo da iz (a ) ije kovergeta tako da proademo dva različita gomilišta (primijetite da je q > pa je q = + ): Dakle, a k = q k = ( q ) k + kada k + a k = q k = ( q ) k q <0 q = kada k + e postoji q 0 < q < q = + q > Napomea Niz koji ima više od jedog gomilišta e može biti kovergeta Ozačimo skup svih gomilišta iza (a ) s A Primijetite da (a ) ima barem jeda kovergeta podiz u R() pa je A = i tada ima smisla Defiicija Neka je (a ) iz i eka je A skup jegovih gomilišta u R Defiiramo es superior i es iferior iza (a ) s sup a = sup A i if a = if A Zadatak 6 Izračuajte sup + cos π + if ( + ( ) ) + cos (π) +
16 NIZOVI Dokaza je i sljedeći Teorem Niz (a ) je kovergeta ako i samo ako je i tada je a = if a = sup Zadatak 7 Neka je a = if a = sup a a 3 + ( ) ( ) + + ( + a) si π Odredite a R tako da iz (a ) bude kovergeta Rješeje Odredimo gomilišta iza (a ): 3 k a + ( ) k k = + ( + a) 0 = k + k + 3 k+ + ( ) k k a + ( ) 4k 4k = + ( + a) ( ) = k + k + 3 4k + ( ) 4k 3 a 3 4k 3 a + ( ) 4k 3 4k 3 = + ( + a) () = 4 k + k + 3 4k + ( ) 4k 3 + a Da bi iz (a ) bio kovergeta, mora vrijediti if a = sup pa skup gomilišta mora biti jedočla Dakle, mora vrijediti odakle zaključujemo da je a = a 3 = 3 a = a Za račuaje esa je korista sljedeći Teorem Stolzov teorem) Neka su (a ) i (b ) izovi takvi da je (b ) strogo rastući i eograiče Ako postoji a + a b + b a tada postoji i b i vrijedi a a + a = b b + b
17 NIZOVI 3 Zadatak 8 Izračuajte: Rješeje Stavimo a = i b = Vidimo da je (b ) strogo rastući i eograiče pa je po Stolozovom teoremu tražei es jedak a a + a = = b b + b + = Primijetimo da je l + l + + l l = l Po Stolzovom teoremu je l + l + + l = = = l + l + + l (l + + l l + + ) (l + l + + l ) = l( + ) = pa je tražei es jedak e = e Zadatak 9 Neka je (a ) kovergeta iz takav da je a > 0 Dokažite da je a a a = a Rješeje Primijetite da je po Stolzovom teoremu l l a + + l a a a a = pa je zbog eprekidosti fukcije l, odakle slijedi tvrdja l a a a = l a = l a Zadatak 30 Izračuajte k= k
18 4 NIZOVI Zadaci za vježbu 3 Izračuajte: (5 + 3) (c) Dokažite da je iz s općim člaom + a = strogo padajući 33 Ispitajte mootoost sljedećih izova a = a = (c) a = arctg ( ) 3 (d) a = 0 a + = + a a 34 Ispitajte ograičeost sljedećih izova a = 35 Izračuajte ese: (c) Izračuajte ese: a = ( ) + 4 (d) (c) a = (3 ) + ( a)3, u ovisosti o parametru a R ( + ) + (c) Izračuajte 38 Izračuajte ese: si + +
19 NIZOVI (c) + ( ) ( ) 39 Izračuajte ese: (c) ( 3 + ) + 3 ( + ) 3 ( 3 + ) Izračuajte ese: ( + )(3 + )( + ) (4 + 3) 3 (c) ( ) Izračuajte ese: (c) Izračuajte ese: (c) (e) π (d) 3 + cos (f) Izračuajte if a i sup a za a = cos π a = + + cos π Koji izovi su kovergeti? (c) a = + ( ) 44 Dokažite da za iz zada rekurzivo s vrijedi a = ( + )a + + ( )a a + = 3a 3 a
20 6 NIZOVI 45 Dokažite da iz Fiboaccijevih brojeva (a ) zadovoljava 46 Niz (a ) je zada rekurzivo: a a a + = ( ) a = a + = 3a a Dokažite da je (a ) kovergeta i odredite mu es 47 Niz (a ) je zada rekurzivo: a = a + = a + Dokažite da je (a ) kovergeta i odredite mu es 48 Niz (a ) je zada rekurzivo: a = 05 a + = a Dokažite da je (a ) kovergeta i odredite mu es 49 Nadite rekurzivo zada iz (a ) takav da mu je es jedak 7 50 Koristeći rekurzivo zadai iz dokažite da je 5 Izračuajte 5 ( + ) = korijea 5 Izračuajte 53 Je li iz kovergeta? 54 Izračuajte korijea a = + ( 5) si si si puta
21 NIZOVI 7 55 Dokažite po defiiciji da je za p > 0 56 Dokažite po defiiciji da je p = 0 = + 57 Dokažite da je = 0 koristeći teorem o sedviču i biomi teorem 58 Dokažite da je za a R a = 0 59 Neka je (a ) rastući iz takav da je a > 0 Ako je S = a + + a, dokažite da je a + a 3 a + + = a S S S 3 S S a 60 Neka je (a ) kovergeta iz Dokažite 6 Izračuajte a + + a = a Odredite sve a R takve da iz s općim člaom kovergira 63 Dokažite da je za p > a = 5 + (a) ( ) p + p + + p = p+ p + 64 Dokažite da je = e 65 Dokažite da iz s općim člaom a = l kovergira Njegov es c se zove Euler-Mascheroijeva kostata i c
22 8 NIZOVI
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραNiz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.
2. NIZOVI 1 / 78 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα1 FUNKCIJE. Pretpostavljamo poznavanje prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,... },
FUNKCIJE Pretpostavljamo pozavaje prirodih brojeva N = {,, 3,... }, cijelih brojeva Z = {...,,, 0,,,... }, racioalih brojeva Q = { m : m Z, N}. Nećemo defiirati reale brojeve R jer bi as to odvelo previše
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραDefinicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1,
Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), a(),,a(), može se koristiti zapis a, a,,a, Broj a zove se opći čla iza, a cijeli iz se kratko ozačuje (a ). Niz je : -rastući
Διαβάστε περισσότεραCentralni granični teorem i zakoni velikih brojeva
Poglavlje 8 Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 8.1 Cetrali graiči teorem Lema 8.1 Za 1/ x 1 vrijedi Dokaz: Stavimo log1 + x x x. fx := log1 + x x, x [ 1/, 1]. Očito f0 = 0. Nadalje, po teoremu
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραMjera i integral. bilješke s vježbi ak. god /13. Aleksandar Milivojević
Mjera i itegral vježbe bilješke s vježbi ak. god. 202./3. atipkali i uredili Aleksadar Milivojević Saji Ružić Sveučiliste u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješenja 1. kolokvija (16. studenog 2015.)
DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješeja 1. kolokvija (16. studeog 2015.) Zadatak 1 (20 bodova) Neka je fukcija d: R 2 R 2 R daa formulom { x 1 + y d(x, y) = 1, ako je x y, 0, ako je
Διαβάστε περισσότερα1 Neprekidne funkcije na kompaktima
Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραREALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih
REALNA FUNKCIJA Fukciju f čiji je skup vrijedosti V podskup skupa R realih brojeva zovemo realom fukcijom. Ako je, pritom, oblast defiisaosti D eki podskup skupa R uređeih -torki realih brojeva, kažemo
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραTeorem o prostim brojevima
Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski sveučiliši studij Matematika Zlatko Durmiš Teorem o prostim brojevima Završi rad Rijeka, 22. Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραIntegral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.
Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα1. Numerički nizovi i redovi
. Numerički izovi i redovi Često u svakodevom govoru koristimo termie iz i red, a da pri tome i e razmišljamo o jihovom kokretom začeju. Kada kažemo iz, podrazumijevamo skupiu objekata uredeih po pricipu
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan
MJERA I INTEGRAL Bilješke s predavaja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godia 2010./2011. Natipkao i uredio: Iva Krija Zagreb, 23. 05. 2011. Sadržaj Sadržaj 1 UVOD 3 2 PRSTEN SKUPOVA 8 3 MJERE NA
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραSlučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet
Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČKA ANALIZA II
MATEMATIČKA ANALIZA II primjeri i zadaci Ilja Gogić, Ate Mimica 6. siječja. Sadržaj Derivacija 5. Tehika deriviraja............................... 5. Derivacija iverzih i implicito zadaih fukcija..............
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske funkcije
9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραMETODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČKA STATISTIKA
MATEMATIČKA STATISTIKA Bilješke s predavaja (prof. dr. sc. Miljeko Huzak akademske godie 04./05. Natipkao i uredio: Kristija Kilassa Kvaterik Ova skripta služi samo kao pomoć u praćeju predavaja iz istoimeog
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραGeodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA
Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI NIZOVA
GRANIČNE VREDNOSTI NIZOVA Maria Nikolić 095/0 Aa Neadić 67/0 Dragaa Grubić 7/0 Damjaa Stojičić /007 Ivaa Bogićević 4/00 Aleksadra Neradžić 0/0 Kako je sve počelo Oko 5. veka p..e. grčki filozof Zeo je
Διαβάστε περισσότεραNeprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija
Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute
Διαβάστε περισσότερα2. Konvergencija nizova
6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X
Διαβάστε περισσότερα1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Διαβάστε περισσότεραIzrada Domaće zadaće 4
Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραGlava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva
Glava Nizovi i skupovi realih brojeva Cetralo mesto u matematičkoj aalizi pripada pojmu graiče vredosti, odoso limesa. Upozaćemo se sa defiicijom limesa iza i sa tehikama alažeja graičih vredosti. Razmatraćemo
Διαβάστε περισσότερα4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραProcjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2.
4 Procjea parametara Neka je X slučaja varijabla čiju distribuciju proučavamo. Defiicija: Slučaji uzorak duljie za X je iz od ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli X 1, X,..., X koje imaju
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραAritmetički i geometrijski niz
Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja 2016. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je I kolekcija svih ograničenih jednodimenzionalnih intervala
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni račun funkcija više varijabli
Diferecijali raču fukcija više varijabli vježbe uredio Matija Bašić Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može zamijeiti vježbe) Sadržaj 1 Struktura ormiraog
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραProsti brojevi. Uvod
MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Prosti brojevi 20.12.2015. Uvod Definicija 1. Kažemo da je prirodan broj p prost broj ako ima točno dva (različita) djelitelja (konkretno, to su 1 i p). U suprotnom
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραBroj e. Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelena Tomanović December 14, 2006
Broj e Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelea Tomaović December 4, 2006 Uvod Broj e je jeda od ajzačajijih matematičkih kostati, pozata još i kao Ojlerov broj ili Nejpirova kostata Njegova vredost, zaokružea
Διαβάστε περισσότερα